Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỷ ( TIẾP)

NHẰM GIÚP CÁC EM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯ DUY VÀ TÌM KIẾM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ....................................................................................................

II Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa về tích số

A B A B A B A B   A B AB 2 A B A B   3 3 A B 3 2 3 3 2 A  AB B 3 2 3 3 2 A B A  AB B 3 A B 3 2 3 2 A B A B 3 3 2 3 2 A B A B AB  Phân tích bài toán và hướng tư duy đi đến lời giải (tương tự cho 3 f x( )) Gi f x( ) g x( )h x( ) 0

 ướng f x( )g x( ) h x( )

f x( )g x( )

3x 2 x 1 2x2 x 3, (3x   2) (x 1) 2x3 2x2  x 3 (2x3)(x1) 2x3

f x( )g x( )

h x( ),

 ướng PP o x x  ghép h ng s f X( ) g X( )h X( )

x x o

( f X( ) g X( )h X( )) : (X x o)

x x o

m n, x x o

m f x( ), o n g x( )o x x o

[ f x( )m] [ n g x( )]h x( )  m n 0

h x( ) m n

câu: 3x 1 6 x 3x214x 8 0

x5 nên m 3.5 1 4  ( 3x 1 4)

6 5 1 n   (1 6x) x5

3x214x  5 (x 5)(3x1) x5  ướng ẹp 1, 2 PP x x x x   ghép ax b ax b

a b,

f x ( ) 1 1 2 2 ( ) , ( ) f x ax b a b f x ax b         

c g x Thí d gi i: ( ) 2 3x 4 3 5x 9 x26x13 x0, x 1 ax b ax b 3x4

3.0 4 .0 2 1 3.( 1) 4 ( 1) a b b a a b                  2 3x 4 (x 2)        5x9 3. 5x 9 (x3)     l sau hi nhân lượng liên hợp

(x x o)f x( ) 0 (ax2bx c f x ) ( ) 0.

nh f x( ) 0,

( ) f x

 f x( ) 0,

f x( )

x

( )),f x suy ra ( )f x

 ( ) 0f x 

( AB, A B, ) f x( ) 0

A Bk) x

Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ hoặc dễ xác định nhân t

 Nhóm I: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn lại

Ví dụ 21 3x 2 x 1 2x2 x 3 ( )

Học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm 2014  Lời giải 2

3 x  2 ( 3 2 1)( 3 2 1) ( ) 2 3 3 2 1 x x x x x x x x               2 3 (2 3)( 1) 0 3 2 1 x x x x x          3 1 2 (2 3) ( 1) 0 1 3 2 1 1 (1) 3 2 1 x x x x x x x x                           2

3 x   ( ) 1 2 1 5 1 3 3 f x      x (2)

( )g x  3x 2 x1 ( ) 3 1 0, 2 3 2 3 2 2 1 g x x x x          g x( ) 2;

3       nên 1 1 ( ) ( ) 3 2 1 h x g x x x       

2 ; 3 2 2 15 ; max 1 3    h x h 3 5                hay ( ) 1h x  (3)

f x( )h x( )

Kết luận x3/2 Bình luận S f x( ) trong (2x3) ( ) 0f x 

1 ( 1) 3X 2 X 1 X   

f x( ) g x( )

 f x( ) g x( )h x( )

Ví dụ 22 Gi 2

1 1 4 3 x   x  x ( )

Đề thi thử Đại học khối D năm 2013 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc

6 9 18 4 (1)

x x

x

6x 59x149 x 9x245.(x5) (1) ( ), (1),

x  

Kết luận x 0,5 và x1.

(3) (4)  4x   x 1 5x  1 x    x 0 x 0 x 1 (TM)

Kết luận x0, x1

Ví dụ 30 Gi     

 2 5.( 3) 1 2 4 2 18 x x x x ( )

Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương Phân tích Có x 1 2 4 x x 1 16 4 x và (x 1) (16 4 ) 5.( x  x3) é ờ ả sau:  Lời giải   1 x 4 2 ( )  2x 18.( x 1 16 4 ) 5.( x  x3) 2 2 3 : TM 5.( 3) 2 18 5.( 3) 2 18 1 16 4 (1)

1 16 Đ 4 K x x x x x x x x x                   2 2 2 (1)2x 3x 1 4 (x1)(4x)4  x 3x 4 2x 3x1 (2)

Nhận xét S 1, 3, 2 x  x hay 2

(x1).(2x3) 2 x  x 3, :

Hướng 1 AB

2 4 3 2 2 1 2 3 1 0 1 (2) 2 4 12 29 42 63 0 ( 1)(2 3)(2 7 21) 0 x x x x x x x x x x x x                             1 x    3:

2 x

Hướng 2 2

2x  x 3 2 2 (2)(2x   x 3) 4 ( x   1) x 3x40     (3)

Xét 2 1 3 4 0 1 x   x x    x x 1

Xét 2 1 3 4 0 1, x   x x    x x ( 1; 4]

2 2 2 4.(2 3) (3) (2 3) 0 1 3 4 x x x x x x x             2 2 2 0, ( 1;4]. 1 4 (2 3) 1 0 2 3 0 3 1 3 4 2 x x x x x x x x x x                                 Hướng 3 a nb n

ẵ

(2) 4 2.2  x 3x   4 ( x 3x4)x 6x9

2

      



       



2

2

1

2

     



          



Ví dụ 31 Gi

2 6 4 2 4 2 2 4 x x x x       ( )

Phân tích (2x  4) (8 4 ) 6x  x4 ế ả

ế é ờ ả :

 Lời giải   2 x 2.                 2 2 (6 4) 4 ( ) 4.( 2 4 8 4 ) 6 4 6 4 2 4 8 4 x x x x x x x x x 2 2 2 4 3 (6 4) 1 0 2 4 8 4 2 4 8 4 4 (1)

x x x x x x x x                           2 2 2 (1)  2x 12 2 (2 x4)(8 4 ) x x  4 4 8 2 x x 2x8 4 3 2 2 2 2 4 2 2 (2) 0 ( ) 4 20 32 64 0 x x x x x f f x x x x x                         Kết luận 2, 2 3 x x Nhận xét Q ế 31 ế é

é ẳ S

ả q ế

 Nhóm II: S dụng casio, tìm nghiệm duy nhất  PP o x x ghép hằng số Ví dụ 32 Gi 2

3x 1 6 x 3x 14x 8 0 ( )

Đại học khối B năm 2010 Phân tích é

: 2

3X 1 6 X 3X 14X8 và 2

= ả X5.

ú 2 ( 3X 1 6 X 3X 14X8) : (X5) và ế shift solve 2 = thì cho ế q ả ế

 Lời giải 3 1 0 1 6.

x

x x

2 3

q ế Đối với loại ghép h ng số

f x phương pháp truy ngư c d u ả ả ( )

( )

f x đối với phương trình c nghiệm duy nh t :

 Bước 1 ế

2 3

( )  x 9 5x 1 2x 3x 1 0

 Bước 2 ax : é :     

Do

2 3

2 2

50x 155x 152x 48 48x 152x 155x 46 4(4x 5) 3x 2

3 2

2x 3x 3x 2 4(4x 5) 3x 2 0

        (1)

3 2 (4x 5) 3x 2.( 3x 2 4) 2x 15x 20x 12 0           (2)

2 3( 6)(4 5) 3 2 ( 6)(2 3 2) 0 3 2 4 x x x x x x x            2 3(4 5) 3 2 ( 6) 2 3 2 0 6 3 2 4 x x x x x x x                     Do 3(4 5) 3 2 2 3 2 3 2 0, 2 3 2 4 x x x x x x            Kết luận x6 Bình luận T ế 1 ỹ

4(4 x5)(4 3x2) thành (4 x5) 3x2.( 3x 2 4)

Ví dụ 42 Gi 2

(x1) x 2 (x6) x 7 x 7x12 ( )

x 2  Phân tích và lời giải 1 S x2,

é

é ( x1).( x 2 m), (x6).( x 7 n) 2 ( ) (x1)( x  2 2) (x6)( x  7 3) (x 2x8) 0 2 2 ( 1) ( 6) ( 2)( 4) 0 2 2 7 3 x x x x x x x x                 1 6 ( 2) 4 0 2 2 2 2 3 x x x x x x x                    Do x 2, suy ra: x 2 0, x 6 0 và lúc này, ta luôn có: 1 6 2 2 6 6 4 2 2 2 2 7 3 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x                                  1 2 2 6 6 1 6 1 0 2 2 3 2 6 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x                      Kết luận x2  Phân tích và lời giải 2 Nếu liên h p d ng ( 1)( 2 2) ( 1)( 2) 2 2 x x x x x         x1 x 2 ĩ ế

2

(x2)(x1) sau khi ả (x2)(x1) x 1, x2 é ( ax b ) x2

x x

Kết luận có nghi m duy nh t x1.

( ) ( 3x   2 2) 2 x( 3x  2 2) 2x2 2x 1

2 3

Kết luận x2.

Ví dụ 45 Gi 2

x  x  x x  x  ( ) 1

Phân tích và lời giải 2 V f x( ) trong 2

(x x f x) ( ) sau khi liên : 2

2 Liên hợp với phương trình có nghiệm vô tỷ hoặc có sự biến đổi

 Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản hơn hoặc có sự biến đổi, rồi liên hợp

2 2

1

x t

x   x x  x    x   x 

2

( 3)( 3)

2 1

91 10

x x

 

2

2 1

91 10

x

x x

 

 

Do: 2 3 1 3 1 ( 3) ( 3) 0, 2 10 2 1 2 1 91 10 x x x x x x x x                   Kết luận x3 Bình luận Trong bài giả t n ph h i x ng lo i II, ta s tìm hi u d u hi u nh n d th ở nh ng bài họ

n a, qua bài này tôi mu n g i m p r ng: khi g p h i x ng lo i II ch c thì sau khi l y vế tr vế s liên h p luôn nh c xy, ho c có th s d ng nhân t xy Ví dụ 56 Gi 3 2 9 3 1 3 x x x x x       ( )

Phân tích

q

ế ú ú ọ ế T ờ

f x( )ax2bx c a x x  (  1)(x x 2) x x1, 2

f x( ) 0 ẳ

:

2 2 2 2 2 •

•

•

x x x x x x x x x x x x x x                                    T ế ờ ả :

 Lời giải 1 0; 9 0 1 9 3 1 3 0.

( )

1 ọ x1 :

2 2

2 2

2 2

x x

x t x

x x

2

3

x  ỉ “ ả ”

2

1,4

a x

2 2

2

x

2 3

x

x x

  





Kết luận 2, 3

2

Bình luận T ế ả

2 2 0 0 0 A A B B        ế ờ

ẵ ế ẳ

ỹ ở ả ẳ ả

trình : 2

4x 3x 3 4x x 3 2 2x1 ế ẳ : (4 2.2. x    3 x 3) (1 2 2x 1 2x 1) 0 2 2 2 3 0 (2 3) (1 2 1) 0 1 1 2 1 0 x x x x x                    S ờ

ọ x1, é

sau: 2 4 (x x  3 2) 2( 2x  1 1) 4x 5x1 1 4 ( 1) 4( 1) ( 1)(4 1) 4 4 4 1 0 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x                           ú T q q

ọ ả

ọ ả

ọ

Ví dụ 73 Gi 3 2 3 3 8x 2 2 20 2( 1) x x    x   x ( )

Phân tích S 2

2 2 x  x ờ ả :

 Lời giải 3 2

x x  x  ( )a

3

( )  x x 8x  2 2 (2x4) 2 x 20

3

3

2

3

(1)

x





61