Ôn thi THPT quốc gia năm học 20152016: Dao động điều hòa

Tại liệu này mình biên soạn gới thiệu với các bạn một số dạng bài tập về con lắc lò xo hay gặp, phương pháp giải cụ thể của từng dạng bài tập. Trong quá trình biên soạn không tránh khỏi sai sót, mong các bạn đóng góp ý kiến.

Trang 1

Bài 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ I.Dao động cơ

1.Thế nào là dao động cơ?

Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh một vị trí đặc biệt gọi là vị trí cân bằng Vị trí cân bằng thường là vị trí của vật khi đứng yên

2.Dao động tuần hoàn

Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở

lại vị trí cũ theo hướng cũ

II.Phương trình của dao động điều hòa

1.Ví dụ

Xét điểm M chuyển động tròn đều theo chiều dương (ngược chiều kim đồng

hồ) với tốc độ góc  trên quỹ đạo tâm O bán kính OM  A

+Ở thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M0 được xác định bởi góc 

+Ở thời điểm t bất kì Mt được xác định bởi góc (t + )

+Hình chiếu của Mt xuống trục Ox là P có tọa độ:  

cos

xOPA  t -Vì hàm sin hay cosin là một hàm điều hòa, nên dao động của điểm P được gọi là dao động điều hòa

A là biên độ dao động (A > 0) Nó là độ lệch cực đại của vật: A xmax ; đơn vị m, cm

 t  là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad

 là pha ban đầu của dao động; đơn vị rad

- Ở vị trí biên, x A thì vận tốc bằng 0

- Ở vị trí cân bằng, x0 thì vận tốc có độ lớn cực đại : vmax   A

2.Gia tốc

-Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: 2   2

' " cos

a v x   A  t   x -Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha hơn

V.Đồ thị của dao động điều hòa

-Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin

Ví dụ: đồ thị dao động của dao động có phương trình xAcos  t

*Dao động tự do (dao động riêng)

Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực

-Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ không phụ thuộc các yếu tố bên ngoài Khi đó:  gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng

BÀI TOÁN

Dạng 1: Nhận biết phương trình dao động

I.Phương pháp:

a.Xác định A, φ, ………

-Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác

-So sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ………

2

2

T f T

A.Đi qua tọa độ x = 2cm và chuyển động theo chiều dương trục Ox

B Đi qua tọa độ x = -2cm và chuyển động ngược chiều dương trục Ox

C Đi qua tọa độ x = 2cm và chuyển động ngược chiều dương trục Ox

D Đi qua tọa độ x = -2cm và chuyển động theo chiều dương trục Ox

Dạng 2: Xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại thời điểm t biết trước

.

a  x -Chú ý :

+Khi v 0;a 0: Vận tốc, gia tốc, lực phục hồi cùng chiều với chiều dương trục toạ độ

+Khi v 0;a 0: Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục toạ độ

+Để xác định tính chất của chuyển động ở một thời điểm ta phải

căn cứ vào li độ và chiều của vận tốc của vật ở thời điểm đó để kết luận

theo sơ đồ sau:

-Khi pha dao động là 1200

Bài 2 Một vật dao động với phương trình 4 cos 10

Chuyển động chậm dần Chuyển động nhanh dần Chuyển động

nhanh dần

A -A

Bài 5 Một vật dao động điều hòa với chu kì 0,5s Khi pha dao động bằng

4

 thì gia tốc của vật là

A.ở vị trí có li độ x2cm và chuyển động nhanh dần, ngược chiều dương

B.ở vị trí có li độ x 2cm và chuyển động chậm dần, ngược chiều dương

C.ở vị trí có li độ x 2cm và chuyển động nhanh dần, theo chiều dương

D.ở vị trí có li độ x2cm và chuyển động chậm dần, theo chiều dương

+vmin     0 x A ( Tại hai biên )

2.Gia tốc trong dao động điều hoà a v    ' x" A 2cos (   t    ) 2 x

+ amax 2A  x A ( Tại hai biên ) +amin    0 x 0 ( Tại VTCB ) + a luôn có hướng về VTCB A luôn ngược dấu với x +Hệ quả: max

max

22

Bài 2 Một vật dao động với phương trình 0, 04 cos 10 ( , )

Bài 4 Một vật dao động điều hòa Khi qua vị trí cân bằng nó có vận tốc 50cm/s, khi ở biên nó có gia tốc

5m/s2 Biên độ của dao động là

Bài 5 Một vật dao động điều hòa với biên độ 5cm Khi nó qua vị trí cân bằng thì có vận tốc 50cm/s Gia

tốc của vật tại vị trí biên bằng bao nhiêu?

+ v < 0 : vận tốc ngược chiều dương trục toạ độ

2 Để xác định gia tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta áp dụng công thức:

2

- Chú ý: + a > 0 : gia tốc cùng chiều dương trục toạ độ

+ a < 0 : gia tốc ngược chiều dương trục toạ độ

-Quỹ đạo của vật là một đoạn thẳng có độ dài: L2A

-Quãng đường vật đi được trong một chu là 4A, trong nửa chu kì là 2A

-Trong thời gian t vật thực hiện được N dao động thì chu kì của vật là T t

Bài 5 Một vật dao động điều hòa có đặc điểm sau:

-Khi đi qua vị trí có tọa độ x1 8 cm thì vật có vận tốc v1 12 cm s /

2 2 0

2 2 0

2 2 0

2 2 0

Bài 9 Một vật dao động điều hòa dọc trục Ox Lúc vật ở li độ x   2 cm thì có vận tốc v    2 cm s /

và gia tốc a  2 2 cm s / 2 Biên độ A và tần số góc của dao động là

A.2cm;rad s/ B 20cm;rad s/ C 2cm; 2rad s/ D 2 2 cm rad s ;  /

Bài 10 Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại là vmax Khi vật ở li độ

3

A

x thì tốc độ của vật bằng

-Với x*, A,  và  đã biết, giải phương trình   *   *

-Nếu vật chuyển động theo chiều dương thì chọn nghiệm (2), giải tìm t và biện luận giá trị của k với lưu ý

là t 0 Nếu vật chuyển động ngược chiều dương thì chọn nghiệm (1), giải tìm t và biện luận giá trị của

k với lưu ý là t 0

-Để tìm số lần vật qua vị trí x* từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 ta làm như sau:

+Giải phương trình lượng giác được các nghiệm

+Từ t1  t t2 suy ra phạm vi giá trị của kZ

+Tổng số giá trị của K chính là số lần vật đi qua vị trí đó

Lưu ý:

+Trong mỗi chu kì vật qua mỗi vị trí biên một lần còn các vị trí khác hai lần

+Mỗi chu kì vật đạn vận tốc v hai lần ở hai vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân bằng và đạt tốc độ v bốn lần mỗi vị trí 2 lần do đi theo hai chiều âm dương

+Đối với gia tốc thì kết quả như với li độ

+Nếu t t  1 tính từ vị trí khảo sát thì cả quá trình được cộng thêm một lần vật đi qua i độ đó, vận tốc

đó,

Cách 2: Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều” Thông qua các

bước sau

Trang 7

*Bước 1: Viết phương trình dưới dạng hàm cos: xAcos  t 

* Bước 2 : Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang

* Bước 4 : Xác định góc quét     t n.2      (n là số nguyên)

* Bước 5 : Thời điểm cần tính: T 2

  nếu n là chẵn Với t2 là thời gian đi từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ hai

2.Đối với dạng bài toán tìm thời điểm vật đi qua tọa độ x * lần thứ n mà tính đến chiều chuyển động thì ta làm như sau:

-Bước 1: Tách số lần

+Nếu đề bài cho n là số chẵn hoặc số lẻ thì đều tách: n  n 1 1

+Ví dụ: n2015 thì tách: n2014 1 ; n2014 thì tách: n2013 1

-Bước 2: Biện luận

+Ứng với n1 lần đi qua vị trí x* theo một chiều mất thời gian t1 n 1T

+Ứng với số lần còn lại, vẽ vòng tròn lượng giác rồi xác định như cách 2 ở trên để tìm thời gian t2

  Thời điểm lần thứ 3 vật qua

vị trí x2cm theo chiều dương là

0

M M’



A.3 lần trong đó hai lần đi theo chiều dương và một lần đi theo chiều âm

B.3 lần trong đó một lần đi theo chiều dương và hai lần đi theo chiều âm

C.5 lần trong đó ba lần đi theo chiều dương và hai lần đi theo chiều âm

D.5 lần trong đó hai lần đi theo chiều dương và ba lần đi theo chiều âm

Bài 6 Một vật dao động điều hòa theo phương trình 4 cos

2 3

x t cm

  Thời điểm vật đi qua vị trí có

li độ x  2 3 cm theo chiều âm lần thứ hai là

* Từ phương trình dao động điều hoà: xAcos  t  cho x x  0

Lấy nghiệm   t  với 0   ứng với x đang giảm

(vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc   t   ứng với x

đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là

x 0

x *

Trang 9

OM Trong khoảng thời gian t, góc ở tâm mà OM quét được là    t Vẽ OM lệch với OM một góc '

α, từ M ' kẻ vuông góc với Ox cắt ở đâu thì đó là li độ cần xác định

2.Li độ và vận tốc ở hai thời điểm khác nhau

-Hai thời điểm cách nhau một khoảng thời gian t2  t1 nT n (  1, 2,3, ) (gọi là hai thời điểm cùng pha) thì x2 x v1; 2 v a1; 2  a1

-Hai thời điểm cách nhau một khoảng thời gian 2 1 2 1 ( 0,1, 2, )

  Tại thời điểm t1 vật có li độ là

2 3cm Li độ của vật sau thời điểm t1 ba giây là:

A. 2, 5cm B.2cm C.2cm D.3cm

Bài 2 Một vật dao động điều hòa theo phương ngang, trong thời gian 100s nó thực hiện 50 dao động toàn

phần Tại thời điểm t vật có li độ 2cm và vận tốc 4  3( cm s / ) Li độ của vật ở thời điểm 1 ( )

  Tại thời điểm t1 vật qua li độ x1 6 cm

theo chiều âm, 9s sau thời điểm t1 thì vật sẽ đi qua vị trí có li độ

A.x2  3 cm theo chiều âm B.x2   6 cm theo chiều dương

C.x2   3 cm theo chiều âm D.x2  6 cm theo chiều dương

Bài 5 Một vật dao động điều hòa dọc trục Ox với tần số góc (rad s/ ) Tại thời điểm t vật có li độ 2cm

và vận tốc 4  3( cm s / ) Vận tốc của vật đó ở thời điểm 1

( )3

Bài 6 Một vật dao động điều hòa có chu kì T Tại một thời điểm vật cách vị trí cân bằng 6cm, sau đó một

khoảng thời gian

A.12  3 cm s / B. 6  3 cm s / C.12cm s/ D.12cm s/

Bài 8 Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 6cm và có vận tốc bằng không tại hai thời

điểm liên tiếp t1 1,75 s và t2  2,5 s Li độ của chất điểm tại thời điểm t0 là

1.Khoảng thời gian cần thiết để đi từ x 1 đế x 2

-Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Vẽ cung

M1M2 tương ứng với chuyển động của vật trên trục Ox Xác định góc  mà cung

2 2

ss

x co

A x co

Cách 2: Dùng máy tính CASIO FX 570ES trở lên:

-Thời gian cần thiết là: t t2 t1 arccosx2 arccos x1 :

1 1

O





-Thời gian trong một chu kì vận tốc của vật dao động điều hòa có giá trị nhỏ

-Thời gian trong một chu kì gia tốc của vật dao động điều hòa có giá trị lớn

t 1 t 1 t 2

t 2



v x(cos)

 α

Bài 7 Một vật dao động điều hòa có chu kì T Nếu chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng, thì

trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật bằng không ở thời điểm

O

Trang 13

Bài 8 Một vật dao động có phương trình Thời gian kể từ lúc vắt đầu dao động đến lúc vật

có li độ là 0,2s Chu kì dao động ủa vật là:

Bài 12 Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 2cm, thời gian vật đi từ đầu nọ đến đầu kia hết một

giây Gọi O là trung điểm của AB, P là trung điểm của OB Thời gian ngắn nhất vật đi từ O đến P và từ P đến B là

Bài 16 Chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách vị trí cân

bằng một khoảng nhỏ hơn một nửa biên độ là

Bài 17 Chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách vị trí cân

Bài 18 Chất điểm dao động điều hòa với chi kì T Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách vị trí cân

bằng một khoảng lớn hơn một nửa biên độ là

Bài 20 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 1s với biên độ 44,5cm Khoảng thời gian trong một

chu kì để vật cách vị trí cân bằng một khoảng nhỏ hơn 2cm là

Bài 21 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng Thời gian ngắn

nhất mà vật đi từ điểm có x0 đến điểm mà tốc độ của vật bằng nửa tốc độ cực đại là

Bài 24 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Gọi vtb là tốc độ trung bình của chất điểm trong

một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm Trong một chu kì, khoảng thời gan mà v  0, 25  vtb là

Bài 25 Chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có độ lớn gia

tốc lớn hơn một nửa gia tốc cực đại là

A

32

Dạng 8 Xác định khoảng thời gian để véctơ vận tốc và véctơ gia tốc

cùng chiều, ngược chiều

I.Phương pháp

-Viết phương trình dưới dạng xAcos  t , đặt    t 

-Véctơ vận tốc v luôn cùng hướng với hướng chuyển động còn véctơ

gia tốc a luôn hướng về vị trí cân bằng

-Phối hợp với vòng tròn lượng giác ta thấy rõ:

+Góc phần tư thứ nhất (I): Vật đi từ xA đến x0, khi đó

Giải bất phương trình này tìm t

+Góc phần tư thứ hai (II): Vật đi từ x0 đến x A, khi đó

000

x v a

a v     Giải bất phương trình này tìm t

+Góc phần tư thứ ba (III): Vật đi từ x A đến x0, khi đó

000

x v a

Giải bất phương trình này tìm t

+Góc phần tư thứ tư (IV): Vật đi từ x0 đến xA, khi đó

000

x v a

Bài 1 Khi một vật dao động điều hòa thì véctơ vận tốc

A.luôn đổi chiều khi đi qua gốc tọa độ B.luôn cùng chiều với véctơ gia tốc C.luôn đổi chiều khi vật chuyển động đến vị trí biên D.luôn ngược chiều với véctơ gia tốc

Bài 2 Chọn phát biểu đúng khi nói về dao động điều hòa:

A.Véctơ vận tốc v, véctơ gia tốc a của vật là các véctơ không đổi

B.Véctơ vận tốc v, véctơ gia tốc a đổi chiều khi qua vị trí cân bằng

C.Véctơ vận tốc v, véctơ gia tốc a cùng chiều chuyển động của vật

D.Véctơ vận tốc v hướng cùng chiều chuyển động, véctơ gia tốc a hướng về vị trí cân bằng

Bài 3 Một vật dao động điều hòa với phương trình 5cos 4

(III) (III)

A -A

tốc hướng theo chiều âm và véctơ gia tốc hướng theo chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian nào

kể từ thời điểm ban đầu (t0)?

Về tư duy: Cứ trong một chu kì:

+Vật đi được quãng đường 4A

+Vật đi qua li độ *

x bất kì 2 lần (không tính đến chiều chuyển động)

Cách 1: Sử dụng vòng tròn lượng giác

-Bước 1: Tìm    t t2 t1, từ đó suy ra góc quét:     t

-Bước 2: Tách góc quét và biện luận quãng đường

-Bước 3: Tìm S0 trên đường tròn lượng giác

+Xác định vị trí và chiều chuyển động ở thời điểm t1

+Căn cứ góc quét ' trên đường tròn chiếu xuống phương x, từ

đó tính được S0

-Bước 4: Kết luận S k A S  4  0

Cách 2: Phương pháp lượng giác kết hợp hình học

-Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2: t2 t1

T

  

trong đó n là phần nguyên còn m là phần thập phân Có hai khả năng:

Để tính Sdư và Ndư ta làm như sau:

Thay t1 và t2 vào phương trình dao động và vận tốc để xác định các li độ và vận tốc tương ứng:

Trang 17

-Biểu diễn các vị trí x1, x2 và các véc tơ vận tốc v v1; 2 tương ứng trên trục Ox Từ x1 ta kẻ một đường song song với Ox theo hướng của v1 đi qua x2 cho đến khi chiều của đường kẻ đó cùng chiều v2 Khi đó chiều dài đoạn vẽ được chính là Sdư

Lưu ý:

-Chiều dài quỹ đạo: 2A

-Quãng đường đi trong một chu kỳ (T) luôn là 4A; trong một nửa chu kỳ (

2

T ) luôn là 2A -Quãng đường đi trong một phần tư chu kỳ (

du du

Bài 3 Vật dao động theo phương trình x 1.sin10t cm Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian

t  s là

Bài 5 Một chất điểm dao động điều hòa có vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp là 2,2s và 2,9s

Tính từ thời điểm ban đầu đến thời điểm 2,9s chất điểm đã đi qua vị trí cân bằng

Bài 7 Một vật dao động điều hòa theo phương trình 3sin 5

Bài 13 Một vật dao động điều hòa với phương trình x10cos  t cm Kêt từ thời điểm ban đầu, vật

đi được quãng đường 128cm trong thời gian t đầu tiên Hãy tìm uãng đường vật đi được trong 2 t tiếp theo ?

  

-Vật có vận tốc lớn nhất khi qua vị trí cân bằng, nhỏ nhất khi qua vị trí biên

nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng

gần vị trí cân bằng và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên Sử dụng mối liên hệ giữa

dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều Góc quét  = t

-Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1) max 2 sin

2

-Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)