nghiên cứu một số kiến thức trong dao động cơ

Trong cơ học, dao động cơ là biến thiên tuần hoàn của vị trí và vận tốc một vật dưới tác dụng của lực cơ học [7].. o Dao động điều hòa, phương trình dao động điều hòa, các đại lượng đặc

A.MỞ ĐẦU

Cơ học là một phần của Vật lý học nghiên cứu các định luật về sự chuyển động và đứng yên của các vật Trong chương trình Vật lý phổ thông trước đây cơ học được chia thành các phần: Động học, Động lực học, Tĩnh học, Các định luật bảo toàn và Dao động cơ và Sóng cơ Như vậy phần cơ học trước đây chỉ đề cập đến chuyển động của chất điểm và cân bằng của vật rắn mà chưa nghiên cứu chuyển động của vật rắn Tiểu luận này không những trình

bày hiểu biết của chúng tôi với mục đích là phân tích, đào sâu để làm rõ và củng cố kiến

thức của hai phần động lực học vật rắn và dao động cơ trong chương trình vật lý phổ thông lớp 12.

KHÁI QUÁT PHẦN “DAO ĐỘNG CƠ”

Dao động là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng Những quá trình dao động có thể có bản chất vật lý hoàn toàn khác nhau, nhưng chúng có những đặc điểm chung và tuân theo cùng một quy luật biến đổi Một cách tiếp cận chung trong việc nghiên cứu dao động trong các hệ vật lý khác nhau cho phép xem xét dao động cơ và dao động khác theo cùng một quan điểm Trong cơ học, dao động cơ là biến thiên tuần hoàn của vị trí và vận tốc một vật dưới tác dụng của lực cơ học [7] Một dao động được

nghiên cứu nhiều trong cơ học là dao động tuần hoàn , tức là dao động lặp đi lặp lại như cũ quanh vị trí cân bằng sau những khoảng thời gian bằng nhau

Ở đây chúng ta quan tâm đến vấn đề đại lượng vật lý trong dao động biến thiên như thế nào, khi các đại lượng vât lý biến thiên theo thời gian theo quy luật dạng sin hay cosin thì dao động đó là dao động điều hòa Dựa vào các định luật cơ học (động lực học) ta có thể thiết lập phương trình vi phân

để khảo sát dao động, đưa ra định nghĩa về dao động điều hòa và các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa, từ đó khảo sát các hệ dao động và các dạng dao động.

Với cách tiếp cận dùng phương trình vi phân khảo sát sao dao động, nhiều sách vật lý đã trình bày cùng một lúc nhiều loại dao động như dao động cơ, dao động điện Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay trình bày dao động cơ trước, sau đó trình bày dao động điện và cuối cùng nêu lên đặc điểm chung của hai loại dao động.Trong phần dao động cơ dựa vào cách kích thích hoặc theo động học ta có thể phân biệt các dạng dao động như dao động tự do, dao động tắt dần, dao động cưỡng bức, dao động duy trì.

Nhiệm vụ: Trong chương này chúng ta nghiên cứu những vấn đề sau:

o Dao động điều hòa, phương trình dao động điều hòa, các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

o Các hệ dao động gồm con lắc lò xo, con lắc đơn, con lắc vật lý

o Các dạng dao động gồm dao động tự do, dao động tắt dần, dao động duy trì, dao động cưỡng bức

o Sử dụng phương pháp giản đồ Fre-nen để tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

2.Phương pháp giản đồ véc tơ quay

3 Hiện tượng cộng hưởng

3 Ứng dụng dao động trong kỹ thuật

II PHÂN TÍCH KIẾN THỨC CHƯƠNG

1 Đại cương về dao động điều hòa

1.1 Hiện tượng tuần hoàn:

Trong thiên nhiên, đời sống và trong kỹ thuật, ta thường gặp nhiều hiện tượng lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn, nghĩa là cứ sau một khoảng thời gian xác định, hiện tượng lại lặp lại như cũ Đó là hiện tượng tuần hoàn.

Hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng cứ sau một khoảng thời gian xác định lại lặp lại đúng như cũ.[2]

Khoảng thời gian T nhỏ nhất mà sau đó hiện tượng lặp lại như cũ gọi là chu kỳ của hiện tượng tuần hoàn Số chu kỳ trong một đơn vị thời gian (1 giây) gọi là tần số của hiện tượng Ký hiệu tần số là f, thì:

2 Dao động điều hòa là gì?

1 Các quan niệm về dao động điều hòa:

Quan niệm 1: Dùng hàm điều hòa x= Acos(ωt +ϕ)

hoặc x= Asin(ωt+ϕ)

để định nghĩa:

“Dao động điều hòa là chuyển động của một vật mà li độ biến đổi theo định luật dạng sin hay cosin theo theo thời gian, trong đó A, ω, φ là những hằng số”.

Quan niệm 2: Dùng biểu thức của lực hồi phục F =−kx để định nghĩa:

“ Chuyển động điều hòa đơn giản là chuyển động thực hiện bởi một hạt

có khối lượng m, dưới tác dụng của một lực tỉ lệ với li độ của hạt nhưng trái dấu”

Quan điểm 3: Dùng phương trình vi phân a x

x ω

để định nghĩa dao động điều hòa:

“ Dao động điều hòa của một vật là dao động trong đó gia tốc của vật:

+ Luôn hướng về vị trí cân bằng

+ Tỉ lệ với li độ từ vị trí cân bằng” [6]

2 Phương trình vi phân dao động điều hòa

Trong tất cả các tất cả các trường hợp: con lắc lò xo nằm ngang, con lắc

lò xo thẳng đứng, con lắc đơn dao động nhỏ, con lắc vật lý dao động nhỏ, thì phương trình vi phân của chuyển động đều có dạng:

2''+ x=

x ω

(1)

đó là phương trình vi phân tuyến tính hạng hai thuần nhất Theo lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

t A

t A

(3)

thì có thể xác định A 1 và A 2 Biểu thức (3) gọi là điều kiện ban đầu của (1)

Từ điều kiện ban đầu và biểu thức (2) của nghiệm tổng quát ta xác định được giá trị của các hằng số A 1 và A 2

Lấy đạo hàm của (2) theo thời gian :

x’ = ωA 1 cosωt - ωA 2 sinωt (5)

Cho t = 0 trong phương trình (5)

Nghiệm (2) với các giá trị của A 1 và A 2 đã được xác định gọi là nghiệm riêng của phương trình (1) với điều kiện ban đầu (3).

Nghiệm tổng quát của (2) có thể viết dưới dạng :

trong đó các hằng số tùy ý là A, φ Hai biểu thức ở vế phải của (2) và (6) là trùng nhau với mối liên hệ giữa các hằng số tùy ý như sau:

2 2

1 arctan(

= ϕ

x x

A= +

(9)

( ) ( )

x

x

) 0 0

' arctan(

thích ban đầu, tức là vào điều kiện ban đầu, tần số góc của dao động đã có giá trị xác định trong (1).

Trong từng trường hợp cụ thể ω có biểu thức xác định, chỉ phụ thuộc vào

hệ dao động Như vậy, các dao động của một hệ có cùng một tần số góc ω

và có biên độ A, pha ban đầu φ phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.

Công thức độc lập ( liên hệ x, v, và A)

1.2.3 Các đại lượng trong dao động điều hòa:

a Li độ x (độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng)

x có thể âm hoặc dương.

Tại vị trí cân bằng x=0, tại 2 biên x=

b Biên độ của dao động: A

A= x max (khoảng cách từ vị trí cân bằng tới vị trí biên, nó phụ thuộc vào

điều kiện kích thích, tức là phụ thuộc vào năng lượng làm vật dao động.

A là một số dương.

c Pha của dao động :

Là đại lượng trung gian cho biết biết trạng thái

dao động (x, v, a) của vật ở thời điểm t.

d Pha ban đầu của dao động :

Là pha ở thời điểm t = 0

xác định trạng thái ban đầu (x 0 , v 0 , a o ) của vật,

phụ thuộc vào gốc thời gian, chiều dương và

gốc tọa độ của trục (hệ quy chiếu).

1.2.4 Công thức vận tốc trong dao động điều hòa

 vận tốc tức thời của một vật chuyển động trên một trục là đạo

hàm bậc nhất của tọa độ (vị trí x) của vật theo thời gian v = x ’

 vận tốc của vật dao động điều hòa có công thức

 Vận tốc biến thiên điều hòa, cùng tần số với li độ x, nhưng sơm

pha hơn li độ x là

 Khi qua vị trí cân bằng (x = 0) vận tốc của vật đạt giá trị cực đại ,

hoặc cực tiểu, độ lớn Khi ở hai biên (x = ) vận tốc của vật v = 0

( vật dừng lại và đổi chiều chuyển động)

 Khi vật chuyển động từ hai biên về vị trí cân bằng thì chuyển động

nhanh dần ( gia tốc và lực cùng chiều với ) Khi vật chuyển động

từ vị trí cân bằng ra hai biên thì chuyển động chậm dần (gia tốc

và lực ngược chiều với ).

1.2.5 Công thức gia tốc của vật dao động điều hòa :

 Gia tốc của vật chuyển động trên trục là đạo hàm bậc nhất của

vận tốc v theo thời gian, hay đạo hàm bậc hai của tọa độ x theo

thời gian: a = v ’ = x ’’

 Công thức gia tốc của vật dao động điều hòa

Hình 3a: Con lắc lò xo

 Tại vị trí cân bằng x = 0 nên a = 0 Tại hai biên (x = -A) gia tốc cực đại, tại (x = +A) gia tốc cực tiểu, độ lớn

 Vecto gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng 0

Vận tốc, gia tốc luôn biến thiên điều hòa cùng tần số (chu kỳ) với li độ x, gia tốc a ngược pha với li độ

khối lượng m được gắn vào một

đầu của lò xo có khối lượng

không đáng kể và độ cứng k

(N/m), đầu còn lại của lò xo được giữ cố định

2.1.2 Khảo sát dao động của con lắc lò xo về

mặt động lực học

2.2.2.1 Con lắc lò xo nằm ngang

Trong hệ này vật trượt không ma sát trên

mặt phẳng nằm ngang Tại vị trí cân bằng lò

xo không biến dạng Chọn trục tọa độ x ’ x

trùng với mặt phảng ngang dọc theo chiều

chuyển động của vật, chiều dương hướng sang phải, gốc tọa độ 0 tại vị trí cân bằng.

Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x =x 0 rồi thả tay ra, ta thấy nó dao động quanh vị trí cân bằng.

Tại vị trí bất kỳ vật chịu tác dụng của: trọng lực , phản lực và lực đàn hồi của lò xo Vì và luôn cân bằng nên chỉ có lực làm vật dao động.

Theo định luật Húc

Ở đây x là tọa độ của vật được đo từ vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên, tức là không co dãn Loại lực này được gọi là lực hồi phục tuyến tính[3] Nó được gọi “tuyến tính” vì tỉ lệ tuyến tính với độ dịch chuyển x và được gọi là

“hồi phục” vì lực luôn ngược hướng với độ dịch chuyển.

Vì lực lò xo chính bằng lực tổng hợp tác dụng lên vật, nên theo định luật hai Niu-tơn ta có:

a =

, biến đổi các số hạng ta có:

x m

k dt

Như chúng ta đã thấy đạo hàm bậc hai của x đối với t là:

) cos(

2 2

2

ϕω

Thay vào phương trình (13), ta được:

x m

k t

Điều này có ý nghĩa là vật thực hiện dao động điều hòa với tần số góc

Chu kỳ của con lắc lò xo:

Chu kỳ (tần số, tần số góc) của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào đặc tính của

hệ, không phụ thuộc vào các đặc tính bên ngoài nên dao động của nó là một dao động tự do.

Lực đàn hồi của lò xo: nên F max = kA, F min = 0.

Phân biệt lực hồi phục và lực đàn hồi

- Lực hồi phục là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng, lực có xu hướng đưa vật trở về vị trí cân bằng.

- Lực đàn hồi là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng , có xu hướng đưa vật trở về vị trí có hình dạng ban đầu ( chiều dài tự nhiên).

1.2.2.2 Con lắc lò xo thẳng đứng

Tại vị trí cân bằng vật chịu tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi ,hai lực này cân bằng:

Về độ lớn: P – F đh =0 mg = k l

Tại vị trí cân bằng lò xo đã biến dạng một lượng

• Chu kỳ con lắc lò xo thẳng đứng:

• Lực đàn hồi cực đại: F max = k( l + A)

• Lực đàn hồi cực tiểu : F min = k( l – A), nếu l > A thì F min = 0.

• Lực đàn hồi khi vật ở vị trí bất kỳ : F = k ( l )

2.1.2.3 Con lắc lò xo khi đặt trên mặt phẳng nằm nghiêng

Về mặt chuyển động thì giống hai trường hợp trên, nhưng tại vị trí cân bằng lò xo đã biến dạng , là góc hợp bởi mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.

Chu kỳ con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng:

2.1.2.4 Hệ gồm hai lò xo ghép song song

Giả sử tại vị trí cân bằng ta tác dụng vào vật một lực , vật dịch chuyển một

đoạn l khi đó lò xo k 1 chịu tác dụng của một lực , lò xo k 2 chịu tác dụng

của một lực Vì cả hai lò xo đều giãn đều ra một đoạn l nên :

F 1 = k 1 l , F 2 = k 2 l

F 1 + F 2 = (k 1 + k 2 ) l

F = (k 1 + k 2 ) l

Gọi k là độ cứng tương đương của 2 lò xo : F = k l

Suy ra : k = k 1 + k 2

Hệ 2 lò xo ghép song song tương đương lò xo có độ cứng : k = k 1 + k 2

2.1.2.5 Hệ gồm hai lò xo ghép nối tiếp :

Giả sử tại vị trí cân bằng ta tác dụng vào vật một lực , vật dịch chuyển một

đoạn l Vì hai lò xo ghép nối tiếp nhau nên tại mọi thời điểm cũng như tại

mọi vị trí, lực đàn hồi của hai lò xo như nhau :

Gọi , lần lượt là độ biến dạng của hai lò xo k 1 , k 2

Ta có :

Vậy hệ hai lò xo ghép nối tiếp tương đương một lò xo có độ cứng :

Nếu một con lắc lò xo được cắt thành nhiều đoạn thì độ cứng mỗi đoạn tỉ lệ nghịch với chiều dài của nó : k 0 l 0 = k 1 l 1 = k 2 l 2 = …

2.1.3 Khảo sát dao động con lắc lò xo về mặt năng lượng

 Khái niệm năng lượng:

Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượng Theo nghĩa chung nhất, năng lượng là một thuộc tính cơ bản của vật chất, đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất

Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể Ví dụ: trong vận động cơ ta có cơ năng; vận động nhiệt

ta có nhiệt năng, nội năng; vận động điện từ ta có năng lượng điện từ; …

Năng lượng thường kí hiệu là E (Energy) Trong hệ SI, đơn vi đo năng lượng là Jun (J) Theo Einstein, năng lượng và khối lượng của vật quan hệ với nhau bởi: E = mc2 với c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không [4]

1

2 1

2 1

2

1

2 1

mv d v d v m v d dt

s d m s d dt

v d m s d a m s

1mv

đ

E =

là động năng của vật

Vậy: Động năng của một chất điểm là năng lượng tương ứng với sự chuyển

động của chất điểm đó, có giá trị bằng nửa tích khối lượng với bình

phương vận tốc của chất điểm.[4]

 Thế năng

Ta biết, công của trường lực thế không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của đường đi Để đặc trưng cho

tính chất thế của trường lực, ta dùng hàm vô hướng Et(x,y,z) mô tả vị trí các điểm trong trường lực, sao cho hiệu hai giá trị của hàm tại hai điểm M,

N bất kì bằng công của lực thế thực hiện giữa hai điểm đó Hàm Et(x,y,z) có tính chất như vậy được gọi là hàm thế, hay thế năng của trường lực thế đó

Vậy: Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là hàm phụ thuộc vào vị trí của chất điểm, sao cho hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm M, N chính bằng công của lực thế đã thực hiện trong quá trình chất điểm di chuyển từ

M đến N[4]

Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là jun (J)

Với biểu thức (15), ta thấy có rất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau một hằng số cộng C Do đó, thế năng của vật không xác định đơn giá mà sai khác nhau một hằng số cộng Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác định đơn giá

Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (Et(∞) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác định đơn giá và có biểu thức tính:

A M t

Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức tính:

s d F M

Et = mgh + C với h là độ cao của vật so với mặt đất

Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: Et = mgh

 Thế năng của lực đàn hồi:

Xét biến dạng một chiều của lò xo Lực đàn hồi của lò xo, có dạng:

2 1

( 2

1 2

1

x x k dx s

x

x x k s d F

A=∫  = − ∫ = −

Thế năng của lực đàn hồi là:

C kx t

E = 2+ 2 1

Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo không biến dạng thì ta có:

2 2

1kx

t

E =

 Năng lượng dao động điều hòa con lắc lò xo

Cho vật dao động điều hòa với phương trình :

Thế năng của con lắc lò xo tại thời điểm t:

2

1 2 2

t E

Động năng của con lắc lò xo tại thời điểm t:

sin

2 2

1 2 2

Giá trị cực đại của hàm sin, cosin bằng 1 nên động năng và thế năng được viết lại như sau:

1 max kA

1 max m A

1 2

2 2

Trong hệ dao động chỉ có lực đàn hồi của lò xo thực hiện công, do đó cơ năng E của hệ bằng:

2 2

1kA

đ E t E

E= + =

Như vậy, cơ năng của con lắc dao động điều hòa là không đổi

2.2 Con lắc vật lý

2.2.1 Định nghĩa

Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng M có thể dao động quanh một trục nằm ngang cố định (đi qua O) [3]

2.2.2 Khảo sát dao động của con vật lý về mặt động lực học

Xét con lắc vật lý: Gọi C là khối tâm của vật

rắn, C cách O một đoạn L.

+ Khi con lắc ở vị trí cân bằng, có hai

ngoại lực tác dụng: trọng lực và phản lực

đặt tại O do trục quay tác dụng lên vật rắn.

Tại vị trí này mômen của của hai lực trên

đối với trục quay đi qua O đều bằng 0 do đó gia tốc góc a z = 0.

+ Dưới tác dụng của trọng lực con lắc dao động Chọn góc lệch θ

của OC so với đường thẳng đứng làm tọa độ góc Tại vị trí này thì tổng mômen các lực đối với trục O là mô men của trọng lượng Đối với giá trị dương của

góc θ

, mômen lực này có xu hướng làm quay theo chiều kim đồng hồ, tức là

có xu hướng kéo con lắc về vị trí cân bằng Khoảng cách vuông góc từ trục

O đến đường tác dụng của bằng Lsinθ

Với trục z được chọn đi ra phía ngoài trang giấy thì thành phần z của mômen lực

a x ω

nếu ta thay I

mgL

= 2ω

Vì γz

tỉ lệ với -θ

đối với những dịch chuyển nhỏ khỏi

Dùng con lắc vật lý đo gia tốc trọng trường g Đặt con lắc tại một vị trí, đo

chu kì T của con lắc dao động Dùng công thức mgL

I

T = 2 π

suy ra gia tốc g của trọng trường tại vị trí đặt con lắc Biết giá trị g tại các vị trí khác nhau trong một vùng, có thể suy ra phân bố khối lượng khoáng vật ở dưới mặt đất trong vùng đó giúp cho việc tìm mỏ dầu

2.3 Con lắc đơn (con lắc toán học)

Con lắc đơn là trường hợp riêng của con lắc vật lý

1 Định nghĩa:

Con lắc đơn gồm vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m Treo ở đầu sợi dây mềm không giãn có độ dài L và có khối lượng không đáng kể [2] Chuyển động tuần hoàn của con lắc đã được sử

dụng từ lâu trong đồng hồ quả lắc để điều chỉnh cơ

cấu làm cho các kim chuyển động trên mặt số Đối

với những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng và

không có ma sát con lắc đơn sẽ thực hiện dao động

điều hòa.

2 Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học Xét con lắc đơn có toàn bộ khối lượng tập trung vào một đầu và được treo

ở đầu kia.

Ở đây con lắc chuyển động trên một phần cung tròn, nên ta có thể dùng một tọa độ góc và áp dụng động lực học cho chuyển động quay để phân tích chuyển động của con lắc.Chọn trục O đi qua đầu trên của dây và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.

+ Khi con lắc ở vị trí cân bằng, có hai ngoại lực tác dụng: trọng lực e và lực

s do giá đỡ tác dụng lên đầu trên của dây Tại vị trí này momen của của hai lực trên đối với trục O đều bằng 0 do đó gia tốc góc a z = 0.

+ Nếu con lắc dịch khỏi vị trí cân bằng như hình vẽ thì tổng momen các ngoại lực đối với trục O là momen của trọng lượng e Đối với giá trị dương