NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN KHỐI GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN

Lý do chọn đề tài : Trong chương trình giảng dạy toán THPT, phép tính tích phân được giới thiệu chocác em học sinh lớp 12, tiếp theo được phổ biến trong tất cả các trường Đại học cho khố

MỤC LỤC

V Kế hoạch thực hiện: 3

MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC

NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN KHỐI GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN

A.PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài :

Trong chương trình giảng dạy toán THPT, phép tính tích phân được giới thiệu chocác em học sinh lớp 12, tiếp theo được phổ biến trong tất cả các trường Đại học cho khốisinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai trong chương trình học đại cương Hơn nữa trongcác kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, phép tính tích phânhầu như luôn có trong các đề thi môn toán của các khối thi Với tầm quan trọng của phéptính tích phân muốn học sinh học tốt được Nguyên hàm và Tích phân thì mỗi người Giáoviên không phải chỉ truyền đạt, giảng dạy theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa,trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách rập khuôn, máy móc, làm chohọc sinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của họcsinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao Nó là một trongnhững nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động,

tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môntoán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Vì vậy ngườigiáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh giản kiến thức, thiết

kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thứckhông được mang nặng tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thức của các em.Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽlĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cáchvững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm Khi

chúng ta đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thườngxuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao Riêngphần đạo hàm và tích phân cũng không nằm ngoài quy luật đó.

Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN KHỐI GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN”.

1 Cơ sở lý luận

1.1 Vị trí của môn Toán trong nhà trường :

Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, nhữngnhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy

và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trongchương trình học của học sinh

Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệthống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người

Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ,phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện,hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới

1.2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh TTGDTX.

- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể làcác hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rấthiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình

- Học sinh TTGDTX khả năng tư duy các môn tự nhiên rất yếu khi học về Nguyênhàm - Tích phân thường thấy rất khó hiểu khó tiếp thu Vì vậy người giáo viên phải tạo rahứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập

1.3 Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :

- Học sinh TTGDTX bị rỗng kiến thức khả năng tư duy lôgic trong môn toánchậm, thiếu tính sáng tạo, dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài Chính

vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuậttruyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thểxem nhẹ Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt qua những mới

mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là chủ đạo sang hoạtđộng học tập là chủ đạo Lên đến lớp 10, 11 thì yêu cầu đó đặt ra là thường xuyên đối vớicác em ở tất cả các môn học Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khảnăng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo những gì đã cótrong sách giáo khoa

Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp

dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh,

trên cơ sở hoạt động của các em Kiểu dạy này người giáo viên phải thật sự là một người

“đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập

nó kích thích óc tò mò và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọnnhẹ Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài vàlựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp

Người giáo viên phải đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy,những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng cókinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để họctập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà.

2 Cơ sở thực tiễn:

Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi,khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩnên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong phươngpháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy

Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh GDTX như hiện nay, người giáo viênphải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăngcường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề và phù hợp vớitừng đối tượng học sinh

II Mục đích nghiên cứu của đề tài:

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Giải tích 12nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sángtạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốtthích ứng với xu hướng hiện nay

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi làkhô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinhlĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâucác tri thức

III Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :

1 Nhiệm vụ :

- Ôn tập các quy tắc tính đạo hàm đã học ở lớp 11

- Tìm hiểu các khái niệm nguyên hàm và tích phân trong môn giải tích 12

- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 12

2 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu :

- Đối tượng : Chương III: Nguyên hàm và Tích phân trong Giải tích lớp 12

- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên

IV Phương pháp nghiên cứu :

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung nguyên hàm và tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiếtdạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

V Kế hoạch thực hiện:

1 Sẽ sử dụng phần đạo hàm trong dạy và ôn tập học kỳ 2 lớp 11

2 Dùng ôn tập và dạy nguyên hàm tích phân lớp 12

3 Dùng ôn tập trong ôn thi tốt ghiệp

B NỘI DUNG

I Thực trạng và những mâu thuẫn:

- Học sinh TTGDTX khả năng tư duy các môn tự nhiên rất yếu khi học vè nguyênhàm, tích phân thường thấy rất khó hiểu, khó tiếp thu dẫn đến việc học sinh chán nảnkhông muốn học Mà phép tính tích phân luôn có trong các đề thi Tốt nghiệp THPT vàcác kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng

II Các biện pháp giải quyết vấn đề:

- Đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủđộng sáng tạo của học sinh, gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh giảnkiến thức, thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế.Các kiến thức không được mang nặng tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thứccủa các em Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hànhcác em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thứcmột cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm

III Hiệu quả áp dụng:

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi làkhô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinhlĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâucác tri thức

3 uα =αuα−1u

'

1 )'

1 (

u

u = −

'.2

1)'.(

u

u =

' cos )' (sin

' sin )' (cos

2 2

1 8.(tan ) ' 1 tan

x

a

ln

1 )'

.(log

2 2

1 8.(tan ) ' ' (1 tan ) '

1 9.(cot ) ' ' (1 cot ) '

10 e u =e u u

'.ln.)'.(

11 a u =a u a u

'

1 )' (ln

u

u =

' ln

1 )' (log

a u

Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y= x3-x4+ x +x b) y = x (x-x3) c) y = 6x2

d) y = 32

4x e) y =2 3

1 4

x x

−+

Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau

x y

( 1)

x y

'(3 5 )

(sin cos )

y

x x b) =

+2

1'

Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau

c) y = cotu, u = 3x2 + 5 ⇒ = −

+

2 2

6'

sin (3 5)

x y

s (3 1)

x y

3cot (3 1)'

sin (3 1)

x y

Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau

cot cot

2

1 cot 2 cot

3)

' 2

'

2 2

= − + c) y (x = 3− 2)(1 x ) − 2d) y (x = 2 − 1)(x 2 − 4)(x 2 − 9) e) y (x = 2 + 3x)(2 x) − f) y ( x 1) 1 1

=

g) y tan2x 2tan 2x3 1tan 2x5

PHẦN II NGUYÊN HÀM

I Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

III Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

(Ta tạm hiểu hssc cơ bản mở rộng là từ hssc cơ bản ta thay biến x bởi ax + b)

dx

C e

dx

e x = x+

∫

C b

ax a dx b

C b ax a

dx b

+

)(1

C e

a dx

x ax+b = ax+b +

C a

a p dx a

q px q

px+ = + +

C u

du = +

∫

C

u du

C e du

e u = u +

∫

C a

a du a

u

C a

C x xdx=− +

C tgx

C b ax a

dx b

C b ax tg a

dx b

+

)(cos

12

C b ax g a

dx b

+

)(sin

12

C u

C u udu =− +

C tgu du

∫cos21

C gu du

sin

12

IV Phương pháp tính nguyên hàm

1) Phương pháp đổi biến số

Nếu ∫f u du F u C( ) = ( )+ và u u x= ( ) có đạo hàm liên tục thì:

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

 Bước 2: Chuyển tích phân đã cho theo biến t, ta được I =∫ f u x u x dx[ ( ) '( )] =∫ f t dt( )

Chú ý: Sau khi tính ∫g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x).

x t

3

5 2

x dx x

cos

xdx x

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Đặt 2 2

2

12

x x

x dx x

++

1( 1)

Bài 1.Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫x.sinxdx b) ∫xcosxdx c) ∫(x2+5)sinxdx

d) ∫(x2+2x+3)cosxdx e) ∫xsin 2xdx f) ∫xcos2xdx

g) ∫x e dx x h) ∫x e dx 3 x2 i) ∫ln xdx

k) ∫x xdxln l) ∫ln xdx2 m) ∫ln(x2+1)dx

n) ∫xtan2xdx o) ∫x2cos2xdx p) ∫x2cos2xdx

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) cĩ dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

+ Nếu R( sin ,cos )− x x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx

+ Nếu R(sin , cos )x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx

+ Nếu R( sin , cos )− x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

+

−

∫

Bài 2.Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫sin 2 sin 5x xdx b) ∫cos sin3x xdx c) ∫(tan2x+tan )4x dx

g TC7: Nếu m f x M x a b≤ ( ) ≤ ,∀ ∈[ ]; thì ( ) b ( ) ( )

a

m b a − ≤ ∫ f x dx M b a ≤ −

III. Các phương pháp tính tích phân:

Phương pháp 1: Tính tích phân bằng phương pháp sử dụng tính chất và nguyên hàm

∫

0 0

2

3

1(3sinx 2cosx )dx

2

1( x−1)(x+ x+1)dx

x x

13, ∫2 −

1 3

2 2

dx x

x x

Phương pháp 2: Tính tích phân bằng phương pháp vi phân:

Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu tích

phân có dạng tích của f   ϕ ( ) x   (hàm số theo biến là ϕ ( ) x ) với đạo hàm của hàm

( ) x

ϕ Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể nhưsau:

Cụ thể: Khi tính ∫b ( )

a dx x

f : (1)B1: Đặt t=ϕ(x), ϕ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp

B2: Tính dt=ϕ'(x) dx, nếu ϕ(x)nằm trong căn bậc n thì ta nên luỹ thừa 2 vế mũ nrồi lấy vi phân 2 vế

B3: Biểu thị f(x), dx theo t và dt, giả sử f(x)dx=g(t)dtB4: Đổi cận:

B5: ∫b ( )

a dx x

f =∫β ( )

α

dt t

g (2)

* Lu ý: +) Sau khi đổi biến tích phân (2) tính dễ hơn tích phân (1)

+) Một số dấu hiệu thông thờng dẫn tới việc lựa chọn t

Hàm số có chứa căn thức t= căn thức hoặc phần trong căn thức

Hàm số có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa t= phần trong dấu ngoăc nào có luỹ thừa cao nhấtHàm số có chứa

x

Hàm số có chứa

x

dx

2cos

31

101

1 10

π

dx x

dx

12

2004.2005

29

+

∫ (B-2004) j)

2 3

1

3 1

x dx x

++

∫ ( ÑS : I=1546 ) Phương pháp 4: Tính tích phân bằng phương pháp T.P.T.P

Ghi nhớ: Khi lựa chọn PP TPTP để tính tích phân cần tuân thủ theo 2 nguyên tắc sau:

1 Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định dễ dàng

2 ∫b

a

vdu tính dễ hơn so với ∫b

a udv

x dx e

−

0osx

3 2 ( x − ) xdx

b a

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diệntích hình phẳng cần tìm là: [ ( ) ( )]

b a

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= ln x, x=1, x=e và trục Ox

Giải

Do lnx liên tục trên [1;e] nên S =

1ln

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y= x+1

x và các đườngthẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đườngthẳng (d): y=5

4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x

5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2+1, x= - 1, x=2 vàtrục hồnh

II Thể tích khối trịn xoay

Kiến thức cơ bản: Thể tích của một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong(C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòngxung quanh trục ox là: 2( )

b

a

V = π ∫ f x dx

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi

các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ;

Bài tập gợi ý giải tại lớp:

Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởicác đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:

Bài 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường x=0,x=1,y=0,y= x Tính thể tíchcủa vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox.

Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường x=1,x=2,y=0,y=2−x2 Tính thểtích của vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox

Bài 4: Tính thể tìch các khối tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đâyquay quanh trục Ox: