SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM một số KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI bài TOÁN cực TRỊ đại số TRUNG học cơ sở

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỪ LIÊMTRƯỜNG THCS CẦU DIỄN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRUNG HỌC CƠ SỞ Môn: TOÁN Tên tác giả: Nguyễ

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỪ LIÊM

TRƯỜNG THCS CẦU DIỄN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI

TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRUNG HỌC CƠ SỞ

Môn: TOÁN Tên tác giả: Nguyễn Đức Quỳnh Giáo viên môn: TOÁN

NĂM HỌC 2012 - 2013

ĐẶT VẤN ĐỀ

Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy các bàitoán cực trị không được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh màchỉ hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa.Nhưng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thường gặp trong các kỳ thi, các đợtkiểm tra hàng năm Do đó việc hình thành phương pháp giải bài toán cực trị mộtcách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còngặp nhiều trở ngại Xuất phát từ những kinh nghiệm có được của bản thân quathực tế giảng dạy và sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là dạy toánTHCS Tôi chọn nội dung : Cách giải bài toán cực tri đạisố THCS” làm sángkiên kinh nghiệm năm học 2012-2013

Qua sáng kiến kinh nghiệm, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâuhơn về vấn đề này, tự sưu tầm và phân loại được một số dạng toán về cực trị,nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh cóthể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này Tôi hy vọng khi

áp dụng vào thực tế có thể giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, khả năngphân tích, tổng hợp, tự ra được các bài tập tương tự qua các bài tập đó góp phầnnhỏ nâng cao trình độ của học sinh

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3 phần:

Phần I: Cơ sở lý thuyết sáng kiến kinh nghiệm.

Phần II: Các bài toán cực trị trong đại số.

Phần III : Các bài kiểm tra ; kết quả và kết luận

3) Đa thức bậc 2 f(x) =ax2 + bx + c (a 0)

6) Các kí hiệu thường dùng:

a) Giá trị lớn nhất(GTLN) của biểu thức P : maxP ( hoặc Pmax)

b) Giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức Q :minQ (hoặc Qmin)

PHẦN II MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

I/ Cực trị của đa thức một biến:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Vậy B = 36 khi x2 + 5x = 0  hoặc x = -5

Do đó: max B = 36 Khi  x= 0 hoặc x = -5

2- Một số nhận xét:

- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quảmỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏnhất )

- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến Cụ thể như ví dụ 1 ta có thể dặt

y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức

Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đưa bài toán tìm cực trị củaphân thức về bài toán cực trị của đa thức.

2- Các ví dụ:

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M =

5 4 4

3

2



 x x

Giải: M =

5 4 4

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

N =

5 4

6 6 2

2 2

x x

Giải: N =

5 4

6 6 2

2 2

x

x =

5 4

1 2 5

4

2

2 2

x x x x

(x + 1)2

 0  x = 1 +

1 ) 2 (

) 1 (

2 2

1

2 2

x

x

Giải: P =

1 2

1

2 2

x

2

) 1 (

1 1 1 2





x x

IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1- Kiến thức cần thiết:

a, f (x) = f (x) nếu f (x) 0

f (x) = - f (x) nếu f (x)  0

b, f (x) + g (x)   f (x) + g (x) dấu “ = ” xảy ra  f (x) g (x)  0

c, f (x) - g (x)   f (x) - g (x) dấu “ = ” xảy ra  f (x) g (x)  0 f (x)  g (x)

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8

Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x)  f (x) + g (x)

Ta mở rộng được: f (x) + g (x) + + h(x)   f (x) + g (x) + + h(x)

Dấu đẳng thức xảy ra  f (x), g (x), , h(x) cùng dấu

(Việc chứng minh đơn giản)

Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1 = - (x-

2

1)2 -

2

1

 x =

21

min f(x) =

2

1 khi x =

21

21

V/ Dùng các bất đẳng thức đã biết:

1- Các bất đăng thức:

a, Bất đẳng thức côsi (áp dụng cho 2 số không âm)

Cho 2 số không âm a1, a2 ta có bất đẳng thức

y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)  8 abc mà abc = 1

 y 8 vậy min y = 8 khi a = b = c = - 1

Ví dụ 12: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 1

2 2

a P

Giải: Vì a > 1; b > 1 0

1

; 0 1

2 2

a

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

) 1 )(

1 (

2 1 1

2 2 2

b b

a

1 1

2 1 1

2 2

b b

Vậy từ (*) ta có: 2.2.2 8(*)

1 1

2 1 1

2 2

b b

3 2

3 2

 ) 2  ( x23y ) (x+y)

 ( 2x  3 ) 2  6 (xy)  (x+y)

6

6 2 5 ) 3 2 ( 6

2

2 y x



Tức là x,y là nghiệm hệ trên từ đó ta có: x =

6

6 3 , 6

5  khi x =

6

6 3 , 6

1 4

16 2





với x > 0 Giải: a, Xét (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 không đổi

2

1 4

16 2

Ví dụ 16

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá(2012-2013)

a,b là 2 số thực sao cho a+b1,a dương

Tìm giá trị nhỏ nhất A=9 2 2

4

a b

b a

3- Bài toán tương tự:

a, Cho x, y sao cho 0  x  4; 0  y  4

Tìm giá trị lớn nhất của A = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y)

b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1  t  2

Tìm giá trị lớn nhất của B = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz

c, Cho 2 số x,y thoả mãn x2 + y2 = 1

1) Tìm GTNN y=

2 2

4- Cách giải một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH các tỉnh,thành phố.

1)Đề thi TS vào lớp 10 Trường ĐHKHTN (2012-2013)

a)Giả sử x, y la các số thực dương thỏa món điêu kiện  x 1 y  1 4

Tim giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :

x

y y

b) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa món ab3c;cb1;abc

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

( 1)( 1)( 1)

)1(2

ab c b a ab Q

2) a Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐHSP Hà Nội (2012-2013)

Cho các số thực dương x, y thoả món điều kiện : x y x y  xy Tỡm giỏ trịnhỏ nhất của biểu thức P = x + y

b Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP Hà Nội (2012-2013)

Với x, y là cỏc số dương thỏa món điều kiện x 2y  , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của

biểu thức:

2 2

x y M

Cho hai số x y, liên hệ với nhau bởi đẳng thức 2 2

2 7( ) 2 10 0

x  xy x y  y   T́mgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  x y 1

Hướng dẫn

Viết lại biểu thức đă cho thành (x y  1) 2  5(x y  1) 4   y2 (*)

Như vậy với mọi x và mọi yta luôn có S2  5S  4 0 (với S   x y 1)

Suy ra: (S 4)(S 1) 0    4  S 1

Từ đó có: Smin  4, khi x y05





max 1

S  , khi x y02



4)Cho các số dương x và y thay đổi thoả món điều kiện : x – y 1

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = 4 1x y

Hướng dẫn :

Vỡ x , y là cỏc số dương thoả món x – y  1 nờn ta cú :

P = 4 1x y  P 1  ( x – y ) 4 1x y

   P  4 - x y 4x y + 1  P  5 -  x y4x y

=> P  5 – 4 => P  1 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  x = 2y

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x =  2y

5)Cho x  xy + 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 2 2

3

y x

xy P

4 4

   Do đó : MinP= 65

4 , đạt được khi x=y=2

9) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(a3 b3 c3 ) 15  abc

4(a b c ) 15  abc 27abc 24(ab bc ca  ) 32 3 9   abc 8(ab bc ca  )  32 (**)

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a3 b3 c3 ) 15  abc 3.( 8) 32 8   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2

3

a b c  

(a – 1) 3 + (b – 1) 3 + (c – 1) 3  3(a b c) 3 3 3 3 3

4      4  4 VậyP= (a – 1) 3 + (b – 1) 3 + (c – 1) 3  3

4

 => Pmin= -0,75Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0, 2

2

2 3

0, 2

3 3

=

2 2

(x 2)

(x 1)



   min M = 2 khi và chỉ khi x = 2.

12) Cho a, b là c ác số dương thảo món a + b = 4

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 +

ab 33

Hướng dẫn:

Ta cú (a-b)2 0 => a2+b2 2ab và (a+b)2 4ab hay ab 4 => 

Nên khi đó P = a2 + b2 +  2ab + + 

 2 + =16 + =

Dấu "=" xảy ra khi 2ab= và a=b hay ab = 4 và a = b =>a = b= 2

Vậy Min P = khi a = b = 2

13) Các số thực dương x, y, z thoả món điều kiện: x + y +z = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

Max

x P

xy





 Hướng dẫn: A 12xy A 12xy 1 12 xy 21 12

Từ

0, 0

2 2 1

0, y=1 hoặc x=1,y=0

Các ví dụ trên cho ta thấy có rất nhiều cách giải một bài toán cực trị đại

số trong chương trỡnh THCS và trong mỗi vớ dụ cú thể dựng kết hợp nhiềuphương pháp khác nhau tuy nhiên ở mỗi ví dụ căn cứ vào các hạng tử và điềukiên kèm theo ta phải dự đoán được điểm dừng của các bất đẳng thức đó biết để

có hướng biến đổi hợp lí,ngắn gọn nhất

PHẦN III CÁC BÀI KIỂM TRA ;KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN

A Các bài kiểm tra :

Đề 1: 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2

x

x  4 D = x -1 + x- 4

5.Cho x, y sao cho 0  x  4; 0  y  4

Tìm giá trị lớn nhất của E = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y)







x x

x

4 ) K =

32

1





x

5) Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1  t  2

Tìm giá trị lớn nhất của R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz

3

2



 x Q = x- 1 + x- 3 + x- 6 5)Cho 2 số x,y thoả mãn x2 + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của X = 3x + 4y

Đề 4

1) Y = x( x+1) ( x+2) ( x+3)

2) T = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2015

3) U =

2

1 2

2





x x

C Kết luận,kiến nghị:

Trên đây là một số dạng toán về cực trị thường gặp trong chương trìnhlớp THCS Trong phần trình bày này, tôi đã cố gắng sưu tầm và phân loai cácdạng toán một cách cụ thể Trong mỗi phần, mỗi dạng tôi cũng đã có gắng nêulên những cách giải cơ bản, những kiến thức cần thiế để đạt được kết quả caotrong các ki thi Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp họcsinh học tốt hơn về dạng toán cực trị, phát triển được óc sáng tạo của các em quatừng dạng, bài cụ thể Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS CầuDiễn đã tạo điều kiện cho tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế đạt kết quả.Tuy đã

có cố gắng tìm tòi, nghiên cứu nhưng do trình độ và thời gian có hạn việc ápdụng chưa phổ biến chắc chắn sáng kiến còn có thiếu sót hạn chế,rất mong được

sự góp ý phê bình của ban giám khảo để nội dung đầy đủ và được áp dụng rộngrãi hơn

TÀI LIỆU ,SÁCH THAM KHẢO

1.Nâng cao và phát triển toán 7,8 (Tác giả Nguyễn Ngọc Đạm-Vũ Dương Thuỵ)2.Nâng cao và phát triển toán 7,8,9.( Tác giả Vũ Hữu Bình)

3.Tuyển tập các bài toán hay và khó.(Tác giả Nguyễn Đức Tấn)

4.Các bài toán cực trị (Tác giả Phan Huy Khải)

5.Tuyển tập đề thi vào lớp 10 THPT các tỉnh,thàng phố (Sưu tầm)