Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải nhanh hình phẳng OXY đặng thành nam

Tác giả mạnh dạn giới thiệu với bạn đọc cuốn sách “Kỹ thuật giải nhanh Hìnlỉ phang Oxy Được đánh giá là một trong ba câu phân loại học sinh cùng với Phương trình, bất phương trình vô tỷ

Thủ Khoa ĐH, Thủ Khoa Toán sv Toàn Quốc 2012 - Giám đốc Trung tâm

~/ nguyên cứu, tư vãn và phát triển các sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

L n lL ld íU I K n lA lL

^ Dành cho học sinh luyện thỉ đại học

Bòi dưỡng học sinh gỉỏỉ 10 ,11,12

>í Giáo viên giảng dạy, dạy thêm và luyện thi

5 j & o o 7 &

(G V Thu Khoa ĐH, Thủ Khoa Toán sv Toàn Quốc 2012 - Giám đốc Trung tâm

nguyên cứu, tư vấn và p hát triển các sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

Những điều cần biết

LUYỆn THI ĐẠI HỌC

KỸ THUẬT GIÃI I M

HỈNH PHẢNG OXY

Dành cho học sinh luyện thi đại học

>í Bồi dường học sinh giỏi 10 ,11,12

o m

NHA XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU

Với hy vọng cuốn sách sẽ trở thành tư liệu tự học và rèn luyện kỳ năng bổ ích dành cho các em chuẩn bị cho kỳ thi Tuyển sinh đại học đang đến gần Tác giả mạnh dạn giới thiệu

với bạn đọc cuốn sách “Kỹ thuật giải nhanh Hìnlỉ phang Oxy Được đánh giá là một trong ba câu phân loại học sinh cùng với Phương trình, bất phương trình vô tỷ - Hệ phương trình; Bất đảng thức và cực trị và Hình học phẳng Oxy Các nguồn tài liệu về hình phẳng Oxy cũng khá chi tiết tuy nhiên để mang tính cập nhật cho sát với đề thi Tuyển sinh đại học cũng như một số cuộc thi Học sinh giỏi các năm gần đây tác giả trăn trở và suy nghĩ rất nhiều trước khi bắt tay vào viết cuốn sách này Hy vọng đây là tài liệu công phu cung cấp đầy đủ các dạng toán, phương pháp và kỹ thuật giải đồng thời là các bài toán hay và khó đòi hỏi tính tư duy sáng tạo của học sinh Và đích của cuốn sách này là giúp các em giải quyết trọn điểm câu Hình phăng Oxy có trong đề thi Tuyển sinh đại học

Cuốn sách gồm 5 chương:

Chương 2: Tam giác và tứ giác, đa giác

Chương 3: Đường tròn

Chương 4: Ba đường Côníc

Chương 5: Bài toán chọn lọc và rèn luyện nâng cao

Trong mồi chương sẽ chia theo các chủ đề, trong mỗi chủ đề gồm các dạng toán điển hình hay gặp được viết thành các phần

A NỘI DUNG PHƯƠNC PHÁP

Trình bày các bài toán điể.1 hình hay gặp cùng phương pháp giải tổng quát kèm theo là các ví dụ minh họa đơn giản cho các em dễ nắm bắt được nội dung phương pháp Cũng như

đó là kính nchiệm và lưu ý khi làm bài

B BÀI TẬP MÂU

Hệ thống bài tập mẫu từ dễ - trung bình đến khó sẽ giúp các em rèn luyện hiểu và vận dụng thật chắc phương pháp, đi cùng với đó là một số bài tập hay và khó đòi hỏi các em phải tư duy và phân tích đề bài để tìm ra nút thắt của bài toán

c BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Hệ thống bài tập rèn luyện được sắp xếp từ dễ đến khó, đây là cơ hội để các em kiểm tra lại những gì đã được tiếp cận và còn đọng lại trong quá trình đọc và ôn luyện Hãy giải đáp hết các bài toán trước khi tìm đến phần hướng dẫn giải - đáp sổ

D HƯỞNC DÀN CỈIẢI - « Á P SÒ

Trình bày lời giải vẩt tất, phân tich đề một số bài toán khó và đáp số

Cuối cùng xin gửi lời cảm Ơ!| an thành sâu sắc đến quý thầy cô đã đọc bàn thảo và có những góp ý hát sức quý báu cho tác giả Hy vọng lần lần tái bản sau sẽ hạn chế được nhùng sai sót cũng như mang đến những kỳ thuật, phương pháp mới đến bạn độc

Mọi ý kiến góp ý, trao đổi về cuốn sách xin gửi về địa chỉ:

Email: danụnamneu@»mail.eom

Tác giả

ĐẶNG THÀNH NAM

Cty TNHH M T V D W H Khang Việt

Chủ đề 1 Đ IỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

A LÝ THỦYẾT

I KIẾN THỨC C ơ BẢN

Mặt phang tọa độ Đe-các vuông góc Oxy, hệ trục gồm trục hoành nằm ngang

Ox và trục tung Oy vuông góc với Ox tại O- được gọi là gốc tọa độ

X ét đ iể m M ( x ; y ) khi đó O M = ( x ; y )

Các phép toán đối với véc tơ:

Cho hai véc tơ u = (X |; y I ) , V = ( x 2;y 2)

Nhân véc tơ với một số: k.u = ( k x j;k y j)

■ Hai véc tơ cùng phương <=> — = —

x 2 y2Xét ba điểm A ( x 1; y Ị) , B ( x2 ;y 2 )>C(x3;y 3 ) khi đó A,B,C thẳng hàng khi và

c h l k h i ^ J l i Ì L = ^ Ì L

Độ dài đoạn thẳng AB = | a b | = y j ị \ 2 - x 1 )2 + ( y 2 - yi )2 •

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Định nghĩa véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thăng d <=>

[u / /d

Nhận xét Nếu u là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d thì mọi

véc tơ ku , với k * 0 đều là véc tơ chỉ phương cùa đường thẳng đó

b) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

Một véc tơ n được gọi là véc tơ pháp tuyển của đường thẳng d o i

n l d

Kỹ thuật giãi nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam

Nhận xét Nếu n là một véc tơ pháp tuyến(vtpt) của đường thẳng d thì mọi véc

tơ kn , với k * 0 đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó

- Neu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = (a;b ) thì nó có véc tơ chỉ phương

là u = ( - b ; a )

- Ngược lại nếu đường thẳng d c ó véc tơ chỉ phương u = (a ;b ) th ì nó có véctơpháp tuyên là n = ( - b ; a )

2 Phương trình tổng quát của đưòng thẳng

Đường thẳng trong mặt phang có dạng tổng quát:

d : a x + by + c = 0 ,Ịa 2 + b2 > oỊ Trong đó a ,b ,c là các hệ số thực

■ Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0; y 0) <£> ax0 + by0 + c = 0

■ Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d là n = (a;b)

■ Véc tơ chỉ phương song song với d là u = ( - b ; a )

B Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M ( x 1; y ị ) , N ( x 2; y2 )

x 2 “ x l y ỉ - y i(áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước)

■ Phương trình đường thẳng đi qua đi qua điểm M ( x 0; y 0) và có hệ số góc klà: d : y = k ( x - x 0 ) + y 0

(áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều kiện khác)

4

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

■ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M ( x 0; y 0 )v à có véc tơpháp tuyến iì = ( a ;b ) !à: d : a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0) = 0 ,Ị a 2 + b2 >

(có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ sổ góc)

4 Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng.

Xét đường thẳng d : a X + by + c = 0 ,Ị a 2 + b2 > o) và hai điểm

A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B )

Xét tích T = ( a x A + byB + c ) ( a x B + byB + c )

■ Neu T > 0 thì A,B nằm về hai phía so với d

■ Neu T < 0 thỉ A, B nằm về cùng một phía so với d

■ Neu T = 0 thi hoặc A hoặc B nằm trên d

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

dị : a| X + bjy + C| = 0,(af + > o j ; và d2 :a2 X + b2y + c2 = 0,Ịa2 + b ị > o Ị

Nếu điểm M(x; y) nằm trên đường phân giác cùa góc tạo bởi dj và d 2 thì

d ( M ; d | ) = d ( M ; d 2) Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi

d ị ,d 2 có phương trình là:

|ajX + b,y + Cị| |a2x + b2y + c2| aịX + bịy + Cị a 2x + b2y + c2

A : J— , —L = J — — Lo A : = L = ±-+— ểá 1

6 Góc giữa hai đường thẳng.

Xét hai đường thẳng dị :a, X + bjy + Cj = 0,(a? + > o j c ó véctơ pháp tuyến

ĩ i | = ( a l; b 1) ; và đường thẳng d2 : a 2 x + b2y + c2 =0, Ị a 2 + t>2 > o ) có véctơ pháp tuyên n 2 = ( a 2;b'>)

Khi đỏ góc a Ị o < a <90° j giừa hai đường thẳng được xác định theo công thức:

c o s a = n i-n 2| |aja2 t>|b21

* 1 ■ n 2 Va I ^ k? -yj&2 ■*" ^2

thuật giúi nhanh hình phẳng Oxy Đặng Thành Nam

7 Vị trí tưoìig đối của hai đường thẳng.

Xét hai đường thẳng d| laịX + bịy + Cị = 0 , ( a f + bị > 0 ) c ó véc tơ pháp tuyến

nJ = ( a j ; b j ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 X + b2y + c2 = 0,Ịa2 + bị > oj có véc tơpháp tuyến n 2 = ( ^2 ^ 2 )

- Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k

- Vận dụng công thức phương trình đoạn chắn

- Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véctơ pháp

tuyến n = ( a ; b )

- Vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

- Vận dụng công thức tính góc giừa hai đường thẳng

- Vận dụng công thức phương trình đường phân giác cùa góc tạo bởi hai đường

Dang 1: Viết phương trình đường thẳng đi A qua hai điểm M | ( x j ; y | ) và

Cty TNHH M TV D W H Khang Việt

Dang 2: Viết phương trình đường thẳng dđ i qua điểm M ( x 0; y 0 ) và có véctơ pháp tuyến ( a ; b )

Đường thẳng đi qua điểm M ( x 0; y 0) và có véctơ pháp tuyến (a; b) xác định bởi:

Ví d ụ 4 Viết phương trình đường thẳng dđ i qua hai điểm A ( 4 ; 0 ) , B ( 0 ; 6 )

Đường thẳng dđ i qua hai điểm A ( 4 ;0 ) ,B ( 0 ;6 ) x á c định bởi:

d: — + — = l o d : 3 x + 2 y - 1 2 = 0

4 6

K9 thuật giải nhanh hình phẳng Oxy Đặng Thành Nam

Dang 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0; y 0) v à có hệ số góc k

Đường thẳng d đ i qua điểm M ( x 0; y 0) và có hệ số góc k xác định bởi:

Trong đó k = t a n a , là góc tạo bởi đường thẳng d và chiều dương trục hoành

Ví dụ 5 Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây:

a) Đi qua điểm M (l;2 ) và có hệ số góc k = 3

b) Đi qua điểm A ( - 3 ; 2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc 45° c) Đi qua điểm B(3;2) và tạo với trục hoành một góc 60°

a) Đường thẳng đi qua điểm M ( l ; 2) và có hệ số góc k = 3 xác định bởi:

b) Đường thẳng đi qua điểm A ( - 3 ; 2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc 45° nên có hệ số góc k = t a n 45° =1 :=>d:y = l (x + 3) + 2 < = > d : x - y + 5 = 0.c) Đường thẳng đi qua điểm B(3;2) và tạo với trục hoành một góc 60° nên có hệ

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là

d j : V ỉx - y + 2 - 3>/3 = 0; d2 : V ỉx + y - 2 - 3^3 = 0

Dang 6; Viết phương trình đường thẳng dđ i qua điểm M ( x 0; y 0) v à song song

với đường thẳng A: Ax+ By+ c = 0.

Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0;y 0) và song song với đường thẳng

A : Ax+ By+ c = 0 nhận n = (A ;B ) véc tơ pháp tuyến cùa A làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

d : A ( x - x 0) + B ( y - y 0) = 0<=>d:Ax + B y - A x 0 - B y 0 = 0

Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (3;2) và song song với đường thẳng A : 3x + 4y - 1 2 = 0

Đường thẳng d đi qua điểm M (3 ;2 ) và song song với đường thẳng

A :3 x + 4 y - 1 2 = 0 nên nhận n = ( 3 ; 4 ) v é c tơ pháp tuyển của À làm véc tơpháp tuyến nên có phương trình là:

Cty TNHH MTV D W H Khang Việt

Áp d ụng Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Dang 7: Viết phương trình đường thẳng đ đ i qua điểm M ( x 0; y 0) v à vuông góc với đường thẳng A : Ax + By + c = 0 .

Đường thẳngd đi qua điểm M ( x 0;y 0) v à vuông góc với đường thẳng

A : Ax+ By+ c = 0 nhận u = ( B ; - A ) véc tơ chỉ phương của A làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Dang 8: Hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đuờng thẳng d cho trước; điểm Mj đối xứng với M qua đường thẳng d

Tọa độ H là giao của đường thăng đi qua M và vuông góc với d

= 2 X u- X M

- Tọa độ điểm Mj xác định bời: i M|

[yMị = 2yH “ Ym

Ví dụ 8 Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M (7 ;4 ) trên đường thẳng

d :3x + 4y - 1 2 = 0 Tìm điểm Mị đối xứng với M q u a d

Đường thẳng A đi qua M và vuông góc với đ nhận véc tơ chỉ phương

u = ( 4 ;- 3 ) của d làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

A : 4 ( x - 7 ) - 3 ( y - 4 ) = 0 o A : 4 x - 3 y - 1 6 = 0 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

Áp dụng Bài toán điểm đối xứng qua đường thẳng, đường phân giác trong tam

giác, bài toán cực trị

Kỷ thuật giài nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

Dang 9: Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

■ Khoảng cách t ừ m ột đỉêm đen một đ ư ờ n g thăng

Xét đường thẳng d : a x + by + c = 0,^a2 + b 2 > o Ị và điểm M ( x 0; y 0)

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d ( M ; d ) và được

> ứ n g d ụ n g Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

■ Xét hai đường thẳng

d| : a| X + b ị y + C| = 0, Ị a^ + > o j ; v à d 2 : a 2 X + b2y + c 2 = 0,ị^àị + bị > o Ị

Neu điểm M ( x ; y ) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d| và d 2 thì

d ( M ; d |) = d ( M ; d 2 ) Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi

d | , d 2 có phương trình là:

|a|X + b|y + C|| |a2x + b2y + C2| aiX + biy + Ci a 2x + b2y + c2

A : - — = - — — <=> A : - = ± - -.

• Góc giữa hai đưò'ng thẳng.

Xét hai đường thẳng d| : ã ị X +bjy + C| = 0,(af + bf > 0)có véc tơ pháp tuyến

I1| = ( a j ; b ị ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 X + b2y + c 2 =0,ịdị + bị > o j c ó véc tơ

pháp tuyên n2 = ( a 2;b 2)

Khi đó góc a(o < a < 90° 1 giữa hai đường thẳng được xác định theo công

Ví dụ 9 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm p (2 ;5 ) sao cho khoảng cách

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

- Với a = - — b , chọn b = 24 => a = 7 => A->: 7x + 24y - 1 3 4 = 0

Giả sử n = ( a ; b ) ,Ị a 2 + b2 > o ) là véc tơ pháp tuyến cùa d

Đường thăng A có véc tơ pháp tuyên nA = (2;3)

- Với a = 5 b , chọn b = l = > a = 5 = > d : 5 x + y - l l = 0

- Với a = - — b , choiì b = - 5 = > a = l = > d : x - 5 y + 3 = 0

5

Áp dụng Trong các bài toán tính góc và khoảng cách, đường phân giác

Phương trình đường phân giác cùa góc tạo bởi hai đường thẳng

d| : A|X + Bịy + C| = 0;d2 : A-)X + B2y + c 2 = 0 được xác định bởi:

^ AịX + B iy + C, y A 2x + B2y + C 2y

Va? +b? Vã! + b ì

c BÀI TẬP CHỌN LỌC

1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (- 1 ; 2 ) và đường thẳng

d: X - 2y + 1 = 0 V iế t phương trình đường thẳng A đi qua M và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) A vuông góc với d

b) A tạo với d một góc 60°

c) Khoảng cách từ điểm A ( 2 ;l) đếnA bằng 1

Giảia) A vuông góc với d

Đường thẳng A đi qua M ( - l ; 2 ) và có hệ số góc k có phương trình là:

A : y = k ( x + l) + 2 Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến riị = ( l ; - 2 ) ; đường thẳng A có véc tơ pháp

Kỹ thuật giài nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

Suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn là A|2 :y = (8 ± 5 > /3 Ị(x + l) + 2

c) Khoảng cách từ điểm A ( 2 ; l) đếnA bằng 1

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d j ,d 2 lần lượt tại hai điểmphân biệt A và B sao cho M là trung điểm của AB

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d | , d 2 lần lượt tại hai điểmphân biệt A và B sao cho MA = 2 M B

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d j ,d 2 lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho MA = 2MB

Giải

a) Đường thẳng dị có véc tơ pháp tuyến Ĩ1 | = ( l ; 2 ) ; đường thẳng d 2 có véc tơ pháp tuyến n2 = ( 2 ; - l ) Suy ra nj.n2 = 1.2 + 2.( - l ) = 0 vì vậy d| JL d 2 (đpcm)

12

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

Tọa độ giao điểm I của dị và d 2 là nghiệm của hệ phương trình

d) Ta chuyển qua véc tơ, với MA = 2MB thì có hai trường hợp

Trường hơp 1: MA = 2MB theo câu trên ta có phương trình đường thẳng:

d : 2 x + 9 y + 5 0

— — í - 2 a - 3 = - 2 ( b - 2 )Trường hợp 2: MA = -2MB<=><

Kỹ thuật giải nhanh hình p/iẳng O xy-Đ ặng Thành Nam

10 5 5 + 5Vậy có hai đường thẳng cần tỉm là d : 5x + 45y + 26 = 0 và d : 30x + 35y - 25 = 0 1.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

d | : X - 7y + 17 = 0 và d2 :x + y - 5 = 0

a) Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d| và ỏ 2

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1) và tạo với hai đường thẳng d| ,d-> một tam giác cân tại giao điểm cùa di và d 2

21

A| : X + 3y - — = 0 và A2 : 3x - y - 4 = 0

b) Giả sử đường thẳng dcần tìm cẳt d | , d 2 lần lượt tại M ,N và gọi I là giao điểm của hai đường thẳng dị và d 2 Khi đó tam giác IMN cân tại I nên MN vuônggóc với đường phân giác của góc MIN do đó d vuông góc với đường phân giác của góc tạo bời d | , d 7

Trườnu hơp 1: d 1 AịSuy ra dnhận véc tơ chỉ phương cùa Aj làm véc tơ pháptuyển nên n d = ( —3; 1), suy ra d : - 3 ( x - 0 ) + l( y - 1) = 0 <=> d : - 3 x + y - 1 = 0 Trường hơp 2: d _L A2 suy ra d nhận véc tơ chỉ phương cùa A2 làm véc tơ pháp tuyến nên nd = ( ] ; 3 ) , suy ra d : l(x - 0 ) + 3 ( y - 1) = 0 <=> d : x+ 3 y - 3 = 0 .

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

Giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại haiđiểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bàng — (trong đó o là gốc toa độ)

4Giả sử A ( a ;0 ) ,B ( 0 ; b ) khi đó phương trình đường thẳng d : —+ — = 1

4|2a + l| '

a = 13a2 = - ( 2 a + l)

<=>

a =3Với a = 1 => b = — ta có phương trình đường thẳng d : x+ 2 y = 1

Với a = —- => b = ta có phương trình đường thăng d : - 3 x - —y + 1 = 0.1.5 Viết phương trinh đường thẳng (d) đi qua điểm M (4 ; l ) c ắ t các trục tọa độ lần lượt tại hai điểm A ( a ; 0 ) ,B ( 0 ; b ) ( a , b > 0) sao cho

a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

a) Giả sử (d) cắt các trục tọa độ tại A (a ;0 ), B ( 0 ;b ),a ,b > 0

Khi đó phương trình của (d) là (d ): —+ —= 1 Do M ( 4 ; l ) e ( d ) = > — + — = 1 (1)

Ta có SOAB = —OA.OB = —ab , theo (1) ta có

1= a + f - 2 \ b V a b Vab-U ỉ u ab - 1 6 ^ S° AB - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 8,b = 2 => ( d ): —+ —= 1

8-8 2

b) Ta có OA + OB = a + b = a + —— = a - 4 + —^— + 5 > 2 j ( a - 4 ) ^ + 5 = 9

Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

1.6 Trong mặt phang tọa độ Oxy cho hai đường thẳng dị :3x + y + 5 = 0 và

đường thẳng d 2 : 3x + y +1 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

l ( l ; - 2 ) v à c ắ t dịVà d 2 lần lượt tại A và B sao cho độ dài AB bằng 2 V2

Giải

Giả sử điểm A ( a ; - 3 a - 5 ) e d ị ; B ( b ; - 3 b - l ) e d 2 Ta có ílA = ( a - l ; - 3 a - 3 )

IB = ( b - l ; - 3 b +1)

— — í b - 1 = k ( a - l )1,A,B thẳng hàng khi và chỉ khi !B = kIA<=>< , v <=>a = 3 b - 2

b = í

d : 7x - y - 9 = 0

1.7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm

I ( l ; l ) Viết phương trình đường thẳng A tạo với d một góc 45° và cách I một khoảng bàng V ĩõ

16

Cty TNHH MTV D W H Khang Việt

Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán như trên

1.8 (Đề D ự Bị Khổi А Д 1 2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (l; -1)

và hai đường thẳng dj : X - у - 1 = 0 ,d2 : 2x + у - 5 = 0 Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại в và с sao cho tam giác ABC có ВС = З А В

THI: Đường thẳng d / /Oy => d : X = 1.

Tọa độ giao điểm в = d П d| là nghiệm của hệ phương trình

Ị x - y - 1 = 0 Ị y = o v ’

Tọa độ giao điểm с = d П d 2 là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra ВС = 3 ф ЗАВ = 3 V2 (nên loại trường hợp này).

TH2: Đường thẳng d không song song vớỊỊJỊ)ỵ_. _ _

$1\pịíỊ}fệ sỊũigỒứ íbcổ làGiả sử đường thăng cân tìm đi

17

KỸ thuật ỊỊÌáì nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

Trường hợp k = 2 =í> B(2; I) = A nên loại trường hợp này

Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa măn yêu cầu bài toán là

d : V = - ( x - 1) - 1

d : y = - 7 ( x - l ) - l

d : X + y = 0

d :7x + y - 6 = 0

1.9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (0 ;2 ) và hai đường thẳng

d | : 3 x + y + 2 = 0 và đường thẳng d2 : X - 3 y + 4 = 0 Gọi A là giao điểm cùa dị,d-) Viết phương trình đường thẳng A đi qua M cắt đồng thời d | , d 2 lần

lượt tai B , c sao cho — đat giá tri nhỏ nhất.

IX

Cty TNHH M T V D W H Khang Việt

Nhận thấy hai đường thẳng d j ,d 2 vuông góc với nhau Nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A thì ta có:

A C

nhất thì A sẽ đi qua M và vuông góc với AM

Từ đó viết được phương trình đường thẳng A là A : x + y - 2 = 0

đạt giá trị nhỏ

1.10 Trong mặt phăng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (3 ;l) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại B,c sao cho

a) Tam giác ABC vuông tại A

b) Tam giác ABC cân tại A

Kỹ thuật giải nhanh hình phẳitg Oxy - Đặng Thành Nam

Cty TNHH M TV D W H Khang Việt

Tọa độ đỉnh A = AB n AC là nghiệm của hệ phương trình

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực,

do đó tọa độ tâm I = dị n d 2 là nghiệm của hệ phương trình

| ! x - 6r[5x - 2 y - 2 2 = 0 4=0 o r ỹ ^ í - ; ¥ ì -_ 87 ( 4 8 ;

l y _ 8

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

M (2;5) và cách đều hai điểm P ( - 1 ; 2 ) ,Q ( 5 ;4 )

GiảiĐường thẳng cần tìm có dạng: d : a ( x - 2 ) + b ( y - 5 ) = 0 ,Ị a 2 + b 2 > o j

o A B : 2x + y +1 = 0

Tọa độ đỉnh B = AB n BC là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ đỉnh c = AC n BC là nghiệm của hệ phương trình

Theo giả thiết ta có: d ( P ;d ) = d ( Q ;d ) <=>|-3 a - 3 b | _ | 3 a - b | f b = - 3 a

Lb = °

Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

d : 1 4 x - y - 4 2 = 0

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , viết phương trình đường thẳng d đ i qua giao điểm của hai đường thẳng

dị : 2 x - y + 5 = 0 và d2 :3x + 2 y - 3 = 0

Trong các trường hợp sau:

a) Song song với đường thẳng X + y + 9 = 0

b) V uông góc với đường thẳng 2 x - 3 y + 7 = 0

a) d / / A : x + y + 9 = 0 = > d : x + y - 2 = 0

b) d JL A : 2 x - 3 y + 7 = 0=> A :3 x + 2 y - 3 = 0

c) Giả sử đường thẳng cần tìm cắt hai trục tọa độ tại A ( a ; 0 ) , B ( 0 ; b ) t a c 5 phương

X y trình của đường thăng là: d : — + — = 1.

a b

Mặt khác l ( - l ; 3 ) e d = > - — + — = 1 <z> b = - ^ —

22

Cty THHH MTVDVVH Khang liệt

Suy ra SOAB = ^ O A O B = i |ab| = ^ 3a"

6x + y + 3 = 0;3x + 2 y - 3 = 0

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , viết phương trình đường thẳng dđối xứng

với đường thẳng d| : X + y - 1 = 0 qua đường thẳng d2 : X - 3y + 3 = 0

Vì AB 1 d 2 => A B : 3x + y - 3 = 0

Tọa độ trung điểm của AB là nghiệm cùa hệ phương trình:

x - 3 y + 3 = 0 3x + y - 3 = 0

X = M 2 ; Ế ị

y 5

Vì H là trung điểm của AB nên bỊ^-;— j

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm B, I nên có phương trình là:

d : 7x - y + 1 = 0

Bài 7 (ĐH Kinh Te) Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết B (-4;-5) và

hai đường cao có phương trình d| : 5x + 3y - 4 = 0 và d 2 : 3x + 8y +13 = 0

H ưóng dẫn giải - đáp sổ

Dề thấy B Ể d | , B g d 2 nên giả sử hai đường cao đó lần lượt là

AH : 5x+ 3 y - 4 = 0;CH :3 x + 8 y + 13 = 0

Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

Phương trình cạnh A B đ i qua B ( - 4 ; - 5 ) v à vuông góc với CH nên có phương trình dạng A B : 8x - 3y + c = 0

Mặt khác

B ( - 4 ; - 5 ) e A B <=> 8 ( - 4 ) - 3.(-5) + c = 0<=>c = 17=> A B : 8 X - 3 y + 17 = 0 Phương trình cạnh BCđi qua B ( - 4 ; - 5 ) v à vuông góc với AH nên có phương trình dạng B C : 3x - 5y + c = 0

Mặt khác

B ( - 4 ; - 5 ) G BC <=> 3 ( - 4 ) - 5 ( - 5 ) + c = 0 <=> c = -1 3 => BC :3x - 5 y - 13 = 0 Tọa độ đỉnh A = A B fì AH là nghiệm cùa hệ phương trình

là A C : = -1— ^ - <=> A C : 5x + 2y - 1 = 0.

1 + 1 - 2 - 3

Bài 8 Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là

5 x - 3 y + 2 = 0 , đường cao hạ từ đỉnh A,B lần lượt có phương trình là

24

Cty TNHH MTV D W H Khang Việt

íb = 6 íb = 2

Từ (1) và (2) suy ra: < v<

[c = 2 [c = - 2Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

' *' 6 2 v ' 2 - 2

Bài 10 Cho 2 đường thẳng ( d ị) : X - y +1 = 0 ; ( d 2) :2 x + y +1 = 0 và điểm M (2 ;l).Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng trên tại A ,B sao cho M là trung điểm của AB

Bài 11 Cho 2 đường thẳng ( d i ) : 2 x - y + 5 = 0; (d 2) : x + y - 3 = 0 và điểm

M ( - 2 ; 0 ) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt hai đườngthẳng trên lần lượt tại A,B sao cho MA = 2MB

— 1 = > M A = (3 ;7 )

thuật giãi nhanh Itìnli phăng Oxy Đặng Thành Sam

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) : — - = 3<=> 7 x - 3 y +14 = 0

Bài 12 Trong mặt phang tọa độ Oxy cho hai đường thẳng dị : 2 x - y + 5 = 0 và d2 : 3x + 6y - 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng A cắt đồng thời cả d| ,d 2 tạo thành một tam giác cân tại giao điểm cùa dị và d 2 , biết điểm M (2;-l) nằm trên A

GiảiĐường thẳng cần tìm đi qua M và vuông góc với đường phân giác của góc tạo bởi hai đưcmg thẳng

Phương trình đường phân giác cùa góc tạo bời hai đường thẳng d | , d 2 là:

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh

A ( - l ; 4 ) và các đỉnh B,c thuộc đường thẳng d : X - y - 4 = 0 Xác định tọa độ điểm B,c biết diện tích tam giác ABC bằng 18

GiảiGiả sử A ( a ; 0 ) , B ( b ; b ) => M A = ( a - 2 ; - l ) , M B = ( b - 2 ; b - l )

26

Cty TNHH M TV D W H Khang Việt

Bài 15 Trong mặt phang tọa độ O x y , cho điểm A(3;2) và hai đường thẳng

d | : x + y - 3 = 0 và đường thẳng d2 :x + y - 9 = 0 Tìm tọa độ điểm B G d | , điểm c G d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Do b = 2 không thỏa mãn hệ nên rút c = 5 b - 8

b - 2 thay vào (2) ta được

Vậy c ó hai điểm M ( - 2 2 ; - l l);(2 ;l) cần tìm

Bài 17 Trong mặt phang tọa độ Oxy, cho đường thẳng d | : x + 2 y - 3 = 0 và đường thẳng d 2 : 2x - y - 1 = 0 cắt nhau tại I Viết phương trinh đường thẳng

d đi qua o và cắt d |, d 2 lần lượt tại A,B sao cho 2IA = 1B

Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

Giải

Ta có dị _L d 2 Tam giác IAB vuông tại I và có 21A = IB nên cos IAB =

hay d tạo với dj một góc a với c o s a = - J =

Đường thẳng dị có véc tơ pháp tuyến r»|(1;2), gọi n (a ;b )là véc tơ pháp tuyếncủa d

Ta có:

c o s a = ' M 1 ỉa + 2bỉ ’ o 3 b 2 + 4ab = 0<=>

V5 riị n v5 V W a 2 + b2 >/5

b = 0 4a = -3b

- Với b = 0 = > d : x = 0

- Với 4a = - 3 b , chọn a = 3, b = - 4 => d : 3x - 4y = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: X = 0 và 3x - 4y = 0 Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường thẳng d j : x + 2 y - 3 = 0 và đường thẳng d 2 : X + 2y - 5 = 0 ; điểm A(1 ;3) Viết phương trình đường thẳng d

đi qua A và cắt dj ,d 2 lần lượt tại B , c sao cho diện tích tam giác OBC bằng —

2k +1

B 2 k - 3 2k + 3 2k +1 ’ 2k +1

Tọa độ điểm c là nghiệm của hệ phương trình:

2k +1

2

2k - 1 4k + 3 2k +1 ’ 2k +1

Ta có S0BC = Ì B C d (O íd ) = I » Í L - t i - - 2 Ì ± L = I I

28

Cty TNHH M T V D W H Khang Việt

k - - H :

6

d : x - 2 y + 5 = 0

d :1 7 x + 6 y - 3 5 = 0

Vậy đường thẳng cần tìm là d : x - 2 y + 5 = 0 hoặc d : 17x + 6y - 35 = 0

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( c ) : ( j c - l ) 2 +(>> + l)2 = 2 5

và điểm M(7;3) Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại A, B saocho MA = 3MB

Kỹ thuật giãi nhanh hình phăng Oxy - Đậng Thành Nam

Chủ đề 2 CÁC BÀI TOÁN VÊ TÍN H CHÂT ĐÔI XỨNG

A NỘI D U N G P H Ư Ơ N G PH Á P

DANG u Đ IÉ M Đ Ố I XỨNG CỦA Đ IẾ M QUA M Ộ T Đ IỂ M , Đ IÉ M ĐÓI

XỨNG QU A Đ Ư Ờ N G T H Ả N G _Bài toán 1 Tìm điểm M| đối xứng với M qua điểm l ( a ; b )

PH Ư Ơ N G P H A P

Ví dụ 1 Tìm điểm M| đối xứng với điểm M (3 ;5 )q ua điểm l ( - 4 ; l )

Vì l ( - 4 ; l ) là trung điểm của MM| nên

Vậy điểm cần tìm là M| (-11; —3)

Bài toán 2 Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ điểm M xuống đường thẳng

d : a x + by + c = 0

P H Ư Ơ N G P H A P

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d| đi qua M và vuông góc với d Bước 2: Tọa độ H = d| n d là nghiệm cùa hệ tạo bời phương trình cùa d và d j ,giải hệ này ta tìm được tọa độ điểm H

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 2: Giải hệ trên ta tìm được tọa độ điểm H

, [x = x 0 - b t

Cách 3: Viêt phưcmg trình cùa d dưới dạng tham sô < ,t e R

[y = y 0 + a tBước 1: Gọi H ( x 0 - b t ; y 0 + a t ) e d là hình chiếu của M trên d

Bước 2: Vì MH.Uj = 0 , giải phương trình này tìm được t => H

Bài toán 3 Tìm điểm Mị đối xứng với M ( x M; y M) qua đường thẳng

d : a x + by + c = 0

P H Ư Ơ N G P H A P

Giả sử đường thẳng d : a x + by + c = 0 và điểm M ( x M; y M)

Tọa độ điểm M i ( x M|; y Mịj xác định bời

30

Cty TNHH M T V D W H Khang Việt

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng A đi qua M và vuông góc với d khi

đó tọa độ H = d n A

Bước 2: Vì H là trung điểm của MM| nên x Mj - 2 x H - X M

yMi = 2 y M - y MCách 3: Thực hiện theo các birớc

Bước \ : Gọi điểm Mị (x Mị ; y Mj ) tọa độ trung điểm của MM| là

Í2x - 3 y +1 = 0 fx = 1[3x + 2 y - 5 = 0 Ịy = l v ;

Vỉ H (1; 1) là trung điểm cùa MM| => M| ( 3 ; - 2 )

Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d

Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

phương u = ( 3 ; 2 )

Vì M H ± d < ^ M H u = 0 o 3 ( t + l) + 2 Í ^ — —ì = O o t = l = > H ( l ; l )

Vì H là trung điểm của MMj => Mị ( 3 ; - 2 )

Cách 3: Gọi M| ( x ;y ) là điểm cần tìm khi đó trung điểm I của MMj có tọa độ là

f \ - \ y + 4^

Ta phải có ỉ € d

M M j.ud = 0 Vậy điểm cần tìm là Mị ( 3 ; - 2 )

2 2 <=>1 _ = > M j ( 3 ; - 2 )

3 (x + l) + 2 ( y - 4 ) = 0 ly-"2

DANG 2: Đ Ư Ờ N G T H Ắ N G Đ Ố I XỬNG QUA M Ộ T Đ Ư Ờ N G T H Ả N G VÀ QUA M Ộ T Đ IÉ M

Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng dị đối xứng với đường thẳngd qua đường thẳng A cho trước

PH Ư Ơ N G P H Á P

Ta xét hai trường hợp:

T H I : Nếu d fl A = I Thực hiện theo các bước

Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm I

Bước 2: Lấy một điểm A e d từ đó xác định tọa độ điểm Aj đối xứng với A

qua A

Bước 3: Đường thẳng dị là đường thẳng đi qua hai điểm I và A ị

TH2: Nếu d / / A T h ự c hiện theo các bước

Cách 1: Lấy điểm A G d tìm điểm Aj đối xứng với A qua A

- Viết phương trình đường thẳng đi qua Aị và song song với d ta được phương trình của d |

Cách 2: Viết lại phương trình của d,Adưới dạng

d : A X + By + c d = 0; A: Ax + By + CA = 0

Khi đó d ị : Ax + By + c với c được xác định bởi C A = —( c + c d )

Bài toán 2 Viết phương trình đường thẳng d| đối xứng với đường thẳng

d : A x + B y + C = 0 qua điểm l ( a ; b )

P H Ư Ơ N G P H Á P

Cách 1: Thực hiện theo các bước

32

Cty TNHH MTV D W H Khang việt

Bước 1: Vói điểm M ( x | ; y l ) e d tồn tại điểm M j ( x ; y ) e d i nhận l(a ;b )là m

íxj = 2a - X

trung điêm, ta đươc < (I)

[ y , = 2 b - yBước 2: Thay (I) vào phương trình của d ta được:

A (2 a - x) + B ( 2 b - y ) + C = 0 o A x + B y - 2 A a - 2 B b - C = 0

Phương trình dị : Ax + By - 2 Aa - 2Bb - c = 0 .

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bưóc 1: Lấy điểm A G d , từ đó xác định điểm A ị đối xứng với A qua I Bước 2: Vì dị / /d nên d| : Ax + By + D = 0

Bước 3: Thay tọa độ của A| vào dj => D , từ đó suy ra phương trình của d ị

B BÀI TẬ P M Ă U _

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d :3x - 4 y + 5 = 0 và điểm

M ( - 3 ; - 2 )

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc cùa M lên d

b) Xác định điểm M ' là điểm đối xứng của M qua d

Giải

a) Để tìm tọa độ hình chiếu của M lên d ta có hai cách như sau

Cách 1: Goi H h ;— + - Ịe d là hình chiếu vuông góc của M lên d , t a c ó

Kỹ thuội giãi nhanh hlrth phăng Oxy Đặng Thành Nam

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng dị đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng A , biết

a) A : 4 x - y + 3 = 0 và d : X - y = 0

b) d : 4 x - y + 3 = 0 và A : X- y = 0

c) d : 6 x - 3 y + 4 = 0 và A : 4 x - 2 y + 3 = 0

Giảia) Xét hệ tạo bởi d và A , ta được:

b) Theo trên ta có d f l A = l ( - l : - l ) Lẩy điểm A ( 0 ; 3 ) e d , g ọ i H là hình chiếu vuông góc cùa A lên A

Cty TNHHMTVDVVH Khang Việt

Gọi Aj là điểm đối xứng của A qua đường thẳng A => H là trung điểm của

A A ị => A | (3;0)

Đường thẳng dị đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng A chính là đường

thẳng đi qua hai điểm l ( - l ; - l ) ; A | (3;0) nên có phương trình là

a) Tìm điểm M trên d sao cho M A2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tỉm điểm N trên d sao cho NA + NB đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tìm điểm p trên d sao cho |pA + PbỊ đạt giá trị nhỏ nhất

d) Tìm điểm N trên d sao cho |NA - N B | đạt giá trị lớn nhất

Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua d khi đó NA + NB = N A '+ NB > A'B Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N = A ' B f l d

Đường thẳng A A 'đi qua A và nhận véc tơ chỉ phương của d làm véc tơ pháp

tuyến nên có phương trình

A A ' : 2 ( x - 0 ) + l ( y - 6 ) = 0 o A A ': 2 x + y - 6 = 0

Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

1]

X = —

419

y = „

N n _Ị9

4 ’ 8 là điểm cần tìm.

c) Gọi p ( 2 p - 2 ; p ) e d , khi đó PA = ( - 2 p + 2 ; 6 - p ) , P B = ( - 2 p + 4 ; 5 - p ) Suy ra PA + PB = (-4 p + 6;11 - 2p) và ta có

d) Ta có |QA - Q B | < AB Dấu bàng xảy ra khi và chỉ khi ọ = A B f l d

Dề thấy A B : X + 2y - 1 2 = 0 khi đó tọa độ Q là nghiệm của hệ phương trình

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d| : 4x - 2y + 5 = 0 và

đường thẳng dì : 4x + 6y - 1 3 = 0 Đường thẳng d cắt d | , d 2 lần lượt tại A ,B - Biết rằng d| là phân giác cùa góc tạo bời OA và d , d 2 là phân giác của góc tạo hởi OB và d Tìm tọa độ giao điểm c của d và trục tung

36

trong của góc B và c có phương trình tương ứng là X - 2 y +1 = 0;x +

phương trình c ạ n h B C : 4 x - y + 3 = 0 Viết phương trình các cạnh AB

Đường thẳng đi qua M (0;3) và vuông góc với BE nhận UBE = (2;l) làm véc tơ

pháp tuyến nên có phương trình là

d M : 2 ( x - 0 ) + l ( y - 3 ) = 0 o d M :2 x + y - 3 = 0 Tọa độ giao điểm Hị = BE n d M là nghiệm của hệ phương trình

2x + y - 3 = 0 Ị X = 1

<=> ì

x - 2 y + l = 0 l y = 1

Vì H là trung điểm cùa MM| M ị( 2 ; - l )

Phương trình cạnh AB chính là đường thẳng đi qua hai điểm

<=> A B : 8x + 1 9y + 3 = 0

+ 1

Kỹ thuật giái nhanh hình pliẳng Oxy - Đặng Thành Nam

Tọa độ đỉnh c là nghiệm cùa hệ phương trình

fx + y + 3 = 04x - y + 3 = 0

Vì H là trung điểm của M M 2 => M2 ( - 6 ; - 3 )

Phương trình cạnh AC đi qua hai điểm c ^ - — j , M2 ( - 6 ; - 3 ) nên có phương

trình là A C : * + 6 = >n+ 3 <=> A C : 4 x - y + 21 = 0

— + 6 — + 3

Nhận xét Như vậy bài toán liên quan đến đường phân giác trong tam giác các

em chú ỷ đến tính chất đối xứng cùa điểm qua đường thẳng Ta sẽ bàn về dạng bài toán này trong chương 2, các bài toán về tam giác

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết phương trình cạnh A B : 2x - y = 0 , phương trình cạnh A D : 4 x - 3 y = 0 và tâm 1(2;2) Viết phương trình các cạnh BC và CD

Giải

Ta dùng phương pháp đường thẳng đối xứng qua điểm cho bài toán này(Cách

khác xem trong chương 4, các bài toán về tứ giác và đa giác).

Cạnh BC đổi xứng với cạnh AD qua I:

Lấy điểm M ( x ; y ) bất kỳ thuộc AD khi đó tồn tại điểm Mị (X |; y j ) đối xứng

{X, = 2 2 — X = 4 — X f x = 4 — X1

<=> <

y , = 2 2 - y = 4 - y l y = 4 - y ,Thay vào phương trinh của A D = > 4 ( 4 - X | ) - 3 ( 4 - y | ) = 0<=> 4X| - 3 y j - 4 = 0 Suy ra p h ư ơ n g trình cạnh B C : 4x - 3y - 4 = 0

Cạnh C D đối xứng với A B qua I :

Lấy điểm M ( x ; y ) bất kỳ thuộc AB khi đó tồn tại điểm Mị ( x j ; y t ) đối xứng38

Cíy TNHH MTVDVVH Khang Việt

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d) đổi xứng với

đường thẳng d qua đường thẳng A trong các trường hợp sau:

[3x + 5 y - 3 = 0 [y = 0Lấy điểm A(3;3) thuộc d và gọi B là điểm đối xứng của A qua đường thẳng A

T a c ó AB_L A=> A B : 5 x - 3 y - 6 = 0

Tọa độ trung điểm của AB là nghiệm của hệ phương trình:39

5 x - 3 y - 6 = 0 3x + 5 y - 3 = 0

dị : 5 4 x - 2 9 y - 5 4 = 0 Bài 2 Trong ỉiiặt phang tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A(-l ;4) và

phương trình hai đường phân giác trong các góc B,c lần lượt là

3x + 4y + 12 = 0 và X - 2y -1 1 = 0 Viết phương trình cạnh B C

Giải

Ta có BC là đường thẳng đối xứng với đường thẳng chứa cạnh AB qua đường

phân giác trong góc B; đối xứng với đường chứa cạnh AC qua đường phân giác

trong góc c.

Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của A qua hai đường phân giác đó thì D, E

thuộc BC