skkn phát triển kĩ năng giải toán hình học

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH HỌC 8 NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINHI. Phần mở đầu I.1. Lý do chọn đề tài Toán học là một nghành khoa học tự nhiên, nó có mối quan hệ với nhiều nghành khoa học khác và được vân dụng nhiều trong thực tế cuộc sống của mỗi con người. Mục tiêu của dạy học toán học trong cuộc sống là:+ Trang bị cho học sinh những kiến thức về toán học.+ Rèn luyện kỹ năng toán học+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh đồng thời hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS, trên cơ sở nắm vững mục tiêu của dạy học bộ môn tôi nhận thấy rằng việc phát triển tư duy toán học cho học sinh nói chung và nhất là đối tượng khá giỏi thì việc hình thành kĩ năng giải các bài tập toán là rất quan trọng. Để làm được như vậy giáo viên cần giúp học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả các bài tập cơ bản, xâu chuỗi các bài toán để học sinh khắc sâu kiến thức tạo lối mòn – tô đậm mạch kiến thức, suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới từ những bài toán ban đầu. Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên, vẫn còn trong giáo viên chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài toán, một chuỗi bài toán liên quan, hay chí ít là tập hợp những bài toán có một số đặc điểm tương tự (về kiến thức, hình vẽ hay về yêu cầu …). Trong giải toán nếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, lâu dần làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học, không có thói quen suy nghĩ theo kiểu đặt câu hỏi, liệu có bài nào tương tự mà ta đã gặp rồi? Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Bài toán liên quan đến những bài toán nào đã gặp mà có thể vận dụng hay tương tự ở đây?Trong quá trình dạy học hay bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành bài toán mới tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một hướng đem lại nhiều điều hiệu quả cho việc dạy học. Quá trình này bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến bài toán khó dần là bước đi phù hợp để rèn luyện kỹ năng các thao tác trong lập luận về phân tích – trình bày lời giải góp phần rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải toán hình học, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và trong đề tài này tôi xin trình bày việc hướng dẫn học sinh “Khai thác và phát triển một vài bài toán hình học 8 nhằm phát triển kỹ năng giải toán của học sinh”.I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài a, Mục tiêu của đề tài Để giúp học sinh có cái nhìn tổng thể về mối quan hệ của một số bài toán hình học từ đơn giản đến phức tạp, các bài toán lạ được chuyển đổi từ một bài toán gốc đơn giản mà học sinh có thể giải được, để mỗi học sinh có thể tự làm, tự trình bày một bài giải toán khó và hay, từ đó phát triển kỹ năng giải toán của học sinh. Rèn cho học sinh khả năng phân tích, dự đoán và xâu chuỗi kiến thức. Khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi trình bày giải bài toán. Tạo được lòng say mê, hứng thú khi giải toán hình học. b, Nhiệm vụ của đề tài Từ một bài toán sách giáo khoa toán 8 tập 1, giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp giải tổng quát, để vận dụng giải các bài tập khó và hay khác có sử dụng kết quả của bài toán gốc và kết quả của những bài toán trước.I.3. Đối tượng nghiên cứu Học sinh hai lớp 8A và 8B trường THCS Băng Ađrênh – Krông Ana Đăklăk.I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu và áp dụng trong chương trình hình học lớp 8.I.5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tình hình học tập của học sinh. Cách hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các tiết luyện tập Học hỏi kinh nghiệm thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp. Phương pháp đọc sách và tài liệu Nói chuyện cởi mở với học sinh, tìm hiểu suy nghĩ của các em về chứng minh và trình bày bài toán chứng minh hình học Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến cuối năm học của các năm học trước.II. Phần nội dung

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH HỌC 8 NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

I Phần mở đầu

I.1 Lý do chọn đề tài

- Toán học là một nghành khoa học tự nhiên, nó có mối quan hệ với nhiềunghành khoa học khác và được vân dụng nhiều trong thực tế cuộc sống của mỗicon người

- Mục tiêu của dạy học toán học trong cuộc sống là:

+ Trang bị cho học sinh những kiến thức về toán học

+ Rèn luyện kỹ năng toán học

+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh đồng thời hình thành và phát triểnnhân cách cho học sinh

- Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS, trên cơ

sở nắm vững mục tiêu của dạy học bộ môn tôi nhận thấy rằng việc phát triển tưduy toán học cho học sinh nói chung và nhất là đối tượng khá giỏi thì việc hìnhthành kĩ năng giải các bài tập toán là rất quan trọng Để làm được như vậy giáoviên cần giúp học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả các bài tập cơ bản, xâuchuỗi các bài toán để học sinh khắc sâu kiến thức tạo lối mòn – tô đậm mạchkiến thức, suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới từ những bài toán ban đầu

- Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thườngxuyên, vẫn còn trong giáo viên chúng ta chưa có thói quen khai thác một bàitoán, một chuỗi bài toán liên quan, hay chí ít là tập hợp những bài toán có một

số đặc điểm tương tự (về kiến thức, hình vẽ hay về yêu cầu …) Trong giải toánnếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, lâu dần làm cho họcsinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học, không có thói quen suynghĩ theo kiểu đặt câu hỏi, liệu có bài nào tương tự mà ta đã gặp rồi? Cho nênkhi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Cần vậndụng kiến thức nào? Bài toán liên quan đến những bài toán nào đã gặp mà có thểvận dụng hay tương tự ở đây?

Trong quá trình dạy học hay bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng việc tìmtòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành bài toán mới tìm các cách giải khácnhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một hướngđem lại nhiều điều hiệu quả cho việc dạy học Quá trình này bắt đầu từ các bàitoán đơn giản đến bài toán khó dần là bước đi phù hợp để rèn luyện kỹ năng cácthao tác trong lập luận về phân tích – trình bày lời giải góp phần rèn luyện nănglực tư duy cho học sinh

Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải toánhình học, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và trong đề tài này tôi xin trình bàyviệc hướng dẫn học sinh “Khai thác và phát triển một vài bài toán hình học 8 nhằm phát triển kỹ năng giải toán của học sinh”.

I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

a, Mục tiêu của đề tài

- Để giúp học sinh có cái nhìn tổng thể về mối quan hệ của một số bài toánhình học từ đơn giản đến phức tạp, các bài toán lạ được chuyển đổi từ một bàitoán gốc đơn giản mà học sinh có thể giải được, để mỗi học sinh có thể tự làm,

tự trình bày một bài giải toán khó và hay, từ đó phát triển kỹ năng giải toán củahọc sinh Rèn cho học sinh khả năng phân tích, dự đoán và xâu chuỗi kiến thức.Khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tưduy linh hoạt, nhạy bén khi trình bày giải bài toán Tạo được lòng say mê, hứngthú khi giải toán hình học

b, Nhiệm vụ của đề tài

- Từ một bài toán sách giáo khoa toán 8 tập 1, giáo viên hướng dẫn học sinh

hình thành phương pháp giải tổng quát, để vận dụng giải các bài tập khó và haykhác có sử dụng kết quả của bài toán gốc và kết quả của những bài toán trước

I.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh hai lớp 8A và 8B trường THCS Băng Ađrênh – Krông Ana Đăklăk

-I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

- Đề tài được nghiên cứu và áp dụng trong chương trình hình học lớp 8 I.5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tình hình học tập của học sinh

- Cách hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các tiết luyện tập

- Học hỏi kinh nghiệm thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Nói chuyện cởi mở với học sinh, tìm hiểu suy nghĩ của các em về chứngminh và trình bày bài toán chứng minh hình học

- Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của họcsinh từ đầu năm học đến cuối năm học của các năm học trước

II Phần nội dung

II.1 Cơ sở lí luận

- Từ năm 2002 đến nay, chương trình sách giáo khoa có nhiều thay đổi, đặcbiệt là những năm gần đây, việc giảm tải, thay đổi khung phân phối chươngtrình đồng nghĩa với việc thay đổi cách nhìn, cách học, cách dạy của thầy và trò

- Trước tình hình đó môn toán cũng không nằm ngoài xu hướng đó Để dạy

và học tốt phân môn hình học, nhất là hình học lớp 8 Nội dung kiến thức tươngđối nhiều và khó, đòi hỏi cả thầy và trò phải nỗ lực nghiên cứu, tìm hiểu tài liệumột cách sâu sắc

- Việc áp dụng và xâu chuỗi kiến thức hình học đối với học sinh là còn khákhó khăn, đòi hỏi giáo viên phải có những dạng bài tập phát triển từ một bàitoán gốc, để học sinh có thể từ từ tiếp cận với các dạng bài tập khó, bằng cách

đưa các bài tập xâu chuỗi kiến thức trong chương trình toán 8 như: Phần tứ giác,diện tích đa giác, diện tích các đa giác đặc biệt, bất đẳng thức, bất đẳng thứccosi, từ dễ đến khó.

- Học sinh của trường chủ yếu là dân tộc kinh, trình độ học vấn, hiểu biết vàtính tư duy độc lập tốt nên việc triển khai các chuyên đề nâng cao cho học sinhkhá dễ dàng Học sinh nhanh chóng tiếp thu được kiến thức mới

- Đa số phụ huynh học sinh rất quan tâm đến vấn đề học tập của học sinh

* Khó khăn

- Xã Băng AĐrênh địa bàn dân cư trải dài giáp với huyện Kcuin nên học

sinh sống xa trường, đi lại khó khăn, đẫn đến khó triển khai được các buổi họcthêm để triển khai các chuyên đề, các chương trình nâng cao cho học sinh

- Đa số học sinh cảm thấy khó học phân môn hình học do các em không thểnhớ hay xâu chuỗi các kiến thức với nhau Do các e không chịu học phần địnhnghĩa, khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết đã được học ở các tiết lí thuyết,

mà đây lại là vấn đề quan trọng yêu cầu học sinh phải nắm và hiểu được trướckhi làm bài tập

b/ Thành công- hạn chế

* Thành công

- Khối lớp 8 của trường THCS Trường THCS Băng AĐrênh có số lượng họcsinh khá giỏi tương đối nên thuận lợi cho việc triển khai chuyên đề Khi triểnkhai chuyên đề, chất lượng học sinh khá giỏi tốt nên việc tiếp thu kiến thức mới

và kiến thức khó của các em rất tốt và các em nhanh chóng nắm được các kiếnthức

* Hạn chế

- Chuyên đề triển khai trên tất cả học sinh khối 8 nhưng một số học sinh vẫnchưa chịu đầu tư, nghiên cứu dẫn đến chưa thể nắm vững nội dung, phươngpháp mà giáo viên đã đưa ra

c/ Mặt mạnh- mặt yếu

- Chuyên đề triển khai áp dụng bài toán cơ bản trong sách giáo khoa lớp 8nên đa số học sinh khá giỏi tiếp thu nhanh và biết áp dụng vào các bài tập cơ bản

và nâng cao, khả năng phát triển tư duy logic của học sinh được nâng lên rõ rệt

- Tuy nhiên với học sinh trung bình và yếu thì việc giải các bài toán nângcao của các em còn quá khó khăn, chính vì vậy chất lượng đại trả vẫn chưa đượccải thiện nhiều

d/ Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

- - Trong quá trình học toán, học sinh hiểu phần lý thuyết có khi chưa chắc

chắn hoặc còn mơ hồ về các định nghĩa, các khái niệm, định lí, các công thức…nên không biết áp dụng vào giải bài tập

- Có những dạng bài tập chứng minh, tính toán trong hình học, nếu học sinhkhông chú tâm để ý hay chủ quan xem nhẹ hoặc làm theo cảm nhận tương tự là

có thể đi vào thế bế tắc hoặc sai lầm

- Học sinh của trường đa số là con em gia đình thuần nông nên việc đầu tưthời gian học tập còn hạn chế, phần nào ảnh hưởng tới chất lượng học tập củacác em

e/ Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trang mà đề tài đã đặt ra.

- Khối lớp 8 có số lượng học sinh khá giỏi nhìn chung vẫn còn ít hơn khốilớp khác, trình độ học sinh không đồng đều về nhận thức và học lực nên gây khókhăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp Nhiều học sinh cóhoàn cảnh khó khăn cả về vật chất lẫn tinh thần do đó việc đầu tư về thời gian vàsách vở cho học tập bị hạn chế nhiều và ảnh hưởng không nhỏ đến sự nhận thức

và phát triển của các em

- Sau khi nhận lớp và dạy một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản thìthấy:

+ Lớp 8A: Số em không thể giải, không thể tự trình bày giải hay chứng minhhình học chiếm khoảng 75%, số học sinh nắm chắc kiến thức và biết vận dụngvào bài tập có khoảng 25%, số học sinh biết phối hợp các kiến thức, kỹ nănggiải các bài toán phức tạp được biến đổi từ bài toán quen chiếm khoảng 4,2%.+ Lớp 8B: Số em không thể giải, không thể tự trình bày giải hay chứng minhhình học chiếm khoảng 65%, số học sinh nắm chắc kiến thức và biết vận dụngvào bài tập có khoảng 35%, số học sinh biết phối hợp các kiến thức, kỹ nănggiải các bài toán phức tạp được biến đổi từ bài toán quen chiếm khoảng 6,5%

- Số học sinh trung bình và yếu, kém tập trung ở cả hai lớp nên gây khó khăntrong quá trình giảng dạy

II.3 Giải pháp thực hiện

a/ Mục tiêu của giải pháp, biện pháp

* Mục tiêu:

- Hình thành kĩ năng giải và trình bày bài toán hình học cho học sinh từ bàitoán đơn giản Tăng dần lượng kiến thức, chuyển từ bài toán đơn giản đã biếtcách giải sang bài toán phức tập hơn.

* Giải pháp:

- Tạo tâm lí thoải mái cho học sinh, không có gì khó khăn khi giải và trìnhbày bài tập hình học Cần khuyến khích học sinh tự giải và tự trình bày sau khigiáo viên đã giảng giải

- Giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, dẫn dắt học sinh tìm ra lời giảibài toán, học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức

- Giáo viên luôn tạo môi trường thân thiện giữa thầy và trò Không quá tỏ vẻ

xa cách hay quá lớn lao và cao cả đối với học sinh Luôn tạo cho học sinh mộtcảm giác gần gũi, không làm cho học sinh cảm thấy sợ hãi Dạy thật, học thậtngay từ đầu Dạy theo điều kiện thực tế không quá áp đặt chủ quan

b/ Nội dung và cách thực hiện

Xuất phát từ bài 18 trang 121 Sgk toán 8 tập 1:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: S AMB = S AMC

Bài toán trên ta dễ chứng minh được.

Chúng ta sẽ dễ dàng giải được bài toán sau:

Bài toán 1: ABC vuông tại A, AM là trung tuyến Gọi P, Q là hình chiếu của

M trên AC, AB Chứng minh rằng: SAQMP = 1

Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A M là một điểm thay đổi trên cạnh

BC Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AC và AB Với vị trí nàocủa điểm M trên BC thì SAQMP lớn nhất

Phân tích bài toán: Ta thấy S ABC không đổi Vậy S AQMP lớn nhất khi và chỉ khi S

 Dấu “=” xảy ra <=> x = y <=> M là trung điểm của BC

Vậy SAQMP đạt giá trị lớn nhất bằng 1

2SABC khi M là trung điểm của BC

Mặt khác: S APMQ = S ABC – ( S BQM + S CPM ) Vậy diện tích tứ giác APMQ lớn nhất khi và chỉ khi S BQM + S CPM nhỏ nhất <=> tỉ số S BQM S CPM

=> CP PM  

CP QB PM MQ

MQ QB  CP QB AP.AQ = (PM.MQ) 2 ( Vì AP = MQ; AQ =PM)

2

S

khi PC = CA và QA = QB hay M là trung điểm của BC

Nhận xét 1: Về cách giải, ở bài toán 2 để tìm vị trí của điểm M sao cho diện

tích APMQ lớn nhất, ta phải xét mối liên hệ giữa diện tích APMQ với diện tích tam giác ABC.

Mặt khác, ta nhận thấy rằng nếu lấy điểm E đối xứng với điểm M qua AB, điểm F đối xứng với điểm M qua AC thì 3 điểm E,A,F thẳng hàng ( Bài 159 sách bài tập toán 8, tập một) và diện tích tam giác MEF gấp hai lần diện tích tứ giác

AQMP Vì vậy, ta có thể phát biểu thành một bài toán mới như sau:

Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M di chuyển trên cạnh BC Gọi

E,F lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB và AC Xác định vị trí của điểm M

để diện tích tam giác MEF lớn nhất

Hướng dẫn:

E

Q

F P A

B

C M

Dễ dàng chứng minh được EAQ = MAQ

Và MAP = FAP nên ta có: EAF  180 0

Và SAEQ = SMAQ ; SAMP = SFAP

Suy ra SFEM = 2SAQMP

Đến đây ta giải giống bài toán 2

Nhận xét 2: Bằng phương pháp tổng quát hóa, dựa vào cách giải bài toán

2 ta có thể thay tam giác ABC vuông ở A bằng một tam giác ABC bất kỳ Khi đó P,Q được thay là giao điểm của các đường thẳng qua M song song với AB và

AC, và thay việc tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác APMQ lớn nhất bằng việc chứng minh S APMQ ≤ 1

Ta có: Bài toán 2.2: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ.

Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AC tại P, đường thẳng qua M vàsong song với AC cắt B tại Q Chứng minh rằng: S AQMP  12S ABC?

Phân tích: Ta thấy bài toán 2.2 là bài toán tổng quát cho bài toán 2 Nên cả hai

cách giải 1 và 2 ở bài toán 2 đều áp dụng được cho bài toán này.

K

H

P Q

Cách 2: Hoàn toàn tương tự cách 2 của bài toán 2.

Cách 3:

K

G

P Q

I

A

M

Không mất tính tổng quát: Giả sử MB  MC Trên đoạn MB lấy điểm I sao cho

MI = MC Qua I kẻ đường thẳng song song với QM cắt AB tại K, cắt PM tại G

Ta có:  MPC = MGI (g.c.cg)

SMPC = SMGI và MP = MG

Do đó SAQMP = SKQMG

( Vì AQMP và KQMG là hình bình hành)Lại có SABC  SAQMP + SKQMI + SMPC

 SABC  SAQMP + SKQMI + SMGI

 SABC  2SAQMP.

Như vậy sau khi giải xong các bài toán trên ta rút ra được phương pháp giải tổng quát cho một số bài toán diện tích bằng cách tạo ra hình bình hành nội tiếp tam giác Kết quả cũng như cách giải của bài toán 2.1 sẽ được vận dụng giải cho các bài tập sau:

Nhận xét 3: Từ bài toán 2.2 ta thấy S AQMP đạt giá trị lớn nhất bằng

2

S khi M

là trung điểm của BC với S = S ABC Khi đó tổng diện tích hai tam giác QMB và PMC đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ở bài toán 2.2, xét trường hợp điểm M nằm trong tam giác ABC Lúc đó, qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm Q, H, N, K, G, P Áp dụng kết quả của bài toán 2.2 ta chứng minh đựơc S 1 +S 2 +S 3 ≥ S :3 ( S là diện tích tam giác ABC).

Từ đó ta có bài toán 2.3.

Bài toán 2.3 : Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác Qua M kẻ các

đường thẳng song song với các cạnh của tam giác cắt các cạnh AB, BC, CA lầnlượt tại Q, H, N, K, G, P Gọi S1 = SQHM, S2 = SNMK, S3 = SPMG ; S = SABC

A

M

a) Xét tam giác AHG có :

Hình bình hành AQMP nội tiếp trong tam giác

Áp dụng kết quả cách 2 của bài toán 2.2, ta có :

S1 + S2  1

2S AHG Tương tự : Với tam giác BQK ta có : S1 + S2  1

2S BQK

Với tam giác CPN ta có : S2 + S3  1

2S CPN

Suy ra : 2 ( S1 + S2 + S3)  1

2( S + S1 + S2 + S3)  3.( S1 + S2 + S3 )  S  S1 + S2 + S3 

3

S

.b) Từ nhận xét bài toán 2.2 ta có S1 + S2 +S3 nhỏ nhất khi và chỉ khi M đồng thời

là trung điểm của HG, QK và NP

M là trung điểm của HG  AM đi qua trung điểm của BC

M là trung điểm của QK  BM đi qua trung điểm của AC

M là trung điểm của NP  CM đi qua trung điểm của BA

Khi đó M là trọng tâm của tam giác ABC

Nhận xét 4 : Từ bài toán 2.2 với tam giác ABC có hai góc B và C nhọn,

dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC còn 2 điểm P, Q nằm trên cạnh BC, lúc này ta không yêu cầu chứng minh S MNPQ

 1

2S ABC nữa mà yêu cầu tìm vị trí của M sao cho diện tích MNPQ là lớn nhất

Từ đó ta có bài toán 2.6 :

Bài toán 2.4 : Cho tam giác ABC có hai góc B và C nhọn Dựng hình chữ nhật

MNPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC còn hai điểm P, Qnằm trên cạnh BC Hãy tìm vị trí của điểm M để diện tích hình chữ MNPQ lớnnhất ?

Phân tích : Bài toán này thực chất là bài toán 2 được mở rộng nhưng đòi hỏi HS

phải biết cách liên hệ bài toán 2 hoặc bài toán 2.2 để áp dụng kết quả của nó vàobài toán này Từ cách giải của bài toán 2, ta nhận thấy rằng để tìm được vị tríđiểm M sao cho diện tích MNPQ lớn nhất ta phải tìm được mối liên hệ giữa diệntích của MNPQ với diện tích tam giác ABC ; tức là ta phải tạo đường cao củatam giác ABC để tính diện tích Vì cạnh PQ của hình chữ nhật nằm trên cạnh

BC, suy ra đường cao phải kẻ là đường cao xuất phát từ đỉnh A Kẻ đường cao

AI ta có thể áp dụng ngay kết quả bài toán 2 vào hai tam giác AIB và AIC Từ

đó ta có thể giải bài toán 2.6 như sau :

Hướng dẫn giải :

K

P

N M

I

A

Q

Cách 1 : Kẻ đường cao AI, gọi K là giao điểm của AI với MN.

Áp dụng kết quả bài toán 2.2 cho tam giác AIB và tam giác AIC, ta có :

 

1

1 2

- Việc biết cách chuyển bài toán 2.6 về để áp dụng kết quả của bài toán 2.2

đã giúp cho việc giải bài toán một cách nhẹ nhàng và nhanh chóng hơn, góp phần củng cố các kết quả thu được khi giải bài toán 2 và bài toán 2.2.

Cách 2 : Từ cách giải bài toán 2, nhìn vào hình vẽ, học sinh có thể nghĩ ngay

đến việc tính tỉ số diện tích tứ giác MNPQ và diện tích tam giác ABC bằng cách

kẻ đường cao AI của tam giác ABC

2.SABCVậy SMNPQ lớn nhất bằng 1

2.SABC khi M là trung điểm của AB