cách giải đề thi đai học hình học XOY XOYZ tập 2

c á ^ k h ắ c phục để đạt điểm tối đa 0 3 ^ liâ n tích đặc điểm bài toán để tìm iỊỐ r Bình luân & nhân xét để hoc sinh nẳr ‘liân tích đặc điểm bài toán để tìm cách giải hiệu quả nhất

PGS.TS LÊ ANH VŨ - TS TRÀN Lưu CƯỜNG

TS HUỲNH CÔNG THÁI - TS NGUYỄN PHÚC SƠN

ĐẺ LỰA CHỌN CÁCH GIẢI lịẸ ll QUẢ NHẤT

ĐỀ THI ĐẬỈ>HÒC CÂU VI HÌNH H $c XOY & XOYZ

02 c á ^ k h ắ c phục để đạt điểm tối đa

0 3 ^ liâ n tích đặc điểm bài toán để tìm

iỊỐ r Bình luân & nhân xét để hoc sinh nẳr

‘liân tích đặc điểm bài toán để tìm cách giải hiệu quả nhất

Bình luận & nhận xét để học sinh nắm rõ từng góc cạnh của bài toán

NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

TP HỒ CHÍ MINH

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

TS HUỲNH CÔNG THÁI - TS NGUYỄN PHÚC SƠN

01 Cáoỹâì lầm dễ bị mắc phải

02 c & h khắc phục để đạt điểm tối đa

M ^ h â n tích đặc điểm bài toán để tim cách giải hiệu quả nhất

Bình luận & nhận xét để học sinh nắm rõ từng góc cạnh của bài toán

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

TP HÒ CHÍ MINH

và vectơ pháp tuyấrc^VTPT) của

• Một mặt ị^ang được xác định bởi hai đưựrỶg thẳng cắt nhau, hai

đ ư ờ i^ thẳng song song, 3 điểm khộíĩg thẳng hàng hoặc một điểm

và một đường thẳng A (M Ể À) Khi đó, mặt phẳng này cũng được xác định bởi hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó

mặt phẳng

■ I A I _ y I _I _ \ y / _

4 Khoảng cách

* Khoảng cách từ M(xM; Ym! Zm) đến (a): ax + by + cz + d = 0 là:

aXM + bYM + CZMd(M, (a)) = \A M o

từ điểm M này đến ứtạt phẳng kia

5 Góc tạo bởi hai n^ạtphẳng (a) và (P):

là góc nhon (Ịtò c tao bởi hai VTPT

VTCP của A là: ã = ni’n:

II Các dạng phirơng trình đường thẳng1) Phương trình tham số của đường thẳng A qua M(x0; yo! Zo)

2 Phương trìnl^ỹTOng quát của mặt cầu (S) là:

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

1) Nếu d(l, Л) > R thì A không cắt (S)2) Nếu d(l, A) = R thì Д tiếp xúc với (S)3) Nếu d(l, Л) < R thì A cắt (S) tại hai điểm phân biệt

III Tương giao mặt phẳng và mệrcầu

Cho mặt cầu (S) có tâm I, kính

thi (a) tiể p > w với (S)

Khi đg^ịềp điểm H là giao điểm

là khác nhau nên ta chia dạng toán này theo các đặc điểm sau:

(<x)

(S)

I lên (a)

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

® Loại 1: Tìm trực tiếp vtpt của

mặt phẳng (а) dựa vào các quan

(a) qua A có phương trình là:

-X + 3y - 2 = 0

b) Phân tích:

+ (P) // AC => Ã c là một VTCP của (P)

y\ giai

• di có VTCP là ã = (-2; 1; -1) và qua M(1; 0; 1)

• d2 có VTCP là в = (3; 2; 1)

(a) có cặp VTCP là ã va b = ^ T P T của (a) là: n = [ã , Б] = (3; ^ ỹ - 7 )

• Dễ dàng kiểm tra M không thuộc d2 bằng cách ta thế tọa độ điểm M vào

62 thì thấy phương trình vô nghiệm

Đề 5: Trong ^íống gian với hệ tọa độ

Oxyz, c ^ ộ iể m M(1; -1; 1) và hãi

X + « $ 4 » ^ 2 = 0.

|a im traìhấy điểm M(1; -1; 1) £ (P)

© Loai 2: Viết phương ừình mặt

phẳng dựa vào khoảng cách

1 Phương pháp

a) Nêu có quan hệ vuông góc, song

song; mặt phẳng chứa đường thẳng thì ta tìm được VTPT của (a) Khi đó (a) có dạng: лу

ах + by + cz + d = 0 ^ ^o°

• Dựa vào khoảng cácbọtầ tìm được d => (a) V .

b) Nếu không có VTPTjfực tiếp thì:

+ Gọi VTPT của (aỷỉa n = (a; b; c)

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

2 Luyện tập giải đề thi Đại Học

Đề 1: Cho hai đường thẳng

> (a) có dạng: -2x + 3y - 4z + d = 0 d(A, (a)) = V29

X

T

^ ” Lời giải

•'íVhân tích: Trong bài này (a) II d

(a) nên ta không thể tìm được VTPTcủa(a).

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là:

- 2x - 2y + z + 8 = 0

4x - 8y + z + 26 = 0

Đề 3: Trong không gian với hệ tọạdăọ

Oxyz, cho đường thẳng (d): $

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

Phương trình mặt phẳng (P):

a(x - 0) + b(y + 1) + c(z - 1) = 0 Cí> ax + by + cz + b - c = 0 (1)

Đê 4: Trong không gian với hệ trục

Oxyz, cho M(1; -2; 3); N(3; 0; 4) vàQ(2; 1; 2) Viết phương trình mặtphẳng (a) qua M, N sao cfp' ' , , ' , , , 3?

khoang cách từ Q đên (a) bănạ2-

= 7>/(2a + 2b)2 + a2 + b2

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

<=> 9(3a + 5b)2 = 49(5a2 + 8ba + 5b2) o164a2 + 122ba + 20b2 = 0

• Gọi n = (a; b; c) là VTPT của (a)

Hotline: 08 668 595 22

Đê 6: Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua o, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 v ậ cách điểm M(1; 2; -1) một kh^ểĩng

Đê 7: Trong không gíân với hệ tọa

độ Oxyz, cho đường thẳng

di, d2 lần lưqỊáèo phương trình

• Ta có di đi qua A(2; 2; 3)

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

CÓ Ũd1 = (2; 1; 3), d2 đi qua B (1;2;1)

và có ũd2 = (2; -1; 4)

Do (P) cách đều di, Ó 2 nên (P) song

=> n = Ũ u = (7' — 2 ' —4) V

—^ 1 ‘p L d1’ d2j {<ỷ

=> Phương trình mặt phMg (P) có dạng: 7x - 2y - 4zv+ d

Do (P) các đều d i^ 2 suy ra d(A, (P)) = d(B, (P)) ■'

Đề 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng di, d2 lần lượt có phương

+ Với m = ——

3

3

Đê 9: Trong không gian với hệ tjgyfe tọa

độ Oxyz, cho ba điệm ; - i) ; B(1; 1 ; 2), C(-1 ; 2; và mặt

phẳng (P): x - 2 y +% i+ 1 = 0.

Viết phương trỵ^rm ặt phẳng (a)

đi qua A, A0á%ng góc với mặt phẳng (P ^ế ấ t đường thẳng BC tại I saò<ệho IB = 2IC

-a + 5b - 2c + 3d = 0

Đê 10: Trong không gianỊỊ$ơi hệ trục

Oxyz cho A(1; 0; фИз(2; 2; 0) và (a) X - 4y - z ={ữ:

Viết phươncb<mnh (ß) 1 (a); qua

và thế về phương trình 2 ẩn.

2 Luyện tập giải đề thi Đại Học

Đề 1 : Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai n^ặt phẳng (a): 2x - y + 1 = 0;

(ß): 2x - z = 0 và tạo mặt phẳng (Q): X - 2y + 2z 'тЖ- 0 mọt

góc Ф mà cosọ Ш

/ 9

X ' Ш я

I ì w ộr> ' ■ 2 1Lgrgiải

Đề 2: Trong không giận với hệ tọa độ

Oxyz, cho hai Jtern A(-1; 2; -3), B(2; -1 ; -6 )^ ầ mặt phẳng (P):

X + 2y + £$^3 = 0

Viết pl^iiơng trình mặt phẳng (Q) chứ^PẦB vầ tạo với mặt phẳng (P)

Đế 3: Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(a): x - 2y + z - 2 - 0

và (ß): у + z + 1 =0

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

Lập phương trình (Q) 1 (a) và tạo với (p) góc (p = 45° biết (Q) qua A(2; 2; -3)

Lời giải (a) có VTPT là = (1; -2; (P)

o b = 3 ± Võ

3 + \ 5 1 + \J 5 + Với b = — => a =

+ Chọn c = 0=>a = 0=>b = 0 (loại) + Chọn c = 1 = > a = 1 v a = - —

Góc tạo bởi (a) và (xOy) là:

thẳng d: x + 1 _ y + 1 _ z - 3

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo ỵời mặt phẳng (a) một góc nhỏ n ^ t

ì>i giảiPhương trình m^t ;j^áẳhg (Ị3) có

<=> coscp = 0 <=> Ф = 90° > 30°

Do đó chỉ có trường hợp 1 thỏa mãn, tức a = 0 Khi đó chọn b = 1, с = 1, d

= 4 Vậy (ß): у - z + 4 = 0 o*v

Chú ý : Chúng ta có thể tìnỵmax; min của hàm

a2x trong hai cáctmau:

Cách 1: dìyáỆ khảo sát hàm số (Cách nàykông quát nhất)

Cách gçdùng đều kiện có nghiệm

■ ~Qj^ ồv- trình bậc hai Ш

Đề 3? Cho đường thẳng d:

y = -2 + 2t (t G П)

z = —t

Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa đường thẳng d và tạo với

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

4a + 3c3-i/a2 + c2 + (2a + c)

4a + 3c

(do(1))

Зл/ба2 + 4ас + й + Nếu с = 0 thì sinọ =

Đặt A = * - 3)2

5t + 4t + 2

o (5A - 1 6)t2 + 2(2A - 1 2)t + 2a - 9 = 0Phương trình này có nghiệm ỷ '

2 Luyện tập giải đề thi Đại Học

Đề 1: Trong không gian với hệ trục

Oxyz, cho điểm M(1; 2; 4) Lập phương trình mặt phẳng (a) qya

M và cắt các trục tọa độ OxệSồy,

Oz về phía dương tại cá^điểm

А, В, С sao cho thể tígtrtứ diện OABC đạt giá trị bé gtàcit

ĩ ' ■ ' ~>л : V

Lời giÿF+ Gọi các giao điể<fi của (a) với các

X = 2 + 1 (a) qua A, в nên n у = 4 + 2t = 0

«f* lả trực tâm của tam gỉác BCD.

J\ giải

• Gọi các giao điểm của (a ) với các trục tọa độ là: B(a; 0; 0); C(0; b; 0)

+ + 1

a b с Theo bát đẳng thức B c.s ta có:

Viêt phương trình mặt phăng (OAB) bỉét điếm В G (S) vả AOAB đèu.

• Gọi B(a; b; c) thì OA = OB = AB -V Lập hệ n ũ

• Gọi J \ừầnh chiếu của I lên (Q) (C) qềbàn kính

-Đê 4: Trong không gjaft với hệ tọa

độ Oxyz, cho mặ|&feâu

(S): X2 + y2 + $ + 2x - 4y - 4 = 0

và mặt phặip§ (Р): X + z - 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q)

đi qua^cỂêm M(3; 1; -1) vuông góc

v ớ i^ ậ t phẳng (P) và tiếp xúc với nợầt cấu (S)

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

A(x - 3) + B(y - 1) + C(z + 1) = 0,

A 2 + B + Ớ * 0

+ (Q) tiếp xúc với (S) o d(l, (Q)) = RC^> I —4A + B + c I V

Đê 5: Trong không gian với hệ trục

Oxyz, cho mặt cầu (S):

x2 + v2 + z2 + 2 x - 2 y + 2 z - 1 = 0

và đường thẳng d: ^ ^ _ •

| 2 x - z - 6 = 0Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa d và cắt mặt cầu (S) ttỊỊắbmột đường tròn có bán k ín h -^ 1 ■

ĩ ' ■ ■í ■

Lời giải(S) có tâm l(-1; 1; -1) báĩ&Énh R = 2 Phương trình mặt phẳn£pfp) có dạng:

ax + by + cz + d = tyậ r + b2 + c2 * 0) Chọn M(2; 0; -2ỳ) N(3; 1; 0) G d

Cách 2 :^T ^^ VTPT của (a) thông

q^tậ^^ảo sát hàm số hay dựa

^àíỊ|Jữiều kiện có nghiệm của

^ phương trình bậc haiT

Chú ý : Chúng ta lý luận và dùng

gọn hơn.

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

2 Luyện giải đê thi Đại Học

Đê 1 : (Đê thi khổi A - 2008)

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A(2; 5; 3) và đườggthẳng d: = — =

Lập phương trìqh mặyẩníẳng ( a )

chứa d sao cho khợầng cách từ

A đến (a ) là

^ chiếu của A lên ( a )

và К là hình chiếu của A lên d

Khi đó: AH = d(A, ( а ) ) < AK

=> d(A, (a))max ” ■ ■

+ Khi đó: d(d, (a)) = d(M, ( S với M e ó

và bài toán quy về đề^ĩ.

• Gọi H là hình chiêu của M lên (a)

và K là hình chiếu của M lên A thì

d(M, (a)) = d(d, (a)) = MH < MK

Viế^nường trình (a) 1 (P), qua

; 1; 1) sao cho khoảng cách từ ,/đ iế m B(-2; 0; 1) đén (ạ) lơn nhắt

• Gọi n= (a; b; c) là VTPT của (ct) (với a2 + b2 + c2 > 0)

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

(a) 1 (P)nên:a -b + c = 0 o b = a + c (a) qua A nên:

+ 2ac + 2c2+ Nếu с = f% d (B , (a)) = 2V2

4t + 1V2t2+2t + 2

= D ị=Ấ

z r + 2 t + 2

(2D - 16)1* + 2(D - 4)t + 2 D ^ Ì = 0 Phương trình này có na$ẹm

A' > 0 Ci> 0

Đật được o t =

2 D - 1 6a

c

7

Đề 4: ệ$ễỆ) ĐH B - 2009)

d io lỉp liệ n ABCD có A(1; 2; 1);

^B (-2 ; 1; 3); C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1) Viết phương trình (a) qua A, B sao

cho khoảng cách từ c đến (a)

bằng khoảng cách từ D đến (a)

mặt phẳng (a) qua gốc o và A sao

cho d(B, (oc)) = 2d(C, (a)).

Đề 9: Viết phương trình (a) chứa d:

M, N lần<ỊjíậệMẳ trung điểm AB, CDa) TyF$h khoảng cách giữa hai

■t /oỌ ỷ _ _ A ( Ị ■ 1 1 1

(ỊtKýng thâng A'C và MN

Viết phương trình (a) chứa A'C

và tạo với (xOy) góc (p

_ _ x - 1 y z

mà cosọ = —— = — = —

3 1 - 1

Đê 12: Cho d: Б Viết phư^íĩg trình

(a) chứa d và tạo với !fồc Oz góc

j/re t phương trình mặt phẳng (a)

#ìứa d2 và tạo với di góc

(ф)тах-Đề 15: Cho đường thẳng d:

X ự = ỵ ± 2 = z - Ị 0

Viết phương trình (a) chứa d và tạo với (xOy) góc ọ = 60°.

Đề 16: Cho hai đường thẳng di:

Đê 17: Cho (P); -2 z = 0;

r (g#= (Oyz)Viết phưếngl^rình (a) qua M(2; -3; 1);

W W W docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

và d2: AB _L rip

Viết phương trình (a) song song với d l, d2 va tiếp xúc với mặt cầu (S): X + y2 + z - 2x + 2y 0*y

^ + 4 z - 3 = 0 L Ỷo°

Đê 20: Cho mặt cầu (S) có tâm 1(^-2; 3),

bán kính R = 5 Lập?>phương trình (ß) // (a)vvà (S) theo giao tuyến là đượộg tròn (C) có

^ chu vi bằng 6 7 1 ^

Đê 21: Lập phL$mg trình (a) qua

M(4; 2; 3) cắt các tia Ox, ỏy,

Oz tại A 0<è, С sao cho

a) Thèjfeh tứ diện OABC bé nhát., 9 ^ ^ DỌ и

bé nhất

t í l 22: Lập phương trình (a) qua

M(1 ; 0; 2) va cắt cac tia Ox, Oy, Oz tại А, В, С sao cho biểu thức

Т = OA + OB + ОС bé nhất

Đê 23: Cho (a): 2 x - y + z + 2 = 0và

M(1; 1; —1)

Viết phương trình (p) qua A và

vuô ng g ó c với ( a ) đ ư ờ n g thẳqg

tạo vơi trục Oy góc lớn nhất 0<£

Đê 24: Cho Ầ(4; 5; 0) Lập DỘốơng

trình (a) qua A, cắt cáẹctrục tọa

độ tại B, c, D sao cgử A là trực

Đề 25: Cho A(2; 2; 4)

v à (a): X + y + 2 ^ 4 = 0

Viết (|3) // ($$Pvà (p) cắt Ox, Oy tại

B, c sạữ' cho diện tích AABCbẩng

Đê 26:^gếhq A(1; 3; 2) Viết phương

qua A và cách B(0; 0; 1)

^m ộtơ ơ an lớn nhất

Đề 27: Cho điểm A(1; 2; 3) và đường

thẳng d qua B(2; -1; 4), C(0; -1; 1) Lập phương trình (a) chứa d sao cho (a) cách A một đoạn lớn nhát

* Dạng 2: CÁC LOẠI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỀM VÀ

1 Các loại toán và phương pháp giảiy

® Loại 1: Tim hình chiếu của tỊỊỘt

điếm lên một mặt phẳng.

Bài toán: Cho mặt phẳng 0 $ và điểm

A Tìm tọa độ điểrar H là hình chiếu vuông góc qjĩầ A lên (a)

+ Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ■ ■ ■ ■

phương trình tạo bởi AH và (oc)

I A

n

H ►

www docsachtructuyen vn Hotline: 08 668 595 22

® Loai 2: Tìm hình chiếu của m ôt a a

điểm ìên m ột đường thẳng

+ Đưa AH2 về dạng: (at + b)2 + c2 > c2

= > (AH)min đ ạ t được o a t + b = 0 ^ > t ^ > H

Cách 3: Dùng phương trình mặt phẳng

+ Viết phương trình mặt phẳngờệòt) qua A và 1 A thì tọa độ H^= (a) ^°A

H là hình chiếu cua A lên (a)

^Đ iể m B đối xứng với A qua (a) thì

H là trung điểm của AB Dùng công thức trung điểm ta suy ra tọa

độ điểm B

với A qua (a),

+ Khi đó: đường thẳng d qua B và // A

- 1I

-H ■p /

B

TH2: À cắt (a):

+ Tìm M = A n (a)

+ Trên A lấy điểm A định Tìm

B đối xứng với '4? qua (a) thì

phương trình độơng thẳng d là phương trìnl^ổường thẳng MB Bài toán 4: CỊ^Ế) đường thẳng di và d2 đồng pRang Viết phương trình đường l^ẳìig d3 đối xứng với di qua d2

* Khi0cPi và d2 đồng phẳng thì di cắt

do hẩy d> // 02 .

Mnư vậy, trong bài toán 3, ta chỉ cần thay mặt phẳng (a) bởi một đường thẳng thì được lời giải bài toán 4

2 Luyện giải các đề thi Jĩặi Học

Đề 1: Trong không gián với hệ trục

Oxyz, cho điậrh A(1; 0; 2); B(-1; 1; 3)^để(0; -2; 1) và mặt phẳng 2y + z + 5 = 0

a) Tìgr°tọa độ điểm H là hình

^uấu của A lên (a)

J Ệ Tìm tọa độ điểm D đối xứng

^ với В qua (a)

c) Tìm tọa độ điểm M G AC sao cho MB bé nhất

( a ) nên t h a m ^ t tại H là nghiệm của hệ phip$ng trình:

\

)

b) + Gọi K là hình chiếu của B lên ( a )

+ Phương trình tham số của đường thẳng BK qua B và vuông

v > ’3’ 6 y о*

+ D đối xứng với B4$a ( a ) nên к

là trung điểm B C j^ây D

b) Viết phương trình đường thẳng

A đối xứng với d qua (ạ). _