Bất đẳng thức whitney trong xấp xỉ bằng đa thức đại số

Bất đẳng thức đánh giá sự tương đương giữa sai số xấp xỉ tốt nhất bằng đa thức đại số và môđun trơn. Luận văn đã trình bày về bất đẳng thức Whitney thiết lập sự tương đương giữa môđun trơn bậc r và sai số xấp xỉ tốt nhất của hàm f bằng đa thức đại số bậc nhỏ hơn r. Khi r cố định và khoảng I là nhỏ thì bất đẳng thức Whitney cho ta thu được những xấp xỉ tốt của hàm f từ không gian các đa thức đại số bậc nhỏ hơn r. Các kết quả luận văn đã đạt được như sau: egin{enumerate} item Trình bày bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến . item Trình bày bất đẳng thức Whitney đối với hàm nhiều biến theo hướng mở rộng không đẳng hướng trong tài liệu cite{DT} end{enumerate}

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

(Ký và ghi rõ họ tên)

Bùi Khắc Thiện

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS - TSKH Đinh Dũng, người đã chỉ bảo tậntình và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thể hoàn thành bảnluận văn này một cách tốt nhất

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở khoa Khoa học tựnhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, những người đã tận tìnhgiúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tác giảhoàn thành luận văn một cách thuận lợi

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Hồng Đức, tỉnhThanh Hóa dưới sự hướng dẫn của GS - TSKH Đinh Dũng

Mục lục

Bảng ký hiệu iv

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Các không gian hàm 3

1.1.1 Không gian Lp(A), (1 6 p 6 ∞) 3

1.1.2 Không gian Sobolev 4

1.1.3 Đạo hàm suy rộng 5

1.1.4 Đa thức Taylor và bất đẳng thức đối với đạo hàm 5

1.2 Môđun liên tục - Môđun trơn 7

1.2.1 Môđun liên tục 8

1.2.2 Môđun trơn 9

Chương 2 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến 13

2.1 K - phiếm hàm 13

2.2 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến 17

Chương 3 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm nhiều biến 19

3.1 Một số kí hiệu 19

3.2 Một số bổ đề kỹ thuật 22

3.3 Bất đẳng thức Whitney 30

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

Bảng ký hiệu

Trong toàn bộ luận văn trừ những trường hợp đặc biệt được nêu rõ ở mỗi mục,còn lại sử dụng các ký hiệu sau

• Tập A là một đoạn của R hoặc A = R hoặc A = R+

• C(A), eC(A), Cr(A) lần lượt là không gian các hàm liên tục; không giancác hàm liên tục đều và không gian các hàm khả vi liên tục cấp r trên A

• C∞

0(A) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên A

• Lloc(A) là không gian các hàm khả tích địa phương trên A

• Pr là không gian các đa thức đại số có bậc nhỏ hơn r

Mở đầu

Bất đẳng thức Whitney cổ điển trong [15] thiết lập mối quan hệ tương đươnggiữa môđun trơn ωr( f , |I|)p,I và sai số xấp xỉ tốt nhất Er( f )p, I của hàm f :

I→ R bằng đa thức đại số bậc nhỏ hơn r, được đo trong không gian Lp(I), 1 6

p6 ∞, trong đó I = [a, b] là một khoảng trên R và |I| = b − a là độ dài của

nó Bất đẳng thức Whitney được phát biểu như sau

2−rωr( f , |I|)p, I 6 Er( f )p, I 6 Crωr( f , |I|)p, I (1)với một hằng số C chỉ phụ thuộc vào r Kết quả này lần đầu tiên được chứngminh bởi Whitney [15] khi p = ∞ và mở rộng bởi Brudnyĩ [1] với 1 6 p < ∞.Bất đẳng thức (1) cho ta một đặc trưng về sự hội tụ của xấp xỉ địa phươngbằng đa thức đại số khi r là cố định và khoảng I là nhỏ

Có một số hướng mở rộng bất đẳng thức (1) cho hàm nhiều biến như sau :

Mở rộng cho hàm nhiều biến ( đẳng hướng ) trên một hình d - lập phương

Q trong Rd được chứng minh bởi Brudnyĩ [2], [3] Kết quả là tương đươngnếu thay hình d - lập phương bằng một miền Ω ⊂ Rd Trường hợp Ω là tậplồi được đề cập trong [2] Trường hợp cho một miền Lipschitz là được đề cậptrong [4] Mở rộng cho hàm nhiều biến ( không đẳng hướng ) được đề cậptrong [7], [6]

Trong đó hướng mở rộng của Dinh Dung and Tino Ullrich [6] nói lên mốiliên quan giữa xấp xỉ địa phương không đẳng hướng tốt nhất bằng đa thức đại

số và môđun trơn hỗn hợp

Nội dung chính của luận văn là trình bày về bất đẳng thức Whitney đối vớihàm một biến và hàm nhiều biến theo hướng [6] Bố cục của luận văn nhưsau :

Chương 1 Trình bày các kiến thức nền cần dùng trong chứng minh các bổ đề

ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô trường Đại học Hồng Đức, khoa Tựnhiên, phòng Đào tạo về kiến thức quý giá mà em đã nhận được trong thờigian học tập tại trường Xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã chỉ bảo tậntình Cảm ơn gia đình người thân và bạn bè về những sự khuyến khích, độngviên

Thanh Hóa, tháng 12 năm 2013

Bùi Khắc Thiện

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm liên quan trong xây dựng và chứngminh bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến Đó là : không gian Lp(A),hàm liên tục tuyệt đối, không gian Sobolev, đạo hàm suy rộng, đa thức Taylor

và các bất đẳng thức đối với đạo hàm, môđun trơn và môđun liên tục Phầnlớn các định nghĩa, tính chất trong chương này đều tham khảo từ tài liệu [5].Các mệnh đề, định lí trong chương này chỉ nêu ra, phần chứng minh thamkhảo trong tài liệu [5]

1.1 Các không gian hàm

1.1.1 Không gian Lp(A), (1 6 p 6 ∞)

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Lp(A), (1 6 p 6 ∞) là không gian định chuẩnbao gồm tất cả các hàm f đo được theo nghĩa Lebesgue trên A, với chuẩn sau

Từ định nghĩa ta thấy rằng không gian Lp(A), 1 6 p 6 ∞ là không gianBanach.

Chúng ta sẽ cần hai bất đẳng thức đặc trưng của không gian Lp(A) Đó là :a) Bất đẳng thức Holder : Với 1 6 p, q 6 ∞, 1p+1q = 1, ta có

1.1.2 Không gian Sobolev

Trước hết ta định nghĩa về hàm liên tục tuyệt đối

Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f xác định trên A Hàm f được gọi là liên tục

tuyệt đối trên A nếu với mọi ε > 0, tồn tại δε > 0 sao cho

Hàm f liên tục tuyệt đối trên A khi và chỉ khi f0tồn tại hầu khắp nơi

Từ định nghĩa hàm liên tục tuyệt đối ta định nghĩa không gian Sobolevnhư sau

Định nghĩa 1.1.3 Không gian Sobolev Wpr(A), 1 6 p 6 ∞ là không gian cáchàm f ∈ Lp(A) sao cho f(r−1) liên tục tuyệt đối và f(r) ∈ Lp(A)

Chuẩn trên Wpr(A), 1 6 p 6 ∞, được định nghĩa như sau

k f kWr (A)= k f kp+ k f(r)kp

1.1.3 Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.1.4 Cho f , g là hai hàm khả tích địa phương trên A, ta nói g là

đạo hàm suy rộng cấp r của f trên A nếu

Định lý 1.1.5 Cho r > 0 Nếu f ∈ Lloc(A) thỏa mãn,

Z

A

f(x)φ(r)(x)dx = 0, ∀φ ∈ C∞

thì tồn tại đa thức bậc P bậc nhỏ hơn r sao cho f = P hầu khắp nơi trên A.

Định lý sau nói lên mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm suy rộng và tínhliên tục tuyệt đối của một hàm

Định lý 1.1.6 Cho r > 1 Nếu f ∈ Lloc(A) có một đạo hàm suy rộng cấp r

là g ∈ Lloc(A), thì f có thể xác định lại trên một tập có độ đo không sao cho

f(r−1) là liên tục tuyệt đối và f(r) = g hầu khắp nơi trên A.

1.1.4 Đa thức Taylor và bất đẳng thức đối với đạo hàm

Định nghĩa 1.1.7 Cho f ∈ Wpr(A) Khi đó f có các đạo hàm liên tục cấp

k= 0, 1, , r − 1 Vì vậy với mỗi c ∈ A, đa thức

Mệnh đề 1.1.8 Nếu f ∈ Wpr(A), A = [a, b], và 1 6 p, q 6 ∞, thì đối với đa thức Taylor Tr−1( f , c, x), c ∈ A, ta có

Định lý 1.1.9 Với r > 2, 1 6 p 6 ∞, A = [a, b], tồn tại hằng số C phụ thuộc

vào r sao cho

Z u 0

(u − t)r−1(r − 1)! f

đúng với mọi x ∈ A0= [a,(a+b)2 ] với 0 ≤ u ≤ b−a2

Số dư Rr(x, u) trong (1.10) là một hàm của x cái mà lấy chuẩn trong Lp(A0)

bằng bất đẳng thức Minkowski ta được bằng với θ urk f(r)kp, |θ | < r!1 Chúng

ta chọn các số cố định 1 := λ1 < < λr−1:= 2thì với mọi 0 6 u 6 |A|4 ta có

λ1 λ1r−1

λr−1 λr−1r−1

6= 0, nên từ hệ r − 1 phương trình trong

(1.11) ta giải được nghiệm uk!k f(k)(x), k= 1, , r − 1 Bằng cách này ta có

ukk f(k)kp, A0 6 C(k f kp+ urk f(r)kp), k= 1, , r − 1, (1.12)với k = 0 và k = r hiển nhiên (1.12) đúng

Vậy

ukk f(k)kp, A0 6 C(k f kp+ urk f(r)kp), k= 0, , r (1.13)

Tương tự ta cũng có (1.13) với A0= [a+b2 , b] và u 6 b−a4

Với u > b−a4 , ta có thể suy ra (1.9) từ trường hợp u = b−a4 bằng cách thay đổihằng số C

1.2 Môđun liên tục - Môđun trơn

Môđun liên tục và môđun trơn sẽ trình bày sau đây là dùng để đo độtrơn của hàm Chúng là công cụ tinh tế hơn so với tính khả vi của hàm để giảiquyết một số bài toán xấp xỉ

1.2.1 Môđun liên tục

Định nghĩa 1.2.1 Cho A = [a, b] Môđun liên tục của hàm f trên A được định

nghĩa như sau :

ω ( f , t) := sup

|x−y|6t x,y∈A

| f (x) − f (y)|, t > 0

Từ định nghĩa môđun liên tục ta thấy một số tính chất sau:

F Nếu t > b − a thì ω( f , t) = const

F Hàm ω( f , t) là liên tục tại điểm t = 0 khi và chỉ khi f liên tục đều trên A

Kí hiệu eC(A) là không gian các hàm liên tục đều trên A

Ta giả thiết f ∈ eC(A) Khi đó ω(t) là hữu hạn đối với mỗi t Môđun liên tụcđược xét trên hai phương diện

1) Như là một hàm của biến t khi f cố định

2) Như một phiếm hàm trên eC(A) khi t cố định

Xét trên phương diện thứ nhất ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.2 Với f cố định môđun liên tục có các tính chất sau

Cách gọi này là hợp lý vì mọi hàm số như vậy đều là môđun liên tục củachính nó.

2) ω ( f , λ t)6 (λ + 1)ω( f , t), λ > 0 và không phải là số nguyên

3) Môđun liên tục không thể quá nhỏ, tức là nếu ω ( f , t)t → 0, khi t → 0thì f0= 0 và f = const

Xét trên phương diện thứ hai, với t > 0, cố định thì ω(., t) là một nửachuẩn trên

∼

C(A), nghĩa là

(a) ω ( f , t)> 0;

(b) ω ( f + g, t) 6 ω( f , t) + ω(g, t); (1.14)(c) ω (λ f , t) = |λ |ω ( f , t)

Khái niệm môđun liên tục có thể mở rộng trong không gian Lp(A) như sau :

Định nghĩa 1.2.5 Cho A = [a, b], kí hiệu Ah = [a, b − h] nếu 0 6 h < b − a,

và Ah = /0 nếu h > b − a Với mỗi h ∈ R, khi đó toán tử sai phân được xácđịnh bởi

Nếu hàm f liên tục trên khoảng A thỏa mãn ω( f , t) = o(t) thì f là hằng số

Do đó môđun liên tục là không hữu ích để đo độ trơn bậc cao Vì vậy, chúng

ta sử dụng môđun trơn cái mà có quan hệ với sai phân bậc cao để đo độ trơn

bậc cao của hàm Trong phần này chúng ta sẽ trình bày về định nghĩa môđun

và một số tính chất của nó

Môđun trơn được định nghĩa qua sai phân bậc cao như sau:

Định nghĩa 1.2.6 Từ sai phân bậc một ∆h ta định nghĩa bằng quy nạp sai

(−1)r−kf(x + kh)và ∆r−h( f , x) = (−1)r∆rh( f , x − rh)

Với một hàm f trên A, và h > 0 , ∆rh( f , x) là xác định với mọi x ∈ Arh= [a, b−rh].Môđun trơn bậc r của f ∈ Lp(A) được định nghĩa bởi

ωr( f , t)p := ωr( f , t)p, A= sup

0<h6t

k∆rh( f , )kp, Arh, t > 0, r = 1, 2,

ω0( f , x)p:= k f kp, A

Từ định nghĩa ta thấy ω1( f ,t)p = ω( f , t)p là môđun liên tục

Một số tính chất của môđun trơn

(a) ωr( f , t)p là hữu hạn với mỗi t, liên tục và tăng theo t với (1.15)

Sai phân ∆rhf có thể biểu diễn qua tích phân của các đạo hàm của f Trướchết ta định nghĩa B - spline Mr như sau :

Định nghĩa 1.2.7 B - spline Mr được định nghĩa bởi

Tác động vào hai vế của đẳng thức này bởi toán tử 1h∆h ta được

Đổi biến u = v + t và t = t ta sẽ có điều phải chứng minh 

Từ mệnh đề này ta rút ra 2 hệ quả sau :

(iii) Nếu f 6∈Pr, thì ωr( f , t)p > Ctr, C > 0, 0 < t 6 1.

Chương 2

Bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến

Trong chương này trình bày về K - phiếm hàm, định lý Johnen, bất đẳngthức Whitney đối với hàm một biến Nội dung chủ yếu của chương này đượchình thành từ các tài liệu [1], [5], [9], [11], [15]

i) Như một hàm của t > 0, K - phiếm hàm là một hàm tăng, lõm, liên tục

và dưới cộng tính :Kr( f ,t1+ t2) 6 Kr( f ,t1) + Kr( f ,t2).

ii) Với t > 0 cố định, Kr( f ,t) là một nửa chuẩn trên Lp(A) +Wpr(A).

Định lí Johnen sau đây phản ánh mối tương quan chặt chẽ giữa K - phiếmhàm và môđun trơn

Định lý 2.1.3 (Johnen, xem [9]) Cho A = [a, b] Với 1 6 p 6 ∞ và r =

1, 2, , tồn tại các hằng số C1, C2 > 0 chỉ phụ thuộc vào r sao cho với mọi

f ∈ Lp

C1ωr( f ,t)p6 K( f ,tr, Lp,Wpr) 6 C2ωr( f ,t)p, t > 0 (2.1)

Để chứng minh định lý này ta cần hai bổ đề sau

Bổ đề 2.1.4 (xem [5]) Với mỗi khoảng hữu hạn I = [a, b] và 0 < δ < b−a2

tồn tại một hàm Φ ∈ C∞

0(R) là hàm tăng trên [a, a + δ ], giảm trên [b − δ , b], bằng không ngoài [a, b] và bằng một trên [a + δ , b − δ ] sao cho kΦ(k)k∞ 6

Ck|I|−k với Ck = C(k; δ ), k = 1, 2, Đặc biệt với mỗi 0 < θ < 1 và mỗi

I, tồn tại Ck := C(k, θ ) sao cho với 2δ > θ |I| thì kΦ(k)k∞,R 6 C(k, θ )|I|−k,

Φ(x) =

Z x x−cG(u)du trong đó c := 1 − δ

Bổ đề 2.1.5 (xem [10]) Cho I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], a1 < a2 < b1 < b2, đặt I = I1∪ I2, J = I1∩ I2 Khi đó sẽ tồn tại hằng số C phụ thuộc vào r và tỉ

số |I|/|J| sao cho,

K( f ,t)(I) 6 C {K( f ,t)(I1) + K( f ,t)(I2)} , t 6 |I| (2.2)

Chứng minh. Gọi Φ là hàm như trong Bổ đề 2.1.4 với J = [c, d] và δ :=

=

(

Z c

a1

+

Z d c

+

Z b2d

)|(1 − Ψ(x)) f (x) + Ψ f (x) − g|pdx

1 p

6 k f − g1kp,I1+ k f − g2kp,I2 (2.3)Chúng ta cần đánh giá tương tự cho trkg(r)kp,I

Trên I\J, hàm Ψ là bằng 1 hoặc 0 và g(r) := (1 − Ψ)g(r)1 + Ψg(r)2 Do đó,

trkg(r)kp,I\J 6 tr

n

kg(r)1 kp,I1+ kg(r)2 kp,I2o (2.4)Trên J, chúng ta áp dụng với g = g1+ Ψ(g2− g1) và áp dụng quy tắc Leibniz

tkk(g1− g2)(k)kp,J 6 C

nk(g1− g2)kp,J+ trk(g1− g2)(r)kp,Jo

6 C

n

k f − g1kp,I1+ trkg(r)1 kp,I1+ k f − g2kp,I2+ trkg(r)2 kp,I2o (2.6)

Thế (2.6) vào (2.5) và sử dụng (2.3), (2.4), chúng ta thu được, k f − gkp,I+

trkg(r)kp,I không lớn hơn vế phải của (2.6) Bằng định nghĩa K - phiếm hàm

Bây giờ ta có thể chứng minh được Định lí 2.1.3

Chứng minh. Với một hàm g ∈ Wpr, từ các tính chất (1.16); (1.18);(1.25) củamôđun trơn, ta có

ωr( f , t)p 6 ωr( f − g, t)p+ ωr(g, t)p 6 2rk f − gkp+ trkg(r)kp

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức trái của (2.1) với C = 2−r

Để thu được bất đẳng thức phải của (2.1) ta phải so sánh hàm f với hàm

Bây giờ ta đặt g0 là một hàm thuộc Wpr sao cho (2.11) đúng với t = t0 dẫn đến

k f − g0kp 6 Cωr( f ,t0)p, và đặt P là đa thức Taylor bậc r − 1 của g0cho cácđiểm trong A Bằng đánh giá (1.8) trong chương 1 cho số dư trong công thứcTaylor ta có:

kg0− Pkp6 |A|rkg(r)0 kp 6 Ct0rkg(r)0 kp 6 Cωr( f ,t0)p

Vì vậy

k f − Pkp = k f − g0+ g0 − Pkp 6 Cωr( f ,t0)p 6 Cωr( f ,t)p, t > t0.Mặt khác P(r) = 0 Vậy K( f ,t) 6 Cωr( f ,t)p với t > t0 

2.2 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến

Chúng ta xấp xỉ một hàm số f xác định trên I = [a, b] bằng một đa thức

từ không gian các đa thức Pr Sai số xấp xỉ tốt nhất của f ∈ Lp(I) bằng đathức từPr được đánh giá bởi đại lượng

Er( f )p,I := inf

P∈ P r

k f − Pkp,I.Khi đó, sai số xấp xỉ tốt nhất Er( f )p,I và môđun trơn ωr( f , |I|)p,I (với |I| =

b− a là độ dài của khoảng I) có mối quan hệ tương đương với nhau thể hiệntrong bất đẳng thức Whitney sau đây:

Định lý 2.2.1 (xem [15].[1]) Với mỗi r = 1, 2, tồn tại một hằng số Cr > 0, sao cho với mỗi f ∈ Lp(I), 1 6 p 6 ∞ (L∞(I) = C(I)), ta có

2−rωr( f , |I|)p,I 6 Er( f )p,I 6 Crωr( f , |I|)p,I (2.12)

Chứng minh. Giả sử g là một hàm bất kỳ thuộc Wpr và P là đa thức Taylor bậc(r − 1) của g tương ứng với điểm cuối của I Bằng bất đẳng thức (1.8) trongChương 1, ta có

Do đó, vế đầu của (2.12) được suy ra từ (2.1)

Nếu P là đa thức bậc (r − 1) thì ωr( f , |I|)p = ωr( f − P, |I|)p 6 2rk f − Pkp(do (1.18) với k = 0) Lấy P là xấp xỉ tốt nhất của f ∈ Lp(I) từPr chúng ta

Chương 3

Bất đẳng thức Whitney đối

với hàm nhiều biến

Nội dung chính của chương này là trình bày về bất đẳng thức Whitneyđối với hàm nhiều biến Để phát biểu và chứng minh định lý cần một số địnhnghĩa như môđun trơn hỗn hợp và môđun trơn hỗn hợp toàn phần; K - phiếmhàm hỗn hợp; không gian Sobolev có độ trơn hỗn hợp và các định lý bổ

đề liên quan Nội dung chủ yếu của chương này của chương này tham khảotrong tài liệu [6]

c A B nghĩa là tồn tại một số c > 0 sao cho A 6 cB, A  B nghĩa là A  B

và B  A

d Nếu r ∈ Nd, ký hiệuPr là không gian các đa thức bậc theo biến xi nhỏhơn hoặc bằng ri− 1, i ∈ [d], trong đó [d] là tập tất cả các số tự nhiên từ 1 đến d.Chúng ta sẽ xấp xỉ một hàm f được xác định trên một d - hình hộp

Q:= [a1, b1] × × [ad, bd]bằng một đa thức từ không gian các đa thức Pr Nếu D ⊂ Rd là miền trong

Rd, chúng ta định nghĩa Lp(D), 1 6 p 6 ∞ là không gian định chuẩn các hàm

đo được theo nghĩa Lebesgue trên D với chuẩn

Cho r ∈ Zd+, h ∈ Rd và hàm d biến f : Rd → R toán tử sai phân hỗn hợp bậc

r là ∆rh được định nghĩa bởi

Trong đó toán tử nhiều biến ∆ri

h i ,i là được áp dụng với hàm nhiều biến f bằngviệc xét f như là hàm một biến xi với các biến khác cố định

2.2 Bất đẳng thức Whitney hàm biến

Chúng ta xấp xỉ hàm số f xác định I = [a, b] đa thức

từ không gian đa thức Pr Sai số xấp xỉ tốt f ∈ Lp(I) đathức... data-page="17">

Chương 2

Bất đẳng thức Whitney hàm biến

Trong chương trình bày K - phiếm hàm, định lý Johnen, bất đẳngthức Whitney hàm biến Nội dung chủ yếu chương... Wpr P đa thức Taylor bậc(r − 1) g tương ứng với điểm cuối I Bằng bất đẳng thức (1.8) trongChương 1, ta có

Do đó, vế đầu (2.12) suy từ (2.1)

Nếu P đa thức bậc (r − 1)