KHAI TRIỂN VẾT NHIỆT VÀ LUẬT WEYL CHO CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ LAPLACE BELTRAMI

Phần mở đầu Ai trải qua thời học sinh cũng đều quen thuộc với tiếng trống trường. Song không phải ai cũng biết âm của trống được quy định bởi rất nhiều yếu tố như chất liệu, kích cỡ, chất lượng sản xuất, môi trường sử dụng,... Trong đó, hình dạng của mặt trống cũng là một yếu tố quyết định đến âm thanh của trống. Như vậy, khi biết hình dạng bề mặt trống ta sẽ xác định được đặc điểm âm cơ bản của trống. Ngược lại, giả sử sự nghe là hoàn hảo và các yếu tố khác là không thay đổi thì có thể xác định được hình dạng mặt trống từ các âm cơ bản của trống hay không? Trong bài báo rất nổi tiếng: “Can one hear the shape of a drum?” (1966), Mark Kac đã đưa ra câu hỏi như sau: Cho Ω ⊂ R2 là miền bị chặn và cho 0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ λ2... là dãy các giá trị riêng của toán tử Laplace không âm ∆Ω với điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên Neumann. Có thể xác định được Ω từ dãy giá trị riêng (λk) tính cả bội hay không? Câu hỏi tương tự được đặt ra với miền bị chặn trong Rn. Thực chất, sự xác định các vật thể ở rất xa chính là động cơ để đưa ra bài toán, chẳng hạn như xác định những vì sao hoặc những nguyên tử, từ ánh sáng hoặc âm thanh mà chúng phát ra. Những bài toán ngược về phổ có nhiều ứng dụng như việc xác định hình dạng vật thể, phân tích hình ảnh y tế,... Từ đó, tổng quát, chúng ta có thể “nghe” được gì từ “tập phổ”? Ví dụ như có thể “nghe” được diện tích (thể tích) hoặc chu vi của miền hay không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ NGÂN

KHAI TRIỂN VẾT NHIỆT

VÀ LUẬT WEYL CHO CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG

CỦA TOÁN TỬ LAPLACE - BELTRAMI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ NGÂN

KHAI TRIỂN VẾT NHIỆT

VÀ LUẬT WEYL CHO CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG

CỦA TOÁN TỬ LAPLACE - BELTRAMI

Chuyên ngành: Toán Giải tích (Phương trình vi phân và tích phân)

Mã số: 60 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Như Thắng

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khoá học của mình Qua đây

em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô trong nhà trường đã dạy dỗ,chỉ bảo tận tình trong quá trình em học tập tại trường

Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Bộ môn Toán Giải tích,Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi để em hoàn thành luận văn của mình Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc nhất tới thầy giáo TS Nguyễn Như Thắng, người đã trực tiếp chỉ bảo

và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp, nhữngngười đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốtthời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giảNguyễn Thị Ngân

Mục lục

Trang

Phần mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức cơ sở 4

1.1 Giới thiệu 4

1.2 Toán tử giả vi phân 7

1.2.1 Biểu trưng 8

1.2.2 Không gian Sobolev 9

1.2.3 Toán tử 11

1.2.4 Toán tử giả vi phân trên đa tạp 13

Chương 2 Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami 18

2.1 Giới thiệu chung về luỹ thừa phức và toán tử nhiệt 18

2.1.1 Luỹ thừa phức 19

2.1.2 Toán tử nhiệt 21

2.1.3 Mở rộng cực đại và mở rộng cực tiểu của toán tử 22

2.1.4 Lược đồ 24

2.2 Công cụ cơ bản nghiên cứu luỹ thừa phức và toán tử nhiệt 24

2.2.1 Kí hiệu và kết quả sơ bộ 24

2.2.2 Xây dựng parametrix phụ thuộc tham số 25

2.3 Các tính chất của luỹ thừa phức và toán tử nhiệt 29

2.3.1 Các tính chất của luỹ thừa phức 29

2.3.2 Các tính chất của toán tử nhiệt 35

2.4 Mối liên hệ giữa luỹ thừa phức và toán tử nhiệt 37

2.5 Tiệm cận Weyl 37

2.5.1 Định lí Tauberian 38

2.5.2 Khai triển vết nhiệt 43

2.5.3 Luật Weyl cho toán tử Laplace - Beltrami 45

2.5.4 Ví dụ 48

Kết luận chung 53

Tài liệu tham khảo 54

Phần mở đầu

Ai trải qua thời học sinh cũng đều quen thuộc với tiếng trống trường Songkhông phải ai cũng biết âm của trống được quy định bởi rất nhiều yếu tố nhưchất liệu, kích cỡ, chất lượng sản xuất, môi trường sử dụng, Trong đó, hìnhdạng của mặt trống cũng là một yếu tố quyết định đến âm thanh của trống.Như vậy, khi biết hình dạng bề mặt trống ta sẽ xác định được đặc điểm âm

cơ bản của trống Ngược lại, giả sử sự nghe là hoàn hảo và các yếu tố khác làkhông thay đổi thì có thể xác định được hình dạng mặt trống từ các âm cơ bảncủa trống hay không? Trong bài báo rất nổi tiếng: “Can one hear the shape of

a drum?” (1966), Mark Kac đã đưa ra câu hỏi như sau: Cho Ω ⊂R2 là miền bịchặn và cho

0 ≤ λ0≤ λ1≤ λ2

là dãy các giá trị riêng của toán tử Laplace không âm ∆Ω với điều kiện biênDirichlet hoặc điều kiện biên Neumann Có thể xác định được Ω từ dãy giá trịriêng (λk) tính cả bội hay không? Câu hỏi tương tự được đặt ra với miền bị chặntrong Rn Thực chất, sự xác định các vật thể ở rất xa chính là động cơ để đưa rabài toán, chẳng hạn như xác định những vì sao hoặc những nguyên tử, từ ánhsáng hoặc âm thanh mà chúng phát ra Những bài toán ngược về phổ có nhiềuứng dụng như việc xác định hình dạng vật thể, phân tích hình ảnh y tế, Từ

đó, tổng quát, chúng ta có thể “nghe” được gì từ “tập phổ”? Ví dụ như có thể

“nghe” được diện tích (thể tích) hoặc chu vi của miền hay không?

Bài toán ngược về phổ đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiềunhà toán học trên thế giới Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiêncứu của luận văn.

Nội dung luận văn "Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giátrị riêng của toán tử Laplace - Beltrami" gồm hai chương:

• Chương 1 Kiến thức cơ sở Nội dung chương này trình bày những kiếnthức cơ sở cần thiết để nghiên cứu nội dung chương sau

• Chương 2 Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giá trị riêng của toán

tử Laplace - Beltrami Nội dung chương này giới thiệu toán tử nhiệt suyrộng và luỹ thừa phức dựa trên parametrix phụ thuộc tham số Tiếp theo

sẽ trình bày các định lí chứng tỏ toán tử nhiệt là toán tử thuộc lớp vết,vết của luỹ thừa phức có khai triển tiệm cận Từ đó ta sẽ phát biểu luậtWeyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplce - Beltrami

Các kết quả được trình bày trong luận văn dựa chủ yếu vào tài liệu [14]

“E Schrohe (2014), Heat trace expansions and Weyl’s law on the asymptotics

of eigenvalues, Notes for the summer school, “Spectral geometry”, G¨ottingen,September 9–12” Bên cạnh đó, tác giả cũng đã tham khảo một số tài liệu khácđược liệt kê trong mục Tài liệu tham khảo Tuy vậy, các kết quả được trình bàytrong luận văn chưa hẳn đã phản ánh hết tầm quan trọng của bài toán ngược

về hình học phổ Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những đóng góp của cácthầy, cô và bạn đọc cho luận văn, để luận văn này có thể trở thành một tài liệutham khảo có ý nghĩa

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giảNguyễn Thị Ngân

Danh mục kí hiệu

C∞(X) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên X

Cc∞(X) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong X

D 0 (X × Y ) Không gian các hàm suy rộng trên X × Y

Hs(Rn) Không gian Sobolev cơ sở L2 trên Rn

Rn Không gian Euclid n chiều

Sµ Lớp các biểu trưng bậc µ trên Rn×Rn

S−∞ S−∞=TµSµ là không gian tất cả các biểu trưng chính quy

hoá trên Rn ×Rn

S (Rn) Không gian Schwartz các hàm giảm nhanh trên Rn

TxX Không gian tiếp xúc với X tại x

Tx∗X Không gian đối tiếp xúc của X tại x

volg(X) Thể tích của đa tạp X theo metric Riemann g tương ứng

Γ(s) Hàm Gamma Γ(s) được định nghĩa như một tích phân

xác định: Γ(s) =

∞R0

ts−1e−tdt

Ψµ(X) Không gian các toán tử giả vi phân bậc µtrên X

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết đểnghiên cứu nội dung chương sau, trong đó trọng tâm là kiến thức cơ bản về líthuyết toán tử giả vi phân, cụ thể là toán tử giả vi phân trên đa tạp

Trong bài báo rất nổi tiếng “Can one hear the shape of a drum?”, Mark Kac

đã đưa ra bài toán sau: Xét một màng hai chiều được biểu diễn bởi một miền bịchặn trong mặt phẳng với biên đủ trơn Nếu màng đó được cố định biên và đặttrong chuyển động bởi một cái dùi trống, khi đó độ dịch chuyển U theo phươngtrực giao với mặt phẳng thoả mãn phương trình sóng

∂t2U − c2∆U = 0, U |∂Ω= 0.

Ở đó,clà hằng số phụ thuộc vào chất liệu của màng Không mất tính tổng quát

ta cho c = 1 Nói riêng, điều thú vị trong trường hợp này đó là nghiệm điều hoà(“sóng đứng”) của phương trình trên có dạng

U (t, x) = u(x)eiωt

với hàm u xác định trên Ω và ω ∈ R Nghiệm điều hoà đó xác định âm cơ bản

của màng được chế tạo bởi nhà sản xuất

Thế hàm U vào phương trình sóng, ta thấy nghiệm u thoả mãn phương trình

ω2u + ∆u = 0, u |∂Ω= 0.

Nói cách khác, λ = −ω2 là một giá trị riêng của bài toán Dirichlet và u làmột hàm riêng tương ứng Như chúng ta đã biết, các giá trị riêng của bài toánDirichlet lập thành một dãy 0 > λ1≥ λ2 ≥ λ3 . tiến tới −∞

Một câu hỏi được Mark Kac đặt ra đó là có thể xác định được Ωtừ dãy các giátrị riêng (λk) bao gồm cả bội hay không, ví dụ như có thể “nghe được hình dạngcủa một cái trống hay không”

Bây giờ chúng ta biết rằng điều đó là không thể, ngay cả khi chúng ta xét miền

bị chặn bởi đường cong trơn từng khúc Tuy nhiên, chúng ta có thể biết đượcnhiều thông tin hơn về Ωtừ dãy các giá trị riêng (λk) Một kết quả cơ bản đó là

từ dãy các giá trị riêng của bài toán Dirichlet ta có thể xác định được thể tíchcủaΩ Điều đó không chỉ giới hạn trong trường hợp hai chiều, mà còn được xéttrên các miền trong Rn

Mark Kac đã nhắc lại bài toán “nghe được hình dạng của trống” với câu hỏi đượcđặt ra bởi nhà vật lí người Đức H.A Lorentz trong dịp giảng bài ở G¨ottingen.Sau đây là trích dẫn của Kac:

• Lorentz đã đưa ra năm bài giảng với nhan đề “Alte und neue Fragen derPhysik” - vấn đề cũ và mới trong Vật lí, và khi kết thúc bốn bài giảng củamình, Lorentz đã kết luận như sau: “Trên đây là những vấn đề toán học có

lẽ sẽ thu hút rất nhiều sự chú ý của các nhà toán học hiện tại Nguồn gốccủa nó là từ lí thuyết bức xạ của Jeans”

• Trong một miền với một bề mặt phản xạ tốt, có thể có dạng sóng điện

tử đứng tương tự như âm cơ bản của một cái đàn organ; chúng ta sẽ chỉ

tập trung tìm hiểu các âm cao Jeans dự đoán năng lượng trong khoảngtần số dν Cuối cùng ông ta cũng tính toán được số lượng các âm cao nằmtrong khoảng tần số từ ν đến ν + dν và làm tăng số lượng này bởi nănglượng thuộc tần số ν, và theo như định lí của cơ học thống kê, điều đótương tự với tất cả các tần số còn lại.

• Đây chính là nguồn gốc làm nảy sinh bài toán chứng minh rằng số các âm

đủ cao nằm trong khoảng từ ν đến ν + dν không phụ thuộc vào hình dạngcủa miền mà tỉ lệ với thể tích của miền Đối với một miền có dạng đơngiản, việc tính toán cụ thể có thể thực hiện được, định lí này đã được kiểmlại trong một luận văn ở Leiden Điều đó khẳng định rằng định lí vẫn đúngkhi ta xét trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn như đối với miền đaliên Những định lí tương tự vẫn đúng đối với các vật có cấu trúc tương

tự, chẳng hạn như màng, hay khối không khí

Theo phỏng đoán của Lorentz, số các âm cao của màng đang xét có biểudiễn dạng

N (λ) = X

λ k <λ

1 ∼ vol(Ω)2π λ.

Trong đó, N (λ) là số các giá trị riêng nhỏ hơn λ, vol(Ω) là diện tích của Ω

Hàm N (λ)được biết như là hàm đếm các giá trị riêng Trong luận văn này,chúng ta sẽ xét trường hợp tổng quát hơn với toán tử giả vi phân ellipticP bậcµ

trên đa tạp đóng và chứng tỏ rằng hàm đếm giá trị riêng thoả mãn luật Weyltương ứng

Sử dụng phương pháp giả vi phân, đầu tiên ta sẽ trình bày phương pháp xâydựng giải thức phụ thuộc tham số của toán tử Bước tiếp theo sẽ trình bày về

luỹ thừa phứcPs và phân tích dáng điệu củaTr(Ps) Một cách tương tự, ta cũngđịnh nghĩa toán tử nhiệt tổng quát e−tP và sau đó trình bày vết của toán tửnhiệt Với những giả thiết phù hợp trên P, chúng ta có định lí về luỹ thừa phứcnhư sau.

Định lí.Ps là toán tử giả vi phân bậc µ Re sthuộc lớp vết khi Re s < −n/µ Hàm

Đối với toán tử nhiệt, ta có định lí sau

Định lí Toán tử nhiệt e−tP với t > 0 là toán tử giả vi phân chính quy hoá và làtoán tử thuộc lớp vết Vết Tr(e−tP) có khai triển tiệm cận khi t → 0+ như sau

Nếu P được giả thiết thêm là toán tử dương và tự liên hợp, từ định lí Tauberian

ta sẽ suy ra luật Weyl

Định lí.N (λ) ∼ cpµλn/µ khi λ → ∞ với hệ số tính được tường minh từ biểu trưngchính pµ của P

Toán tử giả vi phân là một công cụ quan trọng của giải tích hiện đại Hiểunhững kiến thức cơ bản về lí thuyết toán tử giả vi phân là điều cần thiết Toán

tử giả vi phân được sử dụng nhiều trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng

và lí thuyết trường; toán tử giả vi phân là mở rộng của khái niệm toán tử vi phân,xuất phát từ việc nghiên cứu phương trình tích phân kì dị Việc nghiên cứu

toán tử giả vi phân được bắt đầu từ giữa những năm 1960 và có lẽ những bàibáo đầu tiên mà các phép toán trên toán tử giả vi phân được hoàn thiện và pháttriển là của Kohn và Nirenberg [10] Có thể nghiên cứu và tham khảo về toán

tử giả vi phân trong các tài liệu và các sách chuyên khảo của H¨ormander [7],Kumano-go [11], Shubin [15] và Taylor [16]

(d) Tính elliptic Biểu trưng p ∈ Sµ được gọi là elliptic bậc µ nếu tồn tại một

số R ≥ 0 sao cho p(x, ξ) khả nghịch với mọi (x, ξ), |ξ| ≥ R và

Đặt S = S (Rn) là không gian các hàm giảm nhanh trên Rn và S 0 =

S 0 (Rn) là không gian đối ngẫu, không gian các phân phối tuyến tính

Định nghĩa 1.4 Biến đổi Fourier của u ∈ S là hàm F u hoặc bu trên Rn đượccho bởi công thức

F u(ξ) =bu(ξ) = 1

(2π) n/2

Z

e−ixξu(x)dx.

Định nghĩa 1.5 Kí hiệu Hs(Rn) là không gian Sobolev cơ sở L2 trên Rn Đó

là không gian tất cả các phân phối suy rộng u mà biến đổi Fourier F u là mộthàm chính quy và hξisF u ∈ L 2 Trên Hs(Rn) ta trang bị chuẩn

Ví dụ 1.6 Với y ∈ Rn, hàm phân phối δy : S 3 ϕ 7→ ϕ(y) ∈ C là một phần

tử thuộc Hs(Rn) khi s < −n/2, khi đó biến đổi Fourier của δ y là hàm hằng

Định lí 1.8 Cho toán tử A : Cc∞(X) → D 0 (Y ) là tuyến tính liên tục Khi đó,tồn tại duy nhất nhân Schwartz KA ∈ D 0 (X × Y ) sao cho

hAu; vi = hKA(x, y); u ⊗ vi ,

trong đó u ∈ Cc∞(X), v ∈ Cc∞(Y ), x, y ∈Rn

Đặc biệt, toán tử K là một toán tử tích phân trên không gianM với nhân

k = k(x, y), k là hàm suy rộng trên M × M, nếu

Ku(x) =

ZM

k(x, y)u(y)dy.

Mệnh đề 1.9 Cho s > n/2 và toán tử bị chặn A : H−s(Rn) → Hs(Rn) Khi đó,

A là một toán tử tích phân với nhân liên tục kA(x, y) = hAδ y , δ x i, x, y ∈Rn.Nếu A : H−s−k(Rn) → Hs+k(Rn) liên tục thì nhân là Ck

Cặp đối ngẫu hAδy, δxicho biết các tính chất của toán tử A Không khó đểkiểm tra toán tử A được trang bị nhân Chú ý rằng DxαDβykA(x, y) là nhân của

(−1)|β|DαADβ

Điều đó đôi khi hữu ích để xét các không gian Sobolev có trọng số

Định nghĩa 1.10 Với s1, s2∈R, đặt Hs1 ,s 2 (Rn) = hxi−s2 Hs1 (Rn).

Định lí 1.11 (a) H0(Rn) = H0,0(Rn) = L2 và Hs1 ,s 2 (Rn) ⊆ Ht1 ,t 2 (Rn) khi

s1 ≥ t1, s2 ≥ t2

(b) Nhúng Hs1 ,s 2 (Rn) ,→ Ht1 ,t 2 (Rn) là nhúng compact khi s1 > t1, s2 > t2 Đây

là trường hợp đặc biệt của định lí Rellich

(c) Nhúng Hs1 ,s 2 (Rn) ,→ Ht1 ,t 2 (Rn) là lớp vết khi s1− t1> n, s2− t2> n

Định nghĩa 1.12 Với biểu trưng p ∈ Sµ, ta định nghĩa toán tử giả vi phân

op(p) liên kết với toán tử giả vi phân p là

u là biến đổi Fourier của u:

Một chứng minh đơn giản về tính liên tục là toán tử bậc 0 trong khônggian Lp (với ý (b) có thể xem chứng minh trong sách của Hwang [8]) Chú ýrằng định lí được mở rộng cho không gian Sobolev có trọng số [13].

Định lí 1.14 (a) Cho p ∈ Sµ và q ∈ Sν Khi đó tồn tại một phần tử r ∈ Sµ+ν

thoả mãn

op(p) ◦ op(q) = op(r),

và r có khai triển tiệm cận

r(x, ξ) ∼ X

α

1 α!∂

α

ξ p(x, ξ)Dαxq(x, ξ).

Kí hiệu r = p#q và gọi là tích Leibniz của p và q Tương ứng có ánh xạ

Sµ× Sν → Sµ+ν, (p, q) 7→ r là ánh xạ liên tục

(b) Cho p ∈ Sµ Khi đó liên hợp hình thức (op(p))∗ của op(p) làop(q) với q ∈ Sµ

q có khai triển tiệm cận

là phần tử thuộc S−∞ Biểu trưng q được gọi là parametrix của p

Chứng minh Đầu tiên, ta lấy một biểu trưng q 0 ∈ S−µ trùng với p(x, ξ)−1, |ξ| ≥

R + 1; và nó có dạng χ(ξ)p(x, ξ)−1 với hàm χ có bậc 0 Khi đó, p#q0 = 1 − s1 với

s1 là phần tử bậc −1 Đặt q1 = q0#s1, q2 = q0#s1#s1 và cứ tiếp tục như vậy ta

sẽ nhận được một dãy các phần tử qj ∈ Sµ−j thoả mãn

p#

NX0

qj− 1 ∈ Sµ−N.

Khi đó theo Định lí 1.2 tồn tại một phần tử q với q ∼ qj thoả mãn p#q − 1

thuộc S−∞ Một cách tương tự, ta cũng xây dựng được một phần tửq0 thoả mãn

q0#p − 1 ∈ S−∞ Do đó ta cũng có q − q0 ∈ S−∞

Cho X là một đa tạp đóng (hay đa tạp compact không biên) Bởi Hs(X)

được định nghĩa là không gian các phân phối trên X, trong toạ độ địa phương

U ∈Rn, các phân phối đó thuộcHs(Rn)sau khi nhân với một hàm trongCc∞(U ).Định lí sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.11:

Định lí 1.16 (a) H0(X) = L2(X) và Hs(X) ⊆ Ht(X) khi s ≥ t

(b) Nhúng Hs(X) ,→ Ht(X) là nhúng compact khi s > t

(c) Nhúng Hs(X) ,→ Ht(X) là lớp vết khi s − t > n

Định nghĩa 1.17 Toán tử P : C∞(X) → C∞(X) được gọi là toán tử giả

vi phân bậc µ trên X, miễn là mọi hàm trơn φ, ψ với giá trong một lân cận toạ

độ địa phương đơn với toạ độκ, kéo lùi củaφP ψtheoκlà một toán tử giả vi phântrên Rn với biểu trưng trong Sµ

P được gọi là toán tử giả vi phân cổ điển nếu tất cả các biểu trưng địa phươngcủaP đều là cổ điển Kí hiệu Ψµ(X)là không gian các toán tử giả vi phân bậcµ

trên X và Ψµcl(X) là không gian con các toán tử cổ điển

Cho φ, ψ ≡ 1 trong một lân cận của điểm x ∈ X Khi đó, P được gọi là ellipticgần x nếu biểu trưng bất kì của toán tử kéo lùi của φP ψ theo κ thoả mãn điềukiện elliptic trong Định nghĩa 1.1(d) gần nghịch ảnh của x theo κ P được gọi

là elliptic nếu nó elliptic gần mọi x ∈ X

Chú ý 1.18 (a) Nếu P là toán tử cổ điển thì ta liên kết với P một biểu trưngchính thuần nhấtσψ(P ) Đó là một hàm thuần nhất bậcµtrên T∗X \ {0} -phân thớ đối tiếp xúc đã bỏ đi vectơ 0, σψ(P ) có thể nhận được từ biểutrưng chính của biểu trưng địa phương hoá như trong phần cuối của Địnhnghĩa 1.17 Đầu tiên nó được định nghĩa cho |ξ| đủ lớn và sẽ được mở rộngbởi tính thuần nhất cho ξ 6= 0.

(b) Toán tử giả vi phân tác động trên các thớ của phân thớ vectơ có thể đượcđịnh nghĩa một cách tương tự Về địa phương, các toán tử đó được cho bởi

ma trận của các biểu trưng; và được gọi là cổ điển nếu tất cả các phần tử

là biểu trưng cổ điển Biểu trưng chính của một toán tử giả vi phân cổ điển

P : C∞(X; E1) → C∞(X; E2) bậc µ là một tự đồng cấu pµ : π∗E1 → π∗E2,trong đóπ∗ là kéo lùi của phân thớ vectơ dưới phép chiếuπ : T∗X \{0} → X.Định nghĩa 1.19 Toán tử giả vi phânP được gọi là toán tử chính quy hoá, haytoán tử trơn nếu như nó có thể được biểu diễn qua các biểu trưng địa phươngtrong S−∞

Bổ đề 1.20 Toán tử giả vi phân P là toán tử chính quy hoá khi và chỉ khiP cóthể được viết như một toán tử tích phân với nhân C∞

Chứng minh Từ Mệnh đề 1.9 suy ra P có một nhân trơn Từ công thức (1.1)suy ra trong toạ độ địa phương, ta có thể viết

kP(x, y) = (2π)−n

Z

ei(x−y)ξp(x, ξ)dξ. (1.2)Ngược lại, một công thức tương ứng chứng tỏ rằng mọi toán tử tích phân vớinhân trơn có một biểu trưng trong S−∞

Bổ đề 1.21 Cho P là một toán tử giả vi phân và ϕ, ψ ∈ C∞(X) có giá rời rạc.Khi đó ϕP ψ là toán tử chính quy hoá

Chứng minh Nếu trong phương trình 1.2, p(x, ξ) được thay bởi

ϕ(x)p(x, ξ)ψ(y) thì suy ra với bất kì p ∈ Sµ, áp dụng công thức tích phân từngphần ta có điều phải chứng minh

Tính chất này của toán tử giả vi phân được gọi là giả địa phương local)

(pseudo-Định lí 1.22 Cho P là một toán tử giả vi phân cổ điển bậc µ trên một đa tạpđóng

(a) Với mọi s ∈R, toán tử P mở rộng lên một toán tử bị chặn

P : Hs(X) → Hs−µ(X). (1.3)

(b) Nếu P trong (1.3) là một toán tử Fredholm với s nào đó thì P là toán tửFredholm với mọi s, và khi đó tồn tại toán tử Fredholm nghịch đảo là mộttoán tử giả vi phân bậc −µ Cụ thể, nếu biểu trưng chính của P khả nghịchvới mọi (x, ξ) ∈ T∗X \ {0}, hay nếu P là elliptic

(c) Nếu P trong (1.3) khả nghịch với s nào đó thì P khả nghịch với mọi s.Nghịch đảo của P là một toán tử giả vi phân bậc −µ

Chú ý 1.23 Chìa khoá chứng minh Định lí 1.22(b) là cấu trúc parametrix địaphương Parametrix địa phương được định nghĩa là một toán tử giả vi phân Q

bậc −µ thoả mãn

P Q − I =: R1 và QP − I =: R2

là các toán tử bậc −∞ (c) được suy ra từ (b) với chú ý rằng nhân và đối nhâncủa một toán tử giả vi phân elliptic bao gồm các hàm trơn và vì thế không phụthuộc vào s

Chú ý 1.24 Toán tử giả vi phân bậc 0 có dạng một đại số con Fréchet của

L (L 2 (X)) và tổng quát hơn là L (H s ) với mọi s ∈ R Thực tế, đại số này chứa

cả nghịch đảo của toán tử đó (nếu tồn tại) và được gọi là “bất biến phổ”, kếtquả này có một số hệ quả rất thú vị (có thể xem trong [4]) Nó có thể mở rộngđến nhiều lớp của không gian có trọng số trên Rn

Định lí 1.25 Cho P là toán tử elliptic, f ∈ Hs(X)và cho u ∈ H−N(X),với N ∈

R tuỳ ý, là nghiệm của phương trình P u = f Khi đó u ∈ Hs+µ(X)

Chứng minh Vì P là toán tử elliptic nên tồn tại một parametrix Q ∈ S−µ(X)

thoả mãn

P Q = I + R1 và QP = I + R2,

trong đó R1, R2 ∈ Ψ−∞(X) Từ phương trình P u = f, f ∈ Hs(X) suy ra QP u =

Qf, hay (I + R2)u = Qf Suy ra u = −R2u + Qf Vì R2 trơn nên R2u ∈ H∞(X),

áp dụng định lí nhúng Sobolev suy ra R2u ∈ C∞(X); lại có Qf ∈ Hs+µ(X) Vậy

u ∈ Hs+µ(X)

Chú ý 1.26 Tính chất trong Định lí 1.25 được gọi là tính chính quy elliptic.Định lí 1.27 Cho P là một toán tử giả vi phân bậc < −n Khi đó P là mộttoán tử tích phân với nhân liên tục là hàm kP được cho bởi (1.2) Hơn nữa, P làtoán tử lớp vết trên L2(X) và vết của toán tử được cho bởi công thức

Tr(P ) =

ZX

kP(x, x)dx.

Kết luận chương 1

Nội dung chương 1 giới thiệu bài toán ngược về hình học phổ xuất phát

từ bài báo rất nổi tiếng: “Can one hear the shape of a drum?” Tiếp theo, chúngtôi trình bày những kiến thức cơ bản về lí thuyết toán tử giả vi phân, cụ thể làtoán tử giả vi phân trên đa tạp Để trình bày nội dung chương 1, chúng tôi đãtham khảo tài liệu [14], ngoài ra còn có các tài liệu [3, 7, 10, 11, 15, 16]

Chương 2

Khai triển vết nhiệt

và luật Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu toán tử nhiệt suy rộng và luỹ thừaphức dựa trên parametrix phụ thuộc tham số Tiếp theo sẽ trình bày các định líchứng tỏ toán tử nhiệt là toán tử lớp vết, vết của luỹ thừa phức có khai triểntiệm cận Để chứng minh khai triển tiệm cận của toán tử nhiệt, chúng tôi phátbiểu mối liên hệ giữa luỹ thừa phức và toán tử nhiệt Cuối cùng chúng tôi phátbiểu luật Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami và đưa rahai ví dụ minh hoạ cho luật Weyl

và toán tử nhiệt

Cho P là toán tử không bị chặn trong không gian Hilbert H

Định nghĩa 2.1 TiaRθ = {reiθ ∈C: r ≥ 0}được gọi là tia tăng trưởng cực tiểu

củaP nếu Rθ và tập phổ của P không giao nhau, và khi đó tồn tại một hằng số

ZC

λs(P − λ)−1dλ, (2.1)

ở đó,C là chu tuyến trong C từ∞đếnδ0eiθ dọc theo Rθ, theo chiều kim đồng hồxung quanh đường tròn {|z| = δ0} đếnδ0eiθ và trở về ∞ dọc theo Rθ Tích phântrên hội tụ khi |λs| ≤ c s |λ|s

Điều cốt yếu ở đây đó là trên tia đi vào, argument của λ được xét là θ, trongkhi trên tia đi ra là θ − 2π Do đó, thành phần dọc theo tia không bị triệt tiêutrừ khi s là một số nguyên âm

Chú ý 2.2 Biểu thức

f (P ) = i

2π

ZC

f (λ)(P − λ)−1dλ (2.2)

được gọi là tích phân Dunford đối với f (P )

Ở đó, chu tuyến C cô lập tập phổ của P và hàm f là hàm chỉnh hình trên tậpphổ của P

Nhắc lại rằng, định lí Cauchy trong giải tích phức có nội dung như sau: Với mộthàm chỉnh hình trên miền liên thông đơn và một chu tuyếnC bao quanhz, ta có

f (z) = 1

2πi

ZC

f (ω)

ω − z dω.

Chú ý rằng, để đơn giản ta xét (P − λ)−1 thay vì xét (λ − P )−1.

Định lí 2.3 Cho s, t ∈ C với phần thực âm.

(a) s 7→ P s là họ giải tích các toán tử bị chặn;

(b) PsPt= Ps+t;

(c) P−1= P−1 là nghịch đảo của P

Chứng minh (a) Lấy vi phân dưới dấu tích phân

(b) Gọi C 0 là chu tuyến con của C và đóng trong C Bởi định lí Cauchy ta cóthể thay chu tuyến C bởi C 0 Khi đó

PsPt = − 1

4π 2Z

C 0



ZC

(P − λ)−1(P − µ)−1λsµtdµ



dλ

= − 14π 2Z

C 0

ZC

λsµt

λ − µ (P − λ)

−1 − (P − µ)−1
dµdλ

= i2π

Z

C 0

λs+t(P − λ)−1dλ − 1

4π 2ZC

Tích phân cuối triệt tiêu khi µ nằm ngoài C 0

(c) Với một số nguyên âm, tích phân trên chu tuyến được quy về tích phântrên đường tròn bán kính δ0 ngược chiều kim đồng hồ Gọi C là chu tuyếnđối, chúng ta có thể viết lại (2.1) trong trường hợp s = −1 như sau

P−1= 1

2πi

ZC

λ−1(P − λ)−1dλ

= 12πi

ZC

λ−1λ−1P−1(P−1− λ−1)−1dλ

= − 12πi

ZC

(P−1− µ)−1dµP−1

vớiP−1là nghịch đảo củaP Bây giờ ta giả sử rằng phổ củaP−1nằm trongC.

Áp dụng công thức tích phân Dunford (2.2) đối với toán tử bị chặn P−1

Thay vì chỉ sử dụng giả thiết tồn tại tia tăng trưởng cực tiểu, chúng ta giả

sử rằng P − λ khả nghịch với mọi λ thuộc hình quạt

Λ = Λθ = {reiϕ ∈C: r ≥ 0 và |ϕ| ≥ θ}, với θ < π

và

k(P − λ)−1k ≤ chλi−1, λ ∈ Λ, (2.4)với c là hằng số phù hợp

Với t > 0, chúng ta định nghĩa toán tử nhiệt

e−tP = i

2π

ZC

e−tλ(P − λ)−1dλ, (2.5)

ở đó, C là chu tuyến từ ∞ đến δ0eiθ dọc theo tia Rθ, theo chiều kim đồng hồxuất phát trên đường tròn {|z| = δ0} đến δ0e−iθ và trở về ∞ dọc theo R−θ.Tích phân trên hội tụ, vì e−λt phân rã theo cấp số mũ dọc theo tia Rθ Chú ýrằng đây là một trường hợp quan trọng vì tia R nằm trên nửa mặt phẳng phải

Chú ý 2.4 Tên toán tử “nhiệt” thực tế xuất phát bởi e−tPu0 là nghiệm củaphương trình u t + P u = 0, u(0) = u 0, và phương trình này là phương trình truyềnnhiệt khi P = −∆.

Định lí 2.5 (a) t 7→ e−tP là một hàm trơn trên R>0 với giá trị trong khônggian các toán tử bị chặn

(b) Cho s, t > 0 Khi đó, e−sPe−tP = e−(s+t)P

Chứng minh (a) Lấy vi phân dưới dấu tích phân

(b) Lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lí 2.3 Gọi C 0 là chutuyến con của C và đóng trong C Bởi định lí Cauchy ta có thể thay chutuyến C bởi C 0 Khi đó

(P − λ)−1(P − µ)−1e−sλe−tµdµ



dλ

= − 14π 2Z

C 0

ZC

e−sλe−tµ

λ − µ (P − λ)

−1 − (P − µ)−1
dµdλ

= i2π

ZC

e−(s+t)λ(P − λ)−1dλ

− 14π 2ZC

Tích phân cuối triệt tiêu khi µ nằm ngoài C 0

Như ở trên, chúng ta đã giả sử rằng tập phổ của toán tử P là toán tửkhông bị chặn trên một không gian Hilbert Như một hệ quả, chúng ta có thểchi tiết hoá miền của P Tổng quát, chúng ta có nhiều trường hợp, nhưng ở đây

chỉ tập trung vào trường hợp P là một toán tử giả vi phân elliptic được xét nhưmột toán tử không bị chặn trên L2(X).

Định nghĩa 2.6 ChoA : C∞(X) → C∞(X)là một toán tử bất kì Miền cực tiểu

D min ta định nghĩa là miền của bao đóng của A, trong khi D max là tập tất cảcác u ∈ L2(X) sao cho Au ∈ L2(X)

Rõ ràng, D min là miền của mở rộng đóng nhỏ nhất của A và D max là miềncủa mở rộng đóng lớn nhất của A

Định lí 2.7 Cho P là một toán tử giả vi phân elliptic bậc µ > 0 Khi đó,

D min, suy ra D min = D max = Hµ(X), định lí được chứng minh

Định lí 2.8 Cho P là một toán tử giả vi phân bậc µ > 0 Khi đó, hoặc phổ L2

củaP là toàn bộ C, hoặc bao gồm đếm được các giá trị riêng không tính điểm tụ.Chứng minh Nếu (P − λ)là khả nghịch thì với λ bất kì,

(P − λ)−1: L2(X) → D(P ) = H µ (X) ,→ L2(X)

là compact Suy ra tập phổ của (P − λ)−1 là tập rời rạc các giá trị riêng không

có điểm tụ, nếu có thì chỉ có thể là điểm 0 Từ những giá trị phổ của (P − λ)

là nghịch đảo của các phần tử trong tập phổ của (P − λ)−1 ta suy ra điều phảichứng minh

2.1.4 Lược đồ

Trong bước đầu tiên, chúng ta sẽ thấy tập giải có thể được thay thế bởimột parametrix phụ thuộc tham số với một biểu trưng cổ điển có tính thuầnnhất đặc biệt Đó là bước quyết định để xây dựng cả Ps và e−tP

Chúng ta thấy rằng, Ps là toán tử giả vi phân bậc µ Re s, ở đó µ là bậc của P

và e−tP là toán tử trơn Theo Định lí 1.16, ta có thể lấy được vết của toán tử

e−tP và toán tử As với Re s < −n/µ

Từ khai triển tiệm cận của biểu trưng parametrix, chúng ta có thể suy ra cấu trúcphân hình của vết của Ps và khai triển tiệm cận của vết của e−tP (dưới nhữnggiả thiết, điều kiện phù hợp trên P và trên biểu trưng của chúng)

và toán tử nhiệt

Cho X là một đa tạp đóng Từ đây, chúng ta sẽ cố định một toán tử giả

vi phân cổ điển P : C∞(X, E) → C∞(X, E) bậc µ, tác động trên các thớ củaphân thớ vectơ E trên X

Trong một toạ độ lân cận chung cố địnhU, chúng ta định nghĩa biểu trưng củaP

bởi p với khai triển tiệm cận p ∼ Pp µ−j và p µ−j (x, ξ) thuần nhất bậc µ − j với

|ξ| ≤ 1 Chúng ta sẽ xét bất biến thuần nhất phµ−j với mọi ξ 6= 0:

phµ(x, ξ) = |ξ|µphµ(x, ξ/|ξ|). (2.6)Chú ý rằng biểu trưng và các thành phần nhận giá trị trong ma trận bậc hai.Tiếp theo, chúng ta cố định một tia Rθ = {eiθ : r ≥ 0}như trên Đây là điều kiện

đủ để xây dựng luỹ thừa phức, ở đó sự tồn tại của tập giải chỉ cần yêu cầu trêntia Rθ Đối với sự nghiên cứu toán tử nhiệt, chúng ta sẽ cho λ thay đổi trongmột hình quạt.

Giả thiết Viết λ = ηµ với η = reiθ/µ ∈ Rθ/µ, r ≥ 0 Khi đó, tồn tại CR ≥ 0 saocho p(x, ξ) − ηµ là khả nghịch với |ξ| + |η| ≥ CR và thoả mãn

|(p(x, ξ) − ηµ)−1| ≤ hξ, ηi−µ. (2.7)Tính chất này thường được gọi là tính elliptic phụ thuộc tham số

Bổ đề 2.9 ( [6, lem 1.5.4]) Tương đương (2.7) chúng ta có các điều sau:

(i) phµ(x, ξ) không có giá trị riêng trên Rθ với ξ 6= 0, hoặc

(ii) pµ(x, ξ) không có giá trị riêng trên Rθ với |ξ| = 1

Chú ý 2.10 Từ tính compact của X, chúng ta có thể định nghĩa lại p µ nhưsau: pµ không có giá trị riêng trên Rθ với mọi (x, ξ) Cho L = max{|pµ(x, ξ)| :

Tiếp theo, chúng ta định nghĩa dãy các biểu trưng q−µ−j = q−µ−j(x, ξ, η)

với x ∈ U, ξ ∈Rn, η ∈ Rθ/µ, j = 0, 1, , bởi

q−µ(x, ξ, η) = (p µ (x, ξ) − ηµ)−1, (2.10)