Bài thị dirichlet đối với phương trình monge ampere phức và tính chính qui của hàm green đa phức

20 Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC .... Theo hướng dẫn nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài: "Bài toán Diri

THÁI NGUYÊN - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Hòa

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả với những kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện

thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,

Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, Trường PTDT Nội trú - THPT tỉnh, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp

đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013

Tác giả Nguyễn Thị Hòa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 3

1.2 Toán tử Monge-Ampère phức 4

1.3 Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere 8

1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm 20

Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC 24

2.1 Các ước lượng biên đối với các đạo hàm cấp hai 25

2.2 Các ước lượng nội tại đối với các đạo hàm cấp hai 32

2.3 Tính chính quy của hàm Green đa phức 36

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

1985, L Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg và J Spruck đã chứng minh sự tồn tại của các nghiệm đa điều hòa dưới cổ điển của (*) cho trường hợp  0, không suy biến trong các điều kiện  thích hợp Trường hợp suy biến  0

cũng đã thu hút nhiều sự chú ý, và các phản ví dụ được tìm thấy đã chỉ ra rằng nghiệm đó không nhất thiết phải là nghiệm thuộc lớp C2

(xem Bedford và Fornaess, 1979; Gamelin và Sibony năm 1980) Ở đây chúng ta xem xét bài toán Dirichlet (*) đối với các miền tổng quát mà không cần đến tính giả lồi

Theo hướng dẫn nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài: "Bài toán

Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức và tính chính qui của hàm Green đa phức"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên

cứu tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere, Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm

- Trình bày một số kết quả của Bo Guan về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère và tính chính qui của hàm Green

đa phức

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết thế vị phức để trình bày các kết quả của Bo Guan

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere, Hàm

Green đa phức với cực logarit tại một điểm

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère

và tính chính qui của hàm Green đa phức

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.1.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ và n u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và

u Î C W , WÐ £ , gọi là đa điều hòa n

dưới chặt nếu ma trận Hessian phức { }u z z j k là xác định dương trong W

Ký hiệu { }jk

u là ma trận nghịch đảo của { }u z z j k khi nó là khả nghịch

1.1.3 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ và n u W® ¡: là hàm

đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.1.4 Mệnh đề Cho WÐ £n là mở và u W® ¡: là hàm đa điều hoà dưới

Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi v Î P SH( )W, nếu

lim sup( ( ) ( )) 0

x

® - ³ , với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ;

( )ii Nếu v Î P SH( )W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao

cho u - v ³ - trong e W\ K , thì u ³ v trong W;

(iii) Nếu v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối của W, và

2

là tập con compact của W Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và

compact tương đối trong G Theo ( )i ta có

2

u ³ v+ h trong G , điều đó mâu

thuẫn với a Î E Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm

là đa điều hoà dưới trong W theo các giả thiết (iii), ( )iv , ( )v và ( )i

với dV là yếu có thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C W0( ) trên W

0

n c

C j j dd u

W

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy { }u n n 1 ( ) C¥

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của toán tử Ampère được trình bày trong [1]

Monge-1.2.1 Mệnh đề Giả sử { }m j là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÐ ¡ n

hội

tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

a) Nếu G Ð W là tập mở thì ( ) lim inf j( )

b) Ta có { 0}

mở của K và j Î C V0( ), 0£ j £ và 1 j = 1 trên K Khi đó

( ) ( ) lim j( ) lim sup j( )

c) Viết E = IntE È ¶ Khi đó E

1.2.2 Định lý Giả sử WÐ £n là miền bị chặn và u v, Î P SH( )W ÇL¥ ( )W sao

1.2.5 Hệ quả Giả sử WÐ £n là miền bị chặn và u v, Î P SH( )W ÇL¥ ( )W sao cho

Chứng minh Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó có e > 0 sao cho

{u < v + ey}¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương Chú ý rằng do y < 0

Chứng minh Giả sử v Î P SH( )W và G Ð sao cho uW ³ v trên G¶ Đặt

max ( ), ( ) , ( )

Khi đó w Î P SH( )W ÇL loc¥ ( )W Hơn nữa lim inf( ( ) ( )) 0

1.3 Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere

Trước tiên chúng ta xét lớp các hàm đa điều hòa dưới cực đại liên tục liên quan đến bài toán Dichlet tổng quát:

Cho W là một miền bị chặn trong £ và n f Î C(¶ W) Bài toán Dirichlet được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên :u W® ¡ sao cho u

W là đa điều hoà dưới trên W và u¶ Wº f

Ta ký hiệu U( , )Wf là họ của tất cả các hàm u Î P SH( )W sao cho u* £ f trên

w

®

Î W

= , với mọi z Î W

Đặt yW,f( )z = sup{u z( ) :u Î U( , ) , Wf } z Î W Hàm yW,f( )z được gọi là hàm

Perron - Bremermann đối với W và f

Ta sẽ chứng minh rằng yW,f( )z là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát khi W

B f z z B z

y y

ïïï

= ìï

Î ¶ïïî

là một nghiệm của bài toán Dirichlet đối với tập B và hàm f Hơn nữa, y là

liên tục

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 Giả sử

h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f Vì hàm đa điều hoà

dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B f, £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới Do h liên tục trong B , nên ta có (y B f, )* £ h trong B Đặc biệt, điều đó có nghĩa là (y B f, )* Î U B f( , ) và như vậy (y B f, )* º y trong

B Þ y Î P SH( )B Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý,

® Î

= , (1.2)

tức là y liên tục tại mỗi điểm biên

Tính cực đại của y là hiển nhiên Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , v G ® - ¥ ¥: [ , ) là nửa liên tục trên, ( )

ïïï

= ìï

Îïïî

thuộc U B f( , ) Þ V £ y Đặc biệt, v £ y trong G (điều phải chứng minh)

Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới Thật vậy, lấy e > 0 Khi B ¶ là compact, y B = f là liên tục đều Điều đó kết hợp

với (1.2) suy ra tồn tại (0, )

nên H y Î P SH( ( 0,B r- d) ) là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới Mặt

khác, H y = y trong B \ B(0,r- 2 )d Thực vậy, theo định nghĩa H z ta có y( )

Vậy y là nửa liên tục dưới (điều phải chứng minh)

Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả trên cho Bài toán Dirichlet tổng quát đối với toán

tử Monge-Ampere:

Cho W là miền bị chặn trong £n và f Î C(¶ W) Bài toán Dirichlet tổng quát đối với toán tử Monge-Ampere phức được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên :u W® R sao cho u liên tục tại mỗi điểm của ¶ W và các điều kiện sau được thỏa mãn:

ïîTrong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có nghiệm duy nhất khi W là hình cầu Ơcơlit B = B a r( , ) Theo Hệ quả 1.2.7, nghiệm như vậy phải

là hàm cực đại do đó nó phải trùng với hàm Perron-Bremermann YB f, Vì thế

bài toán đưa về chứng minh (ddcYB f, )n = 0 trong B

Ta nhắc lại một vài ký hiệu sẽ dùng trong định lý dưới đây:

Cho B a R( , )là hình cầu mở trong m

= ò , u là hàm độ đo trên B a R( , ) Cho u Î L1loc( )W Với e > 0 ta định nghĩa

u Î L W thì T u e hội tụ đến D theo nghĩa suy rộng u

1.3.2 Định lý.[10] Giả sử u W® R: là hàm điều hòa dưới sao cho

h > và { }e j là dãy các số dương hội tụ đến 0 Khi đó tồn tại tập compact

K Ð W và số tự nhiên j0 sao cho:

 thuộc vào C0¥ (Cn) và trùng với j trên ¶B(0,1)

Ta ký hiệu hàm này cũng là j Lấy hằng số C sao cho

2 2 2

1= z = (Re ,áz z ð +) d t z R zis ( , ) và

z - z0 2 = (1- Re ,áz z0ð +)2 d t z R zis ( , 0)2, trong đó R z0 = {tz0 :t Î R} Do đó nếu z Î ¶B(0,1) thì

trên B(0,1) thuộc vào U( (0,1), )B j ,Lip v( )£ C và v = j trên ¶B(0,1)

Tương tự, có thể xây dựng hàm w trên B(0,1) sao cho

Bây giờ, như là hệ quả ta có H z y( )£ u z( ) với z Î B(0,1) Nói riêng, với

z z + y Î B ta có:

u z + y - C y £ u z Þ u z( + y)- u z( ) £ C y

Đổi vai trò z và z + y ta được ( )u z - u z( + y)£ C y Như vậy Lip u( )£ C

Tiếp theo ta chứng minh rằng với bÎ ¶B(0,1) tùy ý thì phân bố

¶

=

¶ ¶

å (1.4) theo nghĩa hội tụ yếu theo độ đo trên A e = B(0,1- e) Vì C A0( e) trù mật trong

L A e và do đó thuộc L¥ (A e) Vì e bé tùy ý nên suy ra điều phải chứng minh

Nói riêng, phép biến đổi Laplace của u được biểu diễn bởi một hàm không âm trong L¥loc( (0,1))B Điều đó suy ra rằng nếu z j = x j + ix j+n thì các đạo hàm

2

2

2

( ) ( )

của các phép biến đổi Riesz

Bây giờ kết luận đòi hỏi suy ra từ (1.5), Mệnh đề 2.5.2 [10], tính đầy đủ của các không gian L và p D(u*c e) = D *u c e

Vì thế, nếu e = j (0, 0,1, 0, , 0) là véc tơ thứ j của cơ sở chính tắc trong

j

u x

12

¶ ¶ Kết luận cuối cùng của định lý được suy ra từ các kết

quả về không gian Sobolev

P SH C

( 0,1)( (0,1)) ( (0,1))

f , thì u j hội tụ đều tới u

Bây giờ giả sử f Î C¥ (¶B(0,1)) Ta đã biết u Î C( (0,1))B (Định lý 1.3.1),

1

( (0,1))

u Î C B và đạo hàm riêng cấp 2 của u thuộc vào L loc¥ ( (0,1))B (Định lý

1.3.3) Vì thế (dd )c u n = gdl với hàm không âm g Î L loc¥ ( (0, 1))B nào đó Với hằng số c Î (0,1), giả sử l ( {z Î B(0,1- c) : ( )g z > c} )> Đặt c

Theo Định lý 1.3.3, M là hữu hạn và như vậy là số dương

Bây giờ chọn các số dương ,a h sao cho

! 4( 1)n

c a

Theo Định lý 1.3.2 tồn tại tập compact K Ð B(0,1) sao cho l ( (0,1) \B K) < h

và số nguyên j0 sao cho với z Î K,wÎ B z( ,e j),j ³ j0

¶ và v z j( )0 > u z( )0 Thật vậy, trước tiên ta sẽ chỉ ra tính đa điều

hòa dưới của v j Ký hiệu I là ma trận đồng nhất cấp n ´ n Theo (1.11), nếu

i k

u z

Bây giờ ta sẽ chứng minh v j £ u trên ¶B z e( ,0 j) Vì

1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm

1.4.1 Định nghĩa Cho W là tập con mở liên thông trong £n , a Î W, nếu u là hàm đa điều hoà trong lân cận của a thì ta nói rằng u có cực logarit tại

Chứng minh Giả sử r là hàm xác định đối với W Lấy a Î W và chọn

trong đó C > 0 là hằng số được chọn sao cho C r < log( /r R) trên ¶B a r( , )

Ta có v Î P SH( ,[- ,0))W ¥ suy ra v £ gW(., )a trong W Vì v z( )= C r( )z khi

z Î ¶ W nên suy ra điều phải chứng minh

1.4.4 Hệ quả Nếu W là miền siêu lồi và w Î W thì hàm z  g z wW( , ) liên tục trong W

1.4.5 Bổ đề Cho W là miền bị chặn trong £n , a Î W và

Chứng minh Chọn M > 0sao cho {u < - M} là tập compắc tương đối trong

W Đặt u =1 max {u,-M-1} và v1 = max { ,v - M} Nếu j Î C0¥ (Wê ú, 0,1é ùë û )

bằng 1 trong lân cận của {u < - M}, thì

1.4.6 Định lý Cho W là miền bị chặn trong £n , a Î W và

Cho h tiến đến 0 và theo Bổ đề 1.4.5 ta có điều phải chứng minh

Bây giờ Cho W là miền bị chặn trong £n , a Î W Ta xét bài toán tìm hàm u

thoả mãn các điều kiện sau:

Điều này được suy trực tiếp từ Định lý 1.4.2 iii) và Định lý 1.4.6

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng u là nghiệm duy nhất của bài toán (1.14) Giả

sử v là một nghiệm khác của (1.14) Khi đó v £ u, bởi vì u là hàm Green, và tại một điểm bÎ W\ { }a nào đó, có v b( )< u b( ) Giả sử g là hàm đa điều hòa dưới chặt xác định trên lân cận của W sao cho g £ - 1 trong W Chọn e > 0

đủ bé sao cho u + eg > v trong lân cận của b và đặt w= max{u + eg,v} Chú ý rằng

( )z log z a O(1)khi z a

w - - = ® và (dd c w)n( ) { }a = (2 )p n, (1.15) theo Định lý 1.4.6 Hơn nữa, từ thác triển của toán tử Monge-Ampere ta có

Chương 2 BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM

GREEN ĐA PHỨC

Cho W là một miền bị chặn trong £n với £¥ - biên ¶ W Trong chương này chúng ta quan tâm đến bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère phức

ïïì

ïïî (2.1)

Trước tiên ta nhắc lại một vài ký hiệu cần thiết:

Cho z1, ,z là các tọa độ phức trong n £n, z j = x j + iy j và z = ( , ,z1 z n)

Nếu u là C -2 hàm trên một tập mở của £n thì ta sử dụng ký hiệu: