Đề Thi toán chuyên khoa học tự nhiên có giải chi tiết THPT quốc gia

Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC... Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.. b Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Đề 1 Câu 1 ( 2 điểm ) Cho hàm số y x 36x29x 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :

Câu 5 (0.5 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và  SAC cùng vuông góc với 

đáy ABC , cạnh SB tạo với đáy một góc 60 o

, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, 

BCA  Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

Câu 6 ( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng  P đi qua 2 điểm A  1;2;1, B3;4; 1 và song song với đường thẳng CD trong đó  C3;1;2,

1; 1;4

Câu 7 ( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A   , trực  2; 1

tâm H 2;1 và độ dài cạnh BC 2 5 Biết trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng

d x y  Viết phương trình đường thẳng BC

Câu 8 ( 1,0 điểm ) Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng :

a b b c b c  a b b c a c    

Hướng dẫn giải đề 1 Câu 1 ( 2 điểm ) Cho hàm số y x 36x29x 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :

 x36x29x 4 m36m29m  4 a  * là phương trình hoành độ giao điểm của

 C y x 36x29x và đường thẳng 4 y a Dựa vào đồ thị của  C , để  * có 3 nghiệm phân biệt thì 4   a 0

a b  cho trước

Hướng dẫn

a) Cách 1 : áp dụng công thức :

2cotxtanx2cot 2x 3 ,

 2cos2xsin2xcos 2x 3 sin cosx x

x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Vậy ta có thể làm như sau :

Đât là dạng cơ bản có trong cuốn : rèn luyện kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình dưới sự

hỗ trợ của máy tính casio của Châu Thanh Hải Trong group đã có Mình sơ lượt như sau:

00

yx

Câu 5 (0.5 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và  SAC cùng vuông góc với 

đáy ABC , cạnh SB tạo với đáy một góc 60 o, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, 

BCA  Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

Câu 6 ( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng  P đi

qua 2 điểm A  1;2;1, B3;4; 1 và song song với đường thẳng CD trong đó  C3;1;2,

1; 1;4

Câu 7 ( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A   , trực  2; 1

tâm H 2;1 và độ dài cạnh BC 2 5 Biết trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng

d x y  Viết phương trình đường thẳng BC

Câu 8 ( 1,0 điểm ) Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng :

Đề 2 Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số y x 33x2 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b) 1;M m là một điểm trên đường thẳng x = 1, hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua  

n n

Câu 6 : (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;1;2 và đường thẳng

Câu 7 : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường

tròn ngoại tiếp E 1;3 , phương trình cạnh BC : x – y + 1 = 0, phương trình đường phân giác trong AD: 2x – y +7 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A

Câu 8 : (1,0 điểm) Cho các số , ,a b c  , a + b + c = 2 Chứng minh rằng : 

Hướng dẫn giải đề 2

Đề 3 Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số y x 4m1x2 m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Câu 2 : (1 điểm)

a) Giải phương trình : cosxsinx 1 2cosxsinxcosx

b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn : 2z z   7 4i

Câu 3 : (0.5 điểm) Giải phương trình : log 12.163 x3.12x2x 12

Câu 4 : (1,0 điểm) Giải bất phương trình 5 3 1 x2  x 4 1 x 3 1 x

Cậu 5 : (0,5 điểm) Tính tích phân 4

0

1 sincos

Câu 6 : (1,0 điểm) Đáy của hình chóp S.ABCD là hình thang vuông ABCD (vuông tại các đỉnh

A và D) với AB = AD = a , CD = 3a Cạnh SD vuông góc với đáy và SD = 2a Một mặt phẳng

 P vuông góc với BD tại B và cắt hình chóp đó thành hai phần Tính các thể tích đó

Câu 7 : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho tam giác ABC mà A(3;2), đường cao kẻ từ B có phương trình là x + 2y + 4 = 0 và phân giác kẻ từ C là trục Ox Viết phương trình đường thẳng chứa ba cạnh tam giác ABC

Câu 8 : (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho đường thẳng : 1

 Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua Oz và tạo với d một góc 45o

Câu 9 : (1,0 điểm) Gọi A là tập các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7 Chọn ngẫu nhiên 2 số trong tập A Tính xác suất để 2 số chọn ra có tích là số chẵn

Câu 10 : (1,0 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn a b c   và 0  2  

a b c



Đề 4

Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số 1

2

xyx





  C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m để đường thẳng đi qua  d có phương trình y = x + m cắt đồ thị hàm số  C tại hai điểm phân biệt A, B mà AB 2 2

Câu 6 : (1,0 điểm) Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một thang vuông (vuông tại các đỉnh

A và D) có AB = AD = a , CD = 3a Cạnh SD vuông góc với đáy và SD = 2a Một mặt phẳng

 P vuông góc với AD tại trung điểm M của đoạn AD, cắt hình chóp thành hai phần mà thể tích

là V và 1 V Tính diện tích thiết diện và tỷ số 2 2

Câu 8 : (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt cầu  I có phương

x  y  z  Viết phương trình mặt phẳng  P qua Ox và tiếp xúc với

 I

Câu 9 : (1,0 điểm) Giải phương trình x1 x 2 2x 1 x x 2 x 4

Câu 10 : (1,0 điểm) Với các số thực dương thoả mãn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Đề 5

Câu 1 : (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

xyx





  H a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị  H

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của hàm số tại điểm M song song với đường thẳng y3x 1

Câu 2 : (1,0 điểm)

a) Giải phương trình : sinxsin 2x2cosx 1

Câu 6 : (0,5 điểm) Một lớp học có 3 tổ, tổ một gồm 6 nam, 4 nữ; tổ hai gồm 5 nam, 5 nữ; tổ 3 gồm 6 nam, 5 nữ Tính xác suất để Thầy giáo gọi 3 bạn lên bảng có cả nam và nữ và mỗi tổ có đúng 1 người

Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua hai điểm A1;1;1 và B1;0;2 và cách điểm C2;1;3 một đoạn là 3

Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn

    2 2

C x  y  có tâm 9 I và điểm M 3;2 Viết phương trình đường thẳng  đi qua

điểm M , cắt  C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :

Hướng Dẫn Giải Đề 5

Câu 1 : (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

xyx





  H a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị  H

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của hàm số tại điểm M song song với đường thẳng y3x 1

Câu 2 : (1,0 điểm)

a) Giải phương trình : sinxsin 2x2cosx 1

 Chia đa thức

 Đồng nhất thức

 Đặt ẩn phụ : Lô – Mũ – Căn – Mẫu – Mập Theo thứ tự ưu tiên như trên thì ta hoàn toàn

có thể biết cách đặt ẩn phụ cho phần tích phân này, lưu ý là dạng đặt ẩn phụ lượng giác không áp dụng cho câu thần chú này

 Từng phần : Lô – Đa – Mũ hoặc Lượng Theo thứ tự ưu tiên nếu thấy tích phân là một tích bao gồm 2 trong số 3 phần này thì làm từng phần

Theo nguyên tắc trên ta có u lnx 1

Câu 6 : (0,5 điểm) Một lớp học có 3 tổ, tổ một gồm 6 nam, 4 nữ; tổ hai gồm 5 nam, 5 nữ; tổ 3 gồm 6 nam, 5 nữ Tính xác suất để Thầy giáo gọi 3 bạn lên bảng có cả nam và nữ và mỗi tổ có đúng 1 người

Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua hai điểm A1;1;1 và B1;0;2 và cách điểm C2;1;3 một đoạn là 3

Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn

    2 2

C x  y  có tâm 9 I và điểm M 3;2 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M , cắt  C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Ta có 5

5x  1 2,

7

7x  2 3,  đều là các hàm nghịch biến nên x f x là hàm nghịch biến  

Suy ra f x nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất  

Mà f 2  nên 0 f x      0 x 2 y 3

Vậy hệ phương trình đã cho có các cặp nghiệm 1

2

xy

xy

Đề 6

Câu 1 : (2,0 điểm) Cho hàm số 1

2

xyx





  H a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  H

b) Chứng minh mọi tiếp tuyến của  H không đi qua giao điểm hai tiệm cận

Câu 5 : (1,0 điểm) Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một thang vuông (vuông tại các đỉnh

A và D) có AB = AD = a, CD = b, với b > 2a Cạnh SD vuông góc với đáy và mặt bên SBC 

hợp với đáy một góc  Chứng minh rằng các mặt bên SAD ,  SCD ,  SAB là các tam giác 

vuông, mặt bên SBC không vuông và tính thể tích của khối chóp 

Câu 6 : (1,0 điểm) Các điểm E 4;3 , D  3;2, K0; 1 lần lượt đối xứng với trực tâm của 

tam giác nhọn ABC qua AB, AC, BC Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh tam giác

Câu 7 : (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng  P có phương trình 2x + y – z = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của trục Oz trên mặt phẳng

 P