DẠNG 5 : Xác định giá trị nội suy theo phương pháp Bensen.
Trang 1DẠNG 1 : Tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm F(x) biết f (x) = a + b.x
Ví dụ : Cho các giá trị (xi , yi ) của hàm F (x), tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm F(x) biết f (x) = a + b.x
Cơ sở lí thuyết : xét hàm bậc nhất f(x) = a + b.x , b≠ 0
Ta có : [ a + b.xi – F (xi )]2 →min
Đặt S = [ a + b.xi – F (xi )] , S2 →min <=> S’ = 0 hay 0
a
S
và 0
b
S
Thay vào ta được a, b là nghiệm của hệ phương trình sau :
i i i
i
i i
y x x
b
x
a
y x
b
a
n
2
Cách làm : Lập bảng tính
Do hàm f(x) = a+ b.x nên a, b là nghiệm của hệ phương trình sau :
1
2 11
5
3
9
3
3
b
a b
a
b
a
Do vậy f(x)= x + 2
DẠNG 2 : Tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm F(x) biết f (x) = a + b.x +c.x2, c ≠0
Trang 2Cơ sở lí thuyết : xét hàm bậc nhất f(x) = a + b.x +c.x2, c ≠0
Ta có : [ a + b.xi + c.xi2 – F (xi )]2 →min
Đặt S = [ a + b.xi + c.xi2 – F (xi )], S2 →min <=> S’ = 0 hay 0
a
S
, 0
b
S
0
c
S
Thay vào ta được a, b,c là nghiệm của hệ phương trình sau :
i i i
i i
i i i
i i
i i
i
y x x
c x b
x
b
y x x
xc x b
x
a
y x
c x b
a
n
2 4
3 2
3 2
2
Ví dụ : Cho các giá trị (xi , yi ) của hàm F (x), tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm F(x) biết
f (x) = a + b.x+c.x2
Cách làm : Lập bảng tính
i xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 .yi
Do hàm f (x ) = a +b.x + c.x2 nên a,b,c là nghiệm của hệ phương trình sau :
177 110 177 889 177 47
93 89
29
10
33 29
10
3
14 3
3
3
c b a
c b
a
c b
a
c b
a
Do vậy f (x ) =
2
177
110 177
899 177
47
x
x
Trang 3DẠNG 3 : Tìm dạng xấp xỉ của hàm F(x) theo phương pháp Lagrange
Cách làm : hàm f (x) được xác định như sau :
f(x) = L1(x) F(x1) + L2(x) F(x2) + L3(x) F(x3) + ……… Ln(x) F(xn)
Trong đó : L1 (x)=
1 3
1 2 1
3 2
n
n x x x
x x x
x x x
x x x
Ví dụ : Tìm dạng xấp xỉ của hàm F(x) theo phương pháp Lagrange biết :
Giải :
Ta có : f(x) = L1(x) F(x1) + L2(x) F(x2) + L3(x) F(x3) +L4(x) F(x4)
Trong đó :
L1 (x)=
24 26 9
4 1 3 1 2
1
4 3
x
L2 (x)=
12 19 8
4 2 3 2 1
2
4 3
x
L3 (x)=
8 14 7
4 3 2 3 1
3
4 2
x
L4 (x)=
24 26 9
3 4 2 4 1
4
3 2
x
Thay số : f(x)=
6
6 11 6
17 2
8 14 7
10 2
12 19 8
5 6
24 26 9
.
2
2 3 2
3 2
3 2
3
x x
x x
x x x
x x x
x
x
Rút gọn ta được f (x ) = x2 + 1
DẠNG 4 : Xác định giá trị nội suy tuyến tính
Trang 4Cơ sở lí thuyết : f (x ) = f (x0) + ∆ f (x0).ζ
Trong đó : ∆ f (x0) = f (x1) - f (x0)
ζ = 0 1 0
x x
Ví dụ : Tìm f (1,3 ) theo phương pháp nội suy tuyến tính , biết
1 2
1 ,
2
1
0 1 0 1
0
x x
x x
x x x
x
Thay x=1,3 vào ζ = 1,3 -1 = 0,3
→ f(x ) = f (x0) + ∆ f (x0).ζ = 2 + (5-2).0,3 = 2,9
Vậy f (1,3 ) = 2,9
DẠNG 5 : Xác định giá trị nội suy theo phương pháp Bensen
Công thức nội suy Bensen
2
1 ).
( )
Trong đó :
∆ f (x0) = f (x1) - f (x0)
ζ =
0 0
1
0 , x x , ' 1 1 x x
x
) ( ) ( 2 ) (
)
2
x f x f x f
x
Ví dụ : Tìm f (1,3 ) theo phương pháp nội suy Bensen, biết
Trang 5Ta có : 1
1 2
1 ,
3 2 1
0 1 0
2
1
0
x x
x x
x x x
x
x
Thay x=1,3 vào ζ = 1,3 -1 = 0,3 → ζ’= 1- ζ = 1-0,3 = 0,7
2 2 5 2 10 ) ( ) ( 2 ) (
)
2
2
1 3 , 0 ).
2 5 ( 2 ' ).
( 2
1 ).
( )
f
Vậy f (1,3 ) = 2,69