BÍ QUYẾT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BÍ QUYẾT THẠC SĨ.. TRẦN MẠNH HÂN - CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC - CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC - CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI... CÔNG THỨC BIẾN Đ

Trang 1

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

BÍ QUYẾT

THẠC SĨ TRẦN MẠNH HÂN

- CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC

- CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC

- CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI

Trang 2

ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 1

I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



2 2

sin 1 cos1

cossin

1 sincos

x x

tan cot

tan

x x

4 4

2 2

6 6

1 2 sin

cos

1 3 sincos

sin

x x

cos )(1 sin cos )(sin

cossin

cos )(1 sin cos )(sin

cossin

x x

III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

cos( x) cosx sin(  x) sinx

tan(  x) tanx cot(  x) cotx

 Hai cung bù nhau

sin(  x) sinx cos(  x) cosx

tan(  x) tanx cot(  x) cotx

 Hai cung phụ nhau

 Hai cung hơn nhau 

sin(  x) sinx cos(  x) cosx

tan(  x) tanx cot(  x) cotx

 Hai cung hơn nhau

Trang 3

cos)

sin(x k2 )  sinx cos(x k2 )  cosx

tan(x k ) tanx cot(x k ) cotx

IV CÔNG THỨC CỘNG

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan

x x x

x x

x

x x

22

x x

sin 3 3 sin 4 sincos 3 4 cos 3 cos

V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

Trang 4

sinsin

2

u v u

2

v u

k u

2

21

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m và cos x m là:  1 m 1

 Sử dụng thành thạo câu thần chú " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa các phương trình dạng sau

sinu  sinv  sinu  sin(v) cosu  cosv cosu  cos(v)

 Đối với phương trình

2

1cos

x x

cos

0sin 20

cos1

sin

x x

cos

44

Trang 5

Ta xác định ở phương trình này 3

,

44

sin 2

36

2

123

6

34

43

6

k x

cos

43

243

212

k x

Chú ý: Đối với phương trình tan x m ( tan x m ), trong đó m là hằng số thì điều kiện

cosx 0 (sinx 0) là không cần thiết

Bài 2 Giải các phương trình sau

k x

2

22

34

11

212

k x

 Do PT có dạng tanu  tanv nên ta chỉ cần một điều kiện cosu  0 hoặc cosv  0 Để đơn

giản ta chọn điều kiện: cos 0

32

Trang 6

53

tantan 3

64

 Do có thể biến đổi PT về dạng tanu  tanv nên ta chỉ cần một điều kiện cosu 0 hoặc

cosv 0 Để đơn giản ta chọn điều kiện:

32

24

 4 cos2x 2( 3 1)cosx  3  0  2 cos2x 5 sinx  4 0

 3 tan2x  (1 3) tanx  1 0  sin2 cos2

2

2sin

sin

2

x x

1tan

3

x x

x

www.DeThiThu.Net

DeThiThu.Net

Trang 7

3sin 2

x x

2sin 2

x x

 sin4xcos4x sin cosx x  0 

2sin 2

x x

k x

Trang 8

4

x x

 sin 3x cos 2xsinx  0 (D-2013)  sin 5x 2 cos2x 1 (B-2013)

 sinx 4 cosx  2 sin 2x (A-2014)  cos 3x cos 2x cosx  1 0 (D-2006)

Hướng dẫn giải:

 PT sin 3xsinxcos 2x 0  2 cos 2 sinx x cos 2x  0cos 2 (2 sinx x 1) 0

24

0cos 2

22

2

k x

 PTcos 3xcosx cos 2x    1 0 2 sin 2 sinx x 2 sin2x  0

sin (sin 2x x sin )x 0

sinsin 2

x x

Trang 9

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asinx bcosx c

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2 b2

2 2 2

2 2

b a b



b a

 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 b2 c2

 Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng

phép nhóm nhân tử chung

 cosx  3 sinx  2  2 sinx 2 cosx  6

 3 cos 3x sin 3x  2 sinx cosx  2 sin 5x

22

26

212

k x

22

24

212

22

43

k x

.336

Trang 10

25

2164

3

25

38

4

k x

x x

5

22

66

k x

2 2

646

46

1212

212

12

k x

1sin 3

23

5

23

63

k x

Trang 11

cos 7sin 7

22

26

3

27

46

k x

1211

12

k x

784

211

784

k x

77

k

77845

 cos 7x sin 5x  3(cos 5xsin 7 )x  tanx3 cotx  4(sinx  3 cos )x



3cos 2

 Nhận xét: Đối với PT dạng asinx bcosx c thì chúng ta có thể giải một cách dễ dàng bằng

cách chia cho a2 b2 Nhưng nếu gặp dạng asinmx bcosmx csinnx dcosnx trong

đó a2 b2 c2 d2 thì làm thế nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy mỗi vế của

phương trình đều có dạng bậc nhất của sin và cos, ta thử chia mỗi vế cho a2 b2 , rất may

a b  c d Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế có cùng một cung Từ đó

ta có lời giải như sau:

PT cos 7x  3 sin 7x sin 5x 3 cos 5x 1cos 7 3sin7 1sin5 3cos 5

22

Trang 12

sin 5sin 7

sin 2

x

k x x

3 cossin

2 sin 2

3 cossin

x x

 Điều kiện: sinx  0 x k 

23

2

22

33

k x

3

k x

31

cos 2sin 2

cossin

22

2

33

25

39

cos

x x

Trang 13

 Điều kiện: cos 0

22

sin 2

52

66

k

x x

k x

1cos

2

x x

k x

t

067

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asin2x bsin cosx x c.cos2x  d 0

 Cách giải:

Cách 1: + Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không?

www.dethithu.net

DeThiThu.Net

Trang 14

+ Xét cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

 2 sin2x sin cosx x 3 cos2x  0  2 sin2x 3 sin cos x x cos2x  0

 sin2x 10 sin cos x x 21cos2x  0  2 sin2x 5 sin cos x x 3 cos2x  0

 2 sin2x sin cosx x 3 cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

2

1tan

12

; cos 2sin 2

11

t t

x x

t t

 2 sin2x 3 sin cosx x cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

2

1tan

 sin2x 10 sin cosx x 21cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 1 0 nên cosx 0 không t/m

021

10 tantan

7tan

x x

k x

 2 sin2x 5 sin cosx x 3 cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 20 nên cosx  0 không t/m

2

1tan

 sin2x  (1 3)sin cosx x 3 cos2x 0  3 sin2x 4 sin 2x 4 cos2x  0

www.MATHVN.com

DeThiThu.Net

Trang 15

 3 sin2x4 sin cos x x 5 cos2x 2  3 sin2x 4 sin 2x(8 33)cos x2  3

 sin2x  (1 3)sin cosx x 3 cos2x 0

033) tan

(1tan

3tan

x x

 PT3 sin2x 8 sin cosx x 4 cos2x 0

2

2tan

3

k x

 3 sin2x4 sin cosx x 5 cos2x 2

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 32 nên cosx 0 không t/m

x x

 PT3 sin2x 8 sin cosx x(8 33)cos2x 3

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 3 3 nên cosx 0 thỏa mãn

Tức là

2



  là nghiệm của phương trình

+ Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 với chú ý: 12 2

 sinx 4 sin3x cosx  0  2 sin3x  cosx

 2 cos3x sin 3x  4 cos3x 2 sin3x3 sinx  0

DeThiThu.Net

Trang 16

 sinx4 sin3x cosx  0

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành 3 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

Nhận xét: Khi giải phương trình bậc 3 các em thường bấm máy tính để ra nghiệm ngay, nên các em

biến đổi phương trình 3t3   t2 t 1 0  t 1 Như thế liệu đã đầy đủ chưa? Câu trả lời là

chưa đủ vì chúng ta không hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3 Các em cần phải phân tích

thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm Vậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất?

Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau t 1, 1

0, 473

t    i (1 nghiệm

thực và 2 nghiệm phức) Chú ý đến số 1

3

 nhé!

Bước 2: Viết nhân tử: do PT có nghiệm t 1 nên có một nhân tử (t 1), vậy nhân tử còn lại là gì?

Dựa vào hệ số đầu tiên và cuối cùng trong phương trình bậc 3 ta thu được hệ số đầu tiên và cuối cùng

của nhân tử còn lại, tức là có nhân tử nữa (3t2 Bt 1) Để tìm B ta dựa vào phần thực của

nghiệm phức còn lại 1

23

B A

   từ đó suy ra B 2 Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành

(t1)(3t 2t1) t

 2 sin3x  cosx

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành  2 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

 2 cos3x  sin 3x 2 cos3x  3 sinx 4 sin3x

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành 0 1 nên cosx  0 không thỏa mãn

3 2

23 tan (1x tan ) 4 tan x x   tan3x 3 tanx  2 0

(tanx 1) (tan x  

2tan

x x

t  t   Khi đó phân tích phương trình thành t33t   2 (t 1)(t2) Như thế liệu đầy

đủ chưa? Các em hãy để ý bậc ở hai vế để tự đưa ra câu trả lời nhé Như vậy là đa thức này còn có 1

nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là t 1 hay t 2 Câu trả lời là t 1, vì sao lại như vậy?

Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là t 2 thì số hạng tự do của đa thức ban đầu phải là 4,

không ổn rồi Vậy kết quả là t33t   2 (t 1)(t2)(t 1)  (t 1) (2 t2)

 4 cos3x 2 sin3x 3 sinx  0

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành  1 0 nên cosx  0 không thỏa mãn

Trang 17

 sin sin 2x x sin 3x 6 cos3x  cos3x sin3x  sinx cosx

 6 sinx2 cos3x 5 sin 2 cos x x  cos3x sinx3 sin2xcosx  0

 sin sin 2x x sin 3x 6 cos3x 2 sin2x cosx 3 sinx4 sin3x 6 cos3x

3tan

x x x

 PTcos3xsin3x sinxcosx  0

x x

 6 sinx2 cos3x 5 sin 2 cosx x  6 sinx 2 cos3x 10 sin cosx 2x

cos3x sinx3 sin2xcosx 0

 cos3x4 sin3x3 cos sinx 2xsinx 0  13 tanx 2 sin 2x

2 3 cos

2 sin

sincos

x x

 cos3x4 sin3x3 cos sinx 2xsinx 0

DeThiThu.Net

Trang 18

33tan

3

x x x

 Điều kiện: cosx 0 Khi đó phương trình trở thành: cosx 3 sinx  4 sin cos x x 2

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

 Điều kiện: cosx 0 PT trở thành: 2 sin2xcosx 2 3 cos2xsinx  3 sinx cosx

1tan

3tan

3

x x x

 Điều kiện: cosx 0 PT trở thành:sin3x2 sin2xcosx  3(2 cos3x sin cosx 2x cos )x

3tan

x x x

 cos3x sin3x cos2x sin2x  cos3x sin3x  cos 2x

cos 2sin

cossin

63

 PTcos3x sin3x  cos2xsin2x

(cosx sin )(1x sin cosx x cosx sin )x 0

Trang 19

Giải (2): Đặt t sinx cosx

sin cos

2

t x

244

44

k x

 PT(cosx sin )(1 sin cos )x  x x  cos2xsin2x

(cosx sin )(1 sin cosx x x sinx cos )x 0

2

t x

  ta có: 2  t2 1 2t    0 t 1

1sin

1cos

sin

x x

k x

cos 2cos )

cos 2 (1 sin

x x

33

36

sin 2sin 2

1

48

;

1212

Trang 20

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX

sin

2

t x x

sin

2

t x

x x

 2(sinx cos )x sin 2x  1 0  sin cosx x 6(sinxcosx1)

 2(sinx cos )x sin 2x  1 0 2(sinx cos ) 2 sin cosx  x x  1 0

Vậy phương trình có nghiệm:

 sin cosx x 6(sinxcosx1)

2

t x

2

t x

1

t t

Trang 21

4

x x

cos

k x

x x

x

k x

 tanx2 2 sinx  1 sinx cosx2 2 sin cosx x  0 (cosx 0)

2

t x

20

22

0)

sincos

sin

132

4

12

k x

x x

x

cossin

cottan

x x

cossin

3cos

sin1

cossin

2

k x x

x x

k x

Trang 22

Vậy phương trình có nghiệm: ; 2 ; 2 ( )

x x

(sin cos )(sin cos

 sin cos x x 2 sinx 2 cosx 0

2

t x

x x

3sin cos

x x

 Điều kiện: sinx 0

PT2 sin2x cosx 4 sin2xcosx sinx

 2 sin cos x x (sinxcos )x  0

4

x x

2

t x

Trang 23

PT trở thành:

(t/m)

(lo¹i)

2 2

512

0)

(1

512

t t

 sin3xcos3x 2 sin cosx x sinx cosx  1 sin 3x cos3x sin 2x

 2 sin x cosxtanx cotx  (1sin )(1x cos )x 2

 PT(sinx cos )(1 sin cos )x  x x 2sin cosx x sinx cosx

11)(

1)(

2

t t t

t t

cossin

2

k x x

x x

k x

x

k x

 PT 1 (sinx cos )(1x sin cos )x x 2 sin cosx x

13)

1)(

3

t t t

Trang 24

sin1

cos

k x

x x

x

k x

x x

2(sin

sin cos

x x

 (1sin )(1x cos )x 2  sin cosx x sinx cosx 1

t t

sin1

cossin

2

k x x

x x



 sin cosx x  sinx cosx 1  (1 sin )cos 2x x (1 cos )sinx2x  1 sin2x

 2 sin 2 (sinx x cos )x 2  sinxcosx 4 sin 2x 1

 2 sin 2x3 6 sinx cosx  8 0

 sin cos x x  sinx cosx 1

4

x x

t t

Trang 25



21

cossin

2

k x x

x x

k x

x

k x

 PTsinx cosx sin cos (sin x x x cos )x  1 2 sin cosx x

sin1

cossin

2

x x

x

k x

 PT2 2 sin cos (sinx x x cos )x 2

 PT sinxcosx 8 sin cos x x 1

2

t x

134

t t

cos

k x

x x

x

k x

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	907,24 KB