Tóm tắt bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng

Do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác, bài toán cân bằng và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị

Mục lục

1.1 Một số không gian thường dùng 4

1.1.1 Không gian metric 4

1.1.2 Không gian định chuẩn 4

1.1.3 Không gian Hilbert 4

1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 4

1.2 Nón 6

1.3 Ánh xạ đa trị 7

1.3.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 8

1.3.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị 10

1.4 Một số định lý về điểm bất động và ánh xạ KKM 11

2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng 13 2.1 Giới thiệu bài toán 13

2.2 Một số bài toán liên quan 14

2.3 Sự tồn tại nghiệm 16

2.4 Ứng dụng 21

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Từ rất xa xưa trong lịch sử toán học người ta đã quan tâm đến những bài toán tìm các giá trịnhỏ nhất (cực tiểu) hay lớn nhất (cực đại), gọi là các bài toán tối ưu Vào những năm 30-40 của thế kỷ

20 do nhu cầu của sự phát triển kinh tế, kỹ thuật và lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto người

ta đã xây dựng lên lý thuyết tối ưu véctơ Sau đó nhiều công trình về lý thuyết tối ưu cũng như ứngdụng của nó đã xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật, kinh

tế như: Lý thuyết trò chơi của Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyết lưu thông hàng hóa củaKoopman (1947)

Ta biết rằng các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu vô hướng bao gồm:

1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số f : D → R Tìm x ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x), với mọi x thuộc D.2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X∗ là không gian đối ngẫu của X Cho ánh xạ

T : D → X∗ Tìm x ∈ D sao cho hT (x) , x − xi ≥ 0, với mọi x thuộc D

3) Bài toán cân bằng (Blum-Oettli đưa ra năm 1994): Cho f : D × D → R Tìm x ∈ D sao cho

f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D

Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ các công trình của Arrow-Debreu, Nash Nó là sự mởrộng của các bài toán như bất đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm cácbài toán điểm bất động, bài toán bù, bất đẳng thức minimax như những trường hợp đặc biệt

Do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác, bài toán cân bằng

và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị như: Bàitoán tựa cân bằng với biến rằng buộc phụ thuộc vào tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựabiến phân của nhiều ánh xạ đa trị Với mong muốn hiểu biết thêm về bài toán tựa cân bằng đa trị nêntôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứngdụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang các bài toán tựa cânbằng loại I, tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị.Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổngquát cũng như một số ứng dụng của nó trong lý thuyết tối ưu đa trị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đọc các tài liệu liên quan tới các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ và viết luận văn về sự tồntại nghiệm, một số ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp và mối liên quan giữa những bài toánquen biết trong lý thuyết tối ưu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các dạng khác nhau của những loại bài toán tựa cân bằng, một số bài toán liên quan khác trong

lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị và một số ứng dụng của chúng

5 Những đóng góp mới của đề tài

Một cái nhìn cụ thể về bài toán tựa cân bằng, điều kiện để bài toán tựa cân bằng tổng quát cónghiệm và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu đa trị cũng như một số ứng dụng của nó

6 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, chúng tôi sửdụng phương pháp nghiên cứu chính là các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và cácđịnh lý dạng KKM

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số không gian thường dùng

1.1.1 Không gian metric

1.1.2 Không gian định chuẩn

1.1.3 Không gian Hilbert

1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Trong mục này, ta sẽ xét lớp không gian mà không cần metric nhưng vẫn có thể nói tới khoảng cáchgiữa các điểm và từ đó nói tới sự hội tụ, sự liên tục, , đó là lớp không gian tôpô tuyến tính lồi địaphương Hausdorff Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở đều sinh ra một cấu trúc tôpô

Định nghĩa 1.1.4.4 Dãy {xn} ⊆ X hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu kxn− xk → 0

Định nghĩa 1.1.4.5 Cho X, Y là hai không gian tôpô

1) Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của f (x) trong

Y, đều tồn tại lân cận V của x trong X thỏa mãn f (V ) ⊆ U ;

2) Ánh xạ f gọi là liên tục trên không gian tôpô X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X.

Từ một cơ sở tôpô ta có thể xác định các tôpô khác của không gian

Định nghĩa 1.1.4.6 Cho không gian tôpô (X, G):

1) Cho x ∈ X, họ Vx nào đó gồm các lân cận của điểm x được gọi là một cơ sở địa phương của tôpô

G tại điểm x (hay cơ sở lân cận tại x), nếu với bất kì lân cận U của điểm x luôn tồn tại tập V ∈ Vxsao cho x ∈ V ⊆ U ;

2) Họ con V các phần tử của G được gọi là một cơ sở của tôpô G trên X nếu mọi phần tử của G đều

là hợp nào đó các phần tử thuộc V;

3) Họ con M các phần tử của G gọi là một tiền cơ sở của tôpô G trên X nếu họ các giao hữu hạn

có thể có các tập con thuộc M là một cơ sở của tôpô G

Định nghĩa 1.1.4.8 Không gian tôpô (X, G) được gọi là không gian Hausdorff nếu đối với hai điểmkhác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅

Một không gian véctơ có thể đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô, một cấu trúc đại số, nếuhai cấu trúc tôpô và đại số ấy có mối liên hệ nhất định sẽ làm nảy sinh nhiều tính chất mới trong khônggian

2) Một không gian véctơ tôpô X trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là một không gianvéctơ trên trường K, còn τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số (hay tôpô véctơ) của X;3) Mọi lân cận của gốc 0 ∈ X gọi là 0−lân cận hay vắn tắt là lân cận

Mệnh đề 1.1.4.10 Các phép tịnh tiến f (x) = x + a, a cố định tùy ý cho trước và các phép vị tựg(x) = αx, α tùy ý cho trước, là những phép đồng phôi từ X lên X Từ đó, V là 0−lân cận khi và chỉkhi V + a là một lân cận của a; V là 0−lân cận thì ∀α 6= 0, αV là một 0−lân cận

Dưới đây ta đưa ra các điều kiện đặc trưng cho một cơ sở lân cận của một không gian véctơ tôpô.Định nghĩa 1.1.4.11 Trong mỗi không gian véctơ tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân cận B củagốc, sao cho:

1) Mỗi V ∈ B đều cân đối và hấp thu;

2) Mỗi V ∈ B thì αV ∈ B với mọi α 6= 0;

3) Mỗi V ∈ B bao hàm một tập W ∈ B sao cho W + W ⊆ V ;

4) Mỗi cặp V1, V2∈ B tồn tại W ∈ B sao cho W ⊆ V1∩ V2

Ngược lại, nếu trong không gian véctơ X lấy một họ B(6= ∅) các tập con của X thỏa mãn các điềukiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận B làm cơ sở lân cận củagốc.

Định lí 1.1.4.13 Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian véctơ tôpô X Không gian X là Hausdorffkhi và chỉ khi với mỗi x 6= 0 đều có một V ∈ B không chứa x, tức là T

V ∈B

V = {0} Trong số các không gian véctơ tôpô, một lớp không gian đặc biệt quan trọng là không gian véctơtôpô lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.4.14 Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương (vàtôpô của nó là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi

Định nghĩa 1.1.4.16 Một sơ chuẩn là một hàm số thực hữu hạn p(x) xác định trên một không giantuyến tính X thỏa mãn hai điều kiện sau:

số phức trong không gian tôpô tuyến tính Mục này dành cho các khái niệm, tính chất của nón

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là một không gian tuyến tính và C là một tập con của Y C được gọi là nón(hay nón có đỉnh tại gốc) trong Y nếu với mọi c ∈ C, mọi t ≥ 0 thì tc ∈ C

Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y, ký hiệu clC, intC, convC theo thứ

tự lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C

Ký hiệu l(C) = C ∩ −C:

Nếu C là tập lồi thì C được gọi là nón lồi

Nếu C là tập đóng thì C được gọi là nón đóng

Nếu l(C) = {0} thì C được gọi là nón nhọn

Nếu clC là nón nhọn thì C được gọi là nón sắc

Nếu clC + C\l(C) ⊆ C thì C gọi là nón đúng

Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y Ta định nghĩa quan hệ như sau:

1) x, y ∈ Y, x C y nếu x − y ∈ C, ta có thể kí hiệu đơn giản x  y

2) Ký hiệu x  y nếu x − y ∈ C\l(C) và x  y nếu x − y ∈ intC

Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và quan hệ đó là quan hệ thứ tự từng phần trên

Y Nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên là quan hệ có tính phản đối xứng, nghĩa là nếu x  y, y  xthì x = y

Định nghĩa 1.2.3 Cho C là một nón trong không gian tuyến tính Y, B ⊆ Y, B được gọi là tập sinhcủa nón C, ký hiệu C = cone(B) nếu C = {tb|b ∈ B, t ≥ 0}

Nếu B không chứa gốc và với mọi c ∈ C, c 6= 0 đều tồn tại b ∈ B sao cho c = tb, t ≥ 0 thì B được gọi là

cơ sở của nón C Hơn nữa nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập C = cone(convB) gọi là nón đa diện.Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính tức là ta đã xây dựng một quan hệ thứ tự trên

nó, từ đó ta có các khái niệm về điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.2.4 Cho Y là một không gian tôpô tuyến tính, C là một nón trong Y và A là một tậpcon của Y Khi đó:

(i) x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A.Tập tất cả các điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C ký hiệu là IM in(A/C)

(ii) x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu pareto của tập A đối với nón C nếu không tồn tại điểm y ∈ Asao cho x − y ∈ C\{0} Tập các điểm hữu hiệu pareto của A ký hiệu là M in(A/C)

(iii) Giả sử intC 6= ∅, x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C nếu không tồn tại

y ∈ A sao cho x − y ∈ intC Tập các điểm hữu hiệu yếu của A ký hiệu là W M in(A/C)

(iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C, nếu tồn tại nón lồi ˜Ckhác toàn không gian và chứa C\l(C) trong phần trong của nó để x ∈ P M in(A/ ˜C) Tập các điểm hữuhiệu thực sự của tập A đối với nón C, ký hiệu là P rM in(A/C)

1.3 Ánh xạ đa trị

Như chúng ta đều biết, ánh xạ đơn trị cho ta với điểm cho trước tương ứng với duy nhất một giátrị Nhưng trong thực tế nói chung và trong toán học nói riêng, với mỗi điểm cho trước ta cần một tậphợp tương ứng, phép tương ứng đó là ánh xạ đa trị

Cho X là một tập hợp bất kỳ, ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của X

Định nghĩa 1.3.1 Với X, Y là các tập hợp nào đó Một ánh xạ F từ X vào 2Y được gọi là ánh xạ đatrị từ X vào Y Ký hiệu F : X → 2Y

Như vậy mỗi x ∈ X, F (x) là một tập trong Y (F (x) có thể là tập rỗng) F là ánh xạ đơn trị từ

X vào Y nếu F (x) chỉ gồm một phần tử trong Y Khi đó ta sử dụng ký hiệu F : X → Y thay cho

Định nghĩa 1.3.3 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị, ký hiệu

F , Fo theo thứ tự lần lượt là ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi:

(F )(x) = F (x); (Fo)(x) = (F (x))o

Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính, thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng của ánh xạ F là

(coF )(x) = coF (x); ( ˜coF )(x) = ˜coF (x)

1.3.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.4 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị

(i) F gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V chứa trong Y thỏa mãn F (x) ⊂ Vđều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U

(ii) F gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V chứa trong Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= ∅đều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho F (x) ∩ V 6= ∅ với mọi x ∈ U

(iii) F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới tại x

F gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.3.6 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị F là ánh xạ đa trịđóng nếu GrF là đóng trong X × Y

Nếu F (x) là compact trong Y thì F là ánh xạ compact Từ định nghĩa trên cho thấy, F là ánh xạđóng khi và chỉ khi với bất kỳ dãy {xα}, {yα}, xα→ x, yα → y, yα∈ F (xα) thì y ∈ F (x) Nếu F (x) làtập đóng với mọi x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng

Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liêntục dưới

Bổ đề 1.3.7 [7] Cho X, Y là các không gian tôpô, D chứa trong X, F : D → 2Y là ánh xạ đa trị Nếu

F là nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng Ngược lại nếu F là ánh xạ đóng và Y làcompact, thì F là nửa liên tục trên.

Mệnh đề 1.3.8

(i) [6] Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất

kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ dãy xα ∈ D, xα→ x, tồn tại dãy {yβ}β∈Λ, yβ ∈ F (xβ) sao cho yβ → y, trong

đó Λ là tập các chỉ số

(ii) Nếu F có nghịch ảnh mở thì coF cũng có nghịch ảnh mở

Mệnh đề 1.3.9 [10] Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới Ngược lại khôngđúng

Định nghĩa 1.3.11 F là C-liên tục trên(hay C-liên tục dưới ) tại x ∈ domF nếu với bất kì lân cận Vcủa gốc trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong Y sao cho:

F (x) ⊂ F (x) + V + C(x)(tương ứng F (x) ⊂ F (x) + V − C(x)) với mọi x ∈ U ∩ domFTrong các phần sau, ta sử dụng khái niệm C-liên tục trên (dưới) với C là ánh xạ nón (ánh xạ có tậpgiá trị là nón)

Định nghĩa 1.3.12 Cho F : K × D × D → 2Y, C : K × D → 2Y là ánh xạ nón F được gọi là C- liêntục trên (hoặc C- liên tục dưới ) tại (y, x, z) ∈ domF nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồntại lân cận U của (y, x, z) sao cho:

F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V + C(y, x),(Hay F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V − C(y, x) tương ứngvới mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF

Các khái niệm C-liên tục tại điểm trên D cũng được định nghĩa như trường hợp C là nón hằng

Mệnh đề 1.3.13 [5] Cho F : K × D × D → 2Y, C : K × D → 2Y là ánh xạ đa trị

(i) Nếu C là nửa liên tục trên với giá trị nón lồi khác rỗng F là C- liên tục trên tại (y0, x0, z0) ∈domF với F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) đóng, với dãy tùy ý (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) +C(yβ, xβ), tβ → t0 kéo theo t0∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0)

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với dãy tùy ý (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) +C(yβ, xβ), tβ → t0 kéo theo t0∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) Thì F là C- liên tục trên tại (y0, x0, z0).(ii) Nếu F là ánh xạ compact và C- liên tục dưới tại (y0, x0, z0) ∈ domF thì với dãy tùy ý(yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) đều tồn tại dãy {tβ}, tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) +C(yβ, xβ), sao cho có dãy con {tβγ}, tβγ − t0 → c ∈ C(y0, x0) (nghĩa là tβγ → t0+ c ∈ t0+ C(y0, x0)Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với dãy tùy ý (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), t0 ∈ F (y0, x0, z0) +C(y0, x0), tồn tại dãy {tβ}, tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) sao cho có dãy con {tβγ}, tβγ − t0 → c ∈ C(y0, x0) thì F

là C- liên tục dưới tại (y0, x0, z0)

1.3.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị

Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong Y Trong các chương sau của luận văn, ta cầntới các khái niệm sau:

Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm C-lồi trên (dưới) (hoặc, C-giống tựa lồi trên (dưới))

là như nhau và ta nói F là C-lồi (hoặc, C-giống tựa lồi)

Các khái niệm ánh xạ C-lồi trên (dưới) hay C-giống tựa lồi trên (dưới) là sự tổng quát các kháiniệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị Có thể thấy rằng, ánh xạ C-lồi trên (dưới) không phải là ánh

xạ C-giống tựa lồi trên (dưới) và ngược lại

Định nghĩa 1.3.17 Cho F : D × D → 2Y là ánh xạ đa trị:

1) F được gọi là C-lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn{x1, , xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, , xn}, x =

F (x, xj) ⊆ F (x, x) + C,

F (y, x, xj) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj);

2) F được gọi là (Q, C)-giống như tựa lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với bất kì tậphữu hạn {x1, , xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, , xn} tồn tại chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho

F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj) − C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj)

(i) Với mọi x ∈ K, F (x) là tập lồi;

(ii) Với mọi y ∈ K, F−1(y) là tập mở trong K

Thì tồn tại điểm x ∈ K sao cho x ∈ F (x)

Định lý sau là dạng khác của định lí Fan-Browder

Định lí 1.4.3 Cho X là một không gian véctơ tôpô, K ⊂ X là một tập con khác rỗng lồi, compact

F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:

(i) Với mọi x ∈ K, x /∈ F (x) và F (x) là tập lồi;

(ii) Với mọi y ∈ K, F−1(y) là tập mở trong K

Thì tồn tại điểm x ∈ K sao cho F (x) = ∅

Bổ đề 1.4.4 [5] Cho D, K lần lượt là các tập con khác rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô

lồi địa phương Hausdorff X, Y Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2D, H : D × K → 2K, M : D → 2D.

Ta giả sử rằng:

(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;

(ii) H là ánh xạ nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = {(x, y)|x ∈S(x, y), y ∈ H(x, y)} là tập khác rỗng, đóng;

(iii) M có phần dưới mở với mọi x ∈ A, x /∈ coM (x)

Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈ H(x, y) và S(x, y) ∩ M (x) = ∅

Định nghĩa 1.4.6 Cho X, Z, W là các không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆ Z, E ⊂ W, F : K × D × E →

2X, Q : D × E → 2K là các ánh xạ đa trị F được gọi là Q -KKM suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu hạn{t1, , tn} ⊂ E tồn tại tập hữu hạn {x1, , xn} ⊆ D sao cho với bất kỳ x ∈ co{xi1, , xik}, tồn tại

ti j ∈ {ti1, , ti n} thỏa mãn 0 ∈ F (y, x, tij) với mọi y ∈ Q(x, ti j)

Định lý 1.4.7 (Bổ đề Fan-KKM ) [8] Cho X là một không gian véctơ tôpô, D ⊂ X là một con khácrỗng, lồi F : D → 2X là ánh xạ KKM Nếu với mỗi x ∈ D, F (x) là một tập đóng, đồng thời có ít nhấtmột điểm x ∈ D sao cho F (x) là tập compact, thì T

x∈D

F (x) 6= ∅