tóm tắt luận văn một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số

Lý do chọn đề tài Vào những năm 70 của thế kỷ 20, một số nhà toán học đã nghiên cứu về giải các phương trình và hệ phương trình dạng: y Fx= 1 trong đó F là một toán tử từ một tập X đến

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào những năm 70 của thế kỷ 20, một số nhà toán học đã nghiên cứu

về giải các phương trình và hệ phương trình dạng:

y

Fx= (1) trong đó F là một toán tử từ một tập X đến một tập Y, x∈X,y∈Y

Để thuận lợi trong nghiên cứu thì các nhà toán học đã lấy X , Y là các không gian Banach Trường hợp đặc biệt của (1) là:

0

=

Fx (2)

Phạm vi ứng dụng của lý thuyết toán tử là rất rộng lớn Phạm vi ứng dụng này càng rộng và càng có hiệu lực thực tiễn trước sự phát triển nhanh chóng của máy tính điện tử với sự phát triển mạnh mẽ các công trình nghiên cứu xấp xỉ các phương trình dạng (1)

Với các hiểu biết ban đầu và qua tham khảo một số tài liệu liên quan, tôi thấy việc giải các phương trình, hệ phương trình dạng (2) là phù hợp với năng lực của tôi Có nhiều phương pháp giải, song phương pháp lặp là phương pháp có thể lập trình trên máy tính điện tử Vì vậy tôi đã

chọn đề tài: “một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến”

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến, ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng máy tính điện

tử để giải Thảo luận chung về các phương pháp lặp giải phương trình và

hệ phương trình phi tuyến Đánh giá về những nghiên cứu khoa học của mình Nêu ra những đóng góp của đề tài Đề xuất các kiến nghị

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết vào các bài toán cụ thể có sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, áp dụng lý thuyết vào giải toán số

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Hệ thống hoá các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Lập trình các bài toán trên máy tính điện tử bằng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Không gian véc tơ

1.2 Các không gian quan trọng.

1.3 Đạo hàm Gateaux và đạo hàm Frechet.

Định nghĩa 1: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, U là một tập con

mở của X , ánh xạ F:U →Y Khi đó:

(i) Ánh xạ tuyến tính liên tục T:X →Y là đạo hàm Gateaux của F tại

U

x0 ∈ nếu và chỉ nếu:

0 )

( ) (

1

∈

∀

i X

τ

τ

(ii) Ánh xạ tuyến tính liên tục T :X →Y là đạo hàm Frechet của F tại x0 ∈U

nếu và chỉ nếu:

: 1 ( 0 ) ( 0 ) 0

0

=

−

− +

∈

∀

u m i X u

u (iii) Ánh xạ tuyến tính liên tục T:X →Y là đạo hàm Gateaux yếu của F tại

U

x0 ∈ nếu và chỉ nếu:

1 :

0

*

∀

∈

∀

i X x X

τ

τ

(4i) Ánh xạ tuyến tính liên tục T:X →Y là đạo hàm Frechet yếu của F tại

U

x0 ∈ nếu và chỉ nếu:

1

0

*

∀

u m i X

x

u

Các đạo hàm được định nghĩa trên đây đều được kí hiệu là T = F' (x0 )

Định nghĩa 2: Cho X1 , ,X n, Y; n≥ 2 , là các không gian định chuẩn, ánh xạ:

Y X

X

F: 1 × × n → , với mọi

n

x

x

x= ( 1 , , ) ∈ 1 × × , ta cố định:

n

n

X X

x x





































= , , 0 1

1 0 0

, xét ánh xạ: F i :X i →Y,i= 1 ,n

































































n i

i

i i

1 0 1 0 1 0

, , ,

, , , )

(

Nếu F i có đạo hàm Frechet tại điểm xi









 0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng Frechet của F theo x i tại điểm 0

x Ta viết: i i

i x F x x

F













=













∂

' ) (

Khi X1 = = X n =Y =R thì đạo hàm riêng Frechet này trùng với đạo hàm riêng thông thường

Ví dụ 1: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, F:X →Y là ánh xạ hằng (tức là ∀x∈X : Fx=b=const, b∈Y) Khi đó ∀x∈X ⇒F'x= θ∧ (ánh xạ không)

Ví dụ 2: f :R→R là hàm số thực, với x0 ∈R ta có f ' (x0 ) là đạo hàm của f

tại x0 theo nghĩa thông thường

Ví dụ 3: Giả sử ánh xạ: F:R n →R,n≥ 2

x= (x1, ,x n)  Fx= F(x1, ,x n)

có các đạo hàm riêng theo x , ,1 x n liên tục Khi đó mọi n

n R x x

x= ( 1, , ) ∈ ta có:









∂

∂

∂

∂

= ( ), , ( ) )

( '

1

x x

F x

x

F x

F

n

và

∑

= ∂

∂

=

⇒

∈

=

j

j j

n

x

F h

x F R h h h

1

1 , , ) ' ( ) (

Ví dụ 4: Nếu mỗi ánh xạ

) 2 ( , 1 , 2

; :

) , , ( ) (x = f x1 x R →R n≥ i= m m≥

n i

i

có đạo hàm tại x thì ánh xạ:

( ( ), , ( ))

: ) , , (

1

1

x f x f x F

R R f

f F

m

m n

m

=

→

=

là hàm véc tơ nhiều biến có đạo hàm tại x và:





















































∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

















∂

∂

=





















=

×

n

m m

m

n n

n m j i

m

x

f x

f x f

x

f x

f x f

x

f x

f x f

x x

f x

f

x f x

F

















2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

1

) ( )

( '

) ( ' )

(





















=

⇒

∈

=

∀

h x f

h x f h x F R h

h

h

m

n n

) ( '

) ( ' )

( ' )

, ,

(

1

Định lí hàm số ngược: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, U là tập con mở trong X , ánh xạ F:U →Y là phép đồng phôi từ U vào tập con mở

Y

U

F

V = ( ) ⊂ Giả sử F có đạo hàm Frechet tại điểm x0 ∈U và F' (x0 ) :X →Y

là phép đồng phôi tuyến tính Khi đó ánh xạ ngược F− 1 :V →X có đạo hàm Frechet tại điểm y0 =F x0 ∈V và

1 0 0

1 0

1 ) ' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) (F− y = F− Fx =F x −

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 Phương pháp Newton và một số biến thể của nó.

2.1.1 Phương pháp dây cung song song.

Cho f :U ⊂R→R là một hàm số thực một biến có một nghiệm x*, ta thay giá trị của f tại một xấp xỉ x0 của x* bởi một hàm tuyến tính:

) ( ) (

)

(x x x0 f x0

với độ lệch α ≠ 0 thích hợp, sau đó lấy nghiệm x1 của l làm một xấp xỉ mới của x* Lặp lại cách làm này với α cố định, ta có phương pháp lặp:

x k+ 1 = x k − α − 1f (x k), k = 0 , 1 , (2.1.1)

gọi là phương pháp dây cung song song trong không gian một chiều.

Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F:D⊂R n →R n trong không gian n chiều,

2

≥

n , có nghiệm x*, có ma trận A không suy biến, thay α = A không đổi, thay giá trị của F

tại một xấp xỉ x k của x* bởi hàm afin: k k

k x A x x F x

L = ( − ) + , đặt x k+ 1 là nghiệm duy nhất của L k x= 0

Ta có phương pháp dây cung song song trong không gian n chiều

x k+ 1 = x k −A− 1F x k, k = 0 , 1 , (2.1.2)

Về mặt hình học, x k+ 1 chính là giao điểm của n siêu phẳng:

( ) ( ) 0 ; 1 , ,

1

n i

x f x x

i n

j

k j j

∑

với siêu phẳng x= 0 trong R n+ 1

Để áp dụng phương pháp dây cung song song thì điều quan trọng là phải chọn ma trận A thích hợp Ta giới thiệu một vài cách chọn sau đây:

Đối với (2.1.2) ta chọn A=F' (x0 ), với F ' x( ) là đạo hàm Gato của F

tại x , khi đó (2.1.2) là phương pháp Newton cải biên:

x k+ 1 = x k −F' (x0 ) − 1F x k, k = 0 , 1 , (2.1.3)

của F Ví dụ:

F x= A x−G x (2.1.4) với A là ma trận không suy biến nào đó, G là một hàm phi tuyến, thì ta có

phương pháp Picard:

x k+ 1 = A− 1G x k, k = 0 , 1 , (2.1.5)

địa phương Nghĩa là khi x0 đủ gần tới nghiệm x* của F x= 0 thì chắc chắn

ta có: k i→m∞ x k = x*

Khi F' (x* ) tồn tại thì điều kiện cần và đủ để (2.1.2) hội tụ địa phương là:

σ = ρ(I −A− 1F' (x* ))< 1 (2.1.6)

ρ biểu thị bán kính phổ của ma trận Do x* chưa biết nên khó chọn trước được ma trận A để có (2.1.6), trong đó cách chọn lý tưởng vẫn là A=F' (x* )

Từ đó buộc ta phải đi xét các quá trình lặp:

,

1 , 0 ,

1

k k k

với ' ( k)

k F x

A = được thay đổi từ bước nọ đến bước kia sao

cho: i m A k F'(x*)

k

=

∞

→

2.1.2 Phương pháp Newton.

Cho f :U ⊂R→R là hàm số thực một biến có một nghiệm x*, quá trình lặp:

,

1 , 0 ),

( ) (

x k k k k (2.1.7)

là phương pháp Newton trong không gian một chiều.

Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F:D⊂R n →R n trong không gian n chiều,

2

≥

n , có nghiệm x*, bằng cách thay f ' (x k) trong (2.1.7) bằng đạo hàm Gato

)

(

' x k

F , ta có phương pháp Newton trong không gian n chiều:

x k+ 1 = x k −F' (x k) − 1F x k, k = 0 , 1 , (2.1.8) Bước lặp từ x k đến x k+ 1 ở (2.1.8) được mô tả hình học là: Mỗi thành phần f i của F được xấp xỉ bởi hàm afin:

) ( ) )(

( ' )

i k k

i x x x f x f

x

L = − + (2.1.9)

mà hàm afin này mô tả siêu phẳng tiếp xúc với f i tại x k, sau đó lấy x k+ 1 là giao điểm của n siêu phẳng (2.1.9) với siêu phẳng x= 0 trong R n+ 1

Công thức (2.1.8) là công thức tổng quát của phương pháp Newton

từ một chiều đến n chiều

mà cũng có điều kiện khi cho n= 1 thì nó trở thành (2.1.7), chẳng hạn như khi ta xét quá trình lặp:

,

1 , 0

; ) 1 ( )

(

x k k k k k (2.1.10) với G:R n →R n là ánh xạ tuỳ ý nào đó

Tầm quan trọng của phép lặp Newton (2.1.8) dựa trên cơ sở là: từ những điều kiện đã cho đối với F , bất đẳng thức dạng:

x k+ 1 −x* ≤c x k −x* 2 (2.1.11) luôn thoả mãn, miễn là các x k đủ gần với nghiệm x*

Ta có thể thấy rằng bất đẳng thức (2.1.11) có được là do phép lấy đạo hàm sau đây của phương pháp Newton:

Nếu F có đạo hàm Frechet tại x k thì:

) (

) )(

( '

0 =F x* =F x k +F x k x* −x k +R x* −x k (2.1.12)

ở đây: ( ) 0

0

=

h R m

i

h

Từ đó nếu x k gần với nghiệm x* thì hiển nhiên số hạng R(x* −x k) giảm đi

và xấp xỉ hiệu x* −x k bằng nghiệm h của hệ tuyến tính:

F' (x k)h= −F x k (2.1.13)

Hay nói cách khác,

k k

k k

k x h x F x F x

x +1 = + = − ' ( )−1 được lấy là một xấp xỉ mới của x*

Nếu F '' bị chặn trong một lân cận của x* thì ta có:

2

*

* )

R k − ≤ α k −

và giả sử F' (x* ) không suy biến từ đó dẫn tới đánh giá (2.1.11)

Nếu ta khai triển G theo F x k, ta có:

= +

−

=

* G G F x k G F x k F x k R F x k

x

=x k −F' (x k)−1F x k +R∧(F x k) (2.1.14)

2.1.3 Một số biến thể của phương pháp Newton.

Hai phép xấp xỉ được sử dụng để tránh tính F ' x( ) đơn giản nhất là xấp xỉ các đạo hàm riêng ∂j f i (x) bằng các tỷ sai phân:

















−







=

=

=

1

1 1

1 )

k

k k i i

j

k

k k i i

j i

h

x

f (2.1.15) Và:

( ) 1 [ f (x h e ) f (x)]

h x

j i

j i

∂ (2.1.16) trong đó h j là các tham số phân biệt và e j là véc tơ toạ độ thứ j

Biến thể 1: Tổng quát, cho h∈R p là một véc tơ tham số, ∆ j ( h x, ) là các xấp

xỉ khác nhau của ∂j f i (x) với tính chất: mỗi khi ∂j f i (x) tồn tại thì với

.

,

1

,j n

i = ta có:

0 ( , ) ( )

x f h

x m

h ∆ = ∂

→ (2.1.17) Khi đó, với ma trận sai số:

J(x,h) =(∆ j(x,h)) (2.1.18) thì quá trình lặp:

x k+ 1 =x k −J(x k,h k) − 1F x k; k = 0 , 1 , (2.1.19)

được gọi là phương pháp Newton rời rạc Các véc tơ tham số h k ∈R p

Ta cần phải có k i→m∞ h k =0

Quy tắc “làm giảm chuẩn” :

,

1 , 0

;

x

(2.1.20) Phương pháp Newton không thoả mãn quy tắc (2.1.20)

Biến thể 2:

x + 1 = x − F' (x k) − 1F x k; k = 0 , 1 ,

k k

với các hệ số ωk được chọn sao cho (2.1.20) thoả mãn

Biến thể 3:

x + 1 =x −[F' (x ) + I ]−1F x k; k = 0 , 1 ,

k k k

k λ (2.1.22) với λk là các tham số được chọn sao cho F' (x k) + λk I không suy biến nếu bản thân F' (x k) suy biến

Biến thể 4: Thỉnh thoảng ta phải tìm lại biểu thức F ' x( ) và phép lặp là:

x k+ 1 =x k −F' (x p(k) ) − 1F x k; k = 0 , 1 , (2.1.23) với p (k) là một số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng k

2.1.4 Chú ý và nhận xét

2.2 Phương pháp cát tuyến.

2.2.1 Phương pháp cát tuyến tổng quát.

Xét phương pháp Newton rời rạc trong không gian một chiều:

,

1 , 0

; ) ( ) ( )









−

=

−

h

x f h x f x

k

k k

k k

Hai trường hợp đặc biệt và quan trọng của (2.2.1) là:

Phương pháp lặp có dạng:

,

1 , 0

; ) ( ) ( )











−

−

−

=

−

x x

x f x f x

k

k k

trong đó h k =x−x k, với x cố định

Phương pháp cát tuyến:

,

1 , 0

; ) ( ) ( )

1

1











−

−

−

=

−

−

−

x x

x f x

f x

k k

k k

k

trong đó h k =x k− 1 −x k

Ta thấy quá trình lặp kế tiếp x k+ 1 của (2.2.1) chính là nghiệm của phương trình tuyến tính:

( ) ( ) 0 )

( ) (

)









k

k k

k

x f x x h

x f h x f x l

Với l được xét theo hai cách khác nhau:

( ) ' ( k ( k) ( k)

T x f x x x f x

k

k h

x +

2.2.2 Định nghĩa: n+ 1 điểm tuỳ ý x0 ,x1 , ,x n trong R n được gọi là ở

vị trí đầy đủ nếu các véc tơ x0 −x j; j= 1 ,n. độc lập tuyến tính

2.2.3 Định lý: Cho x0 ,x1 , ,x n là n+ 1 điểm tuỳ ý trong R n Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương:

(a) x0 ,x1 , ,x n ở vị trí đầy đủ

(b) Với j bất kỳ, 0 ≤ j≤n, các véc tơ

j i n i x

x j − i; = 0 , ; ≠ , độc lập tuyến tính

(c) Với e T =(1 , , 1), X =(x0 , ,x n), ma trận

(e,X T )∈Mat(n+ 1 ,R) không suy biến

(d) ∀y∈R n đều tồn tại n

n ∈R

α

α0, ,

với 1

0

=

∑

=

n

i i

α để: ∑

=

= n

i

i

i x y

0

α

((d) tương đương với cách phát biểu là: hệ phương trình tuyến tính:

= 























y X

e

n

T 0 1 α

α

 (2.2.4)

luôn có một nghiệm với y bất kỳ)

2.2.4 Định lý: Cho x , ,0 x n và y , ,0 y n là hai tập điểm trong R n Khi đó tồn tại duy nhất một hàm afin L x=a+A x với a∈R n và A∈L(R n) sao cho

n j

y

x

L j = j; = 0 , nếu và chỉ nếu x , ,0 x n ở vị trí đầy đủ

Hơn nữa, A không suy biến nếu và chỉ nếu y , ,0 y n ở vị trí đầy đủ

( ) ( n )T

T

T

A

a X

e, = 0 , ,









(2.2.5) Từ: L x j = y j suy ra:

A(x j −x0 ) = y j −y0 ; j = 1 ,n. (2.2.6)

2.2.5 Định nghĩa: Cho F:D⊂ R n →R n, và giả sử hai tập điểm x , ,0 x n và

n

x

F

x

F 0 , , đều ở vị trí đầy đủ Khi đó điểm:

x s = −A− 1a (2.2.7) với a và A thoả mãn:

a+A x j =F x j; j = 0 ,n. (2.2.8) gọi là một xấp xỉ cát tuyến cơ sở đối với x , ,0 x n

2.2.6 Công thức cát tuyến Wolfe.

Cho x , ,0 x n và F x0 , ,F x n đều ở vị trí đầy đủ Khi đó xấp xỉ cát tuyến cơ sở thoả mãn:

∑

=

=

j

j j

s X z z x x

0 (2.2.9)

n

z z

z= ( 0, , ) là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính kiểu (n+ 1 ) × (n+ 1 ):

n z x F x

F 1,0, ,0

1

1









(2.2.10)

2.2.7 Công thức Newton.

Cho x , ,0 x n và F x0 , ,F x n đều ở vị trí đầy đủ Ta đưa vào toán tử:

) ( )

(

k R L R L R D

( ( 1 ) , , ( ) ) 1

)

,

(x H = F x+He −F x F x+He −F x H−

J n (2.2.11) với D là miền xác định của F và H không suy biến,

{ x H x He D i n}

k = ( , ) + ∈ ; = 1 , ,

Đặt H = (x1 −x0 , ,x n −x0 ) (2.2.12) Khi đó J(x0 ,H) không suy biến và xấp xỉ cát tuyến cơ sở x s được cho bởi:

x s =x0 −J(x0 ,H) − 1F x0 (2.2.13)

Chú ý: Nếu đặt Γ = (F x1 −F x0 , ,F x n −F x0 ) thì (2.2.13) có thể được viết dưới dạng:

x s =x0 −HΓ − 1F x0 (2.2.14)

Ta còn có thể biểu diễn x s như sau:

−

=x0

x s [ (Fx1 Fx0 ,Fx2 Fx1 ,.,Fx n Fx n−1)(x1 x0 ,.,x n x n−1)−1]−1Fx0

−

−

−

−

2.2.8 Bổ đề: Cho J ( H x, ) xác định bởi (2.2.11) với H = (h1 , ,h n) Khi đó:

1 1

2

(

−

∧

−

+

− + +

− +

−

x

2.2.9 Các dạng phương pháp cát tuyến.

Công thức Newton cho phép phương pháp cát tuyến tổng quát được biểu diễn dưới dạng compact:

) , ,

(

) , (

, 1

,

1 1

=







−

−

=

−

+

k x x x x H

x F H x J x x

k n k

k k

k k

k k

k

(2.2.17)

ở đây ta đặt x k, 0 =x k

Mỗi cách chọn các điểm phụ trợ x k, 1 , ,x ,n cho ta một dạng phương pháp cát tuyến:

Dạng 1: Chọn

x x x x k e j j n

j

k j k j

k, = + ( − 1 − ) ; = 1 , , (2.2.18) Trường hợp này H k là ma trận đường chéo

) , ,

1

1

1k k n k n k

k diag x x x x

Nếu đặt h x x k j n

j

k j

k

j = − 1 − ; = 1 , ,

thì:





− +

− +

n

k k n

k k

k k k

h Fx e h x F h H

x

1 1

với:











− +

− +

=

=

≠

∈ +

×

∈

=

×

→

×

⊂

×

−

h h x J

n i

h D e h x R R h x D D

R L R R D D J

n n n

i

i i n

n h

J

n n

n h J

) (

, , )

( )

, (

, , 1 , 0 , )

, (

) ( :

1 1

1

1 1

(2.2.19)

và phương pháp lặp là:

,

1 , 0

; )

,

x k k k k k k (2.2.20)

Dạng 2: Chọn

=

+

i

i k i

k i k

j

x

1

1 , ( ) ; 1 , , (2.2.21)

Ta có thể định nghĩa phép lặp như ở (2.2.20) với:

=

)

,

( h x























+

− +

−

=

=

−

1 1

1 1

1

1 1

n

j

j j n

j

j j

n F x h e F x h e h

Fx e h x F

Dạng 3: Chọn ( 1 ) ; , ( ), 1 , ,

,

k j k k k j k j

k = + − − ∈ = (2.2.23)

Dạng 4: Nếu chọn x phụ thuộc một cách chính xác vào p lần lặp trong

số k+ 1 lần lặp đầu x k , , x0 thì ta nói phép lặp (2.2.17) là phương pháp cát tuyến p điểm

Nếu chọn x k,j phụ thuộc vào x k, ,x k−p+ 1 thì phép lặp (2.2.17) là phương pháp cát tuyến p điểm liên tiếp

Phép lặp:











=

−

−

=

−

=

−

−

− +

,

1 , 0

) , ,

(

) , (

1

1 1

k

x x x x H

x F H x J x x

k n k k k n

k k

k k

k

(2.2.24)

là phương pháp cát tuyến n+ 1 điểm liên tiếp

Phương pháp cát tuyến p+ 1 điểm tổng quát có thể được tạo ra theo

đủ mọi cách, chẳng hạn tương tự (2.2.23) ta có thể chọn:

n j R L P

x x P x

k j p

i

k i k k j k

j

1 ,

=

Theo bổ đề 2.2.8 ta có thể viết (2.2.24) dưới dạng khác:

k

k k k

k x H F x

x + 1 = − Γ − 1 (2.2.26) với:







−

−

= Γ

−

−

−

=

− +

−

−

− +

−

−

−

−

) , ,

(

) , ,

, (

1 1

1 2

1 1

n k n

k k

k k

n k n k k

k k k k

x F x

F x

F x F

x x

x x x x H

(2.2.27)

2.2.10 Định lý: Giả sử các ma trận Γp và Γp+ 1 được xác định theo (2.2.27), với k = p; p+ 1 đều không suy biến, ký hiệu các hàng của ma trận Γp− 1 là

n

v

v , ,1 Khi đó:

1 1 ( ( ) )

n n p p p

q q v

v q q B

−

−

−

−

=

Γ (2.2.28) với q i =F x i+ 1 −F x i và B là ma trận có các hàng là v n,v1 , ,v n−1

thế thì

T n p p p

n p p

p (q , ,q 1 ) P (q q (e1 )

Γ

1 − − 1 − − ( − ( ) − −

−

p p

α (2.2.29)

2.2.11 Phương pháp Steffensen.

Nếu đặt h k = f (x k) ở (2.2.1) ta có phương pháp Steffensen trong không gian một chiều:

( ( )) ( ) ( ); 0,1,

) (

− +

−

=

x f x f x f

x f x

k k

k

k k

k

(2.2.30)

Tương ứng với phương pháp cát tuyến 2 điểm (2.2.17)_(2.2.23) ta có thể định nghĩa phương pháp Steffensen tương tự (2.2.17) với việc chọn:

x x P F x k j n

k j k

j

k, = + , ; = 1 , , dẫn đến dạng 1 và dạng 2 sau đây:

Dạng 1: Nếu , ( 0 , , 0 , j, 0 , , 0 )

k

P = thì ta có phương pháp Steffensen đặc biệt:

) , ,

, ( − − 1 − + 1

=

p P q q q