Đề thi khối A năm nay có 7 điểm đầu tiên rất cơ bản và không khó, tuy nhiên câu hệ phươngtrình lại là một câu rất hay. Điểm then chốt để giải bài toán này là biến đổi phương trình 1 (PT1) từ đórút được x y 12 . Với cấu trúc vế trái (VT) của PT1 ta có thể dùng đầy đủ các phương pháp giảinhư: Đại số; hình học; lượng giác và giải tích. Sau đây người viết xin đưa ra 10 cách giải quyết cho bài
Trang 110 CÁCH GIẢI QUYẾT CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2014
Người viết: Cao Văn Tùng (giáo viên Toán - Trường THPT Lạng Giang số 2)
Đề thi khối A năm nay có 7 điểm đầu tiên rất cơ bản và không khó, tuy nhiên câu hệ phương trình lại là một câu rất hay Điểm then chốt để giải bài toán này là biến đổi phương trình 1 (PT1) từ đó rút được x 12 y Với cấu trúc vế trái (VT) của PT1 ta có thể dùng đầy đủ các phương pháp giải như: Đại số; hình học; lượng giác và giải tích Sau đây người viết xin đưa ra 10 cách giải quyết cho bài toán này
Câu 8 (Đề thi đại học khối A, 2014): Giải hệ phương trình: 2
3
.
Cách 1: Đưa PT1 về phương trình đẳng cấp
Điều kiện xác định
2
2 12t212x2 12xt
xt
3
2
2 2
2
2 9
x
x
2
x
x
do x t 0 nên 2
2
x
x
Từ x = 3 suy ra y = 3 Khi đó x t; 3;3 nên xt912 thỏa mãn bài toán
Vậy nghiệm của hệ là x y; 3;3
Cách 2: Phương pháp nhân liên hợp
Từ PT1 của hệ ta biến đổi như sau:
2
2
12
Trang 2Cộng từng vế của PT1 và PT3 ta có: 2 x 12 y x2 12 y x 12 y 2 0
2
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
0; 0 2
Từ hệ ta rút được điều kiện: 2y12; x212 với điều kiện này có
12 12 12 0 12
12 12 12 12 12
lý, vậy x0
Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 2
2
12
12
2
2
12
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Cách 4: Dùng BĐT Côsi kiểu 2: 2 2
Đặt t 12y , khi đó y12t , thế vào PT(1) ta có: 2
2
12 12 12
đây có thể bình phương đưa về đẳng cấp tiếp hoặc dùng bất đẳng thức Côsi như sau:
12xt 144 12 x t xt 14424xt xt 12xt 12xt
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Cách 5: Dùng BĐT Bunhiacopxki
Đánh giá vế trái của PT(1) ta có:
x y y x x x y y , nên VT12, dấu “=” xảy ra khi:
2
12
12
y y , đến đây có thể giải như sau:
Trang 3- Cách 5.1:
2
12
y
sau đó xét
hàm số 2,
12
t
f t
12
f t
hàm này đồng biến, khi đó
2 f x f 12y
2
x y y x
- Cách 5.2: Đặt t y khi đó 1 trở thành 2 2 2
2
12
12
t t
xt x t xt x t x y y x
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Cách 6: Dùng lượng giác
Trước hết chỉ ra x0;y0 (Theo cách 2) Từ PT(1) ta đặt như sau:
2
12 cos ; 12sin
2
u v , thế vào PT(1) ta có:
12 12 12 12 cos 12 12sin 12sin 12 12 cos 12
2
u v nên u v ;
12sin 12 12 cos 12
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Cách 7: Đặt 3 ẩn phụ mới
Đặt 12x2 u2u0 ;12 yv2v0 ; yw w2 0 ta có:
12
12
uw
w w
xv
v
2
12
12
w
w
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Trang 4Cách 8: Hình học (Cách 1)
Vế trái của PT1 rất giống tích vô hướng của hai vectơ vậy ta nghĩ đến hướng giải sau:
,
a b x y y x là VT của PT(1) (*)
a b là VP của PT(1) (**) Trong hình học bao giờ ta cũng có BĐT hình học về vecto là :
a b a b , thực vậy: từ
cos ;
a b a b a b cos ;
a b cùng phương
Từ (*) và (**) ta có :
a b a b vậy ;
a b cùng phương hay
a k b , mặt khác 12
a b nên k 1
Với k 1 ta có
2
12 12
vô lý vì 2
12 x ;y đều dương
2
12
12 12
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Cách 9: Hình học (Cách 2)
Viết lại PT1 x 12y y 12x2 12 nhận thấy x212x212;y12y12 nên các điểm 2
; 12 ;
: 12,
C x y có tâm là gốc tọa
độ O0;0, bán kính R 12
Để ý VT của PT1 chính là:
OM ON , mặt khác M N; C
nên ta có:
OM ON Suy ra cos ; 1
2
12
12 12
,
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
Trang 5Cách 10: Phương pháp hàm số
f x x y y x , coi là hàm số ẩn x và y là tham số Từ PT1 ta rút
được
2
0; 2 3 0
x
x
12 12
x y xy
x
;
2
12
x y
x
x y y x x y yx y x y x (1)
'
3 2
2
12
x y
Do vậy hàm số f x là hàm lồi, từ đó ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có f x 12, mặt khác từ PT1 của hệ ta có f x 12 do vậy dấu “=” xảy ra từ
Đến đây ta giải tiếp như cách 1
