BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân. Trải qua hơn một thế kỉ phát triển, cho đến nay lý thuyết ổn định của Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển sôi động, vẫn đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu, cả lý thuyết cũng như tìm kiếm các mô hình ứng dụng 1. Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ thống thì bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn 1, 2, 4. Từ đó đến nay, hai tính chất này đã trở thành hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Trong các mô hình ứng dụng từ các bài toán thực tiễn thường xuất hiện các độ trễ thời gian 12. Sự xuất hiện của các độ trễ đó ảnh hưởng đến dáng điệu của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ 1, 4, 7, 12. Chính vì vậy bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ thu hút sự chú ý đặc biệt của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong vài thập kỉ gần đây (xem 8, 11, 20 và các tài liệu trích dẫn trong đó). Cách tiếp cận chính của các nghiên cứu gần đây là dựa trên phương pháp hàm LyapunovKrasovskii và các bất đẳng thức ma trận tuyến tính 4 hoặc phương trình Riccati đại số 14. Tuy nhiên cách tiếp cận này không áp dụng được cho các hệ không dừng nảy sinh trong các bài toán điều khiển các hệ kĩ thuật 10, 3. Khó khăn chính là nghiệm của phương trình vi phân Riccati ma trận không xác định dương đều để sử dụng trong các hàm LyapunovKrasovskii 10. Đồng thời, cho đến 1 nay chưa có thuật toán nào hữu hiệu có thể tìm nghiệm dương đều của các bất đẳng thức ma trận 20. Vì vậy, nghiên cứu tính ổn định của các hệ không dừng trở nên khó khăn hơn và trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và kĩ sư. Bên cạnh đó, các quá trình trong thực tiễn thường xảy ra một cách không chắc chắn (có sự xuất hiện các đại lượng “nhiễu” hệ thống). Các nhiễu này có thể xuất hiện do sai số vận hành, do ảnh hưởng lẫn nhau giữa các thành tố trong hệ thống hoặc giữa các hệ thống khác nhau. Vì vậy, việc đòi hỏi phải biết chính xác tất cả các tham số của hệ trong mô hình là điều không tưởng hoặc rất khó áp dụng trong thực tế. Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán điều khiển H∞) là bài toán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu 5, 13, 14, 16, 17, 19

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải tích (Phương trình vi phân và tích phân)

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Hiện

HÀ NỘI, 2014

Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong tổ bộ môn giải tích,khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, truyềnđạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn,cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời gianlàm luận văn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình

và năng lực của mình, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Trang

MỤC LỤC

Phần mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức và kết quả bổ trợ 1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán ổn định 5

1.2 Bài toán điều khiển H∞ 7

1.3 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ 9

1.4 Một số kết quả bổ trợ 10

Chương 2 Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến 2.1 Phát biểu bài toán 11

2.2 Điều kiện ổn định hóa H∞ 13

2.3 Ví dụ 23

2.4 Kết luận chương 2 26

Chương 3 Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ hỗn hợp biến thiên 3.1 Tính ổn định H∞ 27

3.2 Bài toán ổn định hóa H∞ 35

3.3 Kết luận chương 3 38

Kết luận chung 39 Tài liệu tham khảo 40

DANH MỤC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

R+ tập hợp các số thực không âm

Rn không gian vectơ Euclide n-chiều.

h,i tích vô hướng trên Rn , hx,yi = xTy

kxk chuẩn của vectơ kxk =∑n

i=1x2i

1 2

Rn ×r tập hợp các ma trận thực cỡ n × r.

AT ma trận chuyển vị của ma trận A.

I ma trận đơn vị

λ(A) tập tất cả các giá trị riêng của ma trận A.

λmax(A) = max{Reλj (A) :λj (A) ∈λ(A)}.

λmin(A) = min{Reλj (A) :λj (A) ∈λ(A)}.

η(A) chuẩn phổ của ma trận A, η(A) =pλmax(ATA)

C ([a, b], R n ) không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị

trong Rn với chuẩn supa ≤t≤b kx(t)k.

L2([0,t], R n ) không gian các hàm khả tích bậc 2 trên [0,t] có giá trị

trong Rn

BM+(0,∞) tập hợp các hàm ma trận đối xứng, nửa xác định dương

và bị chặn trên (0,∞)

PHẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết địnhtính các hệ phương trình vi phân Trải qua hơn một thế kỉ phát triển, cho đếnnay lý thuyết ổn định của Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển sôiđộng, vẫn đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiêncứu, cả lý thuyết cũng như tìm kiếm các mô hình ứng dụng [1]

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ thống thì bài toán nghiêncứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóacũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn[1, 2, 4] Từ đó đến nay, hai tính chất này đã trở thành hướng nghiên cứukhông thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng

Trong các mô hình ứng dụng từ các bài toán thực tiễn thường xuất hiện các

độ trễ thời gian [12] Sự xuất hiện của các độ trễ đó ảnh hưởng đến dáng điệucủa hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ [1, 4, 7, 12] Chính vì vậybài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ thu hút sựchú ý đặc biệt của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong vài thập kỉ gần đây(xem [8, 11, 20] và các tài liệu trích dẫn trong đó) Cách tiếp cận chính củacác nghiên cứu gần đây là dựa trên phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii

và các bất đẳng thức ma trận tuyến tính [4] hoặc phương trình Riccati đại số[14] Tuy nhiên cách tiếp cận này không áp dụng được cho các hệ không dừngnảy sinh trong các bài toán điều khiển các hệ kĩ thuật [10, 3] Khó khăn chính

là nghiệm của phương trình vi phân Riccati ma trận không xác định dươngđều để sử dụng trong các hàm Lyapunov-Krasovskii [10] Đồng thời, cho đến

nay chưa có thuật toán nào hữu hiệu có thể tìm nghiệm dương đều của cácbất đẳng thức ma trận [20] Vì vậy, nghiên cứu tính ổn định của các hệ khôngdừng trở nên khó khăn hơn và trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhàtoán học và kĩ sư.

Bên cạnh đó, các quá trình trong thực tiễn thường xảy ra một cách khôngchắc chắn (có sự xuất hiện các đại lượng “nhiễu” hệ thống) Các nhiễu này

có thể xuất hiện do sai số vận hành, do ảnh hưởng lẫn nhau giữa các thành tốtrong hệ thống hoặc giữa các hệ thống khác nhau Vì vậy, việc đòi hỏi phảibiết chính xác tất cả các tham số của hệ trong mô hình là điều không tưởnghoặc rất khó áp dụng trong thực tế Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh

hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán điều khiển H∞) là bàitoán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu[5, 13, 14, 16, 17, 19]

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một

số lớp hệ không dừng có trễ biến thiên dựa trên cách tiếp cận bằng phươngpháp hàm Lyapunov-Krasovskii và phương trình vi phân Riccati ma trận.Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương Chương 1 là phầnkiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi giới thiệu sơ lược về bài toán ổn định của

hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán điều khiển H∞, đồng thời nêu một

số kết quả bổ trợ dùng để trình bày các kết quả trong các chương sau Trong

chương 2, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞cho lớp hệ tuyến tính

không ô-tô-nôm có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến dạng

Trong chương 3, dựa trên phương pháp xây dựng các hàm Lyapunov-Krasovskii

đưa ra trong bài báo [3], chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho lớp

hệ tuyến tính không dừng có trễ hỗn hợp biến thiên dạng sau

x (t) =φ(t), t ∈ [−h u,0]

Giả sử rằng, hàm quan sát không phụ thuộc tường minh vào điều khiển,

z (t) = C(t)x(t), t ≥ 0 Cách tiếp cận của chúng tôi trong chương này có thể mô

tả như sau Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, trước hết chúng tôi

tìm điều kiện ổn định H∞ cho hệ Tức là, khi không có điều khiển (u(t) = 0),

chúng tôi thiết lập các điều kiện thông quan một lớp phương trình Riccati matrận sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Hệ là α-ổn định mũ với

w(.) = 0; và (ii) Điều kiện γ-mức

được thỏa mãn Dựa trên các điều kiện ổn định H∞ thu được, chúng tôi sau

đó tìm điều kiện ổn định hóa H∞ với lớp hàm điều khiển ngược dạng u(t) =

K (t)x(t) với ma trận đạt được K(t) được xây dựng thông qua nghiệm của lớp

phương trình Riccati tương ứng

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Trang

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về bài toán ổn địnhcho hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ

và giới thiệu sơ lược về bài toán điều khiển H∞

1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán ổn định

Với số thực h ≥ 0, kí hiệu C = C([−h,0],R n) là không gian Banach các hàm

liên tục trên đoạn [−h,0] với chuẩn

kφk = sup

−h≤s≤0kφ(s)k.

Với x(.) là hàm liên tục trên R+, nhận giá trị trong Rn, chúng ta xây dựng

hàm x t ∈ C như sau x t (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h,0],t ≥ 0 Như vậy, x t là một

quỹ đạo trên [t − h,t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi

ở đó f : R+× C → Rn, f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 và φ ∈ C là hàm ban đầu và thỏa

mãn điều kiện sao cho với mỗi t0∈ R+,φ ∈ C , hệ (1.1) có nghiệm duy nhất

xác định trên [t0,∞)

Định nghĩa 1.1.1 ([7, 8]) Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định

nếu với mọi t0∈ R+,ε >0,tồn tại δ =δ(t0,ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm

x (t0,φ)(t) của (1.1) thỏa mãn

kφk <δ ⇒ kx(t0,φ)(t)k <ε, ∀t ≥ t0

Định nghĩa 1.1.2 ([7, 11]) Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định

mũ nếu tồn tại số N > 0,α >0sao cho mọi nghiệm x(t0,φ)(t) của (1.1) thỏa

Định nghĩa 1.1.3 ([8]) Nghiệm không của hệ (1.1)được gọi là ổn định tiệm

cận nếu nó ổn định và tồn tại sốδ0=δ0(t0) > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0,φ)(t)

của (1.1) vớiφ ∈ C thỏa mãn kφk <δ0 thì lim

t→ ∞kx(t0,φ)(t)k = 0

Định nghĩa 1.1.4 ([11]) Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là α-ổn định

mũ nếu nó ổn định mũ với số mũα >0cho trước

Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) là ổn định (ổn định

mũ, ổn định tiệm cận) ta sẽ nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định mũ, ổn định tiệm

cận) Khi t0 đã rõ ta viết x(t,φ) thay cho x(t0,φ)(t).

Định lí 1.1.5 (Định lí ổn định mũ [8]) Giả sử đối với hệ (1.1) tồn tại hàm

V = V (t, x t ) thỏa mãn các điều kiện

(i) ∃λ1,λ2>0 sao choλ1kx(t)k2 ≤ V (t,x t) ≤λ2kx tk2.

(ii) ˙ V (t, x t) ≤ −2λ3kx(t)k2

, λ3 >0.

Khi đó nghiệm hệ (1.1) ổn định mũ toàn cục đều, hơn nữa mọi nghiệm

x (t,φ) của (1.1) thỏa mãn đánh giá

(i) u(kxk) ≤ V (t,x) ≤ v(kxk),∀t ∈ R+

,x∈ Rn (ii) Tồn tại q > 1 sao cho ˙ V (t, x(t)) ≤ −ω(kx(t)k) khi V (t + s,x(t + s)) <

qV (t, x(t)), ∀s ∈ [−h,0],t ∈ R+.

Khi đó hệ (1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

1.2 Bài toán điều khiển H∞

Xét hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

˙

x (t) = f (t, x(t), u(t)), x (t0) = x0, (1.2)

ở đó x(t) ∈ R n là trạng thái của hệ, u(t) ∈ R mlà biến điều khiển Một hệ thốngđiều khiển mô tả một quá trình vận hành thông tin dạng “vào-ra”, ở đó, vớimỗi hàm điều khiển (đóng vai trò thông tin “đầu vào"), hệ (1.2) sẽ cho một

quỹ đạo “đầu ra” x u (t) tương ứng Một hàm điều khiển dạng u(t) = h(t, x(t)) phụ thuộc trạng thái x(t) gọi là hàm điều khiển ngược (SFC) (state feedback

control) Bài toán ổn định hóa đối với hệ (1.2) là tìm hàm điều khiển SFC sao

cho hệ đóng tương ứng (closed-loop system), tức là hệ phương trình

người ta thường thiết kế SFC dạng u(t) = Kx(t), ma trận K gọi là ma trận đạt

được (matrix gain) của hệ [2]

Các hệ thống trong thực tiễn kĩ thuật không chỉ phụ thuộc các tham số điềukhiển mà còn có sự xuất hiện các nhiễu trạng thái, tức là các tham số khôngbiết trước (có thể do sai số hoặc mất dữ liệu khi vận hành hệ thống) Vì vậybài toán tối ưu định mức chuẩn các hàm quan sát đầu ra so với các độ nhiễu

(bài toán H∞) là bài toán có ý nghĩa ứng dụng kĩ thuật, đã và đang được nhiều

tác giả nghiên cứu (xem [5, 14, 16, 17, 19]) Bài toán H∞ đối với hệ tuyếntính

ở đó z(t) ∈ R r là hàm quan sát, w(t) ∈ L2(0;∞, Rs ) là nhiễu đầu vào; A, B,C, D, E

là các ma trận cho trước với số chiều thích hợp Bài toán điều khiển H∞ đối

với hệ (1.5) là bài toán tìm hàm điều khiển SFC u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng

˙

x (t) = [A + BK]x(t)

là ổn định mũ và với mỗi γ >0 cho trước, tồn tại hằng số c0 >0 sao cho ta

ở đó, supremum lấy theo mọi w(t) 6= 0 trong L2([0,∞), Rs)

1.3 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều

trong đó x(t) ∈ R n là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R m là vectơ điều khiển thuộc

lớp hàm điều khiển L2([0, s], R m ), ∀s > 0,x t ∈ C ,φ ∈ C là hàm ban đầu vớichuẩn kφk = sup

−h≤s≤0kφ(s)k,h là hằng số trễ, f : R+×C ×Rm−→ Rn là hàm

vectơ cho trước thỏa mãn điều kiện f (t,0,0) = 0,∀t ≥ 0

Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.7) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm

g : R n−→ Rm sao cho hệ đóng tương ứng

˙

x (t) = f (t, x t,g (x(t))) (1.8)

là ổn định tiệm cận Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược.

Định nghĩa 1.3.2 Cho số α >0 Hệ (1.7) được gọi là α-ổn định hóa được

nếu tồn tại hàm g : R n−→ Rm sao cho hệ đóng (1.8) làα-ổn định mũ, tức là

tồn tại số N > 0 sao cho mọi nghiệm x(t,φ) của (1.8) thỏa mãn đánh giá

kx(t,φ)k ≤ Ne− α(t−t0 )

kφk,∀t ≥ t0

1.4 Một số kết quả bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả bổ trợ dùng trong chứngminh các kết quả chính trong các chương tiếp theo

Mệnh đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [11]) Giả sử Q,S là các ma

trận có số chiều thích hợp và S là ma trận đối xứng xác định dương Khi đó

2hQy,xi − hSy,yi ≤ hQS−1QTx, x i, ∀x,y.

Nhận xét 1.4.1 Giả sử P ∈ R n ×n là ma trận đối xứng xác định dương Khi

đó, ta có

2xTy ≤ xTPx + yP−1y, ∀x,y ∈ R n

Mệnh đề 1.4.2 ([6]) Với mọi ma trận đối xứng xác định dương W , nếu tồn

tại một số σ >0 và một hàm vectơ ω : [0,σ] → R n , sao cho các tích phân dưới đây tồn tại, thì ta có

Chương 2

KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN VÀ NHIỄU PHI TUYẾN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mộtlớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến Bằngphương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và dựa trên cách tiếp cận bằng cácđiều kiện dạng phương trình vi phân Ricatti ma trận, chúng tôi xây dựng hàm

điều khiển ngược dạng có trọng cho lời giải bài toán H∞ dựa trên nghiệm củalớp phương trình Riccati ma trận được đưa ra Một số ví dụ được đưa ra nhằmminh họa cho các điều kiện nhận được Nội dung của chương này phát triển

từ nội dung bài báo [18]

2.1 Phát biểu bài toán

Xét lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến dạng

ở đó x(t) ∈ R n là biến trạng thái, u(t) ∈ R m là biến điều khiển, ω(t) ∈ R r

là nhiễu đầu vào, z(t) ∈ R q là hàm quan sát, A,A1,B, B1,C,C1,D là các hàm

ma trận liên tục trên R+ Kí hiệu x h := x(t − h(t)), hàm nhiễu phi tuyến

f : R+× Rn× Rn× Rm× Rr −→ Rn thỏa mãn f (t,0,0,0,0) = 0 ∀t ≥ 0 và

điều kiện tăng trưởng sau

Hàm điều khiển u(.) ∈ L2([0, s], R m ), s > 0, và nhiễu ω(.) ∈ L2([0,∞), Rr)

Hàm trễ h(t) là hàm liên tục thỏa mãn một trong hai điều kiện sau

(H1) 0 ≤ h(t) ≤ h, ˙h(t) ≤δ <1, ∀t ≥ 0,

(H2) 0 ≤ h(t) ≤ h, ∀t ≥ 0.

Mặc dù (H2) tổng quát hơn (H1) nhưng (H2) không cho đánh giá hiển tốc

độ hội tụ mũ của hệ đóng tương ứng Vì vậy, với mục đích tìm kiếm điều kiện

ổn định hóa H∞với sự hội tụ mũ mà tốc độ mũ có thể cho trước hoặc đánh giáđược hiển, chúng tôi xem xét cả hai trường hợp trên Cụ thể, với (H1), chúngtôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để chứng minh sự hội tụ

mũ của hệ đóng với tốc độ mũ cho trước Với (H2), chúng tôi dùng định lí ổnđịnh Razumikhin chứng minh tính ổn định mũ của hệ đóng mà không đánhgiá được hiển tốc độ hội tụ mũ

Trước hết chúng tôi giới thiệu bài toán điều khiển H∞ cho (2.1) như trongđịnh nghĩa dưới đây

Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) gọi là H∞ ổn định hóa được nếu với mỗi γ >0

cho trước, tồn tại một hàm điều khiển dạng u(t) = K(t)x(t) thỏa mãn hai yêu

cầu sau

(i) Với nhiễuω(t) = 0, hệ đóng tương ứng của (2.1)

làα-ổn định mũ, tức là, với số dươngα cho trước (chỉ số hội tụ mũ), tồn

tại hằng số N > 0 sao cho mọi nghiệm x(t,φ) của (2.1) (với w(.) = 0)

2.2 Điều kiện ổn định hóa H∞

Trong phần này, để đơn giản hóa các biểu thức kĩ thuật, chúng tôi giả sử nhưtrong [5]

Định lí sau đây cho các điều kiện ổn định hóa H∞ hệ (2.1).

Định lí 2.2.1 Với giả thiết (H1), giả sử tồn tại các số dương α,β, εi,i =

2hPβ f (t, x(t), x(t − h(t)),u(t),ω(t)), x(t)i

≤ 2kPβx (t)kk f (t,x(t),x(t − h(t)),u(t),ω(t))k

≤ 2akPβx (t)kkx(t)k + 2bkPβ(t)x(t)kkx(t − h(t))k + 2ckPβx (t)kku(t)k + 2dkPβ(t)x(t)kkω(t)k. (2.12)

Áp dụng mệnh đề 1.4.1 với Q = I,S = W , ta có

2hPβ f (t, x(t), x(t − h(t)),u(t),ω(t)), x(t)i

≤ε−1

3 a2kPβx (t)k2+ε3kx(t)k2+ c2kPβx (t)k2+ ku(t)k2

Tích phân hai vế của (2.15) từ 0 đến t ta được

Điều này chứng tỏ hệ đóng (2.3) với nhiễuω() = 0 làα-ổn định mũ

Để hoàn thành chứng minh, ta cần chứng minh điều kiệnγ-mức Với s > 0

kz(t)k2−γkω(t)k2+ ˙V (t, x t)idt +V (0, x0)

của bài toán điều khiển H∞ đúng Định lí được chứng minh.

Trong phần còn lại của chương này, chúng tôi xét bài toán điều khiển H∞

cho hệ (2.1) với hàm trễ liên tục và không nhất thiết khả vi Chúng tôi kí hiệumột số ma trận và hằng số như sau