Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

1.Lí do chọn đề tài Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được ghi rõ trong các văn bản pháp quy của nhà nước và ngành Giáo dục. Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: “ …Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”. Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn: dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng, tư duy và tính cách, trong đó dạy kĩ năng có một ví trí đặc biệt quan trọng, bởi vì không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và không tìm được lối thoát cho việc giải quyết vấn đề. Tuy vậy, thực trạng giáo dục phổ thông nước ta hiện nay còn nặng về thuyết trình, giảng giải, dắt tay chỉ việc, học trò tiếp thu một cách thụ động, nhồi nhét, học để lấy điểm, thi cử. Đặc biệt là học trò rất yếu về tư duy, thiếu tính độc lập, sáng tạo, không yêu thích môn học, cảm thấy xa rời thực tiễn,… HHKG là một nội dung khó đối với học sinh và với nhiều giáo viên. Chính vì thế sự quan tâm, đầu tư cho giờ dạy, giờ học chưa được quan tâm thích đáng dẫn đến kết quả học tập giảm sút, và có nhiều học sinh không muốn học nội dung HHKG. Muốn cho những trở ngại tâm lí, cũng như việc học tập nội dung một cách dễ dàng hơn thì ngay từ những bước đầu tiếp cận với HHKG thì các thầy cô cần có những biện pháp dạy học tích cực, khiến cho nội dung trở nên thú vị, hấp dẫn, dễ hiểu, làm cho các em yêu thích học tập nội dung hơn. Đó là một băn khoăn của không ít các thầy, cô giáo. Tiếp cận HHKG đầu tiên phải nhắc đến những bài toán về giao điểm, giao tuyến và thiết diện. Nếu như không làm tốt từ những khâu đầu tiên thì làm sao có thể hiểu được những nội dung sau đó, chưa nói đến việc làm tốt nó. Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài nghiên cứu về việc rèn luyện kĩ năng trong một nội dung dạy học cụ thể. Tuy nhiên, có rất ít tài liệu trình bày cụ thể cách thức rèn luyện nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông. Xuất phát từ những lí do trên nên đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông”.

MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được ghi rõ trong các văn bản pháp quy của nhà nước và ngành Giáo dục Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: “ …Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn: dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng, tư duy và tính cách, trong đó dạy kĩ năng có một ví trí đặc biệt quan trọng, bởi vì không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và không tìm được lối thoát cho việc giải quyết vấn đề

Tuy vậy, thực trạng giáo dục phổ thông nước ta hiện nay còn nặng về thuyết trình, giảng giải, dắt tay chỉ việc, học trò tiếp thu một cách thụ động, nhồi nhét, học để lấy điểm, thi cử Đặc biệt là học trò rất yếu về tư duy, thiếu tính độc lập, sáng tạo, không yêu thích môn học, cảm thấy xa rời thực tiễn,…

HHKG là một nội dung khó đối với học sinh và với nhiều giáo viên Chính vì thế sự quan tâm, đầu tư cho giờ dạy, giờ học chưa được quan tâm thích đáng dẫn đến kết quả học tập giảm sút, và có nhiều học sinh không muốn học nội dung HHKG

Muốn cho những trở ngại tâm lí, cũng như việc học tập nội dung một cách dễ dàng hơn thì ngay từ những bước đầu tiếp cận với HHKG thì các thầy

cô cần có những biện pháp dạy học tích cực, khiến cho nội dung trở nên thú

vị, hấp dẫn, dễ hiểu, làm cho các em yêu thích học tập nội dung hơn Đó là một băn khoăn của không ít các thầy, cô giáo

Tiếp cận HHKG đầu tiên phải nhắc đến những bài toán về giao điểm, giao tuyến và thiết diện Nếu như không làm tốt từ những khâu đầu tiên thì

làm sao có thể hiểu được những nội dung sau đó, chưa nói đến việc làm tốt

nó Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài nghiên cứu về việc rèn luyện kĩ năng trong một nội dung dạy học cụ thể Tuy nhiên, có rất ít tài liệu trình bày

cụ thể cách thức rèn luyện nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

Xuất phát từ những lí do trên nên đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra một cách thức hiệu quả để rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy và học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

3.2 Khách thể nghiên cứu

Các kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một số quy tắc tựa thuật toán xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện và truyền thụ các quy tắc đó cho học sinh lớp 11 khi dạy học HHKG thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh những kĩ năng tương ứng bởi vì tập luyện theo các quy tắc là cách hiệu quả để rèn luyện kĩ năng

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

a) Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng

b) Thực trạng rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11

c) Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 theo các quy tắc tựa thuật toán.

d) Tiến hành thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả của các quy tắc tựa thuật toán và hệ thống bài tập đưa ra trong đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, các phương pháp sau đây được vận dụng:a) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan đến đề tài

b) Phương pháp điều tra - quan sát: Xây dựng và sử dụng những mẫu điều tra về tình hình dạy và học rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

c) Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Triển khai thử nghiệm một số giáo án để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, và phụ lục, luận văn bao gồm ba chương:

Chương 1.Kĩ năng toán học và vấn đề rèn luyện kĩ năng toán học cho học sinh trong dạy học HHKG ở lớp 11

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm

Chương 1

KĨ NĂNG TOÁN HỌC VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN

KĨ NĂNG TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

sự rèn luyện của người học không chỉ đơn thuần là cố gắng học mà có sự tác động của môi trường, cách thức rèn luyện và nội dung tri thức có phù hợp không? Như vậy hệ thống kiến thức là cốt yếu và rèn luyện là quan trọng

- Kĩ năng chỉ phát triển và thực sự phát triển nếu con người luyện tập, thực hành nó Không chỉ đơn thuần lí thuyết, vì như vậy lí thuyết thì sâu sắc

mà thực tiễn thì không có gì Khi đó kĩ năng trở nên lệch lạc, không đầy đủ

- Kĩ năng có tính chất tương đối ổn định Khi được rèn luyện nhiều thì kĩ năng sẽ như một thói quen, nó không dễ bị phá bỏ, còn khi có sự thay đổi của nguồn tri thức mới thì người có kĩ năng có thể phân biệt, hiểu rõ sự thay đổi đó để nhận biết có được áp dụng những kĩ năng cũ trong tình huống mới hay không?

- Kĩ năng chịu ảnh hưởng trực tiếp của tri thức và sự hoạt động của con người Song nó có tác dụng ngược trở lại Cụ thể, khi có kĩ năng kết hợp với tích cực rèn luyện thì hiểu tri thức một cách rõ ràng và có thể tạo ra được những kiến thức mới

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau:Con đường thứ nhất là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ

đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Người ta còn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng (P), có thể thông qua một hệ thống bài tập, trên cơ sở đó học sinh tự rút ra được quy trình giải để vận dụng cho một lớp các bài tập cùng dạng

Con đường thứ hai là dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó

có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán cụ thể Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng (P), có thể xây dựng quy trình giải, sau đó cho học sinh áp dụng giải các ví dụ minh họa

Con đường thứ ba là dạy cho học sinh chủ yếu là những hoạt động tâm

lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này, giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác, mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến, sử dụng thông tin thu được để giải các bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất) của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu về các đối tượng, còn các thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện dưới hành động đối tượng

Ở giai đoạn thứ hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy, người giáo viên đã định hướng cho học sinh: để đưa ra lời giải bài toán, trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể Từ đó xây dựng được cho học sinh các phương pháp giải bài toán

Tuy nhiên để phát triển bài toán và để khắc sâu cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: tìm cách giải khác, thêm dữ kiện, thay đổi

dữ kiện, …

Như vậy, học sinh được hình thành kĩ năng tư duy suy luận logic Người ta còn gọi phương pháp trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh những khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại.

- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoạt động để hình thành kĩ năng và kĩ xảo cũng bao gồm cả sự vận dụng bước đầu kiến thức vào thực tiễn và cả công việc luyện tập để hoàn thiện hành động đó Sự hình thành kĩ năng sẽ diễn ra thông minh hơn nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn có cả những hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh [3, tr 11 – 14]

Ta có sơ đồ hình thành kĩ năng:

Kiến thức ⇔Hoạt động thực tiễn ⇔ Kĩ năng

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

- Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hình thành kĩ năng

- Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp

1.2 Kĩ năng toán học và vai trò của kĩ năng toán học ở trường phổ thông

Một yêu cầu quan trọng trong việc dạy học Toán là học sinh cần nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo để vận dụng trong giải Toán Với mỗi nội dung cần tập trung rèn luyện cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng Việc rèn luyện kĩ năng cũng quan trọng như truyền thụ tri thức Bởi nhờ có kĩ năng học sinh mới có thể hiểu sâu sắc kiến thức và kiến tạo ra những tri thức mới Theo [8, trang 9 – 10], cần rèn luyện một số kĩ năng sau cho học sinh trong dạy học toán phổ thông:

- Kĩ năng tính toán

Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán Vì kĩ năng tính toán có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau này Trong hoạt động thực tế ở bất kì lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh và tính hợp lí

- Kĩ năng vận dụng thành thạo các quy tắc

Về mặt kĩ năng này thì cần yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt Tức là không dập khuôn một quy tắc cho một lớp bài toán, có thể sử dụng nhiều hơn một quy tắc để tìm ra lời giải một cách thuận tiện nhất Mặt khác, khi bài toán có thay đổi dữ kiện thì cần rèn cho học sinh biết cách chuyển về bài toán quen thuộc rồi áp dụng những quy tắc được học để giải quyết

- Kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán

Học sinh được rèn luyện kĩ năng này trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán Thật vậy, đứng trước mỗi bài toán học sinh cần vận dụng những tri thức

đã biết để xác định những yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm của bài toán và cần phải tìm ra mối liên hệ giữa những yếu tố đó để tìm lời giải

- Kĩ năng chứng minh toán học

Để có kĩ năng chứng minh toán học, học sinh cần phải: Hình thành động

cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận

- Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều

Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận dụng kiến thức Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

- Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc

Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình,

vẽ cẩn thận, đẹp Bởi nhờ có kĩ nẵng này, học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc dự đoán và tìm lời giải bài toán

- Kĩ năng toán học các tình huống thực tiễn

Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập giúp học sinh nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức

- Kĩ năng hoạt động tư duy hàm

Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng; hoạt động nghiên cứu sự tương ứng

- Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi giải toán

Trong học tập giải toán, việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một thành công của người học toán Trên thực tế, có nhiều học sinh vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, bài kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó Qua đó học sinh cũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải, chẳng hạn như: câu chữ, các kí hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức … Việc hình thành và rèn luyện

kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất lượng dạy và học

1.3 Tình hình dạy học xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong học tập HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

1.3.1 Nội dung và mục tiêu SGK yêu cầu của việc rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

1.3.1.1 Nội dung SGK liên quan đến rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

Nội dung này học sinh được học trong chương 2 sách giáo khoa hiện hành.Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (4 tiết)

Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng (2 tiết)

Dưới đây là bảng thống kê những ví dụ và bài tập về nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong SGK hình học 11 nâng cao hiện hành

Giao tuyến Giao điểm Thiết diện Tổng số

Bảng thống kê số lượng ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa hiện hànhTổng số ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa hiện hành là 34 câu

Ví dụ xác định giao tuyến của hai mặt phẳng chiếm 17,6%

Ví dụ xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chiếm 8,8%

Ví dụ xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng chiếm 8,8%.Bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng chiếm 14,7%

Bài tập xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chiếm 14,7%.Bài tập xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng chiếm 35,4%.

1.3.1.2 Mục tiêu dạy học nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

Giáo viên cần cho học sinh thấy rằng: Các bài toán xác định thiết diện của một hình đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh nhớ lại các khái niệm, các tính chất đã học và hình dung được hình dáng của các hình Việc rèn luyện những kĩ năng như xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện là những bước đầu cho những bài toán trong không gian khác Vì vậy cần thấy được rằng rèn luyện những kĩ năng trên là rất cần thiết trong dạy học HHKG lớp 11

Phần kiến thức HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông nhằm trang

bị cho học sinh một số cơ sở khoa học để hiểu rõ các khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc” (đi qua) với các tiên đề, nhờ lập luận lôgic dẫn tới các kiến thức về vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng, về tương giao của các hình, quan hệ song song giữa các đường thẳng và mặt phẳng, sự vận dụng các kiến thức Toán học vào việc nghiên cứu các khối đa diện

1.3.2 Thực trạng rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11

Chúng tôi đã tiến hành điều tra tình hình dạy và học nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong HHKG lớp 11 THPT đối với cả giáo viên và học sinh

- Học sinh

Chúng tôi đã tiến hành điều tra 101 HS thuộc lớp 11A5, 11A6 năm học 2011-2012, trường THPT Nghĩa Dân, Kim Động, Hưng Yên để tìm hiểu thực

trạng học tập nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong HHKG lớp 11 của các em Các câu hỏi chúng tôi đưa ra là:

Câu hỏi 1: Em thấy vẽ hình không gian có gặp khó khăn trong việc xác

định nét liền, nét đứt không?

Câu hỏi 2: Khi có sẵn một hình không gian, việc tưởng tưởng ra vật thể

có hình dáng như hình được vẽ sẵn trên tờ giấy có khó khăn với em không?

Câu hỏi 3: Em có xác định được hai đường thẳng bất kì trong hình vẽ

cắt nhau không?

Câu hỏi 4: Khi học nội dung này, các em có biết chứng minh một số

định lí, tính chất và hệ quả hay chỉ học thuộc định lí, tính chất và hệ quả?

Câu hỏi 5: Em có nhận thấy mối quan hệ giữa các nội dung xác đinh

giao điểm, giao tuyến và thiết diện không?

Dưới đây là bảng tổng kết kết quả điều tra HS

Câu hỏi 1: Khi vẽ hình không gian, thầy (cô) có gặp khó khăn trong

việc giải thích các đường nét liền, nét đứt không?

Câu hỏi 2: Khi có sẵn một hình không gian, việc hướng dẫn học sinh

tưởng tưởng ra vật thể có hình dáng như hình được vẽ sẵn trên tờ giấy có gây khó khăn gì với các thầy (cô) không?

Câu hỏi 3: Theo thầy (cô) việc hướng dẫn học sinh tìm giao điểm của

các đường thẳng bất kì trong hình vẽ có khó khăn gì không?

Câu hỏi 4: Khi học nội dung này, các thầy cô có chứng minh một số

định lí, tính chất và hệ quả hay chỉ yêu cầu học sinh học thuộc định lí, tính chất và hệ quả?

Câu hỏi 5: Thầy (cô) có chỉ ra mối quan hệ giữa các nội dung xác đinh

giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho các em không?

Dưới đây là bảng tổng kết kết quả điều tra GV

đường thẳng không song song thì có thể cắt nhau, chéo nhau Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song….

Mặt khác, cũng vì thiếu sự quan tâm thích đáng đến học định lí, hệ quả

và tính chất dẫn đến học sinh thường yếu trong khâu trình bày lời giải Rất nhiều học sinh có thể chỉ ra được giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong không gian, nhưng việc trình bày lời giải thì thấy khó khăn Lí do là các em chưa hiểu tính chất cơ bản của cấu trúc không gian Ví dụ với hai đường thẳng phân biệt bất kì trong mặt phẳng thì có thể là cắt nhau (có một điểm chung) hoặc song song (không có điểm chung), còn trong không gian thì có thể cắt nhau (có một điểm chung), song song hoặc chéo nhau (không có điểm chung) Như vậy muốn xác định giao điểm của hai đường thẳng thì cần xem 2 đường thẳng đó có cùng thuộc một mặt phẳng hay không, sau đó quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng như các em đã được học

Giáo viên cũng ít quan tâm đến việc rèn kĩ năng vẽ hình, đọc hiểu HHKG cho học sinh Một trong số nguyên nhân là hệ thống bài tập HHKG nhằm rèn kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện ít Toán học là một môn học có tính trừu tượng cao độ, song nó cũng có những gắn kết với thực tiễn Từ việc quan sát những hình trên một tờ giấy (mặt phẳng) chuyển sang việc tưởng tưởng xem sự vật đó trong thực tế như thế nào cũng rất khó khăn Các em phải học cách để nhìn những hình bình hành sẽ tương ứng với những mặt của vật thể trong thực tế, hình dung xem vật thể có hình dạng thế nào với những mặt phẳng nào nhìn thấy, mặt phẳng nào bị che khuất, sau đó

là những bài toán về thiết diện, cần tưởng tượng xem mặt phẳng cắt vật thể dưới hình gì để thuận lợi trong việc làm bài tập Chính vì yếu trong quá trình tưởng tưởng hình không gian nên kéo theo việc học những nội dung khác trong HHKG trở nên khó khăn hơn

1.4 Vai trò của kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong

học tập HHKG ở trường phổ thông

- Giúp phát triển kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc Bởi nhờ có kĩ năng

xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện học sinh có thể hình dung tốt hơn mỗi điểm, đường thẳng hay mặt phẳng trong không gian được biểu thị bởi những kí hiệu nào trên một mặt phẳng Ngoài ra là mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng, hay của chính các đối tượng như điểm – điểm, đường thẳng – đường thẳng, mặt phẳng – mặt phẳng Hiểu rõ mối quan

hệ giữa các đối tượng trên giúp các em có điều kiện tập luyện kĩ năng vẽ hình, đọc mối quan hệ giữa các đối tượng trên hình Tránh những sai lầm như cứ hai đường thẳng không song song là các em xác định được giao điểm, mà cần phải xác định xem chúng có thuộc cùng một mặt phẳng hay không?

- Giúp rèn kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán Hiểu sâu sắc định

lí, hệ quả, tính chất là việc cần thiết trong việc học HHKG Bởi vì mối quan

hệ giữa các đại lượng trong không gian không hoàn toàn giống hình học phẳng như các em đã được học Vì vậy việc thấu hiểu được những định lí, tính chất, hệ quả là việc quan trọng tất yếu Mà thông qua rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện học sinh có thể hiểu sâu sắc định

lí, tính chất, hệ quả Vì mỗi một bước làm trong rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện đều cần có những định lí, tính chất, hệ quả thì mới làm được Nhờ việc hiểu sâu sắc các định lí, hệ quả và tính chất giúp

các em trình bày lời giải khoa học.

- Giúp rèn kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi giải toán Để xác định được giao điểm, giao tuyến và thiết diện cũng

có rất nhiều cách làm Do đó học sinh cần chọn ra những cách làm phù hợp, những cách hay, ngắn gọn hoặc có thể làm lợi cho những câu sau Cách làm ngắn nhất chưa chắc đã là cách làm tốt nhất HHKG có nhiều điểm khác với hình học phẳng, qua nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện, học sinh có thể hiểu rõ hơn về HHKG và rèn luyện được kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá, trình bày lời giải để tránh được những sai lầm khi học HHKG

- Là một phần trong mạch kiến thức và giúp việc giải toán HHKG

được dễ dàng hơn Thật vậy, trong giải toán HHKG không thể thiếu quy trình

xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện Bởi nhờ nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện học sinh có thể giải các bài toán HHKG khác

1.5 Tiểu kết chương 1

Rèn luyện kĩ năng toán học là điều cần thiết, và việc làm đó cần được thực hiện trong mọi nội dung Toán học Tuy nhiên, từng nội dung cụ thể ta lại cần chú trọng vào những kĩ năng toán học riêng Nội dung HHKG lớp 11 là nội dung khó Không chỉ khó trong việc học của các em, mà còn khó trong quá trình giảng dạy đối với giáo viên Chính vì những sự quan tâm chưa thích đáng với nội dung xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện làm cho việc học tập nội dung HHKG lớp 11 chưa đạt được kết quả cao Thông qua việc học tập nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện giúp người học có thể hiểu hơn về những định lí, hệ quả và tính chất về mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Ngoài ra học tập nội dung này còn giúp người học phát triển trí tưởng tượng không gian, và từ đó có thể giải quyết các bài toán khác trong không gian

Trên cơ sở lí luận và thực tiễn, luận văn đã chỉ ra những kĩ năng cần phải rèn luyện và vai trò của những kĩ năng đó thông qua nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện Qua đây người giáo viên cần có những quan tâm thích đáng đến nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện nhằm giúp các em lĩnh hội tri thức một cách dễ dàng với niềm yêu thích môn Toán

Chương 2

GIAO ĐIỂM, GIAO TUYẾN, THIẾT DIỆN CHO HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện cho học sinh lớp 11 theo các quy tắc tựa thuật toán

2.1.1 Quy tắc tựa thuật toán

Theo [4, trang 376 - 384], Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu

như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán hay thông tin ra mô tả lời giải bài toán đó

Đây chưa là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu, giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác

Trong quá trình dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc chưa mang

đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật toán, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó

là những quy tắc tựa thuật toán

Quy tắc tựa thuật toán được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán

Đặc điểm của quy tắc tựa thuật toán:

- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định

- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị

- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán đó

2.1.2 Các quy tắc tựa thuật toán xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện

Quy tắc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Quy tắc thứ nhất: Tìm hai điểm chung

Quy tắc này dựa trên nhận xét: Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì giao tuyến của chúng là đường thẳng nối hai điểm chung đó

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất

Điểm chung thứ nhất được xác định có thể đã cho sẵn trong kí hiệu hai mặt phẳng, cũng có thể là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi đường nằm trong một mặt phẳng đã cho (hai đường thẳng này có thể cho sẵn trong hình,

có thể phải kẻ thêm)

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai

Tương tự như bước 1

Bước 3: nối hai điểm chung vừa tìm được ta có giao tuyến cần xác định.

Quy tắc thứ hai: tìm một điểm chung và tìm phương của giao tuyến

Quy tắc này dựa trên các định lí sau:

- Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến

đó hoặc đồng qui hoặc song song với nhau

- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a và a song song với mặt phẳng (Q) thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng song song với a

- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a, mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng b mà hai đường thẳng này song song với nhau thì giao tuyến nếu

có của (P) và (Q) là đường thẳng song song với a (song song với b)

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng a thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó cũng song song với đường thẳng a

- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì cũng cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song với nhau

Quy tắc xác định giao tuyến bằng cách đi qua một điểm và tìm phương của đường thẳng đó gồm:

Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng

Điểm chung của hai mặt phẳng được xác định có thể đã cho sẵn trong

kí hiệu hai mặt phẳng, cũng có thể là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi đường nằm trong một mặt phẳng đã cho (hai đường thẳng này có thể cho sẵn trong hình, có thể phải kẻ thêm)

Bước 2: tìm phương của giao tuyến

Chỉ ra đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) hoặc song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q) thì đường thẳng giao tuyến có phương song song với a

Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua điểm chung ở bước 1 và song song với

a Đường thẳng đó là đường thẳng cần tìm

Quy tắc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có thể là điểm cho sẵn trong kí hiệu của đường thẳng và mặt phẳng đó, hoặc có thể phải xác định theo quy tắc sau:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (a) và cắt (P).

Bước 2: Xác định giao tuyến của (P) và (Q), gọi là đường thẳng (d) Bước 3: Xác định giao điểm của (d) và (a), đó chính là giao điểm của

đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)

Quy tắc xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

Muốn xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P), ta cần xác định được giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H) Ta có thể xác định thiết diện bằng một trong hai cách sau:

Quy tắc thứ nhất: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) bằng phương pháp giao tuyến gốc hay còn gọi là phương pháp vết.

Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp này:

- Hình (H) phải là một hình có đáy là các đa giác như hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ tam giác, …

- Cần lựa chọn một mặt phẳng trong hình (H) gọi là mặt phẳng đáy.Quy tắc gồm:

Bước 1: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng đáy (Q)

được gọi là giao tuyến gốc

Bước 2: Xác định các giao điểm của giao tuyến gốc với các đường

Một số lưu ý khi dùng phương pháp này:

- Phương pháp sử dụng được trong những bài toán mà hình (H) là hình chóp Nếu chưa là hình chóp thì cần chuyển bài toán về hình chóp

- Phương pháp này tỏ ra hữu hiệu với những bài toán có những điểm nằm bên trong một mặt phẳng

Quy tắc gồm:

Bước 1: Xác định một tam giác thuộc mặt phẳng thiết diện là tam giác

cơ sở Qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp (H), xác định hình chiếu các đỉnh của tam giác cơ sở lên mặt phẳng đáy

Bước 2: Trên mặt phẳng đáy, xác định giao điểm của các đường thẳng

trong mặt phẳng đáy và các cạnh là hình chiếu của tam giác cơ sở trên mặt phẳng đáy

Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng thiết diện và các mặt của

hình chóp

Bước 4: Xác định thiết diện.

Quy tắc thứ ba: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) song song với đường thẳng hoặc mặt phẳng.

Lưu ý khi dùng phương pháp này:

Có thể chưa cho sẵn mặt phẳng (P) song song với đường thẳng hay mặt phẳng nào

Bước 1: Xác định mặt phẳng thiết diện song song với đường thẳng hay

mặt phẳng nào đó

Bước 2: Qua những điểm thuộc mặt phẳng thiết diện, kẻ các đường

thẳng song song với đường thẳng, mặt phẳng đã nêu ra ở bước 1

Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng thiết diện và các mặt của

- Truyền thụ tường minh Cách này được dùng cho những tri thức được quy định phải dạy trong chương trình Với cách dạy này thì người giáo viên cần phát biểu tri thức một cách tường minh, mỗi hoạt động tương ứng với tri thức phương pháp này cần được thực hành theo từng bước, học sinh cần hiểu được những ngôn ngữ diễn tả và hành động được theo những ngôn ngữ được nêu ra

- Thông báo tri thức phương pháp Cách này được sử dụng trong quá trình hoạt động, nhưng nó chỉ dành cho những tri thức có thể diễn đạt ngắn gọn, dễ hiểu và tốn ít thời gian Tri thức này không được quy định trong chương trình nhưng sẽ được giáo viên hướng dẫn, thông báo trong quá trình hoạt động

- Tập luyện hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp Nó được sử dụng đối với những tri thức phương pháp phức tạp không truyền thụ được

theo hai cách trên Giáo viên nhắc đi nhắc lại những câu hỏi một cách có dụng ý để học sinh dần dần làm quen và vận dụng trong những tình huống tương tự như một công cụ, một phương pháp giải toán.

Đối với những quy tắc xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện ta có thể sử dụng cách truyền thụ sau cùng, tức là thông qua một hệ thống bài tập được chọn lọc chúng ta cho học sinh tập luyện hoạt động ăn khớp với từng bước giải trong mỗi quy tắc mà không thông báo tường minh quy tắc đó.

2.3 Hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng và so sánh với hệ thống bài tập trong sách giáo khoa hiện hành

2.3.1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung là một đường thẳng Vì vậy muốn rèn kĩ năng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giáo viên cần hướng dẫn học sinh đi tìm đường thẳng chứa các điểm chung của hai mặt phẳng đó Nhưng liệu có cần tìm tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó? Do đó, giáo viên có thể đưa ra câu hỏi là: hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng cắt nhau theo một đường thẳng, một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi nào? Khi đó học sinh có thể trả lời ngay được: một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết đường thẳng đó đi qua hai điểm phân biệt hoặc đi qua một điểm và phương của đường thẳng đó Từ đó dần dần hình thành phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

c) Mặt phẳng (P) với (SAD)

Hình vẽ minh họa

a) Xác định giao tuyến của (P) và (SAB)

Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời

Của học sinh

Các em đã nhìn thấy được ngay

điểm chung nào của hai mặt phẳng

đó chưa?

Còn điểm chung nào nữa không?

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng

này là đường thẳng nào?

Ngay trong kí hiệu hai mặt phẳng thì thấy được điểm B thuộc hai mặt phẳng đó

Ngoài ra ta cũng thấy được điểm M thuộc hai mặt phẳng đã cho

Đường thẳng MB

b) Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của

học sinh

Có thể chỉ ngay được điểm chung

nào của hai mặt phẳng?

Em hãy tìm xem trên hai mặt phẳng

đó có hai đường thẳng tương ứng

thuộc hai mặt phẳng đó mà lại cắt

nhau không?

Giao tuyến O của hai đường thẳng

đó có thuộc vào cả hai mặt phẳng

đó không? Vì sao?

Vậy ta có thể tìm được giao tuyến

của hai mặt phẳng là đường thẳng

Nối S với O ta được đường thẳng SO

là đường thẳng cần tìm

c) Xác định giao tuyến của (P) và (SAD)

Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của

học sinh

Em hãy chỉ ra điểm chung của (P) và

(SAD).

Em hãy tìm xem trên hai mặt phẳng đó

có hai đường thẳng tương ứng thuộc hai

mặt phẳng đó mà lại cắt nhau không?

Em có thể kẻ thêm hình để xác định được

hai đường thẳng nằm trong hai mặt

phẳng đó lại cắt nhau Hãy cố gắng tìm

thêm những điểm là điểm chung của 1

đường thẳng nằm trong mặt phẳng đang

Có được 1 điểm chung là M, ngoài ra chưa thể tìm ngay được điểm chung nào khác.

Chưa tìm ngay được hai đường thẳng nào thỏa mãn.

MN và SO cùng nằm trong một mặt phẳng MN∩SO I=

xét với một đường thẳng trong hình vẽ để

được điểm mới

Vậy đã có hai đường thẳng nào lần lượt

nằm trong (P) và (SAD) lại cắt nhau

không?

Do đó điểm T thuộc vào cả hai mặt

phẳng đó Vậy giao tuyến của (P) và

(SAD) là đường thẳng nào?

Có SD, BI cùng thuộc mặt phẳng SDB, SD∩BI T=

Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của học sinh

Chúng ta có thể xác định được

điểm chung nào của hai mặt phẳng

đã cho?

Còn có thể nhìn thấy điểm chung

nào nữa không?

Vậy em có tìm được hai đường

thẳng lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng đã cho mà lại cùng nằm

trong một mặt phẳng không?

Chúng có cắt nhau không?

Vậy ta có thể xác định được giao

tuyến của hai mặt phẳng này được

không? Dựa vào định lí, hệ quả hay

tính chất nào?

Điểm S là điểm chung được xác định ngay trong kí hiệu của hai mặt phẳng.Không

Có đường thẳng AD, BC nằm trong mặt phẳng (ABCD), nhưng chúng không cắt nhau mà lại song song với nhau

Có Là đường thẳng Sx qua S và song song với AD Có một hệ quả nói rằng: nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó

Xác định giao tuyến của (P) và (ABCD)

Hệ thống câu hỏi của giáo

viên

Dự đoán câu trả lời tương ứng của

học sinhCác em đã có những điểm

chung nào của hai mặt phẳng rồi?

Các em vừa xác định được

giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và

(ABCD) nhờ ví dụ trước Còn có

cách nào khác nhanh hơn để chỉ ra

giao tuyến của hai mặt phẳng đó

không?

Điểm B là điểm chung sẵn có, ngoài ra dựa vào ví dụ trên ta cũng thấy MT và AD nằm trong mặt phẳng (SAD) Có MT∩AD K= nên K cũng là một điểm chung khác nữa của hai mặt phẳng Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng KB

Nhận thấy điểm B là điểm chung của hai mặt phẳng đó, lại có MN//AC nên giao tuyến là đường thẳng qua B

và song song với AC

Nhận xét:

Quy tắc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thông qua hai quy tắc Một là: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng Hai là xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách xác định một điểm chung của hai mặt phẳng đó và phương của giao tuyến Học sinh có thể áp dụng quy tắc này cho những bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tự đặt cho mình hệ thống câu hỏi sao cho giống như hệ thống câu hỏi mà giáo viên đưa ra

2 Một số bài toán áp dụng

Bài 1 Cho tứ diện ABCD I, M, N lần lượt là trung điểm của AD, AB,

AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD Xác định giao tuyến của (SBM) và (SAC)

Bài 3 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy trung điểm I, trong hai tam giác BCD và ACD lấy hai điểm J, K sao cho J là trọng tâm tam giác BCD, K không nằm trên trung tuyến AM của tam giác ACD Tìm các giao tuyến của hai mặt phẳng (IJK) và (ABD)

Hướng dẫn và kết quả

nào của hai mặt phẳng rồi?

Các em hãy xác định hai đường

thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng

mà cắt nhau? Nếu chưa thấy hai

Có IJ cắt AM tại H Nên ta có được

HK, AD cùng thuộc mặt phẳng (ACD)

HK cắt AD ở N

Điểm N

2.3.2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Giao điểm (nếu có) của một đường thẳng (d) không nằm trong mặt phẳng (Q) là một điểm Vì vậy khi giúp học sinh tìm hướng giải, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh nhờ các câu hỏi sau:

GV: giả sử xác định được giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) là điểm A Khi đó mọi đường thẳng (a) qua A nằm trong (Q) và đường thăng (d) cùng thuộc một mặt phẳng (P) nào đó Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)?

HS: đó là đường thẳng (a)

GV: mà đường thẳng (a) và đường thẳng (d) cắt nhau tại A là giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) Vì vậy, nếu xác định được giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) là đường thẳng (a) thì giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phăng (Q) được xác địn như thế nào?

HS: chính là giao điểm của đường thẳng (a) và đường thẳng (d)

Hệ thống câu hỏi của giáo viên

Dự đoán câu trả lời tương ứng

của học sinh

Em có xác định ngay được giao điểm

Giao điểm của đường thẳng TM và

đường thẳng BN có phải là giao điểm

Có Vì điểm đó vừa thuộc BN lại vừa thuộc (SAD) Nên giao điểm của đường thẳng BN và mặt phẳng (SAD) chính là giao điểm của BN

Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của

Giao tuyến của (ABC) và (DMN)

là đường thẳng MP như hình vẽ, còn giao tuyến của (ACD) và (DMN) là đường thẳng DQ Nhưng xét giao tuyến của (ABC) và (DMN) dễ dàng hơn

Có Vì điểm đó vừa thuộc MP (hay DQ) lại vừa thuộc (DMN) Nên giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (DMN) chính là điểm Q

Nhận xét:

Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng thông qua xác định giao tuyến của hai mặt phẳng là cách làm tốt, giúp các em thấy được mối quan hệ giữa các nội dung Toán học Học sinh làm những bài tập xác định giao điểm của đường thẳng bằng cách tự đặt ra những câu hỏi tương tự với câu hỏi của giáo viên Như vậy là các em đã được rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm theo quy tắc tựa thuật toán

2 Một số bài toán áp dụng

Bài 1 Cũng với giả thiết ở bài tập 2 phần giao tuyến, xác định giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB Gọi I,

J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AIJ)

Gợi ý và đáp số

Bài 1 dựa theo bài giao tuyến ta có ngay được giao điểm của BM và (SAC) chính là giao điểm của BM và SF là điểm I như hình vẽ.

Bài 2

Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của

Giao điểm của đường thẳng IF và

đường thẳng SD có phải là giao điểm

Nếu học sinh chọn mặt phẳng (SDB) thì ta có: điểm chung của (SDB) và (AIJ) là điểm I dễ thấy ngay được

Có AC cắt BD tại H Nên SH cắt AJ tại F

Nếu học sinh chọn (SDA) thì ta có A thuộc vào giao tuyến của (AIJ) và (SAD) Điểm chung khác A chưa tìm ngay được Lại có AD∩BC O= ,

AC∩BD H= , sau đó ta có

O IJ

S ∩ =K, và AK∩SD E= Nên giao tuyến của (SDC) và (AIJ) là đường thẳng JE JE∩SD E= nên E là giao điểm của SD và (AIJ)

Vậy nên giao tuyến của hai mặt phẳng là IF (hoặc AK, hoặc JE)

Có Vì điểm đó vừa thuộc SD lại vừa thuộc (AIJ) Nên giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AIJ) chính là điểm E

2.3.3 Xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

Bài toán xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) cần được minh họa bởi một ví dụ cụ thể xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H) Vì vậy, với bài tập thiết diện trước khi đi vào các quy tắc xác định thiết diện thì cần có một ví dụ mô tả cách xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) Khi xác định thiết diện, giáo viên cần cho học sinh thấy được đỉnh của thiết diện chính là giao điểm của các cạnh của hình (H) và mặt phẳng (P), còn cạnh của thiết diện là đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của thiết diện Nên không nhất thiết phải xác định được giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H), ta chỉ cần xác định sao cho có được các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình (H)

Cụ thể, với bài này ta không cần xác định giao tuyến của (P) và (ABCD).

Ví dụ 2

Cho hình tứ diện ABCD Trên AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm H, K,

M sao cho HA=HB, KB=KC, MD<MC Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua ba điểm H, K, M

Hình vẽ minh họa

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Ta có thể coi tứ diện là một hình

chóp đỉnh bất kì, khi đó mặt

phẳng đáy của hình chóp là mặt

phẳng đi qua ba điểm còn lại

Các em hãy chọn cho cô một

mặt đáy mà việc xác định giao

tuyến của mặt phẳng thiết diện

với mặt đáy là dễ dàng?

Chúng ta quy ước gọi giao tuyến

đó là giao tuyến gốc Nếu cô

Vậy thiết diện là hình nào?

Học sinh sẽ trả lời được là có thể coi tứ diện là hình chóp đỉnh A, đáy là (BCD) và giao tuyến của (BCD) và (HKM) là đường thẳng KM Hoặc nếu chọn đỉnh của chóp tam giác là D, thì đáy là (ABC) và giao tuyến của (ACD) và (HKM) là đường thẳng HK

Hoàn toàn có thể Bởi theo giả thiết thì KM không song song với BD nên KM kéo dài cắt BD tại E

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

HKM ABC HK HKM BCD KM HKM ABD HE

Giả thiết giống với giả thiết bài 2 phần giao tuyến Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Hình vẽ minh họa

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Ta gọi tam giác ABM là tam giác

cơ sở Hãy xác định hình chiếu

của tam giác cơ sở qua phép

chiếu xuyên tâm S lên mặt phẳng

đáy của hình chóp?

Xác định giao điểm của các cạnh

của tam giác ABG với các cạnh

của mặt phẳng đáy

Hãy xác định giao tuyến của mặt

phẳng (ABM) với các mặt của

hình chóp?

Ta có hình chiếu của tam giác cơ sở ABM qua phép chiếu xuyên tâm S là tam giác ABG