Định lí hình học suy rộng và nâng cao lớp 9

Đây là tài liệu chuẩn, đã được chọn lọc, chứng minh, tài liệu bao gồm 5 trang, các định lí về sau càng được áp dụng nhiều trong toán học. Mọi ý kiến đóng góp của bạn đọc xin gửi về địa chỉ email: tnghiem058gmail.com

1.Định lí Menelaus cho tứ giác: Đường thẳng d cắt các cạnh AB, BC, CD, DA ABCD tại M,

N, P, Q AM BN CP DQ. . . 1

MB NC PD QA

F

E

N M

P

Q

A

B

C D

Kẻ AF BE CD 

AM AF

MB BE

BN BE

AM BN CP DQ AF BE CP DP

CN CP

CP CP MB NC PD QA BE CP PD AF

PD PD

DQ DP

QA AF

 





 









 





2 Định lí Carnot: ABC.H , I, K thứ tựAB,BC,CAnếu x; y; z là đg tvới AB, BC, CA qua

H, I, K thì x; y; z động quy  AH2HB2BI2IC2CK2KD20

I G A

Thuận: x; y; z đồng quy thì …

Ta có: GA2GB2GB2GC2GC2GA2 0

 

AH HB BI IC CK KD 0 1

GI'BC Theo 1 AH HB BI' I'C CK KD 0

 

Mà AH HB BI IC CK KD  0 BI IC BI' I'C   I I' 2

Từ (1), (2) ta có đpcm

3 Đường tròn Euler: Chân các đg trung tuyến, đg cao, trung đ các đoạn thẳng nối trực tâm với 3 đỉnh là 9 điểm thuộc đg tròn tâm I

D

O G I

A3

A6

A9

A4

A2

H

A8

A1

A5

A7

A

4 Đường thẳng Euler: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp O của tam giác thẳng hàng

Kẻ đường kính AD của (O) BHCDlà hình bình hành

4

A

 là trung điểm HDtrọng tâm G’ của AHD có AG' 2AA4

3



2

AG AA G G' H;G;O

3

5 Định lí con bướm: Cho (O), dây AB, 2 dây CD, EF di động đi qua trung điểm I của AB

DE, CF cắt AB tại M, N CMR IM = IN

C'

D'

N M

C E

I

O

D

F

Kẻ C’D’ đối xứng với CD qua OI

CM tứ giác EC’IM nội tiếp C 'MI CNIMINI (đpcm)

6.Định lí Steiner: ABCnội tiếp (O) K thuộc cung BC nhỏ M; N; P đối xứng với K qua BC,

AB, CA CMR M; N; P thẳng hàng

I

K H

P

N

M

O A

B

C K

7 Định lí Newton: Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) tại E; F; G; H Khi đó HG,

AC, EF đồng quy

K I

A

C D

O H

G

F E

Giả sử AC EF  M Áp dụng định lí Menelaus cho ABCvà MEF

AH DG CM

1 do DH DG

DH GC MA

Áp dụng định lí Menelaus đảo choADCC;A;Mthẳng hàng hay HG, AC, EF đồng quy

8 Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) tại E; F; G; H Khi đó EG, AC, HF, BD đồng quy

Đặt AC EG I

IC CG CG IC CG



Đặt AC FH  I' CMTT AI' AH

I' C CF

Mà AH=AE; CG=CF AI AI' I I' AC;HF;EG

IC I' C

CMTT ta có đpcm

9 Định lí Desargues: Nếu ABC; A 'B ' C ' có AA’; BB’; CC’ đồng quy;ABA 'B ' P ;

BC B ' C '  Q ;CAC ' A ' R thì P; Q; R thẳng hàng

R P

Q

O

A'

B'

C' A

Để Q; P; R thẳng hàng thì AP BQ CR. . 1

PB QC RA  (Menelaus choABC và QPR) Menelaus cho OBC và QB ' C ' OB ' BQ CC ' 1 ta CM OB ' CC ' AP CR  1

B 'B QC C ' O B 'B C ' O PB RA

Thật vậy: Áp dụng định lí Menelaus cho:

 

AP BB ' OA ' AR CC ' OA '

PB B ' O A ' A RC C ' O A ' A

AP BB ' AR CC' AP RC CC' B ' O

PB B ' O RC C' O PB AR C' O BB '

Hay P; Q; R thẳng hàng (đpcm)

10 Định lí Pascal: Lục giác ACEBFD nội tiếp có giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng