Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

LỜI CAM ĐOANĐề tài “ Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải các bài toán trong cơ họclượng tử” này được hoàn thành với sự cố gắng nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài thực tập, ngoài sự cốgắng nỗ lực của bản thân,em còn nhận được sự giúp đỡ của các thầy giáo, côgiáo, gia đình và bạn bè

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lòng biết ơn chân than tới thầy giáo

T.S: Trần Thái Hoa đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảo cho e trong suốt

quá trình hoàn thành đề tài

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lýthuyết, khoa Vật lý, Trường Đại học SPHN2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành

đề tài

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ

em trong suốt quá trình làm đề tài

Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học nên sẽ cònnhiều thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và cácbạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Phạm Thị Phương Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài “ Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải các bài toán trong cơ họclượng tử” này được hoàn thành với sự cố gắng nỗ lực của bản thân và sự hướng

dẫn tận tình của thầy giáo T.S: Trần Thái Hoa.

Em xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của bản thân em, khôngtrùng lặp với các kết quả của các đề tài khác

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản đề tài này em có tham khảo một sốtài liệu tham khảo đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Phạm Thị Phương Hoa

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN THỰC TẬP

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

A: Cơ sở lý thuyết 3

Chương I: Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến 5

1.1 Khi λ=0, ứng với trường hợp không có nhiễu loạn 5

1.2 Với λ nhỏ, 5

1.3 Điều kiện áp dụng 7

Chương 2: Nhiễu loạn dừng khi có suy biến 8

2.1 Sự giảm suy biến khi có nhiễu loạn 8

2.2 Việc khử suy biến 9

2.3 nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau 9

Chương III: Hiệu ứng Stark đối với nguyên tử Hydro 14

B Một số bài tập vận dụng lý thuyết nhiễu loạn: 17

KẾT LUẬN 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình học tập và lĩnh hội kiến thức về lý thuyết nói chung và lýthuyết vật lý nói riêng thì việc giải các bài toán giữ vai trò quan trọng Nó giúpchúng ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu hơn về phần lý thuyết đã học, trau dồi

kỹ năng thực hành

Một trong những học phần trong chương trình vật lý được học ở bậc Đạihọc là môn cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hoàn thành vào đầunhững năm 30 của thế kỷ XX với số lượng bài tập nhiều và khá đa dạng cùngvới các phương pháp toán phức tạp để giải chúng

Ngiệm chính xác của phương trình Schodinger chỉ có thể tìm được trongmột số bài toán đơn giản, như bài toán một chiều trong hố thế, dao động tử điềuhòa…Nhưng ngay cả trong những trường hợp đó lời giải cũng phứ tạp

Trong hầu hết các bài toán không tìm được nghiệm chính xác, do đó phảidùng đến phương pháp gần đúng,đưa các bài toán này về các bài toán đơn giản

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài toán khó trong cơ học lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Các bài tập trong cơ học lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

NỘI DUNG A: Cơ sở lý thuyết

Trạng thái của hệ lượng tử có thể được mô tatr bởi nghiệm của phương trình:

‚ψ = Eψ (I)I)

Ở đây, ‚ là toán tử Hamition (I) không phụ thuộc vào thời gian) và E lànăng lượng của hệ Đối với một số trường hợp đơn giản (I) trường hợp Coulumb,trường đàn hồi, trường điện từ đều,… ) tương ứng với các hệ đã lý tưởng hóa,phương trình (I)I) có thể cho nghiệm chính xác Nhưng khi nghiên cứu các hệthực thì phương trình (I)I) không cho nghiệm chính xác Bởi vậy để tính phươngtrình (I)I) ta cần phải đưa vào phương pháp tính gần đúng các hàm riêng và trịriêng của toán tử ‚ trong phương trình (I)I)

Một trong những phương pháp tính gần đúng đó là dựa vào các nghiệmchính xác của hệ đã lý tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để được nghiệm gầnđúng của hệ thực, với điều kiện hệ thực coi như không khác nhiều so với hệ lýtưởng

Phương pháp tính hiệu chỉnh như vậy, cùng với các điều kiện đặt ra đượcgọi là lý thuyết nhiễu loạn

Ta đặt điều kiện hạn chế ban đầu cho bài toán Với lý thuyết nhiễu loạn chocác bài toán có phổ gián đoạn:

ˆHl E ll(I)l=1,2,3,…) (I)II) Giả thiết đưa ra là toán tử ‚ có thể tách ra làm hai phần:

Hˆ Hˆ0 Vˆ (I)III)trong đó, H là toán tử Hamition của bài toán đã lý tưởng hóa, còn ˆˆ0 V được gọi

là toán tử nhiễu loạn

Để biểu thị ˆV nhỏ, ta đặt : ˆ V Wˆ (I)IV)

với λ là một thôg số nhỏ, không thứ nguyên.

Giả sử biết các nghiệm 0

l

trìnhcho hàm riêng và trị riêng của toán tử H : ˆ0

để tìm E và l l

Chúng ta sẽ giải phương trình (I)VI) để tìm ra E và l l, nhưng chúng ta sẽhiệu chỉnh cho 0

l

nào đó, và các hiệu chỉnh E và l l sẽ nghiệm gần đúng phương trình (I)I), (I)II),hay (I)VI)

Chương I: Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến 1.1 Khi λ=0, ứng với trường hợp không có nhiễu loạn

c  Ta hi vọng độ lệch này sẽ nhỏ Muốn vậy ta khai triển c và lm E (I)m, l

l =1, 2, 3,……)theo chuỗi lũy thừa của λ:

Trong đó các giá trị tỉ lệ với k

 là hiệu chỉnh bậc k tương ứng của c và lm E l

Thay (I)1.3) vào (I)1.1):

(I)E l0  E m0 E l(I)1) 2E l(I)2)  )(I)lm c m(I)1) 2 (I)2)c m  )

= mn(I) ln n(I)1) 2 (I)2)n )

các hàm n và bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với 2

 l 2dq 1 c l(I)1) 2  1 c l(I)1) c l(I)1)* 1 (I)1.11)

1.3 Điều kiện áp dụng

Phương pháp trên chỉ đúng trong trường hợp nếu chuỗi gần đúng hội tụ.Điều kiện cần cho điều đó là mỗi số hạng sau phải nhỏ hơn số hạng trước.Như vậy:

0 0

V E  E với bất kỳ n l (I)1.14)(I)1.14) chính là điều kiện có thể áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn Giả thiết “nhỏ” nghĩa là (I)1.14) được thực hiện

Việc chứng minh cho chuỗi nhiễu loạn hội tụ là rất phức tạp Trong một sốtrường hợp, người ta thấy gần đúng cấp 1 của lý thuyết đã cho những kết quảtốt, ngay cả khi chuỗi phân kỳ

Từ (I)1.14) ta thấy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức l khôngđược suy biến Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái n l có nănglượng 0

Chương 2: Nhiễu loạn dừng khi có suy biến 2.1 Sự giảm suy biến khi có nhiễu loạn

lk m k l m

m

a

2.2 Việc khử suy biến

Các hệ số a được xác định từ (I)2.2) khi thay m k K

l

trường hợp này ta nói rằng nhiễu loạn ˆV khử hoàn toàn suy biến Trường hợp(I)2.3) có nghiệm bội thì sự khử suy biến là không hoàn toàn Các hàm sóngtương ứng với các nghiệm bội của (I)2.3) xác định bởi phương trình 1 cách khôngđơn trị Chúng ta có thể trực giao chúng bằng phương pháp Gram-Schmidt Dựavào các hàm  trực giao, người ta có thể chéo hóa ma trận (I)l k H )của toán tử mk

‚

Nghĩa là: *

0

ˆ ˆ(I) )

Điều này cho phép chúng ta bỏ đi các số hạng có mẫu số nhỏ trong các phépgần đúng tiếp theo dựa vào các công thức (I)1.12) và (I)1.13)

2.3 nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau.

Từ công thức (I)1.12) và (I)1.13) , ta thấy rằng nếu trong số các trị riêng (I)0)

n

E

và các mức năng lượng (I)0)

n

E sẽ lớn và ta không dùng được các công thức đó.

Tuy nhiện, nếu số các trị riêng gần nhau lân cận mức n của H không nhiều thìˆ0

có thể thay đổi phương pháp tính sao cho cả trong trường hợp này vẫn có thểkhử được sự xuất hiện các số hiệu chỉnh lớn chúng ta chỉ xét trường hợp đơngiản là có hai mức năng lượng gần nhau

Giả sử H có hai trị riêng là ˆ0 (I)0)

Trong phép tính gần đúng cấp không, ta tìm nghiệm dưới dạng:

0 a(I)0) b(I)0) (I)2.7)

Thay giá trị này của (I)0)

(I)0) (I)0) (I)0) (I)0)

2 2

1

21

Ta xét 2 biểu thức của (I)2.14), trong hai trường hợp giới hạn

+) Nếu H11 H22H12 thì theo (I)2.11) có nghĩa là:

(I)0) (I)0) (I)0) (I)0)

(I)E V ) (I) E V ) E  E V

như vậy điều kiện (I)1.14) được thỏa mãn và lý thuyết nhiễu loạn được ápdụng Nếu trong phép gần đúng ta có thể bỏ qua 4 H122 trong số hạng dưới căn

số bậc hai của (I)2.14), thì ta sẽ có giá trị gần đúng cấp một trong phép nhiễu loạnthông thường

21

H11 H22 2x và H11H22 2H0

Tiến hành các phép thay thế tương ứng trong (I)2.14), ta thu được kết quảsau:

Bây giờ ta đi tìm hàm sóng  ứng với các mức năng lượng E và 1 E ,2

muốn vậy cần xác định các hệ số a và b trong công thức (I)2.7)

các chỉ số 1 và 2 theo thứ tự ứng với dấu + và – đứng trước dấu căn

Hệ thức chuẩn hóa cho hàm sóng ở (I)2.7) yêu cầu:

Từ trên ta suy ra rằng, trong số các giá trị năng lượng E E , …sẽ không1, 2

có các giá trị gần nhau Do đó có thể dùng giá trị này cùng hàm tương ứng của

chúng  1, 2 ,…làm các đại lượng gần đúng cấp không khi cần tính các hàmsóng  theo công thức (I) 1.10) trong công thức gần đúng cấp một và các hiệuchỉnh cho năng lượng trong phép gần đúng cấp hai theo công thức (I)1.13).

Phương pháp này cũng có thể dùng khi E1 E2 , nghĩa là khi có mức suybiến bậc hai với hai hàm (I)0)

11

12



Chương III: Hiệu ứng Stark đối với nguyên tử Hydro

Khi nguyên tử đặt trong một điện trường thì các vạch quang phổ của nó sẽ

bị tách ra Hiện tượng này đã được Stark phát hiện vào năm 1913 Hiệu ứngStark chỉ có thể giải thích bằng cơ học lượng tử Trong phần này ta sẽ giới hạnkhảo sát ở hiệu ứng stark bậc nhất, đặc trưng cho nguyên tử đồng dạng hydro.Đối với hydro và các ion tương tự, người ta phân biệt hai trường hợp: hiệu ứngStark trong điện trường mạnh và hiệu ứng Stark trong điện trường yếu Khi điệntrường yếu ta có hiệu ứng Stark bậc 2, bậc 3, bậc của hiệu ứng la do ở chỗmăng lượng của nguyên tử thu được trong điện trường phụ thuộc bậc 1, bậc 2,…vào cường độ điện trường

Coi nguyên tử như một lưỡng cực điện er Giả sử điện trường đều có cường

độ  hướng dọc trục OZ Trong toán tử Hamition xuất hiện số hạng phụ :

W e re z (I)3.1)

Hàm sóng của nguyên tử Hydro khi chưa có nhiễu loạn:

(I) , , ) 1 (I) ) m(I)cos ) im







ứng với mức này

Đối với mức n=2, có suy biến bội 4 Tương ứng với mức này có 4 hàmsóng:

81

sin (I) )

28

r a

r

i a

r

a a

a a

Lập tổ hợp tuyến tính của các hàm (I)3.4)-(I)3.7) để làm hàm gần đúng cấpkhông.

Và năng lượng E tìm bởi phương trình bậc 4:

detE H EI(I)  ) 0 (I)3.9)

Ở đây:

* 0

2 3

0 0 0

(I)1 ) sin

r a

0 2

B Một số bài tập vận dụng lý thuyết nhiễu loạn:

(I)bỏ qua số hạng tỉ lệ với A )

và coi số hạng thứ hai là toán tử nhiễu loạn

Hiệu chỉnh bậc nhất của năng lượng

(I)1)

2

nl

m eB E

trong đó  và  là những hằng số và x là độ lệch khỏi vị trí cân bằng.

Giải:

Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng

Toán tử Hamition của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều:

E E E

(I) 1) 2 (I) 1)(I) 2)(I) 3) 4

+n n(I)  1)(I)n 2)H n4 n n(I)  1)(I)2n 1)H n2

Đặt các biểu thức của 2H n(I) ) và 4H n(I) ) vào các tích phân ở trên

và đúng điều kiện trực giao chuẩn hóa các hàm sóng:

m(I)0)*(I) )x m(I)0)dx A A m n e H2 m(I) )H n(I) )d mn

= 0

1

khim n khim n

0 1

a

   trong đó

2 2

a mr

 Năng lượng và hàm sóng của (I)e) ở trạng thái cơ bản trong nguyên tử Hydro là:

2 0

Phân loại và giải được một số dạng bài tập Cơ học lượng tử khó bằngphương pháp gần đúng, giúp em và các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng , kỹ xảogiải các bài toán khó và hiểu sâu sắc hơn ý nghĩa vật lý cũng như phần lý thuyết

đã trình bày trong giáo trình Cơ học lượng tử

Qua đó phát huy tính tích cực của sinh viên trong việc tìm tòi, nghiên cứukhoa học

Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp nên số lượng bài tập đưa ra chưa nhiềucũng như phương pháp giải chưa được tối ưu và ngắn gọn, còn nhiều thiếu sótchưa đầy đủ Song đề tài cũng mở ra một hướng phát triển mới trong việcnghiên cứu các bài tập trong Cơ học lượng tử, đó là cách tư duy nhạy bén vàkhông còn lúng túng khi gặp các bài toán khó nữa

Do kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên trong quá trình hoàn thành đềtài của mình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được ý kiếnđóng góp của quý thầy cô và các bạn để em hoàn thành đề tài một cách tốt nhất

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Thái Hoa Cơ học lượng tử, Nxb ĐHSPHN , 2005.

2 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) Bài tập Vật lý lý thuyết, tập 2,

Nxb Giáo dục Hà Nội, 1997

3 Vũ Văn Hùng Bài tập Cơ học lượng tử, Nxb ĐHSPHN, 2007.

4 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh Cơ học lượng tử NxbGD Hà Nội,

1995

5 L.Schiff Quantum mechanic, New York, 1958.