Bức xạ tự phát trong các hệ có cấu trúc khác nhau

58Hình 3.6: Mật độ trạng thái của trường Γ¯ ω = Γ/Γ0 tại một cộng hưởng cụthể của buồng cộng hưởng được lấp đầy bởi chất điện môi không hấp thụ có hệ số điện môi dạng Drude–Lorentz ε.. V

Trang 1

Lời cảm ơn

Luận án, con dành tặng gia đình!

Tôi biết ơn thầy Hồ Trung Dũng đã tận tình hướng dẫn và luôn tạo chotôi những điều kiện thuận lợi nhất trong suốt khoảng thời gian qua Được làmviệc với sự dẫn dắt của thầy là may mắn lớn nhất của tôi trong quá trình họctập từ bậc cao học cho đến lúc bảo vệ luận án này

Tôi biết ơn thầy Nguyễn Quốc Khánh đã luôn động viên và tạo điều kiệnthuận lợi để tôi hoàn thành luận án này

Tôi biết ơn thầy Cao Huy Thiện đã hỗ trợ những điều kiện làm việc tốtnhất để tôi có thể hoàn thành luận án

Tôi biết ơn các thầy cô công tác tại bộ môn Vật Lý Lý Thuyết TrườngĐại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp HCM đã truyền đạt cho tôi những kiến thức

cơ bản trong những năm tôi được học ở trường

Tôi biết ơn anh Huỳnh Thanh Đức và bạn Đoàn Trí Dũng về những thảoluận quí báu trong công việc và những tình cảm chân thành

Tôi xin chân thành cám ơn tất cả các bạn bè đã luôn động viên chia sẻ

và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập

Một lần nữa tôi xin được chân thành nói lời tri ân!

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 5 năm 2015

Trang 2

Lời cam đoan

Luận án này là kết quả nghiên cứu của chính tôi thực hiện khi làm nghiêncứu sinh tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên–ĐHQG.HCM, cùng với haithầy hướng dẫn

Tôi cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi Kết quả củaluận án là mới, trung thực, không trùng lắp với các nghiên cứu khác và chỉđược công bố trong những công trình có tôi tham gia

Trần Minh Hiến

Trang 3

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Các chữ viết tắt và ký hiệu iii

Bảng và hình vẽ trong luận án vi

Phần mở đầu 1

Chương 1 Mô hình phát xạ 4 1.1 Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất 4

1.2 Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật chất 6 1.3 Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích 9

1.3.1 Sự phụ thuộc vào thời gian của hệ trường-nguyên tử 10 1.3.2 Cường độ bức xạ tự phát 15

Chương 2 Cường độ phát xạ tự phát của nguyên tử gần tấm phẳng LHM 18 2.1 Hệ số điện môi, hệ số từ thẩm và chiết suất của vật liệu nghịch 20 2.2 Các phương trình cơ bản 21

2.3 Kết quả và thảo luận 24

2.3.1 Trường hợp không có hấp thụ 25

Trang 4

Mục lục iv

2.3.2 Hệ số truyền qua 27

2.3.3 Hiệu ứng siêu thấu kính 29

2.3.4 Định luật Snell 34

2.4 Kết luận 35

Chương 3 Ảnh hưởng của trường định xứ trong cơ chế tương tác mạnh 37 3.1 Các phương trình cơ bản 39

3.2 Buồng cộng hưởng phản xạ hoàn toàn 43

3.3 Buồng cộng hưởng dạng khe dải Lorentz 53

3.4 Buồng cộng hưởng dạng gương cầu Bragg 57

3.5 Kết luận 61

Chương 4 Tốc độ rã tự phát của nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn 63 4.1 Rã tự phát của nguyên tử khi đặt trong môi trường 64

4.1.1 Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn 64

4.1.2 Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi dài vô hạn 67

4.2 Các mode cộng hưởng 70

4.3 Tính số cho ten xơ Green của khối trụ vô hạn 72

4.5 Kết luận 79

Phần kết luận, và hướng phát triển 80

Danh mục các công trình của tác giả 83

Tài liệu tham khảo 84

Trang 5

Mục lục v

Phụ lục B: Rút ra biểu thức của ten xơ Green cho tấm phẳng 101

D.0.1 Gương phản xạ hoàn toàn 111D.0.2 Gương dạng khe dải Lorentz 113

Trang 6

ǫ0 (r, ω) Hệ số điện môi trong chân không.

ǫ(r, ω) Hệ số điện môi của môi trường

ǫR (r, ω) Phần thực của hệ số điện môi

ǫI (r, ω) Phần ảo của hệ số điện môi

ǫijk Ten xơ Levi-Civita

Γ0 Tốc độ rã tự phát trong chân không

µ0 (r, ω) Hệ số từ thẩm trong chân không

µ(r, ω) Hệ số từ thẩm của môi trường

Trang 7

B(r, ω) Ảnh Fourier của toán tử từ trường cảm ứng.

c Tốc độ ánh sáng trong chân không

d Độ dày của tấm vật liệu LHM

D(r, ω) Ảnh Fourier của toán tử trường dịch

E(l)j Điện trường tại lớp thứ (j) gây bởi mô men phân cực nguyên tử

E⊥(r, ω) Thành phần ngang của ảnh Fourier của toán tử điện trường

ˆfλ(r, ω) Các toán tử trường boson véc tơ

G(r,r′, ω) Ten xơ Green đặc trưng cho sự truyền từ vị trí r′ đến r ứng với

tần số chuyển mức ω

G∗ (r,r′, ω) Liên hợp phức của ten xơ Green đặc trưng cho sự truyền từ vị trí r′

đến r ứng với tần số chuyển mức ω

G(r,r′, ω) Ten xơ Green biểu diễn qua các đại lượng không thứ nguyên

ImG(r,r′, ω)Phần ảo của ten xơ Green

ˆ

H(r, ω) Ảnh Fourier của toán tử từ trường

I(r, t) Cường độ bức xạ của nguyên tử tại tọa độ không thời gian (r, t)

ˆjN(r, ω) Ảnh Fourier của toán tử mật độ dòng điện tích nhiễu

k|| Véc tơ sóng trong mặt phẳng xy

|li, |ui Các trạng thái dưới và trên của nguyên tử

Trang 8

Các chữ viết tắt và ký hiệu v

ˆ

M(r, ω) Ảnh Fourier của toán tử từ hóa

ˆ

MN(r, ω) Ảnh Fourier của toán tử nhiễu từ hóa liên kết với hấp thụ

n(r, ω) Chiết suất của môi trường

rqij Hệ số phản xạ giữa các lớp (i) và (j) của sóng phân cực q

ˆ rα Toán tử vị trí của hạt điện tích thứ α có khối lượng mα

˙ˆrα,¨rα Đạo hàm cấp một và cấp hai theo thời gian của toán tử vị trí

tqij Hệ số truyền qua giữa các lớp (i) và (j) của sóng phân cực q

ˆ

x,y ˆ,ˆz Các véc tơ đơn vị theo các hướng x, y, z

|zA| Khoảng cách từ nguyên tử đến bề mặt tấm vật liệu LHM

|{1λ(r, ω)}i Trạng thái kích thích đơn lượng tử Fock

Trang 9

Bảng và hình vẽ

Bảng 2.1: Vị trí và nửa độ rộng tại nửa cực đại của ảnh. .30Chương 2

Hình 2.1: Nguyên tử đặt gần tấm phẳng LHM rộng vô hạn 22Hình 2.2: Các phần thực và ảo của hệ số truyền qua tq

2/0 vẽ theo kk/kA 28Hình 2.3: Cường độ phát xạ |F(r,rA, ωA )|2(4πǫ0/kA3dA )2 dọc theo trục z nhưmột hàm của khoảng cách từ bề mặt-(1/2) tới điểm trường Các tham số

zA = 5λA, d= 10λA .31Hình 2.4: Cường độ phát xạ |F(r,rA, ωA)|2 (4πǫ0/k3

AdA)2 dọc theo trục-z nhưmột hàm của khoảng cách từ bề mặt phân cách-(1/2) tới điểm trường Cáctham số là zA = 0.5λA, d= λA .33Hình 2.5: Sự dịch đi và nhòe ra của ảnh do hấp thụ của tấm được giải thích

từ góc độ định luật Snell 35Chương 3

Hình 3.1: Mô hình các buồng cộng hưởng với (a) gương phản xạ hoàn toàn,(b) gương dạng khe dãi Lorentz, và (c) dạng gương cầu Bragg 41Hình 3.2: Mật độ trạng thái của trường Γ(¯ ω) = Γ/Γ0 cho mô hình của buồngcộng hưởng phản xạ hoàn toàn có bán kính Rw(= R1) và hốc được lấp đầy bởichất điện môi dạng Drude–Lorentz 47Hình 3.3: (a) Nửa độ rộng tại nửa cực đại, (b) tần số Rabi, và (c) tỉ số giữachúng Ω/δωm như một hàm của bán kính hốc RC/λT với các giá trị khác nhaucủa hấp thụ vật chất 49Hình 3.4: Tỉ số Ω/δωm cho (a) cố định độ dày của tường buồng cộng hưởng(R1 − R2 )/λT = 5 và thay đổi độ hấp thụ của tường; (b) cố định độ hấp thụ

Trang 10

Bảng và hình vẽ vii

của tường γw/ωT = 10−5 và thay đổi độ dày 56Hình 3.5: (a) Tỉ sốΩ/δωm cho cấu hình 23 lớp Gương chứa 20 lớp xen kẽ nhau

có hệ số điện môi thấp εL, và cao εH (b) Tỉ số Ω/δωm khi cố định γH/ωT = 10−3

và thay đổi số lớp toàn phần L của hệ Số lớp gương là (L −3) 58Hình 3.6: Mật độ trạng thái của trường Γ(¯ ω) = Γ/Γ0 tại một cộng hưởng cụthể của buồng cộng hưởng được lấp đầy bởi chất điện môi không hấp thụ có

hệ số điện môi dạng Drude–Lorentz ε 60Chương 4

Hình 4.1: Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi kích thước hữu hạn 65Hình 4.2: Hàm dưới dấu tích phân trong phương trình (4.21b) được vẽ nhưmột hàm của kz theo đơn vị của kA 71Hình 4.3: Đường lấy tích phân trong mặt phẳng kz 72Hình 4.4: Phần ảo của hàm Green biểu diễn bởi phương trình (4.21b), tínhtheo đơn vị của kA được vẽ như một hàm của tọa độ nguyên tử rA/λA, tươngứng với các hệ số R = 2λA, ǫ = 1.1 +i10−8 .73Hình 4.5: Phần ảo của hàm Green được biểu diễn bởi phương trình (4.21b),tính theo đơn vị của kA được vẽ như một hàm của tọa độ nguyên tử rA/λA

tương ứng với các hệ số R = 0.1λA, ǫ = 1.01 +i10−8 .74Hình 4.6: Tốc độ rã tự phát của nguyên tử bị kích thích đặt tại vị trí zA = 0được vẽ như một hàm của khoảng cách từ nguyên tử đến tâm của khối trụ

rA/λA 75Hình 4.7: Tốc độ rã của nguyên tử được vẽ như một hàm của rA/λA với cácchiều cao khác nhau của khối trụ 77Hình 4.8: Tốc độ rã tự phát ở gần biên theo phương của trục đối xứng được

vẽ như một hàm của zA/λA với χǫ = 0.1 +i10−8, H/λA = 10, R/λA = 0.1 78Hình 4.9: Tốc độ rã tự phát ở gần biên khi nguyên tử di chuyển gần phíatrên mặt đáy của khối trụ được vẽ như một hàm của xA/λA 78

Trang 11

Ví dụ như các nguồn phát đơn photon, là loại nguồn sử dụng trong mã hóalượng tử Chỉ nguồn phát đơn photon mới cho phép độ bảo mật cao nhất vìtrong quá trình phát xạ, mỗi lần chỉ một photon xuất hiện Ngoài ra ta cũng

có thể điều khiển khoảng cách thời gian giữa hai lần phát liên tiếp cũng nhưchọn tần số của photon

Với những mối quan tâm cụ thể về quá trình rã tự phát trong các cấutrúc môi trường khác nhau, chúng tôi chọn tên đề tài của luận án là "Bức

xạ tự phát trong các hệ có cấu trúc khác nhau" Cấu trúc của luận ángồm bốn chương Chương thứ nhất chúng tôi giới thiệu cơ sở lý thuyết cho

Trang 12

mô hình sẽ sử dụng để nghiên cứu những vấn đề được đặt ra trong luận án.Trong chương hai chúng tôi xem xét hiệu ứng siêu thấu kính thông quakhảo sát bức xạ tự phát Bài toán về sự truyền của sóng điện từ trong môitrường vật chất, ở một vùng tần số xác định, lần đầu tiên được Veselagonghiên cứu cho loại vật liệu có đồng thời cả hệ số điện môi và hệ số từ thẩm

âm [96]; điều này dẫn tới chiết suất của môi trường là âm Trong môi trườngnhư vậy, điện trường, từ trường và véc tơ sóng tạo thành một hệ thuận taytrái hay còn gọi là hệ tam diện nghịch (left-handed system), cũng vì lý do này

mà người ta gọi nó là vật liệu thuận tay trái hay vật liệu nghịch (left-handedmaterial–LHM) Tuy nhiên, khi trường điện từ đi qua môi trường này, các véc

tơ điện trường, từ trường và véc tơ Poynting vẫn tạo thành một hệ thuận tayphải hay còn gọi là hệ tam diện thuận (right-handed system) như trong cácloại vật liệu thông thường khác LHM còn có các tính chất khác thường khácnhư là: dịch chuyển Doppler nghịch, bức xạ Cherenkov nghịch, và áp suất ánhsáng nghịch Mới đây LHMs cũng đã được chế tạo thành công trong phòngthí nghiệm [52, 85] Một trong những tính chất bất thường khác được quantâm nhiều nhất hiện nay của LHM là sự khúc xạ nghịch Một hệ quả thú vịcủa tính chất này là hiệu ứng hội tụ kép, khi sóng điện từ đi ngang qua tấmphẳng LHM Trong công trình [69] Pendry đã gợi ý khả năng vượt qua giớihạn nhiễu xạ nhờ hiệu ứng này Dạng thấu kính làm bằng tấm phẳng LHMnày được gọi là siêu thấu kính Thông qua xem xét phân bố trường bức xạcủa nguyên tử đặt gần tấm phẳng LHM, chúng tôi khảo sát khả năng tạo hiệuứng siêu thấu kính

Chương ba chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của bổ chính trường định xứlên cơ chế tương tác mạnh giữa nguyên tử và trường điện từ Khi một nguyên

tử khách được bao quanh bởi môi trường bất kỳ (chất điện môi, bán dẫn hoặckim loại), trường điện từ tác động lên nó khác với trường vĩ mô thu được từviệc lấy trung bình trên một ô nguyên tố được chọn thích hợp [55, 66] Từ

đó ta thấy cần thiết phải tính đến bổ chính trường định xứ Trong quang họclượng tử, bài toán về bổ chính trường định xứ được nghiên cứu liên hệ trựctiếp với bài toán rã tự phát của nguyên tử ở trạng thái kích thích Ngoài ra,với sự phát triển của kỹ thuật gần đây, các buồng cộng hưởng chất lượng caocũng đã được sản xuất và ứng dụng trong các thiết bị quang học, các vi mạchcũng như trong xử lý thông tin lượng tử Các buồng cộng hưởng dạng cầu cókhả năng giam nhốt rất tốt dẫn đến có thể diễn ra cơ chế tương tác mạnh

Trang 13

(strong–coupling regime) giữa trường và nguyên tử [33, 89, 101] Như chúng

ta đã biết ở kích thước cỡ nano mét, hiệu ứng trường định xứ gây ảnh hưởngđáng kể lên tương tác trường-vật chất Hiện nay vấn đề giảm kích thước thiết

bị có nhu cầu rất lớn, vì thế việc tính toán bổ chính trường định xứ trong cơchế tương tác mạnh trở nên thật sự cần thiết cả trong nghiên cứu lý thuyếtlẫn ứng dụng thực tế Các nghiên cứu trước chỉ tập trung vào cơ chế tươngtác yếu, trong đó nguyên tử rã tự phát theo qui luật hàm e mũ Chúng tôi sẽtập trung xem xét cơ chế tương tác mạnh, là cơ chế trong đó nguyên tử có khảnăng hấp thụ lại photon đã phát ra Bằng cách sử dụng mô hình hốc thực,chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của bổ chính trường định xứ lên cơ chế tương tácmạnh của trường–nguyên tử Ở đây chúng tôi xem xét ba loại gương: gươngphản xạ hoàn toàn, gương dạng khe dải lorentz, và dạng gương cầu Bragg, với

sự nhấn mạnh đặc biệt trên khả năng thực hiện bằng thực nghiệm Cụ thể,ảnh hưởng của trường định xứ lên phổ các vạch cộng hưởng, tần số dao độngRabi, tốc độ rã tự phát, và điều kiện cho thấy sự xuất hiện của cơ chế tươngtác mạnh được nghiên cứu chi tiết

Trong chương bốn chúng tôi khảo sát bài toán bức xạ tự phát của nguyên

tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn, sử dụng gần đúng khai triển Born ở

số hạng bậc nhất Vấn đề bức xạ tự phát gần một khối trụ cũng đã đượcnghiên cứu trước đây, nhưng các tác giả đều giả định khối trụ có chiều dài vôhạn [11, 41, 45, 58, 77, 78] Với xu hướng giảm kích thước của các thiết bị,việc tính toán cho các điều kiện biên hữu hạn hay nói cách khác việc xem xétcác cấu trúc hình học hữu hạn trở nên thật sự cần thiết Các phương phápdựa chủ yếu vào việc tính số như thuật toán miền thời gian sai phân hữu hạn[100] có thể sử dụng cho một dạng hình học bất kỳ, nhưng thường đòi hỏinguồn tài nguyên tính toán rất lớn Hiển nhiên là chúng ta mong muốn cómột phương pháp trực tiếp và đơn giản cho các cấu trúc phức tạp, ngay cảkhi đó là phương pháp gần đúng Một phương pháp như vậy, tối thiểu có thểcho chúng ta đánh giá định tính tác dụng của các biên Ở đây chúng tôi quantâm đến hiệu ứng kích thước lên tốc độ rã của nguyên tử Sử dụng khai triểnBorn cho ten xơ Green, chúng tôi xem xét tốc độ rã tự phát của một nguyên

tử hai mức bị kích thích khi đặt gần khối trụ điện môi chiều cao hữu hạn Tốc

độ rã tự phát của nguyên tử ở gần vùng biên cũng được chúng tôi thảo luận.Phần cuối cùng là kết luận, hướng phát triển và các phụ lục

Trang 14

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan mô hình sẽ được sử dụng

để giải quyết những vấn đề được đặt ra trong luận án Trước tiên chúng tôitrình bày sơ đồ lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất có hấp thụ

Kế tiếp là tương tác giữa điện tích và trường điện từ liên kết với vật chất.Cuối cùng là quá trình rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

1.1 Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất

Chúng ta xem xét một trường điện từ khi có sự hiện diện của chất điệnmôi tán sắc và hấp thụ và không có nguồn nguyên tử phát xạ Toán tử điệntrường E(r)ˆ được biểu diễn dưới dạng [35]

ˆ E(r) = ˆ E(+)(r) + ˆ E(−)(r), (1.1)ˆ

ˆ

E(+)(r) =

Z ∞ 0

Trang 15

1.1 Lượng tử hóa trường điện từ khi có mặt vật chất 5

với

ˆ D(r, ω) = ǫ0E(rˆ , ω) + ˆ P(r, ω), (1.8)ˆ

H(r, ω) = µ−10 B(rˆ , ω)−M(rˆ , ω), (1.9)trong đó P(rˆ , ω) và M(rˆ , ω) là các toán tử phân cực và từ hóa

ˆ P(r, ω) = ǫ0 [ǫ(r, ω)−1] ˆ E(r, ω) + ˆ PN(r, ω), (1.10)ˆ

M(r, ω) = µ−10 [1− µ−1(r, ω)] ˆ B(r, ω) + ˆ MN(r, ω), (1.11)ˆ

PN(r, ω) là toán tử nhiễu phân cực hóa mô tả thất thoát của điện trường dohấp thụ và Mˆ

N (r, ω) là toán tử nhiễu từ hóa mô tả thất thoát của từ trường

do hấp thụ Thế các phương trình (1.6) và (1.8)–(1.11) vào (1.7) ta được

∇× µ−1(r, ω)∇×E(rˆ , ω)− ω

2

c2 ǫ(r, ω) ˆ E(r, ω) = iωµ0 ˆjN(r, ω) (1.12)Hằng số điện môi ǫ(r, ω) và hệ số từ thẩm µ(r, ω) là các hàm của tần số và tọa

độ, phần thực ǫR, µR và phần ảo ǫI, µI thỏa các hệ thức Kramers-Kronig vớimọi r Toán tử mật độ điện tích nhiễu ρˆN(r, ω) và mật độ dòng nhiễu ˆjN(r, ω)liên quan đến hấp thụ, liên hệ với nhau qua toán tử nhiễu phân cực như sau:

−1

I (r, ω) ˆfm(r, ω) (1.16)Các trường boson véc tơ này thỏa các hệ thức giao hoán

hˆ

fλi (r, ω),fˆλ†′ j (r′, ω′)

i

= δλλ ′δijδ(r−r′)δ(ω − ω′), (1.17)

fˆ λi (r, ω),fˆλ ′ j (r′, ω′) = 0 (1.18)với λ, λ′ =e, m Từ các phương trình (1.14)–(1.16) ta có thể viết ˆjN theo cáctrường boson như sau:

−1

I (r, ω) ˆfm(r, ω), (1.19)

Trang 16

1.2 Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật chất 6

và từ đó có thể viết nghiệm của phương trình (1.12) theo biểu thức

ˆ E(r, ω) = iωµ0

Z

d3r′G(r,r′, ω) ˆjN(r′, ω), (1.20)trong đó G(r,r′, ω) là ten xơ Green cổ điển thỏa phương trình

có thể viết Bˆ qua Eˆ theo biểu thức

ˆ B(r, ω) = (iω)−1∇×E(rˆ , ω) (1.22)Theo cách này, cường độ điện trường và từ trường được biểu diễn qua cáctrường boson ˆfλ và ˆfλ† Các trường này đóng vai trò là các biến động lực cơ bảncủa hệ (trường điện từ và môi trường bao gồm cả hệ tiêu tán) Hamiltoniancủa hệ có dạng

dω ~ωˆfλ†(r, ω)ˆfλ(r, ω) (1.23)

Theo đó, trường điện từ liên kết với môi trường hoàn toàn có thể biểu diễnqua các các toán tử ˆfλ(r, ω) và ˆfλ†(r, ω) Ví dụ như với toán tử điện trường(trong bức tranh Schr¨odinger) ta có thể viết

ˆ E(r) =

Z ∞ 0

dωE(rˆ , ω) + H.c., (1.24)với E(rˆ , ω) cho bởi phương trình (1.20) vàˆjN(r, ω) cho bởi phương trình (1.19).Một cách tương tự, các trường khác cũng có thể biểu diễn theo ˆfλ(r, ω) và

ˆfλ†(r, ω) và chúng ta có thể chứng minh được rằng

Eˆ i (r),Eˆj (r′) = 0 = Bˆi (r),Bˆj (r′), (1.25)

ǫ0Eˆ i (r),Bˆj (r′) = −i~ǫijk∂krδ(r−r′), (1.26)với ǫjkl là ten xơ Levi-Civita

1.2 Tương tác giữa hạt điện tích và trường điện từ liên kết vật

chất

Ở mục này, chúng ta xem xét tương tác của trường điện từ có mặt môitrường với các điện tích điểm qα Khi đó Hamiltonian (1.23) phải được bổ

Trang 17

sung thêm phần điện tích của các hạt và năng lượng tương tác của chúng vớitrường điện từ Trong chuẩn Coulomb, sử dụng phương trình (1.20) cùng vớicác phương trình (1.1), (1.2) và (1.3), chúng ta cũng có thể biểu diễn thế vôhướng ϕˆ và thế véc tơ Aˆ của trường điện từ theo các trường boson thông quacác thành phần dọc và ngang của E(rˆ , ω) như sau:

− ∇ϕˆ (r, ω) = ˆ Ek(r, ω), (1.27)ˆ

A(r) =

Z ∞ 0

pα− qαA(ˆrˆ α)·p ˆα− qαA(ˆrˆ α)

+ 12

Z

d3rρˆ A (r) ˆϕA (r) +

Z

d3rρˆ A (r) ˆϕM (r), (1.31)với ˆrα là toán tử vị trí, và p ˆα là toán tử xung lượng chính tắc của hạt điệntích thứ α có khối lượng mα Trong phương trình (1.31) ϕˆ M là thế vô hướngkhi có sự hiện diện của vật chất vĩ mô và không có điện tích Từ mục nàytrở đi chúng tôi sẽ sử dụng chỉ số dưới M để chỉ các đại lượng của trường baogồm cả sự hiện diện của vật chất vĩ mô và không chứa điện tích Hamiltonian(1.31) chứa bốn số hạng; số hạng thứ nhất là năng lượng của trường điện từ(bao gồm cả hệ tiêu tán) quan sát được khi không có mặt các hạt, số hạngthứ hai là động năng của các hạt, và số hạng thứ ba là năng lượng tương tácCoulomb của chúng Ở đây thế ϕˆ A có thể được viết như sau

Trang 18

mα ¨ˆrα = qα

nˆ E(ˆ rα) + 1

Trang 19

1.3 Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích 9

đóng góp của phân bố điện tích ρˆ A (r), nghĩa là

= (µ0ω2)−1∇× ∇ ×E(rˆ , ω) (1.44)Các phương trình Maxwell (1.35) và (1.36), được suy ra từ định nghĩa củaˆ

B(r) và D(r)ˆ theo các phương trình (1.43) và (1.44) trong đó

ˆ B(r) =

Z ∞ 0

dωB(rˆ , ω) + H.c , (1.45)ˆ

B(r, ω) = (iω)−1∇×E(rˆ , ω) (1.46)

1.3 Rã tự phát của nguyên tử hai mức bị kích thích

Phát xạ tự phát là một ví dụ thể hiện rõ tác động của trạng thái chânkhông của trường điện từ lên các quá trình vật lý có thể đo được Einstein

đã chỉ ra rằng, để thu được định luật bức xạ Planck, lý thuyết rã trạng tháicủa nguyên tử nhất thiết phải bao gồm cả quá trình phát xạ tự phát [23] Cáctính chất của hiện tượng bức xạ của một nguyên tử bị kích thích trong chânkhông đã được nghiên cứu một cách rộng rãi và tốc độ rã tự phát của mộtnguyên tử (hai mức) bị kích thích được cho bởi biểu thức

Γ0 = ωA′3d2A

trong đó ω′

A =ωA −∆ω là tần số chuyển mức đã bị dịch đi một lượng ∆ω, với

tử được bao quanh bởi chất điện môi, mật độ trạng thái của trường điện từthay đổi và biểu thức của tốc độ rã phải được hiệu chỉnh [5, 7, 8, 27, 28, 29,

35, 43, 48, 60, 81, 91, 99, 104]

Trang 20

1.3.1 Sự phụ thuộc vào thời gian của hệ trường-nguyên tử

Khi có hấp thụ, môi trường bao quanh nguyên tử có hệ số điện môi làmột đại lượng phức Sử dụng mô hình tương tác tối thiểu, chúng ta có thểviết Hamiltonian (1.31) của hệ bao gồm một nguyên tử và trường điện từ có

sự hiện diện của môi trường như sau [47]:

Trang 21

trong đó σˆ z =|uihu| − |lihl| Nếu sử dụng phép gần đúng sóng quay và cácphương trình

ˆ A(r) =

Z ∞ 0

dωA(rˆ , ω) + H.c., (1.55)ˆ

A(r, ω) = (iω)−1Eˆ⊥(r, ω), (1.56)chúng ta có thể đơn giản hơn nữa phương trình (1.52) và thu được

dλ δ[r−rA − λ(ˆrα −rA)] (1.58)

Trong gần đúng lưỡng cực điện ta có thể viết:

ˆ

PA(r) = ˆ dAδ(r−rA) (1.59)Tương tự ta có thể viết biểu thức

Trang 22

Mặt khác, từ các phương trình (1.57) và (1.62) ta thu được

ˆ

Hint = −σˆ†Eˆ(+)

M (rA)·dA + H.c (1.63)Cuối cùng thế các phương trình (1.50),(1.54) và (1.63) vào biểu thức (1.48) ta

có thể viết lại Hamiltonian của hệ như sau:

dω ~ωˆfλ†(r, ω) ˆfλ(r, ω)

+ 12

~ωAσˆ z − hσˆ†Eˆ (+)

(rA)·dA + H.c.i (1.64)

Ở đây σ,ˆ σˆ† và σˆ z là các toán tử Pauli của nguyên tử hai mức

Nếu ban đầu nguyên tử ở trạng thái kích thích (có mức năng lượng là ~ωA)

và trạng thái của trường là chân không, sử dụng phương trình Schr¨odingervới Hˆ cho bởi biểu thức (1.64)

dωCλl(r, ω, t)e−iω t|li|{1λ(r, ω)}i, (1.66)

Trang 23

h

G(rA,r, ω)×←∇−ri

ij =ǫjkl∂ksGil (rA,r, ω) (1.70)

và ǫjkl là ten xơ Levi-Civita

Từ các điều kiện ban đầu [Cλl(r, ω,0) = 0, Cu(0) = 1], thế các kết quả tíchphân của (1.68) và (1.69) vào (1.67) và sử dụng hệ thức

ta thu được phương trình vi tích phân

˙

Cu (t) =−i∆ωCu (t) +

Z t 0

dt′K(t − t′)Cu (t′), (1.72)với hàm nhân

K(t − t′) = −~πǫ1

0

Z ∞ 0

dω ω

2

c2e−i(ω−ωA′ )(t−t′) dA ·ImG(rA,rA, ω)·dA (1.73)Lấy tích phân theo thời gian cả hai vế của (1.72), suy ra được

Cu (t) =

Z t 0

dt′K(t − t′)Cu (t′) + 1, (1.74)

Trang 24

[Cu (0) = 1], với

K(t − t′) = 1

~πǫ0

Z ∞ 0

có thể đặt số hạng liên quan đến thời gian như sau:

∆ω = 1

~πǫ0 P

Z ∞ 0

là đóng góp của dịch chuyển Lamb

Thế biểu thức của hàm nhân (1.78) vào phương trình (1.74), ta được

Trang 25

Trong trường hợp tổng quát, không thể áp dụng gần đúng Markov chotoàn bộ hàm Green Khi đó ta giả sử rằng: nguyên tử được đặt trong mộtvùng chân không nhỏ sao cho ten xơ Green tại vị trí của nguyên tử là

K Sử dụng các phương trình từ (1.78) đến (1.80) chúng ta thu được tốc độ

rã trong chân không (1.47) và một đóng góp phân kỳ của dịch chuyển Lambchân không Ta sẽ coi như đóng góp này đã được bao hàm trong tần số chuyểnmức của nguyên tử ω′

Phương trình tích phân (1.74) cùng với nhân (1.84) có thể xem là các phươngtrình cơ bản để nghiên cứu sự phụ thuộc của rã tự phát của nguyên tử bị kíchthích trong cấu trúc bất kỳ của chất điện môi tán sắc và hấp thụ

Trang 26

của ten xơ Green chúng ta được biểu thức tổng quát hơn cho trường hợp củaphương trình (40) trong [35]:

I(r, t) = X

j

kA2dk

πǫ0

Z t 0

dt′Cu(t′)

×

Z ∞ 0

dωImGjk (r,rA, ω)e−i(ω−ω′A )(t−t ′ )

2

Lưu ý rằng: khác với phương trình (1.74) cùng với nhân (1.84), phương trình(1.86) đòi hỏi thông tin về ten xơ Green tại những điểm khác nhau trongkhông gian

Trường hợp đơn giản nhất, khi nguyên tử đặt trong chân không ta có

có thể áp dụng phương pháp tích phân đường và thu được kết quả:

Bây giờ, quay lại biểu thức tổng quát (1.86) Nếu bỏ qua hiệu ứng trễ và

sử dụng gần đúng Markov ta có thể thay Cu (t′) bởi Cu (t) ứng với mọi r trong

Trang 27

biểu thức tích phân theo thời gian trong phương trình (1.86) Lấy gần đúnggiá trị của tích phân theo thời gian bằng ζ(ωA′ − ω), chúng ta được

I(r, t) = |F(r,rA, ω)|2e−Γt, (1.89)trong đó

F(r,rA;ω) = −ik

2 A

dω ImG(r,rA;ω)

ω − ωA′

(1.90)

Và vì số hạng bổ chính lượng tử

Pπ

Z ∞ 0

ǫ0

dAG(r,rA;ω) (1.91)Các phương trình (1.74), (1.79), (1.84), (1.89) và (1.91) là các phương trìnhchính mà chúng tôi sẽ sử dụng trong luận án này

Trang 28

Vật liệu có chiết suất âm lần đầu tiên được nghiên cứu bởi V G Veselago[96] Ông đã chỉ ra rằng đối với vật chất có đồng thời cả hệ số điện môi ε và

hệ số từ thẩm µ âm dẫn đến hệ quả chiết suất phải âm Trong loại vật chấtnày, điện trường, từ trường và vector sóng tạo thành một hệ tam diện nghịch(left-handed system), vì thế nó còn được gọi là vật liệu nghịch (LHM) Sựkhúc xạ tia sáng tại mặt phân cách giữa môi trường LHM và chân khôngquyết định bởi định luật Snell

sinθt = 1

trong đó n là chỉ số khúc xạ (chiết suất) và θi là góc tới được xác định bởi tiatới và đường vuông góc với bề mặt phân cách Khi mất mát do hấp thụ củamôi trường không đáng kể, n có thể được xem như một đại lượng hoàn toànthực và θt mang ý nghĩa là góc khúc xạ Trong các loại vật liệu thông thường,chiết suất n dương và tia khúc xạ nằm về phía nửa mặt phẳng bên kia củapháp tuyến với mặt phân cách Ngược lại, vật liệu nghịch với n < 0, tia khúc

xạ nằm cùng trên nửa mặt phẳng chứa tia tới Hiện tượng khúc xạ nghịch đãđược thực nghiệm quan sát ở vùng vi sóng [67, 87] và mới đây được quan sát

ở vùng ánh sáng khả kiến [20, 52] Một trong các ứng dụng tiềm năng củaLHM trong các quang tử là khả năng phân giải ảnh vượt qua giới hạn nhiễu

Trang 29

và một nằm ở phía bên kia của tấm [96] Điều thú vị hơn là: một tấm phẳngLHM có thể tăng cường các thành phần evanescent Thành phần này giảmtheo hàm e mũ nên bị giam trong vùng lân cận rất gần nguồn Điều này dẫntới ý tưởng toàn bộ thông tin của nguồn có thể được phục hồi ở điểm ảnh;cho thấy có thể tạo ra các siêu thấu kính với độ phân giải vượt qua giới hạnnhiễu xạ truyền thống bằng một bước sóng [69].

Khả năng tạo ra hiệu ứng siêu thấu kính bởi một tấm phẳng LHM đưađến mối quan tâm trong những bài toán liên quan như: rã tự phát của mộtnguồn lưỡng cực đặt trong lân cận của tấm LHM Khi một tấm phẳng LHMkhông hấp thụ, kết hợp với một gương phản xạ toàn phần, có thể chặn đứnghoàn toàn sự rã tự phát của nguyên tử được đặt tại điểm hội tụ [44] Dạnghình học này được mở rộng cho trường hợp vật chất có hấp thụ [80] Phát

xạ tự phát của một nguyên tử hai mức nhúng bên trong các tinh thể quang

tử một chiều được tạo bởi các lớp vật liệu nghịch không hấp thụ xen kẽ vớicác lớp vật liệu thông thường cũng đã được khảo sát [102] Ngoài ra các kênh

rã tự phát khác nhau của nguyên tử được đặt gần tấm vật liệu nghịch như:

rã thông qua bức xạ, rã thông qua các mode dẫn, rã thông qua các modepolariton plasmon-bề mặt, và rã thông qua sự tiêu tán do hấp thụ của vậtchất cũng đã được so sánh với nhau [103]

Mục đích của chúng tôi là xem xét việc có hay không hiệu ứng siêu thấukính tạo bởi tấm phẳng LHM theo hướng vuông góc với bề mặt tấm thôngqua việc khảo sát ảnh của một nguồn phát xạ Chúng tôi thực hiện điều đóbằng cách tính toán cường độ của trường được phát ra bởi nguồn theo haibước, trước tiên chỉ xem xét đóng góp của riêng phần trường truyền, sau đóxem xét cho trường toàn phần gồm cả trường truyền và trường evanescent.Chúng tôi tập trung xem xét ảnh hưởng của hấp thụ vật chất Nội dung củachương này dựa trên các kết quả chúng tôi đã đăng trên tạp chí của APS, sốđăng Phys Rev A 85, 015804 (2012) [94]

Trang 30

2.1 Hệ số điện môi, hệ số từ thẩm và chiết suất của vật liệu nghịch 20

2.1 Hệ số điện môi, hệ số từ thẩm và chiết suất của vật liệu nghịch

Xét môi trường từ-điện môi tuyến tính nhân quả (causal linear todielectric) được đặc trưng bởi hệ số điện môi ǫ(r, ω)và hệ số từ thẩm µ(r, ω),

magne-cả hai đều biến đổi theo tọa độ, và là các hàm phức theo tần số Chúng thỏacác hệ thức [37]

ǫ(r, −ω∗) = ǫ∗(r, ω), (2.2)

µ(r, −ω∗) = µ∗(r, ω) (2.3)Các hàm này khác không trong nửa mặt phẳng phức phía trên và tiến gầnđến 1 khi tần số tiến về vô cùng

Ở đây 0 < [φµ (r, ω) +φǫ (r, ω)]/2 < π Dấu ± trong phương trình (2.7) dẫn tới

nI (r, ω) lớn hơn hoặc nhỏ hơn không Từ giới hạn tần số cao của hệ số điệnmôi và hệ số từ thẩm [phương trình (2.4)], và đòi hỏi lim|ω|→∞n(r, ω) = 1, dấu+ là cách chọn chính xác [107]

n(r, ω) = p|ǫ(r, ω)µ(r, ω)| ei[φµ (r,ω)+φ ǫ (r,ω)]/2 (2.8)

Từ phương trình (2.8) ta có thể thấy, khi cả ǫ(r, ω) và µ(r, ω) có phần thực

âm [φµ (r, ω), φǫ (r, ω) ∈ (π/2, π)], nI (r, ω) cũng âm Tuy nhiên, cũng có thể chỉ

ra rằng: để nI(r, ω) âm, không nhất thiết ǫI(r, ω) và µI(r, ω) phải đồng thời

âm Ứng với trường hợp phần thực của chiết suất nhỏ hơn không, [φµ (r, ω) +

φǫ (r, ω)] > π nghĩa là hoặc φµ(r, ω) hoặc φǫ(r, ω) vẫn có thể nhỏ hơn π/2, miễn

là tổng của chúng vẫn lớn hơn π LHMs ban đầu được định nghĩa cho vùngtần số trong đó sự hấp thụ của vật liệu không đáng kể, như vậy ǫ(r, ω) và

Trang 31

2.2 Các phương trình cơ bản 21

µ(r, ω) có thể được coi là thực [96] Trong trường hợp này, các sóng truyền cóthể tồn tại với điều kiện cả ǫ(r, ω) và µ(r, ω) đồng thời hoặc âm hoăc dương.Nếu chúng có dấu khác nhau, khi đó chiết suất là một đại lượng hoàn toàn

ảo, và chỉ có các sóng evanescent tồn tại Tình huống trở nên phức tạp hơnkhi sự hấp thụ của vật liệu đáng kể, vì phần thực của chiết suất luôn kháckhông (ngoại trừ trường hợp đặc biệt khi [φµ (r, ω) +φǫ (r, ω)] = π) [37] Sau đâychúng tôi gọi vật liệu là LHM nếu phần thực của chiết suất nhỏ hơn không

Để mô tả sự phụ thuộc của chiết suất vào tần số, ta xem xét hệ số điệnmôi và hệ số từ thẩm có cộng hưởng đơn lần lượt cho bởi

Ở đây ωPe và ωPm là các cường độ tương tác (coupling strengths), ωTe và ωTm

là các tần số cộng hưởng ngang, γe và γm là các tham số hấp thụ Hệ số điệnmôi và hệ số từ thẩm thỏa các hệ thức Kramers-Kronig Phương trình (2.9)

và (2.10) tương ứng với mô hình Drude-Lorentz

Đối với vật liệu có hấp thụ bé (γe/m ≪ ωPe/m, ωTe/m), hệ số điện môi (2.9)

và hệ số từ thẩm (2.10) có vùng cấm (band gaps) giữa tần số ngang ωTe và tần

số dọc đối với điện trường ωLe = pωTe2 +ωPe2 , trong đó ǫR(ω) < 0, và vùng cấmgiữa tần số ngang ωTm và tần số dọc đối với từ trường ωLm = pω2

Tm +ω2

Pm,trong đó µR(ω) < 0 Cụ thể, nếu max(ωTe, ωTm ) < ω < min(ωLe, ωLm ), khi đó

ǫR (ω) < 0 và µR (ω) < 0 và như vậy phần thực của chiết suất nhỏ hơn không

và ta có vật liệu LHM

2.2 Các phương trình cơ bản

Hệ gồm một mô men lưỡng cực phát xạ (tại vị trí rA, tần số chuyển mức

ωA, mô men lưỡng cực dA), có thể là một nguyên tử, ion, phân tử, chấm lượng

tử bán dẫn, hoặc tinh thể nano, bao quanh bởi chất từ-điện môi tán sắc vàhấp thụ Ở trạng thái kích thích, lưỡng cực trải qua quá trình rã tự phát vàphát photon Sự lượng tử hóa của trường điện từ trong sự hiện diện của vật

Trang 32

2.2 Các phương trình cơ bản 22

chất có lưỡng tính từ-điện đã được khảo sát trong [37] Trường hợp đơn giảnnếu nguyên tử đặt trong chân không, bỏ qua hiệu ứng trễ và sử dụng gầnđúng Markov, cường độ trường điện từ I(r, t) được ghi nhận bởi một đầu dòphoton tại vị trí r và thời điểm t, biểu diễn như sau (phụ lục A)

I(r, t) ≃ |F(r,rA, ωA )|2e−Γt, (2.11)

ở đây

F(r,rA, ωA) = −ik

2 A

ǫ0

G(r,rA, ωA)dA

−Pπ

Z ∞ 0

d

zA

z

Layer 0 Layer 1 Layer 2

Hình 2.1 Nguyên tử đặt gần tấm phẳng LHM rộng vô hạn z A là khoảng cách từ mô men lưỡng cực nguyên tử đến mặt phân cách-(0/1) và z là khoảng cách từ điểm ảnh tới mặt phân cách-(1/2).

Trong các phương trình (2.11) và (2.12)Γ = (2kA2/~ǫ0 ) dAImG(rA,rA, ωA )dA

là tốc độ rã tự phát của lưỡng cực với kA =ωA/c, và G(r,r′, ω) là ten xơ Green

mô tả môi trường bao quanh lưỡng cực Phân bố không gian của phát xạ tạithời điểm bất kỳ được xác định bởi |F(r,rA, ωA )|2 nhân với một thừa số phụthuộc thời gian giảm nhanh theo quy luật hàm mũ Đại lượng này có thể đượcphân tích thành một phần cộng hưởng và một phần không cộng hưởng theocác số hạng thứ nhất và thứ hai trong phương trình (2.12) Chúng tôi sẽ bỏ

đi số hạng không cộng hưởng biểu diễn bổ chính lượng tử cho cường độ phát

xạ, vì nó cho đóng góp không đáng kể, khi đó

F(r,rA, ωA ) ≃ −ik

2 A

ǫ0

G(r,rA, ωA )dA (2.13)

Trang 33

G(l0)(r,rA, ω) = i

4π

Z ∞ 0

là độ lớn của thành phần z của véc tơ sóng trong lớp thứ j, trong đó kj =

pǫj(ω)µj (ω)ωc Nó có hai giá trị trong mặt phẳng phức, và các dấu được xácđịnh theo cách mà phần ảo của βj dương [74]

βjR ≥0, βjI ≥0 với ǫjRµjI +µjRǫjI ≥0, (2.16)

βjR ≤0, βjI ≥0 với ǫjRµjI +µjRǫjI ≤0 (2.17)Các thành phần của G˜ (l0) biểu diễn như sau

˜

G(l0)xx

yy =tpl/0β

2 0

k2 0

trong đó p(s) ký hiệu các sóng phân cực TM(TE), tanψ = x/y, và Jn ≡

Jn (kkpx2 +y2 ) là các hàm Bessel cấp n loại một Ta đã giả sử rằng các

Trang 34

lớp thứ 0 và thứ l giống nhau k0 = kl Các hệ số truyền qua được xác địnhthông qua các hệ thức truy toán Tại mặt phân cách ta có [92]

k02 +t

s l/0, G˜(l0)zz = tpl/0k

2 k

k202. (2.25)Lưu ý rằng G˜ xx và G˜ yy chứa cả hai phân cực -s và -p, trong khi G˜ zz chỉ chứaphân cực-p

Ten xơ Green biểu diễn bởi các phương trình (2.14)–(2.25) đúng cho hệphẳng chứa số lớp bất kỳ Với hệ ba lớp, hệ số truyền qua cho bởi

tq2/0 = tq21tq10

1−(rq12)2e2iβ 1 deiβ1 d

= 4γ10q β0β1eiβ 1 d

(β1 +γ10q β0 )2 −(β1 − γ10q β0 )2e2iβ 1 d (2.26)Mặc dù dấu của βj được xác định theo các phương trình (2.16) và (2.17),chúng tôi lưu ý rằng sự đảo dấu của β1 → −β1 không gây ra tác dụng gì lên

tq2/0, vì thế, cũng không gây tác động gì lên ten xơ Green

2.3 Kết quả và thảo luận

Từ đây trở đi chúng tôi sẽ giả sử tấm phẳng được đặt trong chân không,

ǫ0 = ǫ2 = 1 và µ0 =µ2 = 1, hệ số điện môi và hệ số từ thẩm của tấm gần bằng

−1 và có một phần ảo nhỏ dương, đặc trưng cho mức độ hấp thụ của tấm

ǫ1 = µ1 = −1 +iγ, γ ≪ 11 Lưu ý rằng γ ∼ 10−1 là vùng đặc trưng hấp thụ

1 Ký hiệu γ ở đây đặc trưng cho mức độ hấp thụ của môi trường LHM khác với ký hiệu γ q

ij cho bởi (2.24)

Trang 35

của LHMs có thể thực hiện được bằng thực nghiệm hiện nay Ten xơ Green

Để hiểu rõ vấn đề hơn chúng tôi khảo sát trường hợp môi trường LHM

lý tưởng, tức là hoàn toàn không có hấp thụ, khi đó trở kháng tại các bề mặt(0/1) và (1/2) hoàn toàn tương hợp với nhau Trước tiên ta xét thành phần

zz của ten xơ Green biểu diễn trường, trên trục z, được phát bởi một lưỡngcực nguyên tử định hướng theo phương z Với kk < kA, β1 hoàn toàn thực vànhỏ hơn 0 [xem (2.17)]: β1 =−β0, khi đó hệ số truyền qua tp

2/0 cho bởi phươngtrình (2.26), bằng với e−iβ 0 d và ten xơ Green (2.28) trở thành

Ten xơ Green (G(20)zz )1 biểu diễn bởi phương trình (2.30) cho thấy khi không

có hấp thụ, trường truyền có một pha tĩnh tại z =d − zA, chính là điểm hội

tụ lý tưởng của siêu thấu kính [69] Tích phân trong phương trình (2.30) cóthể tính được một cách chính xác

Trang 36

trong đó a = (zA +z − d)kA, với giá trị tại điểm hội tụ (G(20)zz )1 = ikA

4π Cùngvới việc tách ten xơ Green thành hai phần, chúng tôi có thể chia trường Fchobởi phương trình (2.13), thành hai phần, một tương ứng với các sóng truyềnđược ký hiệu bởi F1, và một tương ứng với các sóng evanescent được ký hiệubởi F2: F1,2 = −ikA2

ε 0 (G)1,2dA Đại lượng |F1|2 tạo một đỉnh tại điểm hội tụ.Nửa độ rộng tại nửa cực đại (HWHM) của nó có thể tìm được bằng cách giảiphương trình [−a1 − a23 + a23 (cosa+asina)]2+ [a23 (acosa −sina)]2 = 29 với kết quả(δI)z1 ≃ 0.531λA Ngược lại, phần evanescent (G(20)zz )2 phân kỳ trong khoảnggiữa bề mặt của tấm và điểm hội tụ, đây là điều dẫn đến nhiều tranh luậnquanh hiệu ứng siêu thấu kính [71] Vượt qua khỏi điểm hội tụ, tích phântrong phương trình (2.31) có thể thực hiện một cách chính xác và thu được

(G(00)zz )1,2= (fzz )1,2(b)Θ(b) + (fzz )1,2(−b)Θ(−b), (2.34)với b =z0−z, trong đó z0 là vị trí điểm ảnh [ở đây chúng tôi gọi x0 được liệt kê

ở dòng thứ nhất bảng 2.1 là vị trí điểm ảnh trong trường hợp mô men lưỡngcực nguyên tử định hướng theo phương x] và Θ là hàm bậc thang đơn vị (unitstep function) Vì |(fzz )1,2(b)|2 = |(fzz )1,2(−b)|2, cả hai trường truyền và trườngevanescent đối xứng về hai phía của điểm nguồn Việc so sánh phương trình(2.32) với phương trình (2.34) cho thấy trường truyền được phát ra bởi nguồnhoàn toàn được phục hồi tại điểm ảnh Trường evanescent giữa nguồn và tấmcũng được tái tạo tại điểm ảnh [so sánh phương trình (2.33) với phương trình(2.34)], trong khi đó từ −∞ tới nguồn được biến thành một trường phân kỳ

ở giữa bề mặt tấm và điểm ảnh

Bức tranh ở trên cũng đúng cho trường hợp mô men lưỡng cực nguyên

Trang 37

tử định hướng theo phương x Các phương trình (2.32) và (2.33) trở thành

2.3.2 Hệ số truyền qua

Bây giờ chúng ta quay trở lại trường hợp hấp thụ khác không Khảo sát

kỹ các phương trình (2.25), (2.26), và (2.28) ta thấy vị trí pha tĩnh lúc nàyphụ thuộc vào kk, nghĩa là ảnh tạo bởi trường truyền bị nhòe ra, như sẽ đượcxác định lại lần nữa bởi các kết quả tính số và bởi định luật Snell bên dưới.Hãy xem xét kỹ hơn hệ số truyền qua (2.26) với trường hợp của các sóngevanescent Đưa vào biến u = [k2k/kA2 − 1]1/2 = |β0|/kA và sử dụng giả thiết

γ ≪ 1, hệ số truyền qua có thể lấy gần đúng bởi

hệ số truyền qua tq

2/0 (tp 2/0 = ts2/0 khi ǫ1 = µ1) như các hàm của kk/kA Nhớ lạirằng khi hấp thụ hoàn toàn được bỏ đi, tq

2/0 = exp(qk2

k − k2

Ad) tăng một cáchchậm chạp khi tăng kk

Trang 38

Hình 2.2 Các phần thực và ảo của hệ số truyền qua t q

2 /0 được vẽ như một hàm của k k /k A với

ǫ 1 = µ 1 = −1 + iγ và γ = (a,b) 10 −12 , (c,d) 10 −5 , và (e,f) 10 −1 Độ dày của tấm d = 10λ A Các đường liền nét sử dụng phương trình chính xác (2.26) trong khi các đường đứt nét sử dụng phương trình gần đúng (2.37) Trong các hình (a), (b), và (c), các đường cong biểu diễn cho các biểu thức gần đúng và chính xác gần như không thể phân biệt được.

Từ hình 2.2 chúng ta thấy sự thay đổi này rất mạnh, thậm chí khi chỉthêm một lượng hấp thụ rất bé, việc này làm xuất hiện một cộng hưởng, tại

đó sóng điện từ được tăng cường đáng kể khi truyền qua tấm Cộng hưởng trởnên rõ ràng hơn và giá trị cộng hưởng của kk tăng khi giảm γ Việc so sánhcác kết quả tính toán của chúng tôi với các tính toán của các tác giả trong[70, 86] cho thấy tại các vị trí của các đỉnh, chính xác là nơi xuất hiện sự triệt

Trang 39

tiêu của các thành phần vector sóng cao (|kk| có giá trị lớn) Vị trí của cộnghưởng có thể được xác định bằng cách đặt đạo hàm của Re(tq2/0) bằng không

(4− ud¯)[γ2(u2 + 1)2 + 4u4e−2 ¯du] = 4u2[γ2(u2 + 1) + (4u2 −2 ¯du3)e−2 ¯du] (2.38)

Có thể chứng minh nghiệm của phương trình này chỉ tồn tại khi γ 6= 0bằng cách tính toán số trực tiếp Trên hình 2.2, chúng tôi cũng vẽ hệ số truyềnqua theo biểu thức gần đúng (2.37) Có thể thấy rằng biểu thức gần đúng làmviệc rất tốt khi γ nhỏ [các trường hợp (a), (b), và (c)], những trường hợp cònlại khá tốt quanh giá trị γ ∼ 10−5 [trường hợp (d)], nhưng không còn tốt vớicác giá trị lớn hơn của γ [các trường hợp (e) và (f)]

2.3.3 Hiệu ứng siêu thấu kính

Để ngắn gọn chúng tôi chỉ trình bày dữ liệu cho hai kích thước đặc trưngcủa tấm LHM với độ dày tấm d = 10λA và d = λA Trên cơ sở những dữ liệunày chúng tôi có thể chỉ ra hiệu ứng siêu thấu kính tạo bởi tấm LHM

Độ dày tấm bằng mười bước sóng

Trước tiên chúng tôi khảo sát trường hợp độ dày tấm d = 10λA Cường

độ trường dọc theo trục z với một số giá trị khác nhau của độ hấp thụ γđược vẽ trên hình 2.3, sử dụng các phương trình chính xác (2.13), (2.14), và(2.25)–(2.26) Vị trí của ảnh, và nửa độ rộng ở nửa cực đại (HWHM) củatrường toàn phần và trường truyền được liệt kê trong bảng 2.1 Mặc dù nóimột cách chính xác, chỉ cường độ của trường toàn phần là có thể đo được,chúng tôi đưa ra khái niệm cường độ của chỉ phần trường truyền để chỉ ra tácdụng của trường evanescent

Ban đầu chúng tôi xem xét mô men lưỡng cực nguyên tử định hướng songsong với bề mặt tấm Nếu chúng ta so sánh HWHM của các đỉnh do trườngtruyền (δI)x1/λA được liệt kê trong bảng 2.1 với đỉnh tạo bởi trường truyềntrong trường hợp không có hấp thụ cho bởi (2.35) (δI)x1/λA ≃ 0.443, rõ rànghấp thụ của vật chất làm mở rộng các đỉnh Sự mở rộng giảm khi giảm γ Với

γ ∼ 10−5 và bé hơn, sự mở rộng không còn đáng kể

Trang 40

γ 10 −1 10 −3 10 −5 10 −7 10 −9

x 0 /λ A 4.747 4.987 4.897 4.824 4.754 (δI)x/λA 1.685 0.49 0.441 0.437 0.436 (δI) x1 /λ A 1.674 0.489 0.445 0.443 0.443

z 0 /λA 4.643 4.974 4.801 (δI)z/λA 1.326 0.566 0.547 (δI)z1/λA 1.321 0.564 0.532 Bảng 2.1 Vị trí và nửa độ rộng tại nửa cực đại của ảnh x 0 (z 0 ), (δI) x [(δI) z ], và (δI) x1 [(δI) z1 ] tương ứng là vị trí của ảnh, HWHM của đỉnh trường toàn phần, và HWHM của đỉnh tạo bởi trường truyền với mô men lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương x(z).

Bây giờ nếu chúng ta so sánh độ rộng của đỉnh trường tương ứng vớitrường truyền (Bảng 2.1, dòng 4) với độ rộng của đỉnh trường toàn phần (Bảng2.1, dòng 3), có thể thấy đỉnh trường toàn phần hẹp hơn với γ = 10−5,10−7,10−9(in đậm) Hình 2.3 biểu diễn các đường cong tương ứng với γ = 10−1 (đườngliền), 10−3 (đường gạch), 10−5 (đường chấm), và 10−12 (đường gạch chấm) Để

dễ dàng so sánh độ rộng của ảnh chúng tôi vẽ cả bốn đường cong trên cùngmột hình, trường hợp γ = 10−1 được vẽ theo thang độ lớn bên trái của hình

vẽ, ba trường hợp còn lại được vẽ theo thang độ lớn bên phải Từ đó ta cóthể thấy ngay rằng ứng với γ = 10−1–đường liền, kích thước của ảnh lớn hơnnhiều so với các trường hợp còn lại trong khi cường độ trường tương ứng nhỏhơn cỡ 108 lần

Có thể thấy được từ hình 2.3(a), với hấp thụ lớn (γ = 10−1–đường liền

và 10−3–đường gạch), trường evanescent bị hấp thụ hoàn toàn bởi tấm, ngượclại với hấp thụ nhỏ (γ = 10−5–đường chấm và 10−12–đường gạch chấm), sựtăng cường của trường evanescent rất rõ ràng Vậy sự hẹp lại của đỉnh là dođóng góp của trường evanescent Kết quả số trong bảng 2.1 cho thấy khi γgiảm từ 10−7 đến 10−9, độ phân giải không được cải thiện nhiều bằng khi γgiảm từ 10−5 đến 10−7 Xu hướng giống vậy cũng được lưu ý đối với độ phângiải theo phương x [70, 86]2 Khi γ giảm nhiều hơn nữa, sự tăng cường củatrường evanescent bởi tấm mạnh đến mức có thể nuốt luôn điểm ảnh [Hình2.3–đường gạch-chấm] Bức tranh tổng quát càng lúc càng giống với trườnghợp hấp thụ bằng không khi đó trường evanescent ở vùng giữa tấm và điểmảnh phân kỳ

2 Ở đây chúng tôi đang tập trung khảo sát hiệu ứng siêu thấu kính theo phương z

xạ tự phát nguyên tử hai mức... data-page="28">

Vật liệu có chiết suất âm lần nghiên cứu V G Veselago[96] Ông vật chất có đồng thời hệ số điện mơi ε và

hệ số từ thẩm µ âm dẫn đến hệ chiết suất phải âm Trong loại vật chấtnày,... nghịch không hấp thụ xen kẽ vớicác lớp vật liệu thông thường khảo sát [102] Ngoài kênh

rã tự phát khác nguyên tử đặt gần vật liệu nghịch như:

rã thông qua xạ, rã thông qua mode dẫn,

Định dạng
Số trang	124
Dung lượng	0,97 MB