GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN (Giáo trình Cao học)

Như vậy ta thấy khái niệm pháp tuyến xấp xỉ cũng là một mở rộng của hướngpháp tuyến đối với C2−đa tạp trong hình học vi phân.. Tập tất cả các dưới gradient xấp xỉ của f tại x, kí hiệu ∂P

(Giáo trình Cao học)

Huỳnh Thế Phùng Ngày 28 tháng 9 năm 2007

Mục lục

Chương 1 Phép tính Xấp xỉ Trong Không gian Hilbert 2

1.1 Pháp tuyến xấp xỉ 2

1.2 Dưới gradient xấp xỉ 4

1.3 Các khái niệm đạo hàm 5

1.4 Đặc trưng của dưới gradient xấp xỉ 7

1.5 Định lý trù mật 9

1.6 Tổng chập cực tiểu của hàm toàn phương 10

1.7 Các nguyên lý tối ưu hóa 11

1.8 Khảo sát hàm khoảng cách 11

1.9 Trường hợp hàm Lipschitz 13

Chương 2 Gradient suy rộng trong không gian Banach 14 2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 14

2.2 Các phép tính trên Gradient suy rộng 16

2.3 Quan hệ với các đạo hàm 17

2.4 Hàm lồi - Hàm chính qui 17

2.5 Nón tiếp xúc và Nón pháp tuyến 18

2.6 Trường hợp hữu hạn chiều 20

Tài liệu tham khảo 21

Phép tính Xấp xỉ Trong Không gian Hilbert

1.1 Pháp tuyến xấp xỉ.

Trong giáo trình này ta luôn giả thiết X là không gian Hilbert thực Cho S làmột tập con khác rỗng của X và x ∈ X Điểm s ∈ S được gọi là điểm chiếu của xlên S nếu

kx − sk = dS(x) := infkx − uk : u ∈ S

Ta kí hiệu projS(x) là tập các điểm chiếu của x lên S Khi projS(x) chỉ có một phần

tử ta sẽ nói projS(x) là tập đơn tử

Bài tập 1.1 Cho S là tập đóng khác rỗng trong X Nếu một trong hai điều kiệnsau thoả mãn

Mệnh đề 1.1 Cho S ⊂ X, x ∈ X và s ∈ S Khi đó các phát biểu sau tương đương

hξ, s0− si ≤ σks0− sk2, ∀s0 ∈ S ∩ B(s, δ) (1.4)

Từ Mệnh đề 1.2 ta thấy nón pháp tuyến xấp xỉ có tính chất địa phương Hainón pháp tuyến xấp xỉ NS 1(s) và NS 2(s) sẽ trùng nhau nếu hai tập S1 và S2 trùngnhau trong một lân cận của s Các bất đẳng thức (1.3) và (1.4) được gọi là bất đẳngthức pháp tuyến xấp xỉ

Mệnh đề 1.3 Cho S là tập lồi đóng trong X Khi đó

a) ξ ∈ NSP(s) khi và chỉ khi hξ, s0− si ≤ 0 với mọi s0 ∈ S;

b) Nếu X hữu hạn chiều thì NP

S(s) 6= {0} với mọi s ∈ ∂S

Mệnh đề này cho thấy rằng khái niệm nón pháp tuyến xấp xỉ trùng với nónpháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi nếu S là tập lồi.

Bây giờ cho S là một đa tạp khả vi, tức là

S = {x ∈ Rn| hi(x) = 0; 1 ≤ i ≤ k},với hi : Rn→ R là các hàm thuộc lớp C1

Mệnh đề 1.4 Giả sử S là đa tạp khả vi được cho như trên Hơn nữa, s ∈ S và hệ{∇hi(s), 1 ≤ i ≤ k} độc lập tuyến tính Lúc đó

a) NP

S(s) ⊂ span{∇hi(s), 1 ≤ i ≤ k};

b) Nếu các hàm hi đều thuộc lớp C2, thì đẳng thức xảy ra

Như vậy ta thấy khái niệm pháp tuyến xấp xỉ cũng là một mở rộng của hướngpháp tuyến đối với C2−đa tạp trong hình học vi phân

Bài tập 1.4 Trong R2 cho các tập

f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x ∈ X nếu

a) f ∈ F ⇔ epi f đóng ⇔ {x ∈ X | f (x) ≤ r} đóng với mọi r ∈ R.

b) Cho ∅ 6= S ⊂ X và IS là hàm chỉ của S Lúc đó, S đóng khi và chỉ khi IS l.s.c.,

S lồi khi và chỉ khi IS lồi

c) Giả sử (ξ, −λ) ∈ Nepi fP (x, r) với f ∈ F và (x, r) ∈ epi f Lúc đó, λ ≥ 0;

r = f (x) nếu λ > 0; λ = 0 nếu r > f (x)

d) Nếu S = epi f với f ∈ F thì, với x ∈ X cố định, hàm dS(x, r) là hàm giảmtheo r ∈ R

e) Tìm một hàm liên tục f : R → R sao cho (1, 0) ∈ Nepi fP (0, f (0))

Cho f ∈ F và x ∈ dom f Vector ξ ∈ X được gọi là dưới gradient xấp xỉ của ftại x nếu (ξ, −1) ∈ NP

epi f(x, f (x)) Tập tất cả các dưới gradient xấp xỉ của f tại x,

kí hiệu ∂Pf (x), được gọi là dưới vi phân xấp xỉ của f tại x

Ví dụ 1.1 Cho hàm số thực f (x) = −|x| Lúc đó ∂Pf (0) = ∅

Bài tập 1.6 Chứng minh

a) NSP(s) là nón lồi Từ đó suy ra ∂Pf (x) là tập lồi,

b) ∂PIS(x) = NSP(x) với mọi x ∈ S,

c) Nếu f ∈ F và f đạt cực tiểu tại x thì 0 ∈ ∂Pf (x)

1.3 Các khái niệm đạo hàm.

Đạo hàm Gâteaux của f tại x ∈ X là vectơ fG0 (x) ∈ X sao cho với mọi d ∈ Xđạo hàm theo hướng f0(x; d) tồn tại và bằng hfG0 (x), di Hàm f được gọi là khả viGâteaux trên tập U ⊂ X nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ U

Vectơ f0(x) ∈ X được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x nếu

∀r > 0, ∀ > 0, ∃δ > 0: ∀d ∈ B(0; r), ∀t ∈ (0, δ):

f (x + td) − f (x)

t − hf0(x), di

Ví dụ 1.2 Cho hàm hai biến

Mệnh đề 1.5 Cho X, Y, Z là các không gian Hilbert, x0 ∈ X và các hàm F : X →

Y , G : Y → Z Khi đó nếu F khả vi Fréchet tại x0 và G khả vi Fréchet tại F (x0)thì G ◦ F khả vi Fréchet tại x0 và

(G ◦ F )0(x0) = G0(F (x0)) ◦ F0(x0)

Giả sử U ⊂ X là một tập mở và f là một hàm có đạo hàm Fréchet f0 liên tụctrên U Nếu đến phiên nó, f0 : U → X là một ánh xạ có đạo hàm Fréchet liên tụctrên U thì đạo hàm của f0, kí hiệu f00, được gọi là đạo hàm cấp 2 của f và f đượcgọi là khả vi liên tục đến cấp 2 Chú ý rằng lúc này f0(x) ∈ X và f00(x) ∈ L(X, X)với x ∈ U Ta kí hiệu C1(U ) và C2(U ) lần lượt là họ các hàm khả vi liên tục đến cấp

1 và cấp 2 trên U và, để đơn giản, ta sẽ viết C1 và C2 thay cho C1(X) và C2(X)

Từ nay, khi nhắc đến đạo hàm (t.ư khả vi) mà không nói gì thêm thì ta ngầmhiểu đó là đạo hàm (t.ư khả vi) Fréchet

b) Nếu f khả vi hai lần thì g cũng vậy Hơn nữa,

g00(t0) = hy − x, f00(x + t0(y − x))(y − x)i; ∀t0 ∈ [0, 1] (1.7)Mệnh đề 1.6 Cho f ∈ F khả vi Gâteaux trên tập mở U ⊂ X Xét x, y ∈ X, x 6= ysao cho [x, y] ⊂ U Khi đó có z ∈ (x, y) sao cho

f (y) ≥ f (x) + hf0(x), y − xi − σky − xk2, ∀y ∈ B(x, η) (1.8)

1.4 Đặc trưng của dưới gradient xấp xỉ.

Bổ đề 1.2 Cho x0 ∈ X, f (y) = ky − x0k2 Khi đó f ∈ C2 và với mọi y ∈ X,

f0(y) = 2(y − x0), f00(y) = 2IdX,

với IdX ∈ L(X, X) là toán tử đồng nhất trên X

Bổ đề 1.3 Cho c > 0 và ξ, x ∈ X Đặt

g(y) =c2+ 2chξ, y − xi − ky − xk2

1

Lúc đó, tồn tại lân cận U của x sao cho g ∈ C2(U ) và g0(x) = ξ

Bài tập 1.7 Chứng minh hàm f (x) = kxk khả vi tại mọi điểm x0 6= 0 Hơn nữa,

f0(x0) = x0/kx0k

Định lý 1.7 Cho f ∈ F , x ∈ dom f Lúc đó ξ ∈ ∂Pf (x) khi và chỉ khi tồn tại các

số dương η, σ sao cho

f (y) ≥ f (x) + hξ, y − xi − σky − xk2, ∀y ∈ B(x, η) (1.9)

Đây được gọi là bất đẳng thức dưới gradient xấp xỉ Từ bất đẳng thức này tathấy gần x, hàm f luôn nằm trên hàm toàn phương

h(y) := f (x) + hξ, y − xi − σky − xk2,

và đẳng thức xảy ra tại y = x Nói cách khác, hàm l(y) := f (y) − h(y) đạt cực tiểuđịa phương tại y = x Hơn nữa, từ cách chứng minh định lý ta thấy có một hìnhcầu trong X × R tiếp xúc ngoài với epi f tại (x, f (x))

Hệ quả 1.1 Cho f ∈ F và tập mở U ⊂ X Lúc đó,

a) Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ U thì ∂Pf (x) ⊂ {fG0 (x)};

b) Nếu f ∈ C2(U ) thì ∂Pf (x) = {f0(x)}, ∀x ∈ U

c) Nếu f lồi thì

ξ ∈ ∂Pf (x) ⇔ f (y) ≥ f (x) + hξ, y − xi; ∀y ∈ X

Giả thiết f ∈ C2trong hệ quả trên là cần thiết Thật vậy, xét hàm f (x) = −|x|32,

ta thấy f ∈ C1 và f0(0) = 0 Tuy vậy, ∂Pf (0) = ∅ Điều này là do f 6∈ C2 Nhưvậy ∂Pf không thực sự là một mở rộng của khái niệm đạo hàm, vì ngay cả nhữnghàm thuộc lớp C1 cũng có thể không khả dưới vi phân Có lẻ đây là nhược điểm

cơ bản của khái niệm này vì dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân Clarke cho hàmLipschitz (ở Chương 2) cũng không mắc nhược điểm đó

Hệ quả 1.2 Giả sử f ∈ F Lúc đó,

a) Nếu f đạt cực tiểu địa phương tại x0 thì 0 ∈ ∂Pf (x0);

b) Nếu f lồi và 0 ∈ ∂Pf (x0) thì x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f

Bài tập 1.8 Xác định dưới vi phân xấp xỉ của các hàm số thực sau

a) f (x) = √3

x tại 0,b) f (x) = −|x| tại 0 và 1,

c) f (x) =

(√

x, x ≥ 0,

−x2, x < 0 tại 0, 1 và −1,d) f (x) =

Mệnh đề 1.8.

a) Giả sử U ⊂ X là một tập mở, x ∈ U và f : U → R liên tục sao cho ∂Pf (x) 6= ∅

và ∂P(−f )(x) 6= ∅ Khi đó f khả vi Fréchet tại x và

K = max{kf0(x)k | x ∈ S}

1.5 Định lý trù mật.

Tiếp theo chúng ta đi đến một kết quả rất thú vị nói rằng tập hợp các điểm tại

đó dưới vi phân xấp xỉ của hàm f khác rỗng là trù mật trên dom f Hay nói cáchkhác, hàm f là khả dưới vi phân xấp xỉ trên một tập con trù mật của dom f Điều

đó được khẳng định trong định lý sau

Định lý 1.10 Giả sử f ∈ F , x0 ∈ dom f và  là một số dương tùy ý Lúc đó, tồntại y ∈ B(x0, ) sao cho ∂Pf (y) 6= ∅ và

f (x0) −  ≤ f (y) ≤ f (x0)

Đặc biệt, dom ∂Pf trù mật trong dom f

1.6 Tổng chập cực tiểu của hàm toàn phương.

Trong mục này ta sẽ khảo sát dưới vi phân xấp xỉ của hàm là tổng chập cựctiểu của một hàm với hàm toàn phương Nhắc lại rằng, tổng chập cực tiểu của haihàm f, g : X → R là hàm h : X → R được xác định bởi

h(x) := inf{f (y) + g(x − y); y ∈ X}, x ∈ X,

và được ký hiệu bởi h = f ⊕ g Bằng quy nạp, ta cũng có khái niệm tổng chập cựctiểu của m hàm: f1, f2, · · · , fm và được ký hiệu

a) Nếu f lồi thì fα lồi

b) Nếu f bị chặn dưới bởi c thì fα cũng bị chặn dưới bởi c Hơn nữa, fα Lipschitztrên mọi tập bị chặn trong X

Định lý 1.11 Giả sử f ∈ F và hàm fα khả dưới vi phân xấp xỉ tại điểm x ∈ X.Lúc đó, tồn tại duy nhất ¯y ∈ X thỏa mãn các điều kiện sau

a) Nếu (yi) là dãy cực tiểu của hàm fα thì yi → ¯y;

b) Hàm f (y) + αky − xk2 đạt cực tiểu duy nhất tại ¯y;

c) Đạo hàm Fréchet fα0(x) tồn tại và

∂Pfα(x) = {fα0(x)} = {2α(x − ¯y)};

d) 2α(x − ¯y) ∈ ∂Pf (¯y)

Định lý này cho ta một tính chất rất thú vị của hàm fα là tại mỗi điểm x ∈ X

ta có, hoặc ∂Pfα(x) = ∅ hoặc fα khả vi Fréchet tại x và ∂Pfα(x) = {fα0(x)}

1.7 Các nguyên lý tối ưu hóa.

Trong Mục 1.5 ta thấy việc chứng minh Định lý trù mật được thực hiện mộtcách đơn giản trong trường hợp hữu hạn chiều, nhưng lại rất phức tạp trong trườnghợp vô hạn chiều Điều đó là do một hàm nửa liên tục dưới trên một tập đóng, bịchặn (trong không gian vô hạn chiều) không nhất thiết tồn tại điểm cực tiểu, thậmchí không bị chặn dưới Tuy nhiên, những kết quả ngay dưới đây cho thấy, với nhữngnhiễu (tuyến tính hay toàn phương) nhỏ tùy ý, một hàm nửa liên tục dưới sẽ đạtđược cực tiểu

Định lý 1.12 (Nguyên lý tối ưu Stegall) Cho f ∈ F và S ⊂ X là tập đóng, bịchặn sao cho S ∩ dom f 6= ∅ và inf

S f > −∞ Lúc đó, tồn tại một tập trù mật các

x ∈ X sao cho hàm

h(y) = f (y) − hx, yinhận một giá trị cực tiểu duy nhất trên S

Thật ra định lý này tương đương với một khẳng định nhẹ hơn rằng: Tồn tạimột dãy (xk) ⊂ X, hội tụ về 0, sao cho các hàm f (y) − hxk, yi có duy nhất mộtđiểm cực tiểu trên S

Định lý 1.13 (Nguyên lý tối ưu Borwein-Preiss) Cho f ∈ F thỏa mãn inf

S f > −∞.Giả sử  > 0 và x0 ∈ X sao cho f (x0) < inf

S f +  Lúc đó, với mọi λ > 0, tồn tạicác điểm z ∈ B(x0, λ), y ∈ B(z, λ) với f (y) ≤ f (x0) sao cho hàm

g(x) = f (x) + 

λ2kx − zk2

nhận x = y làm điểm cực tiểu duy nhất

Chứng minh chi tiết của các định lý này sẽ được cho trong mục tiếp theo, khinghiên cứu về “tổng chập cực tiểu” của hàm toàn phương

Bài tập 1.11 Cho f , x0,  như trong Định lý 1.13, hơn nữa f khả vi Fréchet.Chứng minh rằng tồn tại y ∈ B(x0, 2√

) sao cho kf0(y)k ≤ 2√

Định lý 1.14 Giả sử x 6∈ S và ξ ∈ ∂PdS(x) Lúc đó tồn tại duy nhất điểm ¯s ∈ Ssao cho

a) Nếu (si) ⊂ S là dãy cực tiểu của hàm s 7→ kx − sk thì si → ¯s;

b) Ngược lại, nếu s là nghiệm của bài toán (PUL), với L > K, thì s ∈ S và cũng

là nghiệm của bài toán (PS)

Kết quả sau đây sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa một khái niệm hình học, là nón pháptuyến xấp xỉ, và khái niệm giải tích, là dưới vi phân xấp xỉ

Định lý 1.16 Cho s ∈ S Lúc đó

NSP(s) =tξ | t ≥ 0; ξ ∈ ∂PdS(s)

t→3ϕ(t) = +∞.Định lý 1.18 Cho U ⊂ X là tập lồi mở và f ∈ F (U ) Lúc đó, f Lipschitz trên Uvới hằng số K > 0 khi và chỉ khi kξk ≤ K với mọi x ∈ U và ξ ∈ ∂Pf (x).

Hệ quả 1.5 Cho U ⊂ X là tập lồi, mở và f ∈ F (U ) Lúc đó, f là hàm hằng trên

U khi và chỉ khi ∂Pf (x) ⊂ {0}, với mọi x ∈ U

Bài tập 1.14

a) Chỉ ra rằng Hệ quả 1.5 không còn đúng nếu U không lồi

b) Chứng minh nếu U mở (không nhất thiết lồi) thì một hàm f ∈ F (U ) làLipschitz địa phương trên U khi và chỉ khi ∂Pf (x) bị chặn địa phương trên U

c) Chứng minh nếu S lồi, compact, thì từ giả thiết f Lipschitz địa phương trên

S cũng kéo theo f Lipschitz trên S

Chương 2

Gradient suy rộng Trong Không gian Banach

Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach trên trường số thực

và f : X → R là hàm Lipschitz địa phương Ta sẽ mở rộng các khái niệm vi phâncho hàm Lipschitz, theo đó nhiều khái niệm hình học cũng như các điều kiện cựctrị cho bài toán tối ưu cũng được thiết lập

2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản.

Giả sử f là hàm Lipschitz trong một lân cận của x ∈ X với hằng số K Với mỗi

v ∈ X, ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo hướng v là giới hạn sau

f0(x; v) := lim sup

y→x, t↓0

f (y + tv) − f (y)

Do tính Lipschitz của f , giới hạn này luôn luôn tồn tại Mệnh đề dưới đây cho

ta một số tính chất khác của đạo hàm này

Mệnh đề 2.1 Với hàm f và điểm x được cho như trên, ta có

a) Hàm f0(x; ·) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X Hơn nữa,

Trước khi đi đến định nghĩa dưới gradient suy rộng (một khái niệm mở rộngcủa dưới vi phân) của hàm f , ta cần nhắc lại một số kết quả liên quan đến hàmtựa Nhắc lại rằng, với tập C ⊂ X cho trước, ta gọi hàm tựa σC là hàm được xácđịnh bởi

σC(x∗) = sup

x∈C

hx∗, xi; x∗ ∈ X∗.Tương tự, hàm tựa của một tập D ⊂ X∗ lại được xác định trên X, tức là

a) Với ∅ 6= D ⊂ X∗, σD lồi, thuần nhất dương, nửa liên tục dưới

b) Nếu D lồi và đóng yếu* thì

Từ Mệnh đề 2.1 và Mệnh đề 2.2.d tồn tại duy nhất tập hợp lồi, khác rỗng,compact yếu* D ⊂ X∗ sao cho σD(·) = f0(x; ·) Ta ký hiệu ∂f (x) = D và gọi làdưới gradient suy rộng của f tại x Từ Mệnh đề 2.2.b, ta có

∂f (x) = {ξ ∈ X∗ | hξ, vi ≤ f0(x; v), ∀v ∈ X} (2.2)Các khẳng định sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Hệ quả 2.1

a) ∂f (x) khác rỗng, lồi, compact yếu* và kξk ≤ K với mọi ξ ∈ ∂f (x)

b) f0(x; v) = max{hξ, vi | ξ ∈ ∂f (x)}

c) ξ ∈ ∂f (x) ⇔ f0(x; v) ≥ hξ, vi, ∀v ∈ X

d) Chứng minh nếu f nhận cực trị địa phương tại x thì 0 ∈ ∂f (x).

Ánh xạ đa trị F : X → Y được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu

Để chứng minh định lý trên ta cần sử dụng bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Hàm g được xác định bởi (1.5) là Lipschitz trên đoạn [0, 1] và

∂g(t) ⊂ h∂f (x + t(y − x)), y − xi

Định lý 2.7 Cho F : X → Rn Lipschitz gần x và g : Rn→ R Lipschitz gần F (x).Lúc đó, hàm f = g ◦ F Lipschitz gần x và

∂f (x) ⊂ co∗{∂hγ, F (·)i(x) | γ ∈ ∂g(F (x))}

Ở đây, co∗ ký hiệu bao lồi đóng yếu*

Bài tập 2.5 Chứng minh nếu f và g Lipschitz gần x thì f g cũng vậy Hơn nữa,

∂(f g)(x) ⊂ f (x)∂g(x) + g(x)∂f (x)

2.3 Quan hệ với các đạo hàm.

Mệnh đề 2.8 Cho f Lipschitz gần x Lúc đó

a) Nếu tồn tại đạo hàm Gâteaux fG0 (x) thì fG0 (x) ∈ ∂f (x)

b) Nếu f khả vi liên tục tại x thì ∂f (x) = {f0(x)}

Định lý 2.9 Cho Y là không gian Banach và F : X → Y khả vi liên tục gần x và

S(s; v) ≤ 0.

Một cách tự nhiên, ta gọi tập hợp sau là nón pháp tuyến của S tại s:

NS(s) := TS(s)0 = {ξ ∈ X∗ | hξ, vi ≤ 0; ∀v ∈ TS(s)}

Bài tập 2.9 Chứng minh TS(s) là nón lồi đóng chứa gốc.

2.6 Trường hợp hữu hạn chiều.

Trong mục này ta luôn giả thiết f là hàm xác định trên không gian Rn.Định lý 2.17 (Rademacher) Nếu f Lipschitz địa phương thì f khả vi hầu khắp nơi(theo độ đo Lebesgue)

Định lý 2.18 Giả sử f Lipschitz gần x ∈ Rn Lúc đó, nếu Ω là tập có độ đo khôngbất kỳ trong Rn và Ωf là tập các điểm tại đó f không khả vi Fréchet, ta có

Bài tập 2.13 Tính ∂f (0, 0) vơí f (x, y) = max{min{x, −y}, y − x} Gợi ý: Đặt

Tài liệu tham khảo

[1] Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolensk P.R., Nonsmooth Anlysis andControl theory, Springer, 1998

[2] Rockafellar R.T, Convex analysis, Princeton University Press, 1970

cơ khái niệm vi phân hàm lồi vi phân Clarke cho hàmLipschitz (ở Chương 2) không. .. (PS)

Kết sau mối liên hệ khái niệm hình học, nón pháptuyến xấp xỉ, khái niệm giải tích, vi phân xấp xỉ

Định lý 1.16 Cho s ∈ S Lúc

NSP(s) =tξ... data-page="15">

Chương 2

Gradient suy rộng Trong Không gian Banach

Trong chương ta giả thiết X không gian Banach trường số thực

và f : X → R hàm Lipschitz