THỢ CƠ KHÍ TOÁN HỌC ( GIẢI TOÁN BẰNG TRỰC QUAN VẬT LÝ)

s|c'i| Tl-|||§'.u Thét tinh c6 mét trong nhung phél kién loén hc_c vT dai nh§l mqi thbi dai |e_1i duqc dén dét bdi truc Quan vél ~ George Polyn, néi dén k|1é|np|1c\'m Archimedes vé phép

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I

THU ,

THE MATHEMATICAL MECHANIC: USING PHYSICAL REASONING

Copyright © 2009 Princeton University Press All rights reserved.

Ban tiéhg Viét © NXB Tré, 201 I.

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Levi, Mark

Tho ed khi tozin hoc — Gizii loan bang lrt_1'c quan vat ly I Mark Levi ; Huy Nguyen dich.

- T.P H?) Chi Minh : Tré, 2011.

240 tr ; 20cm - (Canh elm m6 rong) Nguyen ban : The mathematical mechanic.

l Vail 1y loan hoe I Huy Nguyen II Ts: The mathematical mechanic.

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THU ,

The Mathematical Mechanic

MarkLEV|

lluy Nguyin d_/‘ch

Muc lL_1c

1 G101THIEU

2 DINHLY PYTHAGORAS

3 cucTlu 1/AcucDAI

4 BAT DANGTHUCc110 B61 DO/KN MACH

7 s1’JDUNGc0110cmiTi1\111TiCHPHAN

8 PHUONGTRiNHEULER-LAGRANGE THONG QUANHUNGLOx0KEO CANG

9 THAUKINH, KINHVIEN VQNG,

VAcoHOCHAMILTON

10 c/11 BANH XE DAP

VADINHLY GAUSS-BONNET

11 BIEN PHUC THAT LA DONGI/\N

PI-IU LUC: 1<111:'1\1 THUG VAT LY ci\1\1'T11111:'T

TAI LIEUTHAMKH/\O

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Thét tinh c6 mét trong nhung phél kién loén hc_)c vT dai nh§l mqi thbi dai |e_1i duqc dén dét bdi truc Quan vél

~ George Polyn, néi dén k|1é|np|1c\'m Archimedes

vé phép lfch phn

1.1T02’1n hQc d6id§1u Vélt13?

Tré lai théiLién bangX6 vifitnhungnm du thzip kj?

1970, lép citnhn chilng téi—g6m khoéng40 sinh vién

némhaingémhtoém vél 13?,duqc huydéngdilaodcfmgmila

hé6miénqué Céngviéc ca chtmgtéiléltrén bé-téngv51

dungcéc xi-16taim(f)ttrongcécnéngtrangtzflp thé'tz_1idéy.Bantéi Anatolev€1téiducycphém céngxflc séi Céngvifec

aicflngcéthé cémthéiytrong hoimcénh dé).Anatolethcochuyén ngénhvzfit 1ycéntéi thichuyén toén Nhu nhirng

kéhém mi)hai(1‘(f)ituyénd6ikhé1ng,m5ichlng téirasire

thuyétphL_1cngufri cén lairng linhvuc ca minhuuviét

hon.Anatolenéi métcéchqué qL1y6tr5ngtoénhc_>c 121dy

5

térca v2f1tlv.T6iphan phao rang toan hqccéthét6ntaibat

chéip vat Iv cén vat Ivthikhéng T61néi thém cacdinhIv

lavinhhang Cacgiathuyé't vat Ivthihéft dtlngréisai.Dil

vaytéidakhéngchoAnatolebié'ttruécrang Iv dotéi chqn

chuyénnganh toanhoc ladérénluyéncai céng cuc6tyé'u

cho vat13? —linhVL_l’Cmatéi dutinh sé theodu6i saunay

'l‘ht_1'c ra,milahétruéckhivao daihc_>c,téi ciatinh ct‘)gap

thy vatlvca minh Ong dahéivé cat:dL_rtinhcilatéicho

hoekymtla thu “Batdauchuyén nganh toan ca em",téi

(mp “G1 co?Toan?Anhkhvllng r61!” Ongdap lai.Téi coidc’)

nhu' m{)t101khen (va06lé xacnhanquandiémcla éng)

1.2 Quyén sach nay néi vé diéu gi

Daykhéng phaila“mtjttrong nhfrng cu6n bia mém,t0,

(lay,dL’1dégiétthri gianqua hai mttagit’),mané'udu'Qcném

lhfnngtaythisékhiénmétcontraunudekhuyu g6i” (NancyBanks-Smith, nhaphé binh truyén hinhngudi Anh) Véi

kich thuécnhé ca n6, cu6nsachnaysékhéng hagucduqc

ai, it ra khéngthé ha gL_1c ai bang tac déngvatIvca né

'l‘uynhién, cu6nsachthucsL_1'lamétdén giangtré—haycéthéchi litmétcL'1chich ch6ng lai quan niémchorangtoan

luc (xin l6i cacnhavatIv) Nhfrng3?tuéngvat Ivcé thé la

vtuéng khaimi’)thucthuvagqi ral(‘7igiai cuekvgiandon

chométbai toan toanhQC.Hai ch thénay gan bé khang

khitdffnn6ica haiséchiu t6n thatnéubitachrfyi.Su(T161

vai cé thé rat hiéu qua, nhucu6nsach nayminh chirng

6

Hoantoanco thétranhcaixem viéc tachhaibi)monnay

racolamoteai giquanhantao hay khong*

D1'é'm quaIjch sti Cach giai toan bang true quan vat ly

it nhat co ttrthoiArchimedes (khoang nam 287 tr CN—

khoang nam212tr CN) Cngdachtrngminh dinhlytich

phann5i tiéngvé the:tich hinh trL_i, hinhcauvahinhnon

bang cach sirdung matcai canthangbang gia tuong Ban

tom tat ciia dinh ly nay duockhae lén bia ma ca ong.Cachtiépcanca Archimedescothéduoctimthay trongcuon [P].Doivoi Newton, haichL"1dénayv6n1amat.Cac

cu6n [U]va [BB] trinhbaynhfrngloigiai vatly ratdepcho

cac bai toan toan hoe Rat nhiéu nhfrng phat kién toan

Mobius, Grassman, Poincare) daduocdandat tunhung

suy xétvat1y.

vatIy?Nhu voicong cubatky,vatchat haytinhthan,each

tiép can nay co khi t6tva co khikhong Kho khan chinh

phiihop voieachgiainay,mat56khacthikhong(c6nhién,eu6n sach nay chi bao gom dangthL'r nhat) Tim ramo

* “Toan hoc la mat nhanh ea vat ly ly thuyé't noi ma phan thuc nghiém la ré

tién" (V Arnold [ARN]) Khong chi cac thi nghiéin lrong cu6n sach nay la

ré lién — tham chi con mién phi, ma thirc chat la cac lhuc nghiem gia tubing (bai toan 2.2; 3.3; 3.13, vii (hire ra hau heft cac bai loan lrongcuan sach nay).

bday chiing ta lam nguqc lai.

7

phéngvefit 1}?cho mcfat béli Loémcu thécékhidédé1ng,vé1cé

khikhéng;ngudi dcccé thécé 3?kién riéng ca minhsau

khi ludtquanhfrng trangséchnéy

Mét béi hcc mémcfnsinh viéncéthé rL’1trattrviéc(1‘Qccu6nséch nélylétim kiém mét 37nghiavzfxt 1y trong toén

hQc 151rt céich

SL1chgitchéclia toén hpc Lép luémvét13?ca chtlngtasé

khéng hoéntoém chefltché.Nhfrngleflp luzfmnéychi151phécthéo ca nhfmgchtrngminhchefltché,C1‘u'Qc di?-zndatbeing

ngén ngfr vét1y.Téicéchuyénngfr“chL'mgminh”vét13?thélnh

chirngminhtozinhqcchomcfmt véli bélitoén chQn1(_>c.Lémviéc néy métxcéch ct’) héth6ngsé biénquyé'n séch thimhmétphoséch“t0,dély vélchélnngzit".Téihy vqngngudidcpc

xir1)?nhfrngtrufmghqp météid€1b6 qua.V('rilcritr§1ntinh

nély, téicéim thy bétélynéytrongviéc sir dc1ngttr“chL’rng

Diémch6t('7déy151 lélp luefln vz_“1t 1ytréthémhcéng cudé

khém phévél dé cé m(f>t truc quan séus€ic ~hai buéc ditruéctfnhchzfltchécflatoénh(_>c.Nhu Archimedesdéviét,

“Duong nhiénviéc thiét lép mét chtrngminh sé dé délng

honnhiéu néutru'()c C16dacé ngudin€imduqc khéi niém

s0khéi ca béli toézn”. ([ARC], tr 8)

Métcéchtiéjvcénr6réng.Thay viphién dich“chL'1'ngminh"

vét13?thémhchtrngminhch2f1tcl1é,viécthié'tlé1p cé héth6ng

“célc tiéndé thL_1'ccht" cé lésé 151 m(_”)tduz'1nthL'1vi.Déysé

nhucélc tién déhinhhoc/s6 hoc ca Euclid méltrongdé

8

cécchtmgminh duqc cho 6trong cu6nséchnéxytrénénchitché.

Tathétufmg tuqng métnén vénminhngoéxitréidéit mix

6déngudiLaphéttriéncohQctrufyc,nhu métbi)méncheflt

ché véthun mymangtinh tién dé Trong thé'giéisong

hénhnziy, m(f)t ngudinéodc’) Gitdé vié'tmét cu6nszich vé vif;-csirdunghinh hoeC16chtrngminhcéacdinh1ycohoe.C6théb€1ihQc6 déy121con ngudi khéngnén hoéntoéln

néncoi dé nhuhaimzfitca m(f)td6ng xu Cu6n séchnéay

151mét phén(mgch6nglz_1i suthé0 khé ph6 bi6n d6i véi

So'1uQ'cvé témIyhpc Nhng céch giéi vét 13? trong cu6n

séch nély cé thé ducyc dién dich ra ngén ngfr toén hqc

dién dich Truegiéc 00 hqc121m()t thuéctinh cobén ca

trituéconngufyi, cng cobénnhukhénéngtuéng tuqng

hinhhqc,khéngsirdung chnnglé léingphim<f)tnénglucmanhmé mé tacc’).C0hQc151hinhhocvéi diém nhn vélo

chuyén déngvé tié'pxL’1c.@hai khiacanhsau,co hqc cho

tam(f>t chiéu kich cém nhzfxn b6 sung, cho phép ta quan

séttoénhQctitmétgécdékhéc,nhuduqc miéutétrongcu6nsélchnay

Quyluéttié'nhéa déngbufin windangtfintai.Khénénglélp

hqcnén téng,titArchimedes,dé'nRiemann, dén Poincaré,

védéntzfinhémnay Tuyvzfly, khimcjtchflthé phzittrién,

khé néng13?giéitunghiémbichimvéo quén lang Két qué

Q

lasinh viénthung khéngcéduqcnéntangtrucquan ca

cacmén hqcmah(_) theoc'1‘u6i.

D61’tupngca cu6nsach.NéfubancéhimgthL'1véitoanl'1QC

vavatly,téihyvQngbansékhéngquzilngcu6nsachnay di.Cu6n sach naycé thé thtivi véi nhtrng aixem nhfrngdiéusauday lakythljiz

~ Dinhly Pythagorascéthéduocgiaithichbangdinh luat

bao toan nanglu:Q'ng.

~ Déngméicéngtéictrongmcjt machdiéndongiénchfxng

minhdu'(_rcbat dangthL'1'c \/Z1; 3 %(a+/1).

- Méts6bai toén giaitich'phL'1'ctapcc’)thé duqc giéi quyét

dédangmakhéngcanmétphéptinhnao

- Khao satchuyén déngcia banhxedapdéchirngminh

duoc céng thtrc Gauss-Bonnet(giadinhlakhéng déi héi

ngufyidoccésu am tufyngdétainay; tatcahiéubiétcoban déu(1‘u'Qccung cap)

~ ca céng thL'i'c tich phan Riemann Ian dinh ly anhxa

Riemann (déu duqc giéithich(rcacmucthichhqp) Ciéu

hiénr6m6n métbangeachquan satchuyén déng ciia

lu'uchat

Cu6n sachnay sé léicu6n béit ctr ai mu6n timhiéu vé

hinh hoc hay cohcpc hoac nhfrng ai khéngtimthfiy himg

thii véi toan hqc béivi ho cho rang né qua khé khan haynham chan

" Nguyén van: calculus vita cé nghia 1:1 giai iich, vita cé nghia la phép iinh

-N.D.

IO

S1?dung trongkhéahQc.Ng02‘1iviéclé1mén2“1ntinhthz‘m b6dufyng,cu6nséchccncéthé duqcdilngnhu'méttéailiéub6

sungtrongcélckhéahccvégiéitich, hinhh(_)cvéb6i dudng

giéovién.Giéosurtozinviivefxtlycc’)thétimLhéiyminvéxibéi

2 Clffn chuong 5) chidci héi giéi tich vélhinh1’1(_)C socp

véidckhé duqc giir6ndinhsu6tcé1cchucmgnéxy, véimf_>t

véidét bi6n ngoailé.Chuong6 v51 7chiyéu cu nguéidoc

biét s0qua dao h€1m veiltichphén Cu6i chuong 7téi c()

dé capsu€{ttiéutén,nhung khéngamhéi nhfrng hiéu biét

séuséc.Chuongnély béitctr aidéilélmquenvéigiéi tichso

céipcng céthétiép cémduoc

Phn thirhai(cécchuong6 dé'nchucmg11)cé dt1ng(dt1

hiém khi) métvaikhéi niémvégiéitichda bié'n,nhung:01

trénh dimg nhiéuthuzfitngfr,hyvqngringtrucgiélc sé giL'1p

ban dcc vuqtquaducqccécrélo cén kythuzflt.

trongph1._11L_1c; né duqctrinhbaydéphucvunhfrngngufyi

thiéukié'n thtrcnén téng

Tacé thé dQc séch tirngphn mcfnt hayttmg béli toém

trangn2‘1y,ch yéfuxuéithién 6 nhfrng chuongcu6i

Ngun tziiliéu Theonhutéibiétkhélnhiéu, tuy khéngphéi

toém bf), cécldigiéitrongséchnéy léméi Chlingbao gém

101 giéi chocélc béi toén2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.13, 3.3, 3.7,

3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21,5.2, 5.3,

ll

(i.I,6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 7.1 vé 7.2 Cécm6phéng6chuong8

vii('7 ceicmuc9.3, 9.8v51 11.8cfingcf)thé lémévi.

Khéngcc’)nhiéutéiiliéu lién quandé'nch déca cu6n

szich néy Khi téi cénhcpcph6 Lhéng, mét vi du timthéylrong cu6nséchca Uspenski dagéyn tuqngchot<')i dé'n

n6i chiidénéiydétréthéinhniém dam mé*.Thém nhiéu

Kogan[K],ci1a BalkvéiBoltyanskii [BB],véltrong chuong9

Iii ca cu6nszichcC1aP0lga [P]. Nguéng6c ciia nhfrngbéii

toén néycng nhu'léd giéiiciianél€1céngtrinhc6 tit24 théf

ky trufyccia Archimedes [ARC]

t02'1n hQc

B511toén Cho badifimA, B Ctrén mét phng, tim diémX

sao cho tfingcélckhoéingcéch XA+XB+ XCl€1nhénht

{TO} cimg v(ri vi di_i n€1y 151 viii vi du [)6 sung rift I61.

12

Céchtic-3})cénvétlf.Tabéitdu bimgviéckhoanba lot2_1i

tuéng hoéc né duqc thuc hién 6 nhémétngufyiban véimut

dichtif-itkiém chi phi).Saukhic(_)tba soi déylaivfyi nhau,gqi dé151 diém chungX, téi lu6nttrng scyi m<f)txuyén qua

m6i16khécnhauvéltreo véocécqué néngphia duéibén,

1;thénéng ca sqi déythirnht khidé151AX:thL_rc vefly,dékéoXtix16Atéivitrihién taica Xtaphéinéng quénzfmg

don vi lénmét khoéngXA Ta dégén t6ng khoéngcélch

XA +XB +XCmét3?nghiavefitIv1:1thénéng.Béiygid, né'u

khoéngcéch/n:§1ngluc_mgnéy151cuetiéu,hésé6trang théi

can bimg.Khidé, bf)baluccéng déy técdunglénXccfmg

laisébéngkhéngvédo déchtmghqp thélnhméttam giéc(thayvilé1chi huéngrdirac) né'uduqc détg6c-n6i-ng(_>n,

nhucho thiy tronghinh 1.1(b) Tam giéc néy lé tam giéc

huéng chi duongca cécvéc tonéy151 120°. Ta dé chi ra

ring LAXB= LBXC I LCXA= 120° '

L01‘gizii toén hoc Coi a,b,cvim x, ln luqtlékvhiéu cilacécvéctovitrica cécdiémA, B, CvixX.Taphéit6ithiéuhéaténgcla cécdg“)dé1iS(x)=|x— a]+|x — bl+[x — c

Dé cé diéu dé, ta cho céc d2_10 héim riéng phn ca S

béng khéng: ‘= -5= 0, trongdéx=(x,y),hay dién giéi cng

8,\ By

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+|x-al Ngudi dich sfra lzii cho phi: hqp v(yi téng thé béli l02'1n.— ND.

1’)

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gradient vs = 0.Béygifr tatinh VS

ca né muon titcéch tié'pcanveit 13?, don gién lélL_1'cméX

kéo céngdély L€iydao hzim hai s6hang |x— b|vé |x— c|cénlaitrong t6ng Sta thuduoc VS=ea + 0,, + e(_, trongdéeh via

ea ducycdinhnghia tL1'0'ng tunhuea. Tak6tluzfanrng vitri

baitkyca tamgizicdéchinhlé gécnémgifraczfapvéctodon

vi béitky, bang 120".

Theflt 13? thL'1khiquansaltthéiycélikhékhn thay hinh df

dang khi tachuyén titczich tiép czfin néysang céch khéc.Trongléigiéi toén h(_>c, céng viéc taflptrung vélo thL_rchiénméts6thao téc dangthL'1'c.Trongldigiéivefxt 1y,céng viéctép

trungvéot2_10ramétm6hinhvétI37philhqp.Céch tiéipczfan

nélylé mélumuc chonhiéubélitoénkhélctrong cu6nséch

14

1.4 Ldi cam on

Cu6nséchnayhn dakhéngradfriné'ukhéng nhddiéu

chatéidéinéikhitéimuéri sau.TéichoOngxemmcfntnghich

lyvatlyxéydénvéitéi, vaéngnéiz“Taisaoconkhéngviét

nérava khéridu métbf)suu tap?” Cu6nséchnaychinhla

phn duqctrichd§nti1'b(f)suutapdé,vé'imétvaithémthéit.

Ratnhiéuban bé va déngnghiép ca téi dadénggép

cu6nséchbangnhfrnggQ'iyvaldikhuyén.Téidacbiétcém

cmAndrew Balmonte,AlainChenciner,CharlesConley,PhilHolmes, Nancy Kopell, PaulNahin, Sergei Tabachnikov,

vaTadashi Tokieda,nhdvaosukhichlécilahomabf) suu

tap dz duqc déo gotthanh mcf>t dang chinchu Ban than

téidacbiétbiéitonAndyRuina, ngudidadcpcban théoréit

nhiéuln vacf)nhiéugcyiyIanchinhsita.TéibiétonAnna

Pierrehumbert béiv6 s6gqi yca cédagiiipcéithiéncu6n

séch nay, vaVickieKearnvisu c6viiciiaba

Téivéctmg cém onSL_1'h5trcyca T6chrc Khoahqc Qu6c

giavé'i QuyétdinhTaitrqs60605878

lb

dang ban toi: Kh6i nuoctlnhtrongbe chftanamyen,khi

khongbitéc dong,sévanniimyén.Toichorang cai dangdé

luutam la nocomothéquathL'1viladinh lyPythagoras(tr

27).Thémvao do, no con kéotheocaquy tac ham sin (tr

29),quyluafxt l1_xcdaynoiArchimedes,vadinh19Pythagoras

chodiéntichbémat cilahinh3 chiéu(tr 30)

Chfmgminhca dinhly Pythagoras, mo ta("Imus2.2,god

ramotchimgminhdong luc hoc ca dinhlyPythagorasduoc

mota('7muc2.6.Phuorng cachtiépcanduravaochuyén dong

lam chomots6chfldékhactrérnen ratsangs1'1a,baogom:

- Dinh lyco ban ca giéi rich

~ Congthtrctinhtoan nhanhcho dinh thirc

~ Khaitriéndinh thirctheo dong

Tatcanhng diéutrénséduoc mo tatrongchuongnay.

Vai chfmgminhkhac mangnhiéutinhvatly honchirng

minh dinh lyPythagorascng duoc neu('1day,mot chitng

minhsirdung nangluongdanhoi,nhfxngchitng minhcon

laisirdung dong luqng

17

khongbi,tac dong,sé veinniimyén.Toicho rangcaidangdé

luutam la nocomotht}quéthL'\vi ladinhly Pythagoras (tr

27).Thémvao do, no con kéotheo caquy tiicham sin (tr

chodiéntichbémat ca hinh3chiéu (tr 30)

ChirngminhcfradinhlyPythagoras,mo taomuc2.2,goi

ramot chirngminhdong luc hoc ca dinhlyPythagorasduot

mo ta('1muc2.6.Phuongcachtiépcanduavaochuyén donglamchomotsoch dékhactronén ratsang sa, baogom:

- Dinhlyco ban ca giéi tich

~ Cong thfrctinhtoan nhanhchodinhthtrc

~ Khaitriéndinh thirctheo dong

Téit canhfrngdiéutrénséduoc mo tatrongchuongnay

Vaichimgminhkhac mangnhiéutinhvat lyhon chitngminh dinh lyPythagorascng duoc néu(7day, motchfrng

minhsirdung nangluongdan hoi,nhirngchirngminhcon

17

D6tai ch dao ca chuongnay la dinh 1}? Pythagoras,

nhungchL'1ngtasédiléchrangoai bai toén 6motvaidoanngan

2.2 Chirng minh “bé ca” ca dinh13?Pythagoras

Dung mot “bé ca”hinh lang tn; nhantam giac vuonglamdé1y(hinh2.1) Tatreobécalénsaochonocothfixoay

tudoquanh mot truethingdfmgxuyén quamotdau canhhuyén Baygioas day nuocvao béca.

<1)

kg Q

b

(Z

Hinh 2.1 B6 ca day nuoc,co1l16tu do chuyé'n dong xoay quanh mot m_1c thing

C

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P

18

bémat thang dfrng cilané.TakétluandinhI3?Pythagorasla

méthéqua ca viéckh6inu’('rctinhluénbatd<j>ng**.

Bai tap.Ti!diém A ngoai dlréngminvé tiéjatuyéh AT vacat

tuyéhAPQ nhucho01.231tronghinh2.3.Chngminh rang

AP X AQ IATZ (2.2)

2.3,talién tufmgmcfntbinhcfrngb0'mdaygasva céthé xoayquanhO

Nhugiaithich 6muc2.3 trongm<_“)tngfxcanh khac, (2.2)

chothayvilngt6dam gift nguyén khéngdfii khixoay quanh

O.Tuongtu,dinh13?Pythagorascng chotha'yrang diénLich

ciiatam giacvuéngla khéngd6i khi tam giacxoay quanh

métdaucanh huyén

2O

2.3 ChuyénC161 mot-ly lé vat ly sang mot chung

Diem ch6t trong chung minh “bé nurorc” cua dinh ly

Pythagoras lasutriéttiéucuatongcacmomentquay tongcong quanh diém P (hinh 2.1) Lam thé'nao chungta tai

lap ytufmg momentquay bang khong naytrongthuatngfttoan hocthuan tuymakhongcandung dencackhainiém

vatly?Day lacautrélo'i.

Ménhdé vat1y (2.1) vé tc"§ngmoment quay bangkhongquanhPcothé diéndichsangménhdéhinh11oc:diéntich

cuatam giac khong C161khi no xoay quanhP'_ Sau day la

chungminhchosutuongdongéiy.

Goi A(0) la diéntich cua tam giacxoayquanh Pmot

goc 9.C6nhién, diéntichla doc lapvoi 9:

vatakhangdinhrangchinhsubat bién ca diéntichnay la

tuong duongvfridiéukiénmomentquay bang khong(2.1).D5 co sutuo'ngduong nay ta chicanchirarang:

A'<e>=a-5+b~5+C-5 (2.3)

* Day la mot vi du vé bai toén co vé tam thuong (dién tich cfla tam giac khong

Pythagoras.)

2|

Hinh 2.4 Phn dién lich quét bévi hai cglnh géc vuéng bimg v('7iph.:51n dién tich

quét bévi canh huyén.

Déchttng minh (2.3) taxoaytamgiéc mcjt géc nhéA6

quanh P.Canh a quét ngangmétvilng hinhquat diéntich-%u2A6,tuongtuchocanh C Thurc té', diéntichduqc quétb6'i

b cng theobiéuthfrcnhutrén: 5/M0.Thucvéy, b thuc

hién hai chuyén déng déngthdiz (i)truqttheophuongriéng

né, khéng énhhufmgdén vén t6c quét thélnhdién tich,vé

(ii) xoayquanh diémdu ca né Takétluémrng diéntich

uétlé 1/719.T6n diéntich uétbéicébacanhI51:

K3?hiéutrir 6déy151 dL_ravéo dfr kién dién tich bi “m't"

docz_1nh huyén Chia choA3vélfiygifyihankhi A6—> Ota

thuduqc(2.3)

Saudéyl€1 rn(f)tvéi {mg dung ca 3?tufmgquét:

~ Mét chirng minh “hinh vénh khuyén” ca dinh 13?

Pythagorasdurycm6 té 6muc2.6.

Z2

- GE chirng minh bng hinh vé cila viéc dinh thL'1'c

nén Eri céc vécto(a, C) v€\ (5, Q’) (muc2.5).

- Métchtmg minh bénghinhvéca céngthirc phén ré

theo déng ca dinhthL'1'c (muc2.5).

f(1B)

If f($) 48 f("’) 1

Hinh 2.5 Dinh 137 co him ca gizii tich: di(f:n tich thay d(§i6v€_1nt6cur0ngErng

v(xi dcf) cao f(.\') ca bién di dcfmg nhim cho vim t6c ctia 116.

Ytuéngxemxét dién tich cila vtlngduqc quétbéi min

doganngén chuyén dénglélrt cf)hiéuqué Dinh 1yco bén

ca giéitich:

55 J‘/(ms= f<x>

vént6c don vj theohuéngvuéng géc véichinh né, séquét

ca doanngzin nhzin vén tO'cca né(1).

Ytumg tuo'ngtutépdung cho phéptichphém vé'icil hai

2'5

cén bié'nthién, thém chivéd héxmhqp Vidu,tacéthénhzfin

thfiyngaytircthi:

-‘5-Ih f<s>ds=—/'< <0) '0)

dz ‘Q '<> I g gbeingcéch lzfip laicéu in nghiéng 6trén: v§_1n t6c thay(151

diéntich bing véi tich s6 ca dc) déi f(g(t)) ca bién di

déngvéiveint6c cfla né —g'(t) Déiutrirlédobiénchuyéndénghuéngvéotrong:chiéuducmgquy uéchuéngra ngoéi

Ta cén cc’) thé cho can trén bié'n thién theo théi gian,chirngminhcéngthircnéysé 121métbéitélpz

Hinh 2.6 Dogmthingdi chuyén trong khivinsong song véi phuong ban déu.

Vimg dién tich duqc quét khéng phL_l thuéc véo dudng di c1'1a doan thing.

24

2.5 Dinh thitc cho bri phép quét

Theodinhnghia,dinh thirc b lévtlng dién tichca

hinh binh hénhtao ra béicéc véc t0 (a, b) vé (c, a’). Dinh

nghia néydn téi m(f>tcéngthirc tinhnhanh', cho gié tri

ad~bc Sau déy lé métgiéi thichdcfanghqc ca céng thirc

néyca Nana Wang, sit dungm(f>tln nra 3?turng hiéuqué

cla phép quét

Dién tichdang néi dénducyc quét béivéc to (cl, b) khi

nédichuyéndQctheovéctocén lz_1i (c, d).Thay vivéy, tahéychuyén (a, b) thénh hai chuyén dcfmgdon gién hon,

nhuchothfiy tronghinh2.6.Dién tichquéttrongquétrinh

chuyéndcfmgdu tién121ad,vétrongquétrinhchuyén déng

lhirhai151 —bc;diu trir121dodoanthingdichuyén“rasau".Diénticht6ng céng duqc quétléad—bc.Vincéthénhémxét

ducycringvtlngdiéntichquét khéngphL_1thuécvéo dumg

dicla véctochuyén déng(a, b),chirngnéloné cfm chuyén

d(_mgsong songvfrichinhn(').ThL_1:c vafxy, vaint6c thay6161ciladiéntich quét thénh biing véidc} délica doanthingnhzin

vzfm t6c theophuongvuénggéc.V1thé, chuyéndichcuthénhuthénéothucrakhéng quan trqng

‘ Hail nhiéu ngudi (bau gém cé tzic gié) khéng may dfa duqc day dang sau ca

Z5

JV ,_=:~';!:r:1'=.» ;»-,~ ' Z7

» PT5'13‘5115*?‘gr‘iv;/i§9i!§Y“‘l-'1!': ‘ * ' ' &‘é?g§:!'X"1'Ji\"' ,'.21‘;"='.-~:"-,'* LT 1;"%:|=;:- \

Ilinh 2.7 Chfmg minh vé dinh ly Pythagoras cho bbi phép quét.

Baitoan Duaramét101'giéiithfch clia “phépquét" tuongtu

cho céng thzickhait1'ié§1djnhthLictrongmétddng:

déng vécto cu6itheo hufmg true x véri an, sau dé theo

sanhluiqngquét nayvéiluqng quét béi7rdudisutinhtié'n

“chéo” béivécto (an, am, am)

2.6 Dinh ly Pythagoras cé ducyc nhd phép quay

Hinh 2.7 cho thaymét tam giacvuéngthuc hién tron

mét véng quayquanh mét daucanh huyén ca né CanhhuyénvacanhgécvuéngliénkévfritrL_1cxoayquétranhfmghinhdia,trongkhicanhgécvuéng cénlaiquét ramcfathinh

vanh khuyén

Tacc’):

26

7Ca2+ (diéntichca hinhvémhkhuyén) =7502.

Dinh 13?Pythagoras gépphn véoviéc chi rariing dién

tichca hinhvénh khuyénlét b2.Li1mth6n&0 détachfrng

minh diéunfxymcjtcéchtrue tiépmélkhéng cn dilng diindinh13??

Sau(Iy 13mtjt13?giéittx nghiefzm.Hinhvémhkhuyénducyc

quétthétnhbéi mét dean thingchuyéndtfmgcc’) din déli b

khi d02_1nthingnéythuc hién déngthdihai chuyén déngz

trtrqt (theo phucmg ciza doan thing) viaxoay véngquanh

diémmitt T ca né.Quansétcho thiiy: chuyéh déngtrtrqtkhéngénh huéngdéhvént0'cquétd1'_én richtao theinh.Néi

céchkhéc, bitngczich b6quavétn t6ctruqrt, vé theoC16cho

doanthingxoaytai ch5 xung quanh diémmL'1t ca né, takhéngléménhhu’é'ng v2f1nt6cdoanthingquétravilngdiéntich.Diéunéygiéiithichvisaodiéntichhinhvéxnhkhuyénbitngvdidiéntichca diatronghinh2.7.

2.7 Nuérc cétng sétu cétng tinh‘

Mtjtphétbiéutufmgchirnghdi hqtcé thécénhunghé

quéséusic.Déy1221 m<f)tvidL_1chophét biéudc’): “Trirkhicé

nhfmgtélcdéngtitbén ngoéi,kh6inudetinhtrongbéch11'a

ségift nguyéntr2_1ngthz'1itTnh”“.Thtrcra,phét biéu hién nhién

néy kéo theocécdiéu kémhién nhiénsau:

" Nguyén vén: Still waters run deep (nghia béng ct'1a nélit"Ngu<‘1ilhiuntr§m1

*" Déylai 1:‘: mét mrimg hqp defxc biét ca djnh luzftt béio toiln nimg luqng, phét

biéuringnilng luqng khéng thé duqc tz_1o ra Cémg phé quail chimg néao,

ménh dé cimg cé vé don gién chimg y.

27

1. DinhiyPythagoras

-Truémghop dautiéndaduoc giaithich moteachco banbang lap luan“be ca" vita roi;thayvibecatacométuongtuong ramot kh6iling tru nuoctreo vao motkhfii nuoc

tinh lo'nhon, nhutronghinh 2.8 Mot khi kh6ilang trL_1 6trang thaicanbang, tongmomentquay (xungquanhcanh

thingdfrng batky)ca céc épsua'tbéntrongléncac bématthangdirngla bang khong Diéu kién momentquay bangkhong nayla tuongtL_rnhu(2.1), nhu motdéiu hiéu,gifingnhu dinh lyPythagoras

DinhluatArchimedes Diéunay co the duocchimg minh

dédangnhusau.Dinh luat phatbiéurang:Itrcd‘.é7y ta'cdung

vaomotvatchim (nhuviéndé)bangvc'ritrongluangnudc

bjvatchiéirn c115.

Chtirngminh.Hinhdungthay viéndachimbangmot khoi

nuoc co hinh dang gifinghét Kh6i nuoc naysé lolfrng 6

trangthaican bang, nhu: dé cap6trén Luc dy n6itacdunglénkh6i ntroc do do bangvoi trong luongca kh6i nuoc

Nhungvién dacf1ng“camnhan" luc dy n6i gi6ngvayboi

no cociinghinh dangnhukh6inuoc.

28

bitk§/,d6déiiciiam5icanhtilévéihém sincia gécd6i dién:

sina sin B siny

Chfmg minh Dé chirng minh dinh137 ta dung céchsir

dang AABC, d6 déiynude, duqc déttrén mcjtmzfitphng

thingdtmg(hinh2.9).Hoeflctacéthéchituéng tuqng mét

6ngnuéchinhtamgiécduqc téchriéngrakhéi kh6inuéc

baoquanh

Tahéiydét canh ABniimngang; épsufittai A vé B khi

dé151biingnhau,vii pA — pC = 1),, —pc.Nhung chénhléch

zipsuiittilé thuzflnv(richénh léchdc} séu: pA —— pC =kb sin05 v51 pB —pc =kasin/3 trongdé k 151hés6tilé.Takétluzfm

riing bsina= asin Mét lafip luém tuong tu chi ra réng

csin = bsiny. Suyradinh137hém sin

2.8 Dinh13? Pythagoras ba chiéu

Dinh13? D61’ v61‘motn?diénduocgioibanb61'bamatphzingtrucgiaovzimotmgitphng thli tukhéngsong songv(r1'bit

a2 +b2 +c2 :d2, (2.4)

trongdo a, b, va C Iacécd1'_én richbématcliabamattrue

giao, va d 1a d1'_én tich ca matconIai

Motchfrngminhvat137.Bomkhinénvaottrdién T6'ngtat

caaplucbén trongtacdunglénhinhchop bangkhongz

F“ +F,,+F6 =-Fd, (2.5)

néukhongthi bé chiraca chixngtasé tangt6c bat thinh linhtheohuongca hop luc, demlaimotnguon nangluong

tL_rdodindénmauthuinvoidinh luatbaotoan nangluong

—dinh luat duoc dam béo tuanthl 100%vo'ikién thircca

chng tachotoigio

B61 (Fa+Fh)_l_ F6, dinh13?Pythagoras cho:

C

Hinh 2.10 Phién ban ba chiéu ca dinh 13? Pythagoras: dién tich thoa man (2.4).

3O

"Don d¢p"toén hpc.Ngudi hoiiinghicé théphémnénvé

suthiéuchzfitchétoémhqctrongcéchfiatduqc (2.5).Thuc

phzitbiéu némétcéch cuthétrongngén ngfr toén hqc.D5(hip lai, tadé3? (2.5) tuang duongvdi51; bé'l biéh thé't1'ch

umhinhchépquaphép tjnh tiéh

m rbéit kg]:

F“-r+F,,-r+FL_-r=—F‘,-r,Nhungs6hang F“ -r cho ta thétichquétthénhdomin

()l§(,7 khiné bi tinh tiéntheovéctor I‘, lafap luefm tu'0'ng tL_r

vlmczic mzf1tc(‘>nle_1i.Néim<f)tcéchngéngqn, phuomgtrinh

-.uu cimg dién tédfxkién ringkhi hinh chép bi tinh tién

Hwo vécto 1‘, thétich tichtL_1duqcnhércécm2f1ta,b,cbéng

wri lhéLichmt diquamzfat d.

'51

Nhintheométcach khac,ggi V= V(r)= V(x, y, z)lathé

tichca hinhchép bitinhtiéntheo r=(x, y, Z).DTnhién,

V déc lapvfyi I‘,nghiala,nhfrngdaoham riéngphn theo

tirngbiéntrongbf)baIan luqttriéttiéu:

(vx, vy, vi); VV(r)=0.

Méteachvatlyhqc, véctogradient VV(r) —véctoca

cacdao ham riéng—la hcyp ltrc ca ap suit bén trongca

khitaiapsua't p= 1 léncacvachbéchL'ra.

Tai sao dinhly Pythagoras cc’) quanhiéu chljrngminh

ta tugiéihan trongczic chirng minh vat 1y, haycécchtrng

minh duryc truyén cam hirng béi vat ly, van cén mintvai

chirngminh;mcjtchirngminhnhuvaydzduqc trinhbay 6

mL_1c 2.2, cén thém hai chfrngminhkhaccng duqc trinh

baysau.D5chufin bicho mcjttrongnhfrng chirngminhnay,

truéc tiéntaxem xétm<f)tcoché'don giénnhurng cé giatri

déc lap.Trong muc tiép theo tasesirdungco ché naydé

chtrngminhdinhly Pythagoras (thémln nira!)

Bai t0an' Mtjt hinhvanh khuyén C nhé trurqt khéngma

sattrénmét cung ban nguyét ran HaiIOxo"danhéi chat

32

gifingnhau CA v51 CB n6i hinhvzinhkhuyén vérihai du

bng taivitri bitkr trén hinhbén nguyét

Ilinh2.11 Chfmg minh cho b6inh1"mgl(‘) x0.

Chfrngminh Hinhvémhkhuyén('1trang théicénbng khi

cécthzinh phn theo phuomgtié'p tuyén ca tfit cé lL_rc téc

dung lénhinhvimh khuyéntriét tiéul§1n nhau Ba luctécdung lénhinhvzinhkhuyén:ph€1nluctrucgiaotircungtrén

nhuthéhién tronghinh2.11 Chihailucsau céthénhphn

tiép tuyénkhéckhéng,v21taphéi chirarng haithzinh phéin

chié'ucilahai tia néy lén [WN théa mén:

O/1 MN = OB/mv,

vé, bfri OC_L MN, nhfrng tia nély cc’) cilnghinh chiéuvé*i

hailL_rc:

33

OA/mv = CAM/v , OBM/v =CB/mv.

Céchinhchiéu ca hailuc CA vi: CBtriéttiéunénhinh

vénhkhuyén151cén biing(taivitribéitkj/)

2.10 Chrng minh dinh 13? Pythagoras bng

Chicn chi raringhinh vénhkhuyéntronghinh2.11 ér

trangthéicénbiing,151chng tadéchfrngminhdurqcdinh13?

Pythagoras Tl'lL_1’C vefly, m(f>tkhi hinhvénhkhuyén1:21cn bng

tai moi diém Cbétkjltréncungtrén, nékhéngnhzfm lL_rc,

viatheodc’)khéngsinhcéng, détrucyttit Cdén A .Diéunéynghia1:21thénéngkhéng thayC161trongsu6t quétrinhtruqt,

cho nén néngluqngban déubiingvc'>'inéngluqngsaucng:

-liaz+£b’ = §O2+18.

Ta sirdung dfrkiénringth(§néng ca mét16xodimh6i

mL_1cA.1) Ta kétluzfinring a2 +[)2 = c2

céc thémh phfm cL'1a céc luc vuéng géc véri AB I51 bimg nhau vim céc cénh tay

dén cng véy.

34

2.11 Thém mét béli toén hinhh(_)C V6116 X0

B511toénhinhvénh khuyéntréncungtrén (muc 2.9) cé

thé duqc diéndich laitheo célchkhéccng bt ngf)khéngkém, itnht 151téi nghivafly.Thiét bi6hinh2.12duqc gqi3?

tronghinh2.11.Khécbiét(Yhinhhién tai151tadétCtz_1i m(f>t

vi tri(:6 dinhtrén mittphng, trongkhidédoanAB duqcphépxoayquanh trung diém O ca né.Thémv2‘10 dc’),khoéng

ACvéBCtranhnhauxoayABtheohaihuérngd6inghich.BéitoénA.Chng to’rzingtrong coché'm0té 6trén, thanh

thazng6trangtha'1' czinbeingtheophuangbé't1<j/.

BéitoénB Chng 16ringvéimQ1'AABC

vn B tronghinh2.12 Czicmomentquay‘ cfla hailL_rc néy

qtmnhtrue xoay 0ct’) dtf)lfrnbng nhau.ThL_1’C vgiy, céc célnh

my(Inn litbng nhau, OA =QB,cng nhuhaithénh phn

n uvgiaoca luc,AA'=BB', tronghinh2.12 Cécmoment

quay nily151d6inhau, chonénthanhthingcénbiing

' ||u‘uh1<\'l co bén vé moment quay xcm muc A.5.

"55

BaitozinB.Béithanhthingcanbangphiém dinh*,takhéng

can t6neéngdéxoaythanh thinghuéngvédiém C.Diéu

nayeénghialathénang ea thanhthing frvi tribatk§/luén

bangvéi thénang évi tridaebiétnay:

Hinhdung ban dang dung taigée eua mét “san truqt

bang" hoan toan khéng masat (hinh2.13) Giaytrucyt ea

ban la hoan toan khéngma sat Dam ehan dayminh rdi

khéi true X,ban bat dautruqtvérivant6e a doetheotrue

y. Drfmgnangeua ban la maz /2. Baygiddam ehén day

minhrO'ikhéitrue y, datduzqevant6e b theo phucmg X,

theodéthuduqethém déng nanglamb2/2 (khidamehén,

masat v(7i truey eoi nhulabangkhéng) Déngnang eua

* Ta néi rang m(f>l can bang la phiéln djnh né-'u trang théi can bang dat dtrqe

** Deng n51ngl€11n(f>tdailu(_yng v6 hudng va eéng duqc vévi nhau theo s6'hQc.

Sb

Hinh 2.14 Viéc ciit dirt sqi dily lilm xuffl hién vein 16¢

thco phuong ngang I» Déng luqng Incl cé duqc thfmg qua hai phfm II lcfr,

truéc tién 151 maz via sau (I6 lé mbz.

2.13 Pythagoras vé Einstein?

Sau déy 151 chfmgminh “cit dirt sQi déy" ca dinh 13?

Pythagoras Vé bén chéit, né gi6ngvdi chirng minh duqc

dénn6iné'uthéra, m5i kh6i nzflng sévéngvémétbén,vdicilngvzfm t6c b. Sau dé tac(f)thai kh6inéng laivé'i nhau

'57

béngmétS(_)'idéydégiftcho16xoluén binén,nhuchothfiytrong hinh 2.14.

Tahiiynémcéhé"nénchit" divé'i vein t6c a nhucho

théiy tronghinh2.14‘,vél sau dé, mcfatkhi céhédang bay,

tacétdirtdéyn6i, theo dc’)dé16x0binénbungra.Vén t6c

doducyc C ciia tirng kh6inzfing lélcanh huyén ca tamgiéc

vef1nt6cvéiceiccanh a, b.Mzfat khélc,déng néng ca céhai

"I Zkhéinéngbéygidlél 2><~i=m¢’.2 Nhungnéng lucyn g n51 Ydatduqc théngquahaiphéinti lé: truéctién, 2%= ma’ tircL'1

déiyban du, v51sau dé, 2><_”’;’Z = mbz tit16xo Theo dé:

mcz = maz +mbz

Triét tiéu m cho tadinh13?Pythagoras"

* Tn coi nhu khéng c6 lrong luc.

** Chfing ta nhiic dén Einstein 6 déiy chinh vi d kiénringhé cé néng luqng

151 E = mcz

38

cucTéuvAcUcBA|

Nhirngbéi toénvégiétril(mnhéit/nhénhit thufmgr€it

ph hupvé'iphu0'ngcéchtifipcéxn vef1tly.L3?do cé lé létrongthuc t6 nhiéu hf:vét1y tu timduqc giétricuc tiéuhay cuc

dai:métdéng h6 quéléicchiravitricuctiéuci1athé'nng;tiaséngphén chiéutuviéndélnhn duéidéy su6i dén v6ngmaccla tachiraconduidngt6nitthéigiannht; métbongbéngx51phbng chqnhinhdang ca thétichnhénhéit;métsui

déymiic thénggifrahaidu c6dinhchqnhinhdéngcc’)tém

kh6ithip nhfit,vécuthécéidanhséchnéykéodéibaittén.Déy151mét mu chung cho viéctimramétcéchgiéivélt

13?. Giésirtaphéicuc tiéuhéa méthém s6. Bufrc chinh151

thiét kémét hé thfingcohocv(')'ithénéng lé hém s6biét

trudc.Cuctiéucila héms6 tu0*ngung cuctiéuca thénéng,turongung trangthéicénbeingca hé.Khim6 té diéukién

cn bilngtathufmgcc’) métcéu trélO'idgpdé Thzfit vefly, ta

duqcbéi toén—cén tachi cn chdmédc_>c liy céu tréldi

Saudéy1:21 m(f)tbiéu diéndangbiéu d6cilasutuung(mggifragiéi tichvéz cohcpc, cho trumg hqp hém s6 cilamét

bié'n X:

'59

Giéitich Dién dichvét13"

Daoh€1mf(x) Luc técdung F(;¢)=-P’(x)

f(x) nhé nhzil => f’(x)=0 P(x) 121cuetiéu

:> F(x)= O (trangthéi

cén bng)

Métllru5?véhié'ub1'é'tcobén Ném duqc giéiitich véhinhh(_)csocp léldfldéhiéu chuongne‘1y.Tuy v2f1y,phu'0’ngcéch

cémétvéibélitoén ca giéitichdabién!

Nén téngvzfit 13?sirdung trongchuong néayduqc m6 té

trongphn phulL_1c.Tasirdung nhfrngm6hinhco hoc cho

nhfrng d6i tuongtoénh(_)c.Cécméhinhnélybao g6m16xo

délnh6i13?turfmg, déy, hinhvénh khuyéntruqt, khinénv21

chinkhfmg Tit cé céc d6i tuqnggiétuéngniiyduqc m6

tétrong phu lucngéin,cilng véicélckhéiniémvécénbng,

momentquay,vé trqngtém

trfrnénngéngQn khi tavéln dungvélt 13?,mét déng thay vi

cétrangdiaikhisirdung gié'1itich.Tuy nhién, theodinh luét

béo toéndc)khé, diéunélycégiéca né.Khékhén chuyén

titviécthuc hiénnhfrng thaotzics6hgcchain ngéitsangviéc

thiétkéméthé thfingcohQcthichhqp

1. Méttinhch€itquanghqcca hinhellipse

2. Duimg biéu diénphilhqpnht béng16 x0.

40