bộ câu hỏi chinh phục điểm 8, 9, 10 môn toán

Đường thẳng  có phương trình 3xy0 đi qua C và chỉ có một điểm chung C với hình bình hành.. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD biết đường thẳng BD đi qua điểm M  2;

ĐỀ BÀI

Câu 1 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A ( 2; 0) Đường thẳng

 có phương trình 3xy0 đi qua C và chỉ có một điểm chung C với hình bình hành Gọi 2 6; ,

5 5

H  K

  lần lượt

là hình chiếu vuông góc của B D, lên  Diện tích hình thang BHKD bằng 24

5 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình

bình hành ABCD biết đường thẳng BD đi qua điểm M ( 2; 6) và K có hoành độ dương

Câu 2 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (ABAC) Trên cạnh

AB lấy điểm I sao cho AI  AC Đường tròn đường kính IB cắt BC tại 60 15;

17 17

M 

  và cắt đường kéo dài CI tại (4; 1)

N  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết A thuộc đường thẳng 2015x2016y0

Câu 3 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )T Biết AC

vuông góc với BD tại E(1; 1) Gọi 5; 3

2

M  

  là trung điểm của AB và

30;

4

N 

  là điểm thuộc cạnh DC sao cho

3

CN  DN Viết phương trình đường tròn ( )T biết C có hoành độ dương

Câu 4 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn

( )T và C(1; 0) Biết tiếp tuyến của đường tròn ( )T tại B cắt AC tại E Gọi 1; 2

Câu 8 Khi chơi trò chơi con súc sắc có hai cách chơi như sau:

Cách 1: Gieo đồng thời 1 lần 4 con súc sắc, nếu xuất hiện một mặt 6 chấm là thắng

Cách 2: Gieo 24 lần 2 con súc sắc, nếu ở lần gieo nào cả 2 con súc sắc đều xuất hiện 6 chấm thì thẳng

Vậy nếu bạn là người chơi bạn sẽ chọn cách nào ?

Câu 9 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”cho các gia đình Ban tổ chức yêu cầu để

đảm bảo lượng dinh dưỡng thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit trong thức ăn hàng

ngày Biết 1 kg thịt bò chứa 800 đơn vị Protein và 200 đơn vị Lipit, còn 1 kg thịt lợn chứa 600 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit Mỗi gia đình chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn Giá 1 kg thịt bò là 100.000 VND và 1

kg thịt lợn giá 70.000 VND Kết thúc cuộc thi đã có một gia đình giành giải nhất khi khẩu phần thức ăn cho một ngày đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất có thể Hỏi gia đình đó đã mua số kg thịt bò, thịt lợn là bao nhiêu ?

xy y

y y

Câu 18 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 5a212abc16b227c2 60

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T a2b3c

Câu 19 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho x y z, , là các số thực không âm, thỏa mãn y2z2  0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 2

Bài 1 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A ( 2; 0) Đường thẳng

 có phương trình 3xy0 đi qua C và chỉ có một điểm chung C với hình bình hành Gọi 2 6; ,

5 5

H  K

  lần lượt

là hình chiếu vuông góc của B D, lên  Diện tích hình thang BHKD bằng 24

5 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình

bình hành ABCD biết đường thẳng BD đi qua điểm M ( 2; 6) và K có hoành độ dương

Giải:

Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD và A I', ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A I, lên 

Khi đó II' là đường trung bình trong cả hình thang BHKD và tam giác AA C '

Cách 2: Trình bày trong bài giảng

M(-2;6)

Δ:3x+y=0

I' A' K

I

H(-2/5;6/5)

B(?) A(-2;0)

Bài 2 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (ABAC) Trên cạnh

AB lấy điểm I sao cho AI  AC Đường tròn đường kính IB cắt BC tại 60 15;

Do A N, khác phía với MI nên phương trìnhMI :5x3y15 0 BC: 3x5y150

Phương trình phân giác NC của góc ANM thỏa mãn: 4 4 15 5 0

Do A M, khác phía so với NC nên NC có phương trình: xy 3 0

Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 3 0 0

1 1

4 3 2 1

Suy ra tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 0 5 (5;

Bài 3 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )T Biết AC

vuông góc với BD tại E(1; 1) Gọi 5; 3

2

M  

  là trung điểm của AB và

30;

I E

Do ABCD nội tiếp đường tròn nên  

Bài 4 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn ( )T

và C(1; 0) Biết tiếp tuyến của đường tròn ( )T tại B cắt AC tại E Gọi 1; 2

Ta có phương trình trung trực d của 1 DC là : x y 2 0

phương trình trung trực d của 2 MC là: 3x4y 1 0

Khi đó tọa độ tâm I của đường tròn ( )T ngoại tiếp tam giác ABC (hay ngoại tiếp tam giác MBC )

Do ABC vuông tại A, suy ra I là trung điểm của BC , do đó B(1; 2)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ngoại tiếp tam giác AEF lần lượt có phương trình:

2

1

D

M F

E

J

I

C B

A

x y

x y

Phương trình tương đương: 2 2 1  2  2  

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

+) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

+) Gọi là nghiệm chung của (1) và (2) khi đó ta có:

Vậy để phương trình (*) có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt trong

đó (1) và (2) không có nghiệm chung

33

22

11

m

m m

m m

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc

z xy

a x y z

Suy ra f t '( ) 0,   t 0 (2*) Từ (*) và (2*) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình f t ( ) 0 có 2 nghiệm trái dấu

Vì ứng với mỗi giá trị t , cho ta duy nhất một bộ ( ; )x y

Do đó hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm

Bài 8 Khi chơi trò chơi con súc sắc có hai cách chơi như sau:

Cách 1: Gieo đồng thời 1 lần 4 con súc sắc, nếu xuất hiện một mặt 6 chấm là thắng

Cách 2: Gieo 24 lần 2 con súc sắc, nếu ở lần gieo nào cả 2 con súc sắc đều xuất hiện 6 chấm thì thẳng

Vậy nếu bạn là người chơi bạn sẽ chọn cách nào ?

Gọi A là biến cố “ được ít nhất một mặt 6 chấm” trong phép thử “ giao đồng thời 1 lần 4 con súc sắc” 1

Khi đó A là biến cố “ không được mặt 6 chấm” trong phép thử “ giao đồng thời 1 lần 4 con súc sắc” 1

Suy ra xác suất :  

4 1

1

1

( ) 5.5.5.5 5( ) 6.6.6.6 6

Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện 2 mặt 6 chấm” trong phép thử “ gieo 24 lần đồng 2 con súc sắc” 2

Khi đó A là biến cố “không lần nào xuất hiện 2 mặt 6 chấm” trong phép thử “ gieo 24 lần đồng 2 con súc sắc” 2

Suy ra xác suất :  

24 2

2

2

( ) 35.35 35 35( ) 36.36 36.36 36

Bài 9 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”cho các gia đình Ban tổ chức yêu cầu để

đảm bảo lượng dinh dưỡng thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit trong thức ăn hàng

ngày Biết 1 kg thịt bò chứa 800 đơn vị Protein và 200 đơn vị Lipit, còn 1 kg thịt lợn chứa 600 đơn vị Protein và 400

đơn vị Lipit Mỗi gia đình chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn Giá 1 kg thịt bò là 100.000 VND và 1

kg thịt lợn giá 70.000 VND Kết thúc cuộc thi đã có một gia đình giành giải nhất khi khẩu phần thức ăn cho một ngày

đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất có thể Hỏi gia đình đó đã mua số kg thịt bò, thịt lợn là bao nhiêu ?

Giải

Gọi x y, lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà một gia đình tham dự cuộc thi đã mua Khi đó:

+) Số đơn vị Protein đã dùng là: 800x600y (đơn vị) +) Số đơn vị Lipit đã dùng là: 200x400y (đơn vị)

Theo giả thiết thì

Chi phí bỏ ra để mua nguyên liệu là: T x y( ; )100000x70000y (VNĐ)

Lúc này ta cần tìm x y, thỏa mãn (*) để T x y( ; ) đạt giá trị nhỏ nhất

Trong mặt phẳng Oxy ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa các điểm M x y( ; ) thỏa mãn điều kiện (*)

Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 107000 VNĐ khi x 0, 3 và y 1,1

Vậy gia đình giành giải nhất đã mua 0, 3kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn

Giải

Điều kiện :

140

       thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 1 1;

Suy ra f t( ) đồng biến với  t 0; 4

y y

x x

Thử lại ta được nghiệm của hệ là ( ; )x y (0; 2)

 Cách 1 (Nguyễn Thế Duy) Biến đổi (1) ta được:    2   

Từ (2*) và (3*) suy ra: y  1, khi đó x  thỏa mãn hệ 1

Vậy nghiệm của hệ là ( ; )x y (1; 1)

 Cách 3 (Vũ Đức Tùng) Ta có 2 2

(2)x(3y 2)2y 1

2 2

y x y



 (3) với

2 23

y 

Với điều kiện 1x2

2 2



 Thay (3) vào (1), ta có:

2 2

2 2 2

55

5(1)

55

55

Thay vào (3) ta được nghiệm của hệ là: ( ; ) 5 7; 5 7 , 5 7; 5 7

Với a0;b1;c2 thỏa mãn điều kiện đề bài và P  Vậy giá trị lớn nhất của 3 P bằng 3

Câu 18 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 5a212abc16b227c2 60

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T a2b3c

2 2

(15 )(20 )0

 Với ab  thỏa mãn điều kiện bài toán và c 1 T  Vậy giá trị lớn nhất của 6 T là 6

Câu 19 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho x y z, , là các số thực không âm, thỏa mãn y2z2  0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+) Với x  , biến đổi và áp dụng AM – GM ta có: 0

+) Khix1;y0;z thì 2 T  52 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 52

 Chú ý : Vì điều kiện bài toán cho x y z, , là các số thực không âm, nên nếu các bạn biến đổi và đánh giá luôn:

yz  x yz  xyz sẽ bị trừ điểm (lí do biến đổi trên không chính xác nếu x  ) 0

Vì vậy để “tránh” x  không đúng cho bước biến đổi trung gian trên, các bạn có thể tham khảo cách trình 0

bày ở phần lời giải

Câu 20 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn xy0 và 2 2 2

2

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 2

x y z

P f t   Dấu “=” xảy ra khi t  , suy ra 2 xz và 1 y 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 5