quan hệ vuông gocsgiuwax hai đường thẳng trong không gian

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90..  Định lý: Nếu đường thẳng  d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a

Bài giảng số 1: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG

KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai

Tức là: a b c b



 









 Định lý: Nếu đường thẳng  d vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng  P thì nó

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong  P

 Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình

chiếu trên mặt phẳng  P là đường thẳng a Khi ấy, một

đường thẳng b nằm trong  P vuông góc với a khi và chỉ

khi nó vuông góc với a

Tức là: ab P ab

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc sử dụng việc tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp áp dụng: Để chứng minh đường thẳng a (với vtcp a

) vuông góc với đường thẳng b (với vtcp b

), ta lựa chọn theo hướng:

Hướng 1: Chứng minh   0

, 90

a b  , trong nhiều trường hợp chúng ta sử dụng tích vô hướng

Hướng 2: Sử dụng kết quả về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng

Ví dụ 1: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC

b c

d

b a' a



b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB

và BD sao cho MAk MB

và NDk NB

Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC

Giải:

a) Cách 1: Gọi I là trung điểm của BC, ta có: BC IA, BC ID,

AD BC  IDIA BCID BCIA BC

        

AD BC

 

Cách 2: Vì các ABC, DBC cân tại A và D nên:











b) Từ giả thiết MAk MB

và NDk NB

MN BC AD BC

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Chứng minh rằng AO vuông góc với CD

Giải:

Qua O dựng đường thẳng song song với CD, cắt BC, BD theo thứ

tự tại E và F , M là trung điểm của CD suy ra: AO CD, AOF

Ta có:

EF CD

BE BF

BC BD

OE OF

MC MD













 





Xét ABE và ABF, ta có:

60

AB chung









ABE ABF

   AEAF

AEF

90

AOF

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

a)      AB CD AC DB AD BC 0

Từ đó, suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có ABCD và

ACDB thì ADBC

b) Nếu      AB AC AC AD AD AB

thì ABCD , ACBD ,

ADBC Điều ngược lại có đúng không?

c) Nếu ADBDCD và ADBBDCCDA thì ADBC ,

ACDB , ABCD

Giải:

a) Ta lần lượt có:

AB CD AB ADAC AB ADAB AC 

        

D B

C

A

I

N M

F B

C

A

E

N

M

D O

B

C A

D

   

AC BDAC ADAB AC ADAC AB 

        

AD BC AD ABAC AD ABAD AC 

        

Cộng theo vế  3 ,  3 và  3 , ta được:

AB CDAC DBAD BC

     

Khi đó, với điều kiện ABCD và ACDB thì:

AB CD 

 

và  AC DB  0

AD BC

  

AD BC

  b) Ta có:     AB CD AB AD AC   AB AD AB AC 0

AB CD

Chứng minh tương tự ta cũng nhận được: ACBD, ADBC

Vì các phép biến đổi trên là tương đương nên điều ngược lại cũng đúng

AD BC AD ABAC  AD ABAD AC AD CDAAD ADB

        

AD BC

  Chứng minh tương tự ta cũng nhận được: ACDB, ABCD

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành SAB và SAD là các tam giác vuông tại A

a) Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và CD

b) Chứng minh rằng SA vuông góc với AC và BD

Giải:

a) Ta có: BC AD BC SA





















b) Trên tia SA lấy điểm S sao cho AS AS, ta có: AB,

AD đều là trung trực của SS

BS BS

  và DS DSSBDS BD c c c  

OS OS

  OSS cân tại O

OA SS

   ACSA

Trong CSS kẻ Ox song song với SS và cắt SC, S C

theo thứ tự tại E, F và là trung điểm của mỗi đường, ta có

ngay: EF SA

Mặt khác, vì SBCS BC c c c   BEBF BEF

cân tại B

OB EF

  BDSA

Ví dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và

ABC D  có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng

khác nhau, lần lượt có tâm O và O Chứng minh rằng

ABOO và tứ giác CDD C  là hình chữ nhật

Giải:

a) Giả sử hình vuông có cạnh bằng a , ta có:

D

C B

A

E

F

S

O

S'

D

C

A

B

C'

D'

O O'

 

.cos 45 cos 45 0

        

AB OO

 

b) Nhận xét rằng: CDAB



và C D  AB



 5

C D  CD



DCC DC CC  AB OO  

Từ  5 và  5 suy ra tứ giác CDD C  là hình chữ nhật

 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực

Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau, ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng b

Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc

Cách 3: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình học

phẳng

Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC và có ABC vuông tại B Trong mặt phẳng SAB kẻ AM vuông góc với SB tại M Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho

SM SN

SB  SC Chứng minh rằng:

a) BCSAB và AM SBC

b) MN SAB, từ đó suy ra SB AN

Giải:

a) Ta lần lượt có:











, AM SB AM SBC











b) Từ giả thiết: SM SN

SB  SC MNBC

MN SAB

  MNSB

SB AMN

  SB AN

Ví dụ 7: Cho hình chóp SABC có SAABC, các tam giác ABC và SBC không vuông Gọi H và

K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng:

a) AH , SK , BC đồng quy

b) SC BHK

C

B A

S

M

N

c) HK SBC

Giải:

a) Gọi  E AH BC, ta có:









 BCSAEBCSE

SE

 là đường cao của SBCKSE

Vậy ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy tại E

b) Ta có: BH AC









 BH SAC BH SC

Mặt khác, ta có: BK SC

Do đó SC BHK

c) Do SC BHK nên HK SC

Mà HK BC

Do đó HK SBC

Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên ABC

a) Chứng minh rằng BCOAH, CAOBH, ABOCH

b) Chứng minh rằng H là trực tâm của ABC

c) Chứng minh rằng 1 2 12 12 12

OH OA OB OC

d) Chứng minh rằng các góc của ABC đều nhọn

Giải:

a) Từ giả thiết OH ABCOH BC

Ta có: OA OB









 OAOBCOABC

Do đó BCOAH

Chứng minh tương tự ta nhận được CAOBH, ABOCH

b) Từ kết quả câu a) ta có: BCOAH BCAH

AC OBH  ACBH

Vậy H là trực tâm của ABC

c) Giả sử AH cắt BC tại K, suy ra OK BC

Trong OBC vuông tại O, ta có: 12 12 12

OK OB OC

Trong OAK vuông tại O, ta có: 1 2 12 12 12 12 12

OH OA OK OA OB OC

d) Giả sử OAa, OBb, OCc

C

B A

S

H

E K

C

B O

A

H

K

Xét các ABO, BCO, ACO đều vuông tại O, ta có:

AB OA OB a b , BC2 OB2OC2 b2c2, AC2 OA2 OC2 a2c2

BAC



BAC

Chứng minh tương tự, ta được các góc ABC và ACB đều nhọn

Vậy các góc của ABC đều nhọn

Ví dụ 9: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SAa và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB , SC , SD tại B , C , D Chứng minh B D  song song với BD và AB vuông

góc với SB

Giải:

a) Ta có ngay, SAB và SAD vuông tại A

Từ giả thiết: SAABCDSABC

Mặt khác, ta có: ABBC vì ABCD là hình vuông

Suy ra BCSABBCSB SBC vuông tại B

Chứng minh tương tự ta được SDC vuông tại D

b) Nhận xét rằng: SABSAD c g c SBSD

Trong SBD có: SB SD

SB SD

 

 B D BD

Ta có: SC   SC AB

Mà BCSABBCAB

Do đó, ABSBC ABSB

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC , SD

a) Chứng minh rằng BCSAB, CDSAD

b) Chứng minh rằng SAC là mặt phẳng trung trực

của đoạn BD

c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC

Từ đó suy ra ba thẳng AH , AI , AK cùng chứa

trong một mặt phẳng

d) Chứng minh rằng SAC là mặt phẳng trung trực

của đoạn HK Từ đó suy ra HK  AI

e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SAABa

B

C

A

D

S

O

D'

B' C'

E

B

C

A

D

S

O

K

H I

E

Giải:

a) Từ giả thiết SABC

Mặt khác, ta có: ABBC vì ABCD là hình vuông

Suy ra BCSAB

Chứng minh tương tự ta được CDSAD

b) Từ giả thiết SAABCDSABD

Mặt khác, ta có: ACBD vì ABCD là hình vuông

Do đó BDSAC tại trung điểm O của BD

Vậy SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD

c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được: AH SB









 AH SBCAH SC Chứng minh tương tự ta được AK SC

Như vậy, vì AH, AI, AK cùng vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC

d) Giả sử HK cắt AI tại E

Nhận xét rằng: SABSAD c g c SH SK

Trong SBD, ta có: SH SK

SB  SD HKBD và E là trung điểm của HK Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra HK SAC tại trung điểm E của HK

Vậy SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK

Từ kết quả HK SAC suy ra HK AI

e) Ta có: 1

2

AHIK

S  AI HK

Trong SAC vuông tại A, ta được: 12 12 1 2 12 12

2

AI  SA  AC a  a

6 3

a AI

Trong SBD, ta được: 1

2

SH SK

SB  SD  HK là đường trung bình

2 2

a HK

Vậy

2

AHIK

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có I là trung điểm của AB Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:

120

AB,BC 

 

150

CI , AC  

Bài 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OAOBOCa. Gọi M là trung điểm của AB Tính góc giữa hai vectơ OM và BC

HD: Sử dụng OM 12OA OB  

và BC  OCOB

sau đó sử dụng tính cosin giữa hai vectơ từ đó tính toán để suy ra 120o

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Hãy phân tích các vectơ AC và BD theo ba vectơ AB , AD và A'' A

b) Tính cos(AC,' BD) và từ đó suy ra AC và BD vuông góc với nhau '

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

90

AB, B' C ' 

45

AC , B' C ' 

60

A' C ',B' C 

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SASBSCABACa và BC  a 2 Tính góc giữa hai đường

thẳng SC và AB

Bài 6:Cho hình chóp S.ABC có SASBSC và ASBBSCCSA. Chứng minh rằng:

Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AB.AC AC.AD AD.AB thì

BC AD BD AC

CD

AB ,  ,  Điều ngược lại có đúng không?

Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB vuông góc với AC , AB vuông góc với BD Gọi P, Q là các

điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, CD sao cho PAk PB, QC k QD ( k1) Chứng minh rằng

AB và PQ vuông góc với nhau

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc ABCB BA'  0

' 60

B BC

Tính diện tích tứ giác A’B’CD

Bài 10: Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC , DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết

rằng DABC a, DBACb, DCABc.

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB ACAD và   0  0

60 , 90

BAC BAD CAD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng: