Bộ sưu tập TC Toán học và Tuổi trẻ từ năm 1978 đến nay ... Các tuyển tập sẽ không được đưa lên vì nhiều website đã có. ... Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác
Trang 1
hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO * HO! TOA
TẠP CHÍ RA NGÀY 15 HÀNG THẤNG
+ TỪ MộT BÀI TOAN DON GIẢN VỀ HÌNH VU
*
3% PHU ONG PHAP VEC TO
*
G
Trang 2hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
TOÁN HOC VA TUOI TRE
MATHEMATICS AND YOUTH
MUC LUC
Trang
& Dành cho các bạn Trung học Cơ sở Tổng biên tập :
For lower Secondary School Level Friends i
Pham Thanh Luan ~ Tit mot bai toan etree caer nota
đơn giản về hình vuông, 1 Phó tổng biên tập :
© Gidi bai kì trước NGÔ DẠT TỨ
Solution of Problems in Previous issue HOANG CHUNG
Các bài của số 208 3
© Dé ra ki nay :
Dé thi hoc sinh giỏi lớp 9 của Hải Phòn, ul 2
© đc Di nại hà, 2b CC ø Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng
& Phạm Bảo ~ Phương pháp véctơ 12 Chúng, Ngô Đạt Tứ, Lê Khác
& Tìm hiểu sâu thêm toán học phổ thông Bao, Nguyễn Huy Đoan,
To help Young Friends Gain Better Nguyén Viet Hai, Dinh Understanding in Secondary School Maths Quang Hảo, Nguyễn Xuân
Ngõ Thành Long = Từ một bất đẳng thức Huy, Phan Huy Khải, Vũ
tích phân 2 ‘Thanh Khiét, Le Hai Khoi,
© Nguyén Canh Toan ~ Déng quy va Nguyễn Văn Mậu, Hoàng Lê
® Giải trí toán học Ƒ Ps Bìa 4 Trấn Văn Nhung, Nguyễn Dang Phat, Phan Thanh Tran Viet Hing răn Việt Hùng ~ Thay chit bang ay mn Bie 86 Quang, Tạ Hồng Quảng, ,
Đăng Hùng Tháng, Vũ Dương Thụy, Trần Thành Trai, Lê
Bá Khánh Trình, Ngô Việt Trung, Đặng Quan Viễn
Anh bia Hoc sinh trưởng 7WCS Jrấn 2ú - Hải Phong trong gi Tinhoc
Tru sd toa soan :
45B Hàng Chuối, Hà Nội DT: 213786 Biên đập va tri su : VU KIM THUY
331 Nguyễn Văn Cừ TP Hồ Chí Minh DT: 356111 Trình bày : THANH LONG
Trang 3hittps://Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Dành cho các bạn Trung học cơ sở
TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
VỀ HÌNH VUÔNG
cách suy nghỉ thì từ một bài toán đơn giản, chúng ta cơ thể đạt ra nhiều bài toán
khá phong phú Xin lấy thí dụ từ bài toán khá
đơn giản sau đây
PHAM THANH LUAN
TP Hồ Chí Minh
Cach 2 - Dựng CC, // HF (C, trén AD) va
DD, // EG (D, tren AB), A AD,D = ADC,C (hinh 2)
Hinh 1
Bài toán 1 ~ Cho hinh vudng ABCD Lay
một điểm M bat ki trong hinh vuéng dé, Duong
thằng d, qua M cát AB tại E, cắt CD tại G,
dường thẳng d, qua M vudng góc uới d, cắt
BC tại E, cát AD tai H Chitng minh rang
EG = FH
Bài toán có nhiều cách giải Sau đậy là ý
chÍnh của 2 cách
Cách 1 - Ha ES 1 CD vA FT 1 AD
AESG = AFTH (cge) (hinh 1)
` Hình 3
Hình 3
Xét bài toán với một số nị /rí đạc biệt của
điểm M 1) Khi M = O (tâm hình vuông), ta có :
Bài toán 2 - Cho hình uuông ABCD Hai đường thẳng d, va d, qua tâm O của hình vudng va vubng góc uới nhau, cất các cạnh hình nuông tại các diểm tương ứng E, G, F,
H thình 3) Chứng mình ràng : a) S(AEOH) = S(EBFO) = S(FCGO) =
1 S(OGDH) = | S(ABCD)
6) EFGH la hinh vuéng
Vz,
4
A Oe 2 Can
Trang 4
hittps:/Avww facebook.com/letrungkienmath
2) Néu M =I, trung điểm của BC, và đường thang d, qua A thi F = I va H = A Ta dat
được bài toán 8
Bài toán 3~ Dựng hình uuông ABCD biết đỉnh A uờ trung diểm M của BC
Gợi ý giải : Qua M dung d, L AM Trên d, dựng ME = MG = AM/2 Hạ MB 4 AE
(hinh 4)
3) Nếu M là một điểm bất kì J trên cạnh
BC và đường thang d, qua A thi F = J và
H E Ta dat được các bài toán 4 và õ
Bài toán 4 - Cho hình suông ABCD uà điểm M bất Rì thuộc cạnh BC (khác B 0à C)
Gọi N là giao của hai đường thẳng AM uờ CD
Chứng mình rằng :
Gợi ý giải ~ Qua A dung d, 1 AN, cat CD
tai G Ap dụng hệ thức trong tam giác vuông
AGN (hình 5) Bài toán 5 - Cho hình suông ABCD có cạnh bằng a Qua A ding hai tia Ax, By sao
cho xAy = 45°, hai tia Ax va Ay cét BC va AD
lần lượt tại N uà E
a) Chứng mình rằng tam giác AHE có dộ đài dường cao xuất phút từ A không dồi 0) Xác dịnh uị trí của N uà E để S(ANE)
là cục tiểu :
Gợi ý giải - Coi Ax la d,, dung d, 1 Ax, cat
CD tai P Suy ra AP = AN va AAPE = AANE (hinh 6)
Sau đây là một số bài toán tương tự, được
đạt ra từ bài toán 1 Bài toán 6 ~ Dựng hình uuông ABCD biết
4 điểm nằm trên 4 cạnh của hình 0uông
Gợi ý giải = Qua Ï dựng Ix // LJ, trên Ix lấy doan IK’ = LJ Quad dung JC 1 KK’ (hinh 7)
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Bài toán 7 ~ Dựng hình ouông ABCD biết đỉnh A uà hai điểm M, N trên BC uà CD
Bài toán 8 Cho hình ouông ABCD, trên
cạnh BA uà CB dạt BP = BQ Ha BH 1 CP Chứng mình rang DH 1 HQ
Gợi ý giải — Kéo dài BH cát AD tại I, suy
ra được IB = CP tit do ed AI = BQ và IQCD
la hinh chit nhat Nam dinh I, H, Q, C, D cùng
nằm trên một đường tròn (hình 8) Bai toan 9 - Cho hình vudng ABCD Lấy
M bất ki trên CD Đường tròn đường kính AM
va dung tron dường kính CD cắt nhau ở điểm thit hai N DN kéo dài cát BC tại P Chứng mình rằng : PM + AC
Gợi ý giải = Gọi Q là giao điểm của AB và đường tròn đường kính AM Suy ra được Q
N, C thẳng hàng, từ đó chứng minh được
QB = PC = MC (hình 9)
Bai toan 10 - Cho hinh vudng ABCD I
là một diểm bất kì thuộc BC Hạ BM + AI
BM cat CD tai G Dung CC, | AI (C, tren AD),
DD, |} BG (D, trén AB) Xéc dinh vj tri cia I
dé MNPQ la hinh vudng
Bài toán 11 - Cho ABCD là hình uuông cạnh a, tia Ax bất kÌ nằm trong góc nông BAD Duong phân giác Èùa góc BAx cát BC
tại M, dường phân giác của góc DAx cắt CD
tại N Gọi E là giao điểm của Ax uà MN Tìm quỹ tích của diểm E,
Bài toán 13 - Cho hình puông ABCD có cạnh bàng a Trên AB, AD lấy hai điểm M, N'
sao cho tam giác AMN có chu vi bang 2a
Chứng mình rang CMN = 45°
Bài toán 13 - Cho M, N là trưng điểm của các cạnh AB va BC của hình uuông ABCD
ND va CM cắt nhau ở P Chứng mình rằng
PA = AB
Đề nghị bạn đọc tìm lời gi
toán trên, liên hệ với bài toán 1
của các bài
7 Bee NA \
\
x
Hinh 7 Hinh 8 Hinh 9
Trang 5hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
Bai,T1/208 : Cho các số nguyễn 4, b, thỏa
man a? = b +1 Xét day số | u„) „~ ạ được xác
định bồi : u„ = 0, uy = quạ + WBun + c?
Vn G N Chứng minh rang day {u,} la day
cdc sé nguyén
Lời giải : Cách 1 (của Phạm Huy Từng, 9A THCS Bế Văn Đàn, Hà Nội ; Nguyễn Ba
Hùng, Nguyễn Ngọc Tân, Ngô Đức Thành -
10CT DHTH Ha Nội ; Lê Viết Hải, Trịnh Văn
Khôi, Dương Thanh Liêm = 10T Lam Sơn,
` Thanh Hớa ; Hoàng Xuân Bách, CT ĐHSP
Vinh và Phan Anh Dũng, LIT Phan Bội Châu,
Nghệ An) :
Từ wạ = aư„ +Vbuz_, + 7 vn E NY =
u2 -2au, ju, taruz_, = buz_, +e? Vn N°
= (a?-b)u2 — Đau, quy + Hệ nt cn EN*
(via? = 6 +1) = (au, -u,,))? = buz +e?
Vn € N* Do do, Vn EN’ tacd :u,,, = aw
+ au, -u,| ()
Viu, = 0€Z,u, = au, + Vouz +c? = |e]
€Z, nên từ (1) suy ra ứạ € Z Vn € N (Dpem)
Jách 2 (của Trăn Thị Ngọc Hải, 9T Lê Khiét Quảng Ngãi ; Phạm Anh Tuấn, 9T Lam
Sơn, Thanh Hóa ; Lẻ Thái Nhân, 11T Nguyễn
Binh Khiêm Vĩnh Long ; Trần Thiên Ánh,
10GT ĐHTH TPHCM ; Nguyễn Văn Hoàng,
12A Quốc học Quy Nhơn Binh Dinh ; Lẻ Anh
Vai, 11ỢT Quốc học Huế ; Lê Anh Khoa, 11A,
Le Quy Don, Da Nang ; Nguyễn Hoàng Công,
11T Lê Khiết, Quảng Ngãi ; Hồ Văn Thảo,
Nguyễn Xuân Thắng ~ PTTH Đông Ha, Quang
Trị ; Nguyễn Anh Dũng, Nguyễn Xuân Tương
- CT ĐHSP Vinh ; Phạm Mạnh Quang, Trình
Hữu Trung — Lam Sơn, Thanh Hơa) ; Vũ Đức
Son, Dinh Van Tam - PT Luong Van Tuy,
Ninh Binh ; Nguyễn Vữ Hưng, 11D ĐHSPNN
Hà Noi ; Vương Vũ Tháng, 10T ĐHTH Hà
Nội ; Vũ Huy Phương, 11T PTNK Hải Hưng ;
Nguyễn Việt Linh, 11CT Trấn Phú Hải
Phòng ; và một số bạn khác) :
“Từ các giả thiết của bài toán dễ thấy :
UP py ~ Ladty 9 Uy ay + 822) — 6° = OWN EN (2)
-c?=0Wn EN (3)
tuệ
và u2 — 2gu, inten ei
Lấy (2) trừ (3), vế theo vế, ta được :
tnya — (v2 + Uy — 20.6p,)) = 0 Vẽ €N
y ta, Wn € Ñ ta có : nếu ứa € Z và tạ, ¡ € Z
thì rạ, 2 € Z Œ)
tu
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Viu, =0€Zvau, = |e| € Znén tit (*) suy ra
u,, € Zn € N (Dpem)
Nhận xét : 1 Tòa soạn nhận được lời giải của 105 bạn, trong đó có 40 bạn cho lời giải sai Nhiều bạn đã cho lời giải sai vỉ mác phải một trong hai suy luận sai lầm sau :
an= 0Vn
bạ = 0Vn
ii) Từ (9) và (3) = u, vaw,,> là hai nghiệm
của phương trình (ẩn x) :x2~ 2aw,# + w2 — c
= 0(4) > u,,) +u, = 2au,,, (theo dinh li
Viet) (5)
(Xim lưu ý các bạn : Chỉ có (B) khi u,„ và !
}
0Yn= [
u„ là tất cả hai nghiệm của phương trình (4) Nối khác đi : chi co (5) khi tap hop {u,,,>5 ty,
là tập nghiệm của pt (4) !)
2 Co thể chứng mỉnh được rằng : Nếu
a < Othiu,,, =u, Wn EN; con néua > 0 thiu,, tu, = 2au,,, Wn EN
NGUYEN KHAC MINH
Bài T2/208 : Cho ba số dương x, y, z thỏa
man
xtytz = xyz
Chứng mình rằng
Œ+z2q +.) Vite Vee
yz
va +20 +22) Vite? - VTE |
= z3) -VT*# - Ve
xy =0 Lời giải :
Cách 1 (Của bạn Nguyễn Việt Cường 8H, Nga Sơn, Thanh Hơa)
1 1 Tu
y2” z,- Bài toán quy
về chứng minh đẳng thức
Đặt mo ™ Lae
đ+z2d †z2) +Ýd ty +25) +
Y+*z2( #32) = Œ„+y„VT+z2 +
, +2, NT Fad + @, +x, VT +y2
neu xy, +z b2te= 1
“Thật vậy
1x3 = xy AI Fo tho FHS = Cy FY NM +2)
Tương tự 1 +y2 = (x, +y,)2, +¥,)
1; + ey = Œc + 2G FY) NEY
Vũ *z2Œ #72) = Œ„ +y„)ÉŒ, +z,)Œ„ FY)
=O tenis
Trang 6https:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
Y +z2Π+37) =, +y, NT +92
Cộng lại ta có điều phải chứng minh Cách 3 (của đa số các bạn) :
Dat x = tga, y = te ; z= tgy trong đó œ,
Bye (0, 5) Từ điều kién tga + tgp + tey
tge tg tgy suy ra œ +/j +ÿ = + Từ đó thay
vào và sử dụng biến đổi lượng giác đơn giản
ta dẫn dén vé trai la [(sina + sing + siny) -
sin(a +B) ~ sin(Ø + y) ~ sin( + œ)]/sine sinØ siny = Ú do điều kiên a +h +y =x
Nhận xét : Hoan nghênh nhiều bạn lớp 9 như các bạn Bùi Thị Phương Nga (Lớp 9 Lê Khiết, Quảng
Ngãi), Giáp Đăng Khoa (9A Tan Yên, Hà Bác),
Nguyễn Ảnh Tuấn (9T Phan Bội Châu),
Nguyễn Thanh Hà (9A Hòa Bình), đã giải
dung bai nay mà không dùng phép đạt lượng
giác như ý đồ của tác giả bài toán Lời giải của
bạn Cường ở trên là rất hay, vừa sơ cấp vừa
ngắn gọn
3) Một vài bạn mắc sai lầm trong suy luận
khi cho rang : "Vi tgA + tgB + tgC = tgA tgB
tựC nếu A, B, € là ba góc của tam giác nên phai cd x = tgA, y = tgB, z = te
DANG HUNG THANG
Bài T3/208, Chứng mình rằng tam giác ABC đều khi uà chỉ khi :
1
sin A si BH 2sin 5 sin 2 sỈn 2 Ha
Lời giải (dựa theo Vũ Minh Giang = 11B,
- PPTH Bim Sơn - Thanh Hơa) Nhân cả hai
vẽ với sinA sinB sinC, được
siwHsinC_ sinChinA - sinAsinB _
Shee tn a Bae Ce
= eos 5 cos > cos 5
Xi 0c A2 là 4cos S 0s 6082 = À 4co8 5 cos 5 C082 20G) A+B ASB oC
( cos aE ad, ) cosy =
2 Ope ee
= 2sin 5 cosy + 2eos—5— cos'9 =
inC + sinA + sinB (2)
ậy, vẽ trái của (1) bằng vế phải của (2)
Ấp dụng định lí hàm số sỉn, ta có đẳng thức
tương đương :
be —+—+—=atbte a,b, ca ab ve
©>9(b2e2+c?a2+a?b?) = 2a°be + 9b°oa + 2e°ab
(4b ~ be)2 + (be ~ ca)? + (ca ~ ab)? = 0
=c©AABC đều Và, ta có đpem
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Nhan xét Co 129 bai giải gửi về tòa soạn, tất cả đều giải đúng Lời giải tốt gồm có : Vir
Minh Giang (11B, - PTTH Bỉm Sơn - Thanh
Hoa), Dink Trung Hang (11M Marie ~ Curie
Ha Noi), Pham Dinh Truong (11CT PTTHNK Tran Phi - Hai Phong), Thanh Huong (IIPTTH Lương Van Tuy - Ninh Binh), Nguyễn Phú Quảng (10GT ĐHTH - Hà Nội), Tit Minh Hai (ACT PTTH Ban Mé Thuột, Dae Lac)
ĐĂNG VIỄN Bài T4/208 Cho năm điểm phân biệt A,
B, C, D, E 0à một dường thẳng d cùng nằm trạng một mú‡ phẳng Goj O là điểm sao cho
OA + OB + OC + OD + OF = 0 (tite O la trong
tam ctia hé diém { A, B, C, D, E} va A’, B’,
Ơ? D, E), O' lần lượt là hình chiếu tnuông góc) trên d của các diểm A, B, C, D, E va O Ching minh rang :
Ey i lgdes bee ne ee
00 = § (AA' +BH' +CC +DD' +EE')
Lời giải (Dựa theo Vương Vũ Tháng, 10A
chuyên toán ĐHTH Hà Nội và một số bạn
khác)
Ta giải bài toán tổng quát cho trường hợp
m điểm phân biệt {A, A,} có trọng tâm
la O, nghia la
Qua O dung dudng thang A vudng géc với
d (6 0’) va goi A} la hinh chiéu vudng goc trén
d cua A, i = 1,2, s„ n)
s= DOA,
Baryon fetter ; aaiey ai
# = DOA vas =D 04):
1 OA, = O'A; + OA) Gi = 1, 9, n) nên
$8 +” trong đó s” có phương của ở, còn
8, Có ương của A, 1 ở Do dé
s=0 $5’ = 0 (ess = 0), nghia la
71/2)
Trang 7hittps://Avww.facebook.com/letrungkienmath
a eo
Lai vi OA, = 00° + 0’A) +44, =
= 0'A, +00’ ~A,A,, nén :
OA, = 3.04) + (đỗ - AA) =
= n00'- DAA; a
wats
Từ (1) và (3) ta được : 200° - > AA; = 0,
i=l
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
hay là :
Raa ie
00' = DAA; 5 (3)
a
Đơ là đ.p.e.m
Nhận xé ~ Có 108 bạn tham gia giải
bài toán nay
2 - Bạn Tháng và nhiều bạn khác còn cớ
nhận xét sau đây : Kết quả của bài toán không
thay đổi khi ta thay hÌnh chiếu vuông góc bởi
hình chiếu song song hoặc thay hệ điểm (A,,
4», An} trong mật phẳng bởi hệ điểm
khong gian, đồng thời đường thẳng d th:
mặt phẳng ở
trong
tay bởi
3 - Có một số bạn giải bài toán trên bằng
phương pháp tọa độ ; tuy nhiên, thực chất tcũng
là phương pháp chiếu véctơ như đã nêu ở trên
Nhiều bạn sử dụng phương pháp chứng minh
quy nạp, nhưng trình bày không sáng sủa
4 - Ý tưởng cơ bản trong chứng minh hệ
thức (3) là thiết lập hệ thức (2) Có nhiều cách
chứng minh (2) Ñgoài cách nêu trên, để chứng
minh (2) có một số bạn sử dụng đến tích vô
hướng : chứng minh rằng 0 () Ø"
pe
titds suy ra = SOA}
0 (wor
0 Hai ban Nguyén
i Ngọc Tân, 10T ĐHTH Hà Nội và Lẻ Anh
Tuấn 10A CT ĐHSP Vinh đã sử dụng phép
đối xứng qua đường thẳng ở để chứng minh
(3) cũng khá gọn
NGUYEN DANG PHAT
Bai 15/208 Goi R là bán kính mặt cầu
ngoại tip, my, My Mm, mụ là độ dời các
tuyến xuất phát lần lượt từ các đỉnh A, trọng Bic
D của một tứ diện ABCD Chứng mình bất
đẳng thức :
3
R > FG lm, +m, +m, +m)
khi nào thì xẩy ra đẳng thức ?
Lời giải Gọi O, Œ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện ABCD, ta có : AR? = OÁ2 LON +, QC + 0D =
(0G.+ GÀ)? + (0G + GB)Ỷ + (0G +GÓ)? + _,
+(OG+ GD)? = 40G+ 20G(GA+ GB+ GC+ GD)
+ GA? + GB? + GC? +GD?
9
= 40G? + 1g (mỶ + mộ + mộ + mi) Mà
1
mộ + mỹ + mộ + mà > Z(Mq tmp +m, + my)?
(Bu-nhia-k6p-xki) Do do :
9
4R? > Ba Ma tm, +m, +m?
3 hay R > 7g (m, +m, +m, +m4)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi G =
Goi I, J là các trung điểm tương ứng của
AB, CD, ta có Œ là trung điểm của LJ Néu G thi tir cdc A can GAB, GCD, ta cé GI 1
AB ; GJ 1 CD, nên các A vung GIA, GIB, GIC, GID bang nhau, suy ra AB = CD Tương
tự, ta cũng có BƠ = DA ; CA = BD Vay, tit diện ABCD gần đều Đào lại, nếu tứ diện A BCD gần đều thì Œ = 0 Và, đẳng thức xẩy ra khi
và chỉ khi tứ diện ABCD gần đều Nhận xét Trừ một vài bạn thu hẹp phạm
vi xẩy ra đẳng thức với tứ diện đều, còn thì các bạn đều giải đúng Lời giải tốt gồm cơ : Vữ Đức Sơn (LIT ~ Lương Văn Tuy, Ninh Binh), Pham Dinh Trường (11A, PTNK Trần Phú Hai Phong), Phan Duy Hing (11CT Dao Duy
Từ - Déng Héi - Quang Binh)
DANG VIEN
Bai 16/208 Tìm số có 3 chữ số chia hết cho 9 sao cho thương số trong phép chia số ấy cho 9 bằng tổng bình phương các chữ số của
Số ấy
Lời giải : theo Nguyễn Dang Thang, 9NK, Thuan Thanh, Ha Bac
Gợi số phải tim là abe (0 < a <.9, 0 <b, c <9)
'Theo đầu bài ta od abe = 9(a2 +64 +02) (1)
hay 9(11a +6) + (a +6 +c) = 9(a2.+6? +c) (2)
Trang 8Attps://Awww.facebook.com/letrungkienmath
Viabe? 9nénsuyraa+b+ci 9
Vaya +b te = 9, 18, 27
1 Nếu ø+ b+ e = 27suyraa=b=c=9
Ta thấy ngay (1) không được thỏa mãn
9 Nếu ø+b +e = 18 ta có :e = 18~ (ø +ð)
(2) > 11a +b +2 = a2+ b2 + c? (3)
“Thay e vào (8) ta cớ (3) =ø+b = 9(42+b2 + ab ~ 23a — 18b + 161) (4) Vậy a + b là số chẵn từ đó suy ra e
cũng là số chẵn Đặt e = 2n, n EN, thay gid
trị này của e và ð = 18 - (ø + c) vào (4) ta có
phương trình bậc hai đối với a
a? — (23 - 2n)a + (4n? - 8ỗn + 152) = 0 suy ra A = - 12? = 4n +4) - 81 < 0
Phương trình vô nghiệm Nghĩa là không
tổn tai abe
8.Nếua+b+c=9=ec=9-(a+ð)
(9) => 11ø+b +1 = a2+b?+c2 (5)
Thay e vào (B) ta có
(5) >a +b = 2(a+ b? + ab ~ 14a ~ 96) (6) Vay a +6 la s6 chan, suy rac la s6 1é Dat
mm +1,m EN, suyraatb = 8-2n>
“Thay các giá trị của e và ö vào (ð) ta có phương trình bậc 2 đối với ø : a2 + (2m ~ 18)a
+ (4m? = 13m +28) = 0 (7)
=> A = (2m - 18)? - 4(4m? - 13m + 28) =
57 = 12m?
Phương trình (7) có nghiệm khi va chỉ khi A>0 :
ð7 - 12m2 > 05 > m?=m = 0, 1,2
Mặt khác vì phương trình (7) đòi hỏi có nghiệm nguyên nên cần là A phải là số chính
phương Ta thấy chỉ có giá trị m = 2 mới cho
ta A = õð7 - 48 = 9 là số chính phương
9x3
Néu m = 2thia = 2
Néu a = 6 thì do e = 5= b = -2 (loại)
Néua = 3thidoc=5=>6=1
_ Vậy trong trường hợp này số phải tìm là
abe = 315
Vay s6 phai tim thỏa mãn yêu cầu của đầu
=a=6 hoặc a = 3
bài toán là 315 Thử lại ta thấy 315 = 9(3? + :
1? +52)
Nhận xét : Rất nhiều bạn giải được bài này Các bạn sau đây có lời giải tốt : Nguyễn
Ngọc Đông, Nguyễn Dang Minh, 9NK, Thuan
‘Thanh, Ha Bac ; Pham Huy Tùng, 9A, Bế Văn
Đàn, Hà Nội ; Đoàn Minh Đức, 8D, chuyên
Quỳnh Phu, Thai Binh ; Vien Ngoc Quang,
Pham Anh Tuấn, 9T, Lam Son, Thanh Hea ;
Nguyễn Trung Thành, 9T, Nang khiếu, HA
6
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
“Tỉnh ; Lê Quang Nắm, 9CT, Đức Phổ ; Lương
Lê Tú, Nguyễn Hữu Hội A, Trần Thị Ngọc Hải, 9T, chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi
16 NGUYEN
Bai T7/208 Cho a,, a», ., a, la cdc 36
dương lẻ, tất cả đều không có ước nguyên tố
lớn hơn õ Chứng minh rang
1 1 1 15
—+—+u.+—<=
a, S8
Lời giải : Đề ra thiếu điều kiện : "Các số œ¡, , œ, là phân biệt" Nếu thiếu điều kiện
nay dé thay bai toan không đúng chẳng hạn lay a, = a, = 1 Tuy nhién da 86 cac ban giti
lời giải đã phát hiện ra điều thiếu sót này Rất
hoan nghênh các bạn
Sau đây là lời giải của các ban Tran Thi
Ngọc Hải (9T Quảng Ngãi) Bùi Thị Phương
Uyên (9 Quảng Ngãi), Lá Vinh Quang (9 NK
Ninh Binh), Phan Hoàng Việt (12A Quốc học
Quy Nhơn), Nguyễn Bich Hang (10 DHSP Ha Noi), Ngo Ngoc Dong (9 Thuan Thanh, Ha Bắc), Vũ Đức Sơn (11 Lương Văn Tụy, Ninh
Bình), Theo giả thiết với mỗi ¡ ta có
a, = 85 Bổ
trong dé «, € N, B, € N va cap (e, đj) #
(a, A) néui + j Goi m = max { a, Bj}, thi
(vìl+a+ +am=
0<a<1) Nhận xét : Có một số bạn có lời giải sai
khi cho rằng a; là những số có dạng 3È, õt
DANG HUNG THANG
Bai T8/208 : Chitng minh rang, néu r va
s là hai số thực cho trước thỏa mán diều biện
s2 +rỶ >0 thì phương trình xÌ + 3rx — 2s = 0
có nghiệm số thực duy nhất là :
3 3
ge VNTR VE @œ
Hãy áp dụng kết quả đó để giải các phương
trình x3 +x +1 = 0 va 203 — 1x2 — 1 = 0
L.T.S : Do sơ suất nên trong Đề bài đã in nhầm một dấu "+" ở (*) thành dấu "-" Haw hết các bạn gửi lời giải tới T.S đã chỉ ra thiếu sót nói trên uà đã sửa lại cho đúng T.S thành thật xin lỗi uà chân thành cảm ơn các bạn.
Trang 9hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
Lời giải (của nhiều bạn) :
3
e Dặtz= W+Ýs?+r? và
b= Wea Vet #75 , tacda? +63 = 20 vaad =—7 Viết lại phương trình da cho duéi dang :
— 8abx — (g3 +63) = 0
Ô — (ø +b)3 — 8ab[x — (ø +ð)] = 0
— (a +ð)][x2 + (ø +b)w +a2 —ab +b?] = 0
=atb
| x2 + (a +b)x +a? —ab +62 = 0 (1) hương trình (1) cớ
A=(a +6)? —4(a? —ab +6?) = -3(a — b)? < 0
(œ # b do s? +r3 > 0) nên nó vô nghiệm
Từ đơ suy ra phương trình đã cho cơ duy nhất nghiệm :
eo Co: txt1=0 (2)
3 +3 gx~? (-ÿ)=0.Vi
143
(§) 1 31
2
+ ( - 3) = ioe theo trên,
phương trình (2) cớ đuy nhất nghiệm :
TP Si 2 108 sài 108
© Vix = 0 khong phai la nghiém của phương trình ch 15x? —1 = 0 (3) nên (3)
= (33+ 5 T8: 10= 0 (4) Đặt £ = 4, từ (4) có phương NET #
8+8.5./—2.10=0(8)
Vì 102 + 53 = 225 = 15? > 0 nén pt (5),
theo trên, cơ duy nhất nghiệm :
t= Äïð+T5 + ïð=T6 = 25 - Ÿ5
Từ đơ suy ra, pÈ (3) có duy nhất nghiệm :
wd 548 ٤ + 5
*=5-ế 20
Nhận xét : 1 Cơ rât Ít các bạn học sinh bậc THCS gửi lời giải cho bài toán
2 Phần lớn các bạn gửi lời giải đã dùng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh
tính duy nhất nghiệm của phương trình
+3 + 3rx — 2s = 0 (6)
3, Một số bạn cho lời giải không hoàn chỉnh
do không chứng minh hoặc chứng minh sai tính duy nhất nghiệm của pt (6) Một số bạn khác "quên" không giải phần hai của bài toán
4 Các bạn cơ lời giải tốt (chỉ tính trong số
các bạn là học sinh bậc THCS) : Nguyễn Lê
>0 nên,
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Luc, 9A1 Đầm Dơi - Minh Hải ; Lê Quang
Năm, 9CT Đức Phổ - Quảng Ngãi ; Pham Huy Tùng, 9A Bế Văn Đàn, Hà Nội và Nguyễn Ngọc Đông, 9ÑK Thuận Thành, Hà Bác
NGUYEN KHAC MINH
Bài T9/208 : Cho tam giác ABC, uẽ các
phân giác trong AA,, BB,, CC,, Giả sử AA, cét B,C, tai K, BB, cét C,A, tai E, CC, cdt
A,B, tại FL Chứng minh rang néu AK = BE
= CF thi ABC la tam gide đều
tính đường phân giác
B 2aceos 5
=p suy ra
280, BAY 6oa =
pate La Sede 2a B
“BC, +BA, Ta+2p+c 2
2be A Twong te AK = 5 > C052
2ác 2be
aha B A
và d > B tite cos 2 > cos 2 Vay BE > AK
Tuong tu néu b > a thi AK > BE
Mà AK = BE nên b = a
Tương tự EB = CF nên a = c Suy ra AABC đều
Nhận xét : Giải tốt bài này gồm có các bạn :
Lê Công Sơn 12A,, PTTH Việt Đức, Lê
Tuấn Anh 108, ĐHTH, Nguyễn Vũ Hưng 11D
PTTH chuyên DHSPNN, Phan Linh 9A PTONN, Pham Huy Tung, 9A THCS Bé Van Dan (Ha Noi), Pham Quang Minh 127 PTTH
Ha Long (Quảng Ninh), Lé Van Manh 11CT Chuyên Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình), Nguyên
Chí Dãng 8B Chuyên Việt Tri (Vinh Phu), Ha
Thu Théo 10CT PTNK (Hai Hung), Dao Ly,
7
Trang 10
hittps://Avww.facebook.com/letrungkienmath
12A PTTH Chuyén, Doan Minh Đức 8D
Chuyên - Quynh Phu (Thai Binh), Trinh Thé
Huynh 11A, PTTH (Nam Ha), Nguyén Viet Kiên 12A ~ PTTH Nga Lê Hồng Phong, Nam Định
Sơn II, Phạm Mạnh Quang, 11T, Phạm Anh
Tuấn 9T PTTH Lam Sơn (Thanh Hĩa), Phạm
Hồng Linh 10T Phan Bội Châu (Nghệ An),
Dương Thu Phương, Trần Tiên Giang, Mai
Từng Long 9T NK (Hà Tỉnh), Phan Duy Hùng,
11CT Dao Duy Từ, Đồng Hới (Quảng Binh),
Nguyễn Quỳnh 12T Chuyên (Quảng Tr,
Nguyễn Hồng Cơng 1IT, Hồ Từ Vũ 8T
Chuyên Lê Khiết (Quảng Ngãi), Nguyễn Minh
Thọ, Phan Hồng Việt 12A Quốc học Quy
Nhơn (Bình Định), Nguyễn Kỳ Quốc 12A3
PTTH Nguyễn Trai, Phan Rang - Tháp Chàm
(Ninh Thuan), Ngo Dang Ha An 12A PTTH
Lé Quy Don (Long An), Lê Thái Nhan 11T
Chuyén Nguyén Binh Khiém (Vinh Long)
VKT
Bài T10/208 Cho tam giác ABC khơng
uơng cĩ độ dài các cạnh BC = a, CA = b va
AB = c Tìm trong mặt phẳng của tưm giác
một điểm \M sao cho các khoảng cach x, y va
z từ M lần lượt đến các dường thẳng chứa các
cạnh BC, CA ó AB tỉ lệ uới độ dài các cạnh
đĩ:x:y:z=a:b:e
Hay chỉ rõ uị trí hình học của những diểm
tim duoc va tính khoảng cách từ những điểm
đĩ đến các cạnh của tam giác dã cho
Lời giải a) Trước hết, bằng cách sử dụng
định lí Ta-lét, chúng ta dễ dàng thiết lập
(chứng minh) được các mệnh đề sau đây :
(1) Quỹ tích những điểm mà tỈ số khoảng
cách đến hai cạnh của một gĩc xĨy bằng È cho
trước là một tia Oz nam trong gĩc đổ (Oz sẽ
là tia phân giác khi & = 1)
(2) Quỹ tích những điểm mà tỉ số khoảng
cách đến hai đường thẳng cat nhau x’Ox, y’Oy
(hoặc song song) bằng k cho trước là hai đường
thang đi qua O (hoặc hai đường thẳng song
song với hai đường thẳng song song đã cho)
0 Bảy giờ áp dụng mệnh đề thứ hai ở trên vào
bài tốn của ta, ta chứng minh được rằng
(Phân tích) :
~ Quỹ tích những điểm mà tỉ số khoảng
cách đến hai đường thẳng AB và AC bằng
kị= : (AB = c, CA = b) là hai đường thẳng
di qua A; AX va AX’ ; trong dé AX nm trong
gĩc BẢO và gĩc đối đỉnh với nĩ, cịn AX” là
tiếp tuyến tại Á của đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC
~ Cũng vậy, qui tích những điểm mà tỈ số
khoảng cách đến hai đường thẳng BC và BA
bằng ky : là hai đường thẳng đi qua B ; BY
8
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
va BY’ ; trong dé BY nam trong gĩc CBA va
gĩc đối đỉnh với nơ, cịn BY' là tiếp tuyến tại
B cia đường trịn ABC
~ Quỹ tích những điểm mà tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng CA và CB bằng
b
hy = 5 la hai dudng thang di qua C : CZ va
CZ', trong đĩ CZ nằm trong gĩc ACB và gĩc
đối đỉnh với nĩ, cịn CZ” là tiếp tuyến tại C cha đường trịn ABC (xem hình vẽ)
Từ đĩ suy ra : Điểm phải tìm là giao điểm của một trong hai đường thang AX, AX' vớ
một trong hai đường thẳng BY, BY' (hoặc với
một trong hai đường thẳng CZ, ƠZ') (Qui tích đường giao)
~ Để ý rằng các bộ ba đường thẳng AX, BY,
CZ ; AX, BY’, CZ’ ; BY, CZ’, AX’ va CZ, AX’, BY' là những bộ ba đường thẳng đồng quy ; gọi tên các điểm đồng quy đĩ lần lượt là
M, = (AX) 0 (BY) & (CZ), M, = (BY) n (C2),
Mẹ = (CZ) n (AX) và Mạ = (AX) n (BY)
Két qua (vì tam giác ABC khơng vuơng) ta tìm
được tất cả 4 điểm : M,„,„ Mụ „Mẹ uờ M: như đã
chỉ ra ở trên thỏa mãn điều kiện địi hỏi của
bài tốn
Ngồi ra, ta cĩ các nhận xĩt thêm sau đây 19) Các điểm AM, „ M,,„ M, là giao điểm của các tiếp tuyến tại các đỉnh A, 8, Ở với đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và điểm ẤM, là điểm đồng quy của ba đường đối trung của AABC
2°) Goi A, , B, va C,là hình chiếu của M, trên các đường thẳng BC, CA và AB thì M,B,A¡C,
là một hình bình hành với ¿ = 1, 2, 3 con M,
là trọng tâm cla tam gide A,B,C, (i = 0)
©) Cuối cùng, dễ dàng tính được các khoảng cách từ các điểm M,, M), M; oờ M; đến các cạnh của tam giác ABC
Với điểm M,, ta co:
fe
“
os
