Đáp Án Và Lởi Giải Chi Tiết Toán B1

de thi toan b1 toán cao cấp b1 giải tích b1 đh khtn bài tập toán cao cấp b1 có lời giải bai giang toan cao cap b1 tài liệu toán cao cấp b1 giao trinh toan cao cap b1 toan cao cap b1 nong lam Ôn luyện môn Toán cao cấp B1 Bài giảng Toán cao cấp B1 Bài giảng toán cao cấp B1 Tóan giải tích B1 TOÁN B1 ĐỀ THI NÔNG LÂM Khoa Khoa học ĐỀ THI NÔNG LÂM Bài giảng Toán cao cấp B1 Bài giảng toán cao cấp B1 Toán cao cấp B1 (Phần: Giải tích) Tài liệu học tập Toán cao cấp

1 xsinx cos2x 1 xsinx 1 1 cos2x

t anx - sinx cosx s inx(1-cosx)

arctanx arctanx cosx arctanx

4

1 3

3 3

Ta có:

cosx cosx cosx 1 cosx 1

x sinx x sinx s inx + x.cosx

   nên A = 0 (0,5 điểm)

Vậy không tồn tại   2

1 2x

lim x.ln arctanx lim

1x

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Câu 20: ( 2điểm )

y x ln y sinx.lnx cosx.lnx + y =x cosx.lnx +

3 10

4 2

Do đó

2 2

2 2

Khi hàm

2 2 2

Khi hàm

2 2 2

2 arctan( 1) : ( , )

log 0 ( ì log ( 2 2 ) 2 0 )

10

m m m

m m

m m

v m

( vì g(0) = g(1) = 0 và pt g(m) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt

(do g”(m)= 3 ln 3m 2 0 trên nên đồ thị hàm g lõm trên ) ) ( 0,5 đ )

    (*) Khi ( , )x y (0, 0) trên : yx,

( , ) 1 ( , ) 1

y y

Tại điểm dừng duy nhất I(1,0):

Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (-1,-2) với f  ( 1, 2) 5

và đạt cực đại có điều kiện tại (1,2) với f(1, 2)  5 ( 0,5 đ )

2 0

3 ( , ) 0

x y

x y

x y

x y

x y

Vì x2 y2  366410025 nên (6,8)không nằm bên trong hình tròn (0.5)

* Tìm các điểm dừng ở trên biên: x2 y2  25

8

125

618113

x y

x

M y

x

M y

x x

y y

2

y y

2 3 4 5

Với 1

0

3

x y

Ta thấy miền D là OAB với O(0,0), A(6,0), (0,6)B

* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB

* Ta thấy miền D là OAB với O(0,0), A(20,0), (0, 20)B 

* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB

Ta có f x  3x2  15y

f y  3y2 15x

2 2

x y x x

* Ta thấy miền D là OAB với O(0, 0), A( 3,0), (0, 3) B 

* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB

M  (0,25)

43

y x y

x x y

* Ta thấy miền D là hình chữ nhật OABC với O(0, 0), A(4, 0), (4, 3),B  C(0, 3)

* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D

4 2

y y

4 2

x x

* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D

 Hàm số không có điểm dừng trên BC

1 2

 

1

2 0

dtI

x x 12



 

 Đặt t = x2 dt = 2xdx Đổi cận: x = 1  t = 1, x = 0  t = 0

Ta có:

x

1sin

x

1x

12sin

2x

12

  Mà

1

dxx

 

 phân kỳ nên

2 1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 1

8

C C

2 cos 2.

(cos )

lncos

z

C x z

z

C x z

11

x x

dx C x

1( )

Câu 101: (2điểm)

y/ /  6y/  5y  3e x  5x2 (1)

+ Giải phương trình thuần nhất: y/ / 6y/ 5y  0 (2)

Ta có phương trình đặc trưng: k2 6k  5  0  k1 1  k2  5

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : y  C e1 x  C e2 5x (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y/ /6y/5y  3ex (3)

Vì f (x)1  3ex nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là y1  A xex

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y/ / 6y/ 5y  5x2 (4)

Vì f (x)2  5x2 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là y2  Ax2 Bx  C

/ 2 / / 2

2 2

Ta có phương trình đặc trưng: k23k  2 0  k 1  k 2

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2):

 1 x 2 2x  1 2

y C e C e , C , C (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y//3y/ 2y  4x e x (3)

Vì f (x)1  4xex nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là :

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y//3y/  2y sin x (4)

Vì f (x)2 s inx nên một nghiệm riêng của phương trình (4) lày1 A cosx Bsin x 

Thay y , y , y2 2/ 2// vào (4) và rút gọn ta được:

(A 3B) cos x (3A  B)sin x  sin x

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : y C1  xC2e3x (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y//6y/ 9y  xex (3)

Vì f (x)1  xex nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là y1 Ax + B e x

x 1

16 32 (0.5) + Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 6y/ 9y  9x (4) 2

Vì f (x)2  9x2 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là y2  Ax2 Bx  C

/ 2 / / 2

3  2   2 4  2

3 3 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Do đó nghiệm tổng quát của (2):y C cos 2x C sin 2x e ,1  2  2x  C ,C1 2(0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 4y/8y  2e 2x (3)

Vì f (x)1  2e2x nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là : y1 Ae2 x

Thay y , y , y1 1/ 1// vào (3) và rút gọn ta được:    1

2  1  1 2x

2 (0.5) + Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 4y/8y  20sin 2x (4)

Vì f (x)2  20 s in2x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :

y2  A cos 2x  Bsin 2x

   

/ 2 //

2

y 4A cos 2x 4Bsin 2x Thay y , y , y2 2/ 2// vào (4) và rút gọn ta được:

4A 8B cos2x  (8A 4B)sin 2x 20sin 2x 

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

Ta có phương trình đặc trưng: k25k 6  0  k12  k23

Do đó nghiệm tổng quát của (2):y C e1 2x C e , C ,C2 3x  1 2  (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y/ /5y/ 6y  2 e x (3)

Vì f (x)1  2ex nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là : y1 Ae x

 y1  e (0.5) x

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y/ / 5y/ 6y  6x 5 (4)

Vì f (x)2  6x  5 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : y2 A x  B

 

/ 2 //

2

y 0

Thay y , y , y2 2/ 2// vào (4) và rút gọn ta được: 6Ax  ( 5A  6B)  6x 5

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) :y C e1 xC e2 4x, C ,C 1 2- (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 3y/4y  e4x (3)

Vì f (x)1 e4x nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là y1 Ax e4 x

5A 1 A

5  y1   1x e4 x

5 (0.5) + Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 3y/ 4y  xex (4)

Vì f (x)2  xex nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là y2 (Ax B)ex

B

36   

x 2

6 36 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Câu 107: (2điểm)

y//  3y/  2y  xcosx 2x3  x2 6x1 (1)

+ Giải phương trình thuần nhất: y//  3y/  2y  0 (2)

Ta có phương trình đặc trưng: k23k  2  0  k  1 k 2

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) :y C e1 xC e , C ,C2 2x  1 2 (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 3y/2y  x cos x (3)

Vì f (x)1  x cos x nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là:

1

y A Cx D cosx + Ax B C s inx

y Ax B 2C cosx + 2A Cx D s inx Thay y , y , y1 1/ 1// vào (3) và rút gọn ta được:

17D

Vì f (x)2  2x3  x2  6x  1 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :

2

y 6Ax 2B

Thay y , y , y2 2/ 2// vào (4) và rút gọn ta được:

2Ax3 9Ax2 2Bx2 6Ax 6Bx  2Cx 2B 3C 2D 2x   3  x2 6x 1

Do đó nghiệm tổng quát của (2): y C e1 x  C e ,2 4x C ,C1 2 (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 5y/ 4y  4x e 2 2x (3)

Vì f (x)1  4x e2 2x nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là :

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y//5y/ 4y  10sin 2x (4)

Vì f (x)2  10 s in2x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :

y2  A cos 2x  Bsin 2x

  

/ 2 //

2

y 4A cos 2x 4Bsin 2x Thay y , y , y2 2/ 2// vào (4) và rút gọn ta được:

10Bcos2x10A sin 2x 10sin 2x

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y//2y/ 5y  4e (3) x

Vì f (x)1  4ex nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: y1 Ae x

 y1/  Aex  y1//  Ae x

Thay y , y , y1 1/ 1// vào (3) và rút gọn ta được: 4A  4  A  1

 y1  ex (0.5)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y// 2y/ 5y  5x3  6 x2  6x (4)

Vì f (x)2  5x3 6x2 6x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :

2

y 6Ax 2B Thay y , y , y2 2/ 2// vào (4) và rút gọn ta được:

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2): y C e1 x C e ,2 3x C ,C1 2  - (0.25)

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y//2y/ 5y 5e2x (3)

Vì f (x)1  5e2x nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: y1  Ae2x

2 1

2 1

24

x x

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình y  4y 3y  3x2  x  5 (4)

Vì f x2( )  3x2  x  5 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :

y2  A x2  Bx  C

2

2

2 A2

  (0.25)

1 1

n n

n u

1

n

n n

n n n

n u

n n n

n u

n

n u

  (0,25)

3 3

 



   (0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ (0,25)

n n

n u