TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 454 THÁNG 4 NĂM 2015

Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 454 (Tháng 42015) gồm khoảng 28 bài viết trong các chuyên mục: Dành cho Trung học cơ sở, chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và thi vào Đại học, bạn đọc tìm tòi, đề ra kì này, giải bài kì trước, diễn đàn dạy học toán, diễn đàn phương pháp giải toán. Mời bạn đọc tham khảo.

xuflr siru rUrgoa

2015

s6 454

r4n cni nn xArue rnArue - NAM ra052oArus cHo rRUNG Hoc pxd rnOruc vA rnuruc xoc co s6

Tru s6: 187B Gi6ng V6, Ha Ndi.

DT Bi6n tdp: (04) 35121607; DT - Fax Ph6t hdnh, Tri su: (04) 35121606 Email: toanhoctuoitrevietnam@gmail.com Website: http://www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre

Gido su LO Vdn Thiemld Ch0 tich ddu ti0n

c0a Hoi Toan hoc Vi0t Nam Ong ld nhd todn

'hqc n6i ti5ng, co nhung dong gop lon trong

nghiOn cuu vd ung dung Todn hoc Ong c0ng

ld mot trong nh0ng nguoi ddt ndn mong cho

'r gido dqc dai hoc 0 nuoc ta, nguoi thAy c0a

nhi6u thd he cdc nhd to6n hoc Vi6t Nam GidLo

su LO Vdn Thiemluon ddnh sU quan tAm ddc

bi6t ddn viec gidng dqy todn hoc d cdc truong

pnd tnOng Ong la mot trong nhting nguoi

sdng lAp h6 th6ng phd thOng chuy6n todn vd

Tap chi Toan hoc va Tudi tr6.

Gidi thudng L€ Vdn Thi6m do Hdi Toan hoc

Viet Nam ddt ra nhdm g6p phdLn ghi nhAn

nh0ng thdnh tich xudt sdc c0a nhung thdy c0

gido vd hoc sinh phd thOng da khdc phuc kho

khan dd dqy vd hoc to6n gr6i, dong vien hoc

sinh di sAu vdo mon hoc co vai tro dac bi6t

quan trong trong su phdt tridn lAu ddi c0a n6n

khoa hoc nuoc nhd Gidi thuilng LO Van Thi€m

cring ld su ghi nhfn cong lao crla Gido su ld

Vdn Thi6m, mOt nhd todn hoc l6n, m6t nguoi

thdy da h6t long vi su nghiOp giAo duc.

HA HUY KHOAI (Vi6n Todn hqc Viat Nam)

Tu khi ra dai, Giei thuhng Le Van Thi€m dd nhAn dugc su 0ng h0 to lon vd tinh thdn vdr vAt chdt c0a cQng ddng toAn hoc vd xA hQi Dac biQt, sau dip kjt

ni6m 40 ndm Vi6t Nam tham gia Olympic To6n hoc Qu6c t5, mot cuu hQc sinh chuyen toAn (di dd nghi khOng n6u t6n) da 0ng ho Quy gi6i thuo'ng s5 ti6n

1 tyi ddng.

II GIAITHU'ONG LE VANITI{IEIVI 2014 Hoi Todn hqc Vi6t Nam quydi dinh trao Gidi thudng L€ Van Thi6m ndm

2014 cho c6c nhd gi6o vd hoc sinh sau dAy:

'1 Co gido Nguyen Ngoc Xu&n, THFT chuyen Hodng Vdm T'hu, hloa tsinh

* Sinh nam 1981.

* Tham gia dEy ToAn ho'n 1 1 ndm, trong d6 dqy chuy6n Todn 10 ndm.

* C6ng tdc trong mot truo'ng gip nhi6u kho khdn,

a Trong 3 ldn phu tr6ch chinh Doi tuydn dA c6 11 hoc sinh doat gidi Qudc gia, 2 hoc sinh doat Huy chuong Bac Olympic To6n Singapore mo r6ng.

o Nhidu bdi vi6t, chuyen d6 cho ciic hOi thiio.

o 9 ndm ld gido vi6n dqy gi6i, chi6n si thi dua cdp Tinh nam hoc2013-2014,

giAo vi6n ti6u bidu kh6i THPT chuy6n tinh Hoa Binh.

a Khi ld hoc sinh dd tung doat gidi trong ky thi hgc sinh gi6i Qu6c gia,

2, Vu'ong Nguy0n Thuy Duong, hoc sinh THPT chuydn LO Qu!'00n,

Dd Nang

* Huy chucrng Vdng Olympic 30/4 todn midn Nam.

* GiAi Ba hQc sinh gi6iToan Qudc gia nam 2013.

* Gitii Nhdt hQc sinh gi6iTo6n Qudc gia nim2014

a Huy chuong Bac Olympic Todn Qu6c td ndm 2014.

3 NguyOn The Hodn, hoc sinh THPT chuy6n KHTN-DHQG Ha NOi

a Gidi Nhl hQc sinh gi6iTodn Qudc gia nam 2014.

* Huy chuong Viing Olympic Todn Qu6c td ndm 2014.

o Guong mat tr6 tieu bidu DHQG Ha NOi.

o Guong mit tr6 tieu bidu th0 do Ha N6i ndm 2014.

4 Trdn H0ng Qudn, hoc sinh THPT chuy€n Thdi Binh

* GiAi Ba hoc sinh gi6i To6n Qu6c gia ndm 2013.

o GiAi Nhl hQc sinh gi6iToiin Qudc gia ndm 2014.

* Huy chuong Vdrng Olympic Toan Qu6c t6 ndm 20'14.

5 Vo Quang Hung, hoc sinh THPT chuyOn ltlguy6n Binh Khi0m,Quang Nam

o Gidi Nhi Olympic Todn Hd Noi mo rong (2013).

o Huy chuong Bac Otympic Todn Duy6n hdi dOng bing Bdc BQ.

r Giai Nhdt ky thi hoc sinh gioi Qu6c Gia ndm hgc 2013 - 2014.

L6 trao gi6i da ctugc td chuc tai cu6c Gdp m{t ddu xudn cta-H6i Todn hoc Vi6t Nam tai He N0i ngiy 71312015.

na.

t,

BHr rEHn rinH r6ns ELrEn

ruu0E vH URE rrunE

$^"ddy chirng t6i xin minh hoa mQt sii bai

to6n tinh tdng quen thu6c vi img dung cta

ViQc tinh c6c tdng quen thuQc tr6n khdng kh6

AOi vOi c6c bpn hoc to6n Ta c6 ngay ki5t qu6:

NhQn xdt: CLc t6ng o bii to6n 1 vd bdi tobn 2

c6 mOi li€n h0 v6i nhau, cU thi5 nhu sau:

I.)

cta

++

=1\

Bili 2 Tim sd ttr nhi€n n bi€t rdng:

SO hinh vudng c6 c4nh bing 8 ld 1.2

56 hinh ru6ng c6 cpnh bitgT lir 2.3

SO hinh vu6ng c6 canh bing 6 ld: 3.4

SO hinh vu6ng c6 canh bing2ld: 7.8

SO trintr vudng c6 cpnh bing 1 td: 8.9 .

VQy 1u6i 6 vu6ng d6 co tdt cit

1.2+2.3+ +7.8+ 8.g'n":t" -3 8'9: l0 = 240

(hinh ru6ng)

Bni 5 MAt kh6i ldp phtrtmg c:rj th€ tich 8 x 8 x

8 : 512 hinh liip phrumg do'n vi bdng nhau xdp

khit nhau Hoi kh6i lap phucmg dt) c6 bao nhiAuhinh lqp phu'crng?

56 hinh lflp phuong c6 cpnh bing2ld:343 :73 .

SO hinh lpp phucrng c6 cpnh bing i ld: 512 : 83.

Vfy khOi lip phuong <16 c6:

1 Mot minh lu6i hinh cht nhat c6 kich thu6c

ld 8 x 10 : 80 6 vuOng clon vi bing nhau H6iminh 1u6i <16 c6 bao nhi6u hinh vudng?

2 MOt ttrOi frop cht nhat c6 the tich ld 8 x 9 x

10:720 hinh lap phuong tlon vi bing nhau xi5p

khit nhau H6i kh6i hQp cht nhat d6 c6 baonhi6u hinh l{p phuong?

2013 2015

20t320t5

JF-+-FIT*.-*d

11 22

Bni 3 M\t ban cr| vua Qu6c t€ co 8 x 8: 64 6

vudng dctn vi Hoi bdn cd'vua tt6 crj tdt ca mi1,

SO trintr vu6ng c6 cpnh bing}lir 49 :72.

SO trintr vudng c6 cpnh bing I ld: 64 : 82.

Bni 4 Mil n)n nhd hinh chir nhdt c6 kich thacrc

8 x 9 6 vu6ng do.n vi (g6m cdc, vi\n gach lat

hinh vu6ng bing nhau) Hoi nin nhd d6 cd bao

nhiAtr hinh vu6ng'l

Z t cfrOifta ss

"t.,.-roro

Hudng dAn giei sf T[rr rrturu Hfir srfrrlr Grdt tlnsru T$fiH Lffp s

TP ET 6

'0, ),b

<0,bc

€r CEilfi W[TI$E:[ NArra 2At4 - 2015

u) ryla ftt,u c6 LEBH c6,ntqi E

=>HBE=BHE.Xdt AEBC vd LEAB c6

BEC (chung), EBC = EAB Do cl6LEBC a'AEAB (g.g=6dE=[EE Suy ra

BCE=BHE (=ABE) Vpy tt? gi6c HCEB ndi

ti6p

b) ,EAEB ra co :+ = * (do LEBC a AEAB ) \ait

EB : EM (do E lI-trungdii5m cria MB), do d,o

r+c ) 0.

r=c<0 Tt gid'-l ac + ab =0

cr=(a+c)(U+c)

fi)t

,> 0,t)

Thdi gian ldm bdi: 150 PhrttC0u 1 (2 dihd Cho bi6u thirc

Ceu 2 Q dih@ 1) Cho c6c s6 thgc x, Y, z, a, b,

c th6a mdn c6c di6u ki€n 'obc * +! +' =l vi

o

*b *' = o Chimg minh ring

xyz

x2 "2 -2:;+1 +:r=1-

D' ('.'

2) Tim c5c s6 nguy6n a d6 phu<rng trinh:

x2 -(3+2a)x+40-a=0 c6 nghiQm nguy6n

H6y tim c6c nghiQm nguYdn <16.

Cflu 3 (1,5 di€m).1) Cho hQ phucrng trinh

()x+mY =3Y11

l*-Y =m2 -2

v\i x,y lir dn, m lir tham s6 tim m aC tQ

phucrng trinh c6 nghiQm duy nh6t (x;y) thoa

mdn x2 -2x-y>0.

2) Cho o, b, c la d0 d}riei6c thoa mdn di0u kiqniri nho nh6t cria bi6u thuc

" b+c-a c+a-b a+b-c Ciu 4 (3 diim) Cho tam gigc AB-C c6 !a g6c

nhen, n6i ti6p cluong trdn (O) (AB < AO Cicti6p tuy6n vO (O) t4i B vi C cdt nhau t4i N Vcaaj, dU song song vbi BC Dudng thdng MNcdt dudng trdn (O) tqi Mvd P.

1) cho ai6t fir+ftr=fi, tintr <10 ddi doanBC

2) chung minh ring # =#

3) Chrmg minh ring ile , ounelP <l6ng quy

Ciu 5 (1,5 di€m).1) Cho cluong trdn t6m O Q6n

kinh 1, tam gi6c ABC c6 c6c <linh A, B, C ndmtrong ducrng trdn vd c6.diQn tich lon hon ho{cbAng 1 Chung minh rdng tli6m O ndm trongho{c ndm trdn c4nh cira tam gi6c ABC

2) Cho tfp 6={t;2;3; ;t6\ HaY tim s6nguydn ducrng k .nhd nh6t sao.cho trong m5itfll lon gOm E phin tu c;ua A dAut6n tai hai.s6

phdn biQt a,b md a2 +bz li mdt sd nguy6n t6

NGUYEN VAN XA(GV THPT Yan Phong s6 2, Bdc Ninh) Sru tdm

ba canh cria mQt tam

2c+b=abc Tim gi5

7 xe, LECM

vir a,EMA c(: Ciil "",, ";: chuns, EM EA =E-.EM

Do d6 A,ECM a LEMA (c.g.c) +EMC=EAM Mit

iAil=6a, ne" ifri=6i

+AD llBM=5h=614=fiA.

Vpy tam gi6c ABD c6n tPi.B.

c) Gqi N=BJ\AD thl BJL AD tai N = N h

trung di6m cin AD =AN=DN=S- y61 6fgy

o Ntiu z : 5 ta c6 b: 5a +bi.5 NCn b : 5, suY raa: 1 56 oU=tS (th6a mdn Ad Ua1l.

Vay c6 nlm s6 thoa mdn d6u bdi, d6 ld:

Q hu.ng ta thdy rang trong di thi Dai hpc cdc ndm

v gdn ddy, cac bdi phuong trinh (P7), bdt

phtrong trinh (BPT), h€ phuong trinh (HPT) duoc

gidi bdng cdch nhdn luctng hAn ,hW, .ddt,nhdn ta

chung dua ,i pr, BPT tich ld riit phii bi€n Nhiiu

bqn dqc thudng ddt cdu hdi: Co sd dO c6 cdch gidi

nhu vQy ld gi? De giilp cdc em hoc sinh c6 co sd dii

tim duqc ldi gidi bdi todn bdng cach nhdn luqng

li€n hqp, c[ing nhu d6n dau cdu,v€ PT, BPT,,HPT

trong d€ thi THPT Qu6c gia sdp tbi bdi viAt ndy

trinh bdy cct sd dd c6 ldi giai cho cac cdu vi PT,

BPT, HPT trong.di thi Dai hoc cdc ndm trudc ddy

th6ng quc mQt s6 thi dq sau

Thi dy 1 (EH kh6i A - 2014) Gidi he phaong

Thu lai ta dugc nghigm cira HPT U (:;:).

Cach 3 DAt ; = (x; Jn:F),i, = (,ln t ; Ji).

Vfly h0 phuong trinh c6 m6t nghiCm ta (:; :).

tr

Thir lai ta dugc nghiQm cira HPT U (:;3) .

t Binh luQn: Qua ba"c6ch gi6i tr6n ta th6y ring,

phuong trinh (l) c6 th6 tlugc su lf bang nhi6u crich

kh6c nhau, nhung sau khi thay y=12-xz viro

phucrng trinh (2) ta dugc PT

p _gy_1=2[g_yz (3).

Thi PT (3) ttuqc gi6i bing c6ch nhdn luqng li6n hqp,

d4t nhAn tu chung dua v6 tich ld tlon gian nhat.

Tuy nhi6n cin cir niro d6 ta bii5n d6i PT

p _gy-1=2$$*yz (3) thdnhPT

xr-8x4:2([6A-t)t

Xin dugc trinh bdy c[n cf d6 nhu sau:

- Ddu ti6n ta dirng M6y tinh b6 flii (MTBT) dC tht

nghiQm, ta th6y PT (3) c6 hai nghiQm ld x=-1 vd

x=3 Tuy nhi6n ta chi quan tdm t6i nghiQm x:3

md kh6ng quan t6m t6i nghiQm x=-1 vi di6u kiQn

c6 nghi6m li x>0 Nhu vfy ta phii ldm xudt hiQn

d4i lucrng x-3 <16 dat nh6n tu chung, nghia ld ta

phii dua PT (3) .r,4 dang (x-a)7(x)=o Mu6n vfly

ta phAi tim s6 a sao cho bi6u thtc ZJTO - x'z - a

sau khi nhdn lugng li6n hqp xu6t hiQn dai luqng

x=3

- Do PT (3) chi c6 rnQt nghiQm x=3 n6n cdch dcrn

gi6n nh6t dC tim a ld ta thay x=3 vdo PT

2[g-x2 -a=0 ta tim dugc a=2 (Luu y ld do PT

(3) c6 duy nh6t m6t nghiQm nguy6n n6n ta mdi ding

c6ch tr6n, nt5u PT (3) c6 hai nghiQm nguy6n ho{c

kh6ng nguy6n ta sE ding c6ch kh5c sE dugc trinh

(3)?" Sau il6y ld mQt cSch tt6 tri ldi c6u h6i tr6n.

- Thay x=3 vdo PT (l) tadugc:

(t-y)J:-y +3=2+(2-y)Jy (a) Dirng MrBr

tim dugc nghiQm ctra PT (a) ld y=t vit y=/ .

- Thay x=4 vito PT (1) ta dugc:

(r-r)!4_) +4=2+(z-y)J, (b) Dune MrBr

tim dugc nghiQm cta PT (b) ld y=I vd y=3 .

- Nhu v4y h rhdy ring v6i x=3 hoic x=4 thi PT

(1) 1u6n 1u6n c6 nghiQm y=l Ta dq do6n PT (1) c6 th6 dua dusc v6 apng (y-1)/(r;r)=o .

- Mat kh6c ta thiy ring khi x=3 thi PT (1) c6 nghiQm y=2 Y-hi x=4 thl PT (1) c6 nghiOm y=3

Nhu vfy m6i quan hQ gita x vit y ld y=l"-1 7udqr do6n PT (1) c6 ttr6 dua dugc vd dang

(x-y-t)s(x;r)=o .

- Tri c6c nhfln x6t tr€n, ta dU do6n rlng PT (1) c6 th6 dua dusc vc aang (r - t)(x -, -r)n(x;r) = o

Tri d6 cho ta dinh hu6ng eC Uirin d6i PT (1) thanh

z(x2 -x-t)+(x:-Jf-)=o (5) C6c ban sE d6t c6u h6i tl6u ld co sd AC UlCn d6i PT

(4) thenh PT (5) Xin dusc hinh bdy co sd d6 nhu

sau:

- DAu ti6n ta dirng MTBT dC thir nghiQm, ta th6y PT

(4) c6 nghiQm (gAn dung) ld x=1,618033989 Ni5u

nhAm nhanh ta th6y ring x=1,6180:agSg =l+J5 .

2

Me x=1+6 ld nshidm cria PT fl-x-l=0 ho[c ld

2"

nghiQm PT -xz+x+1=0 Nhu vQy chring ta ph6i

ldm xu6t hiQn dai lugng fl-x-l ho[c -*+x+l d6

d[t nhan tu chung.

- Do PT (4) chi chria mQt cdn thirc n6n ta lQp lufln

ngin ggn nhu sau: Trong PT 2*z-v-3=$4 ta

cAn hm xu6t hiQn bi6u thirc x2 -x-l OC e6t nlan tu

chung n6n ta bir5n AOi pnan 2P-x-3 trudc vd lim

xu6t hiQn 2(xz-x-l), nghia ld ta bi6n d6i PT

2az -y-3=Q-a thinh 2(*-x-t)+(x-t-,0-x)=o .

Nhmg ntiu PT chria nhi6u hon mQt cin thric thi ta

kh6ng thd ldm nhu tr6n dugc Xin trinh bdy phuong

ph6p t6ng qu6t nhu sau:

- Trong PT (4) chfta .84, khi d6 ta phdi th6m bort

mQt i14i luqng a , nghia ld ta biiln OOi 1D-x tnanfr

Q-x-a sao cho sau khi nhdn lugng 1i6n hqp thi

xu6t hi6n bi6u thric xz -x-l ho(c -fl +x+1 Luu f

ld biilu thric cAn ,,rr6t hi6n ld bQc hai n6n a khdng

ph6i ld mQt si5 md a phbic6 dpng d=ax+b .

Sau khi nh6n 1i6n hqp xong xudt hiQn -axz ndnta

sE cho 2-x-(ax+bf =-vra*a1

e(ax+b)z = xz -2x +1 > ax+b= x *l .

- Nhu vfy ta phii th6m vot m6t dai luqng ld x+l

vdo pT 2xz_y_3=E_x .

- Voi phuonC ph6p ti5ng qu6t tr6n, c5c ban c6 th€

gi6i ttuqc c6c PT, BPT chila cln thric bdng c6ch

nhAn luqng li6n hgrp mQt c5ch dE ddng.

- D6n d6y c6 16 c5c b4n sE th6y ring d6 giei mQt PT

chria cdn thirc bing cdch nhdn luqng li6n hqp don

giin nhu th6 ndo.

Thl dyt 3 (DH kh6i D - 2014) Giai bdt phutrng

trinh ; (.r + t)'[i +2 +(x +6),[i +7 > rz +7 -r + t 2 (l)

Ldi gidi EK: x > -2.

V6i di6u kiQn tr6n, BPT (1) tuong duong v6i

llx+l -B=0c6 nghiQm x=2 Thay x=2 viro hg trCn ta tim dugc1"^=: Ddy chinh ld co so o,i ui6n aoi ser 1t;

lF=3thenh BPT (3).

Thi d1r 4 (DH khii B - 2013) Giai hQ phao'ng trinh

l2rt + yt -3ry +3x -2y +l=0 (1)

1

\+r' -r' +x+4=,{Tx+y +,tx;$ Q)'

sdnsn("-rors) T?A|#B:7

NOn PT (3) ntiu c6 nghiQm thi ld nghiQm duy

nrr6t Ua /(o)=s(O)=3 nen PT (3) c6 nghiQm

thAnh PT (5) bing mQt trong hai c6ch nhu sau

o Cdch 1 Ta cAn tim hai sii a vd B sao cho PT

.$x+t-(ax+f)=O 61 c6 hai nghiQm ld x=0 vd

x=l Thay x=0 vd r=1 vlro PT (6) ta dugc hQ PT

theo a vd B.Gi6i HPTtheo a, B ta dugc a=1

vd p=1 Tuong t.u ta cdn tim hai s5 a vd b sao

cho PT $*aa-(ax+b)=g 0) c6 hai nghiQm ld

r=0 vd r=1 Thay x=0 vli x=l viro PT (7) ta

tluqc hQ theo a vd b Gi6i h0 HPT theo a , b ta

dugc a=1 vir b=2 .

Chirng tdi hy vgng ring qua nhirng thi du vd

nhimg binh lufln tr6n phAn nio sE girip c6c emhgc sinh t.u tin khi g{p c5c bdi to6n v€,PT, BPT,HPT trong ki thi THPT Qu6c Gia sdp t6i DCthdnh thao phucrng ph6p nh6n lugng li6n hqp,

c6c em hdy thir ldm c6c bdi tflp sau

, A

}IUONIG DANI

Ciu 1 a) B4n <19c t.u gi6i

b) Toa d0 diem udn ctra dO thi (C- )n t (O:m)

n6n cludng theng (d) c6 d4ng ! = l<x+m

PT hodnh dQ giao di6m cria (C^)ve (a) n

x3 -3x+m =kx+m o # -(k+3)x=0 (1)

oc (a) t4o v6i do thi (C ) mQt hinh phing thi

PT (l) phdi co 3 nghidm =k> -3, hic d6 3

L

Lric ndy PT (d) vitit lai y=-x+m, (a) cet

hai truc tea ilQ tai hai di6m A(0;m),a(m;O).

Vi (7) ld tam gi6c r,udng cdn, n6n di6n tich cira

<> tanr.cotZx =3sinx -4sin3 x-1

<> 1 +ran x cot 2x = sin 3x * a*1k= sin3x

<+ sin ' '""'""-\cos :.r [ L:-l x.sin2x - \ = o.

) sin 3x = Q 41 * = * , AOi chieu vcri EK, ta

th6y PT ndy co nghirQm ld

tt 2x

x=5*t?tlLx=

3 +mfi.

sin2x.cosx = 1, phucrng trinh ndy v6 nghi6m

Vfly nghiQm cira PT dd cho ld

Do il6 tdng c6c hO s6:

Cfo +Clo +Cfo + +Cl3 =(1+1)'o =2,0.

b) cie srt M(a;b)ld di6m bi6u diSn s6 phric

D€ c6 hai s6 phuc z' z, d}ngthcri th6a mdn hai

DK da cho nghia ld -c6.hai

di€m bi6u diSn

Mt,Mzcira hai s6 phric l6n luot nim tr6n haigiao di6m cria (C) va (a) , lrr-rrl l<yn nh6t

,

o

\a.iIt

e MtM2ld ducrng kinh cira (C) hay (a) Wa

tdm /(1;0) cita (C)

1

= 2(r - m).t+z(m -z)l -3= 0 = m = -i.

Lric ndy dulng thing (d) c6 PT 3.r-5y-3=0

Tqa d0 cita M, MrldnghiQm cria hQ

{!'-t]' *"

^34 = M,(o;:), ur,(-+;-z).

l3"r-5y-3=0.

Vfy hai s6 phirc cdn tim ld zr=$4Ji,zz=-4-3i

c6u 5 Mit cau (E c6 tdm I(-2;-1;1) vd b6n

*)-C6 hai mpt phing (a) cAn tim v6i PT ld :

2x+y -22+l=0i 2x-y -22-l=0 .

K,ta chtmg minh tlugc E ld trung di6m 1/K

Vl AH IBC n€n AH: x-y-0,

E = BC r-.AH = E@;4 vd E ld trung cli6m II(

= K(3;3) B5n kinh tluong trdn ngoai ti€p tam

gi6cABCld R: IK=J5.

Vfy clucrng trdn ndy h ("r-s)'z+(t-4)'=5.

Tri d6 tim tlugc B(3;5),C(6;2) hodc 8(6;2),

Lap bing bitin thi6n ta c6 f(x)<l,Vx>O,

cling thric xiry rakhi x : 1.

Lpp bing bi6n thi6n ta c6 f (c)>- f (2) = 12 Tt

<16 minP =!2 e s: {)y =)y .

Ta chimg minh dugc LAMG l'u6ng tqi M,

AANG vu6ng t4i { n6n.duong tron d6y cta

(II) c6 t6,m I7 td truirg di€m AG, c6 ban kinh

R =+ ra c6 oo=t#=f o =n=f o

Vi OH le dudng cao (1, n€n

oH L(a)>OH llSC=O ld giao di€m cua AC,

so=oH =*cc; cc=ff=fro>ou ={o

vay thc tich hinh n6n ld

Vg1=!rn'.oH =

*Eoo'

- TORN HOC

t 0 ; cn oifta qd ls, te-rt,t,

tl*u l(2 di6m).Chohdms6 ,=i;

a) Kh6o s6t vd vE aO tfri(A cria hdm sri.

b) ViCt phucrng trinh tii5p tuy6n cria (ff bi6t ring titip

tuydn song song v6i duong thbng A :3x + y = g.

t-iiu 2 (1 did@ Ginic6c phuong trinh

{ ;iir -l Q di\@ M6t chi6c hQp c.o 6 qud cdu mdu

trdng, 4 qua cdu mdu d6 vit 2 qub cdu mdu den Chgn

ngAu nhi6n 6 qu6 cAu Tinh x6c su6t O6 6 qu6 cAu

dugc chgn c6 3 qud cAu mriu trhng, 2 qud ciu mdu

d6 vd 1 qu6 c6u mdu den.

< ir: 5 (1 didm) Trongkhdng gian v6i h6 truc toa d6

vu6ng g6c Oryz, cho cdc di6m A(; 2; O),8(3; 0; -3),

C(5;2; 6), D(0; -3; l) Chimg minh ring clc di6m A,

B, C, D li bdn dinh ctra mOt tu di6n vi tinh th6 tich

kh6i tu di6nABCD

( rru 6(1 di€m).Cho lSngt4r dtmgABC.A'B'C'c6

PR{,}BLEh{S' .(Tiip litt'o t;.iti! li't

Elro!.-lr*r -l'l3l'*54 Given three positive numbers

a, b,and c Prove that

coordinate plane with the equationy=*r**.

2.7

Let q and a2 be two distinct lines which are

parallel to d Suppose furthermore that the

distances from a1 and a2 to d both are equal to

I

- t'2 Is there any integral point, i.e point with

both coordinates are integers, between or on

two lines at ald az?

'sx{q-r ses#'E-ffi &f## K$ Trf,H

oEs6z(Thdi gian ldm bdi: lB0 philt)

Sti asa @-zotsl

ddy ,4BC ld tam giSc cdn dinh C; tlucng thing BC'

t?o vcri mit phing (ABB'A') mdr g6c

600 , AB = AA' = q G}i M, { P ldn luot ld trung diiSm cira c6c cpnh BB',CC',8C Tinh th6 tich kh6i

hng tr.u ABC.A'B'C'vit khoing cdch gita hai du<rng

thdngAM, NP theo a.

nhat ABCD c6 phucrng trinh canh AB la

x-3y+5=Q, phuong tdnl duong chdo BD

ld x -y -1 = 0; bit5t ring ducmg ch6o AC di qua tlir5m

U(-O;Z) Tim tsa d6 c6c dinh cria hinh cht nh6t ABCD.

(lriru ti (1 didfi GiiihQ phuong trinh

r

l x(x+y)+ lii = lE (lrf t\

fx2y-5x2 +7(x+ y)-4 =6i/rf-x+ I '{'iiu s(l di6m) Cho a,b,c ldciic s6 duong th6a minabc + ct+ c = b Tim gi6 tri lon nh6t cta bi6u thirc

Frohlemr TI0/45.1 Prove that, for each positive

integer n, the equation2}lf * nx :2013 has a

unique solution, say xn Find lim x,

Pr*h{ama T'11id54 Find all continuous

functions /: IR -+ IR which satisfy(x + y) 7 (x + t) = xf (x)+ y7 (t)*z*r, vx, y e tR.

{lrolrl*m T:U/4$4 Given a triangle ABC Apoint Mvaries on the side BC Let (I) and (12)

be the inscribed circles of the tnangles ABM

and ACM respectively A common tangent line

XY of (1r) and (12), which is different from BC,

intersects AM at N (Xe(I); Ye(12)) Let Z and

7 respectively be the tangent points between

AM and (I), (Ir) XT clts YZ at K Prove that

NK always goes through a fixed point

Translated by NGUYEN PHU HOANG LAN

(C o I I e ge of S c ienc e-Vietnam Nat ion a I (Jniv ers ity, H an o i)

TOfiN HQC * *

-:qTtffib6 { [

$frong kho tdng cdc bdi todn todn hpc c6 m)t

il ainn H v6 citng noi ti€ng vd rdt quan trpng db

ld dinh li con buom Sd di Etan trpng ld b&i, dinh li

con btrdm ld diii.twgrtg nghiAn ctu cd trong

9ltuong

trinh todn so cdp cilng nhu cao cdp Cho dOn nay,

ngucri ta dd tim ra 2l chilmg minh dinh li con budm.

Ca, mi tudn md rQng thi frt nhiiu, di€n hinh cd th|

ke din md rQng dlnh li diji vA dudng tdn thdnh

dinh li aai vai c6nic, dinh li con buom don thdnh

dinh li con babm kep, Dinh li con brom da c phdt

bidu nhu sau

Elnh li 1(Dinh ll con bucrm)

Cho PQ, AB vit CD ld ba ddy cung dadng trdn

ding qu,y tqi diem M, vtti A, D niim vi citng mQt

phla doi vo'i drdng thdng PQ vd B, C ndm v€

phla cdn lai NAu PM : QM th.i XM: YM, d

d$t X vd Y ld cac giao di€m ldn laot ctia PQ

voi AC vd BD

Nhu v4y, dinh li con buorn cho th5y, thri nh6t,

ba ddy cung PQ, AB vit CD ddng quy tai M

vi ba ddy cung nhy nim trong duong tron; thir

hai, PM 8M vd thri ba, k6t htQn W =YM .

Chring ta thay dt kiQn ducrng trdn bing tam

gi6c, ba d6y cung {6ng quy n[m trong ilu<rng

tron bdi ba cevian tl6ng quy ndm trong tam gi6c

(Cevian li ito4n thing c6 mQt dAu ld dinh vd

dAu kia nim tr6n canh tl6i diQn dinh ndy cria

tam gi6c cho tru6c Cevian ld t6n xudt ph6t tu

nhd to6n hgc Italia nOi ti,ing md ai trong chirng

ta dA:u bi6t - Ceva), tinh cUdt pu : QM dugc

thay bOi hai g6c bing nhau thi ta dugc bdi to6n

rdthay ggi ld dinh li 6u trung con budm Dinh li

au trirng con buom cfing c6 r6t nhieu tinh ch6t

tuong t.u nhu dinh li con bu6m

Dlnh li 6u trtng con budm tlugc ph6t bi6u nhu

sau

Dlnh li 2 (Dlnh li iiu trilng con bwom)

Cho AD, BE vd CF ld ba cevian ding quy

trong tam gidc ABC

a) tiu trirng con baom tha nhdt:

N€U ADB = ADC Ihi ADF = ADE

0 Au ffilng con babm tha hai:

N€u DAB = DAC thi DAX = DAY, 6 ddy X:

FDr-tBE;Y= EDaCF.

Dinh li ,iu trilng con baom th* nhdt (phin a)chinh ld bdi to6n thir 5 trong ki thi OlympicCanada ndm 1994 6E =6i o phAn a cho

th6"y AD lir <lucrng cao cira tam gi6c ABC

Trong khi d6, DAB = DAC d phdn b) cho thdy

AD lilphdn gi6c cir fii BAy gid, chirng ta

sE kh6ng chimg minh clinh li 6u trung con bu6m

md tli chimg minh dlnh li t6ng quqt cria dinh li

ndy Dfnh li tdng qu6t dugc ph6t bi6u nhu sauEfnh li 3 (Dinh li au tilng con brctm.t6ng qudt l)

Cho AD', BE, CF ld ba cevian d6ng quy trong

tam giac ABC TrAn dadng thiing AD' tiiy di\m

D biit ki

a) ,iu trirng con baom thtr nhdt:

Neu ADB = ADC thi ADF = ADE

b) ,[u ftilng con Utudm tttl, nai;

N€u DAB = DAC, thi DAX = DAY, o ddy X =

FDnBE;Y=EDaCF.

A

rZT?Eil,HB!.,*

Hinh 1

Hinh2

Chfing minh a) (h.1) Lhy C',E' lin luqt d6i

xirng vcri C, E qua AD Ta c6

-^

C'DA- RDA(= ANy

Yqy C', B, D thing hdng.

Chrmg minh ADF = ADE tucrng <luong vdi

chung minh ba dir5mD, F, E' thing hdng.

Ap dung dinh li Ceva, ta c6

b) (h,2) Ggi K ld giao tli6m cira ba cevian rl6ng

qtty AD', BE,CF .Liy C', E',Y' lAn luqt d6i

ximg v6i C, E,Y qua AD Di6u cAn chimg

minh tucrng ctuong vbi A, X, I' thing hdng.

Ap dUng dinh li Menelaus cho tam gi6c AFD

tam giac ABC TrAn dudng thiing AD' ldy diAm

D biit ki Goi M td diAm thu\c AD (M khdc

-=- BA D'B

"e nun,n-roru,

TgEilrHBll3

Chilng minh (h.3) Ggi C',1',E' lAn luqt ld

, -.^ -4.

c6c di6m ttdi ximg voi C, I, E qua AD Khi d6

ta c6 ba dii5mD, I', E' thing hdng ; ba <li6m

M, I', C' thing hirng.

Ap durrg dinh li Menelaus cho tam gi6c AFD

vd c6t fiy6n BHM ,tac6

HF MD BA

-,

HD MA BF

Ap dung dinh li Menelaus cho tam gi6c AED

vd c6t fityln CIM ,ta c6

HF TD AE

-,

HD I'E' AF

Theo tlfnh li Menelaus dho, ta c6ba di}m A, H,

1' thdng hdng, hay IAM = HAM.

Do tinh ch6t doi xrmg I'm = 6fu n€n

HAM = IAM (dpcm)

NhQn xit Khi M = K thi dinh l{ 4 trd thdnh dinh li

3 @hAn b) Ggi (O) ld ttuong trdn rtgo4i titlp tam

gi6c ABC Gpi A' ld kung di6m cta BC Ducrng

thing AO cbt BC tpi D' sao cho A vit D' nim

kh6c phia eOi vOi BC ThA th\ AD' chinh ld phdn

gi6c cria g6c A Gqi N ld trung tlii.lm cria AD' Qua

1, dtmg dudng thing dllON cit eo' t4i S Ggi

(1 0)

1' li di6m tr)n d sao cho S ld trung di6m cta 11'.

Th€thi DAH=DAI e A,H,I'th[nghdng

Tri ddy, dinh li 4 cdn dugc ph6t bi6u nhu sau Cho tam giac ABC nQi ti€p dudng trdn tdm O Gpi

A' ld trung didm cila BC Dudng thdng OA' ciitdadng trdn (O) tqi didm D' sao cho A,D' niim khdc phia dAi vcri BC TrAn dudng thdng AD' kiy

di€m D biit ki Biiit riing AD,BE,CF ddng quy tqi

K vbi BE,CF ld cdc cevian cfia tam gidc ABC

Goi M ld didm thuQc AD (M khdc A,D vd giao

didm cua AD vdi BC ).

Goi H=DFnBM; I=DEoCM Gqi N ldtrungdidmctia AD' Qua I dtmgdadngthdng d// ON

cfu AD' tqi S Gpi I' ld di€m tan d sao cho S ld

trung diilm da II' Khi d6 A,H,I' thiing hdng (h.4).

D

IIinh 4Eem chi6u song song mat phing chira hinh vE

xui5ng m4t phing kh6ng song song vdi n6 saocho qua ph6p chii5u song song, cludng tron bii5nthdnh elip Tri ph6t biiSu tucrng tluong cira tlinh

li 4 ta dd chimg minh <lugc lf t6ng qu6t cria dinh

li 4 sauD!nh li 5 tDinh li uu tri.tng t'on btri'tn i6ng uuot3)

{'ho tttrr gitir'.18C' niti tit:p clilt t,itrr O Goi 4'

!i-i trurrg diOlm tila B(' Dtn.,rt,q thing ()A' caleliy; tui di1m D'tcro c'ho A, D'nint kkic phicr

(12)-1

1 ' TORN HQC

L4'c[udi[@

dii yr'ti BC 7'r0n dtbng thting AD' ltiv cli€nt D

btit ki BiOt ,1D, BE, C'l- ,long qtn'rui K vii BE,

Cl" li ttit' cet itrtt t't)ct tctm giac ABC Ggi M lit

cliA:m thtroc .lD (\t lihirc:,1,D va giar., tt)o AD

v6'i BC) Goi H : DF r: tsM, I : DE aCM.

G9i N lit tt'tutg tliOm criu AD' Ouct I dmtg

dtrrnig tlttitrg tl 'ON ch AD'tai S Goi I'td

clie'm tran il .,,t171 1'f1n S ltr frtrng tlie)rn r'tra tt' Ktli

titi l.tt ,iii'ttt \ lt t' thung hirttz th.51.

Hinh 5

MQt c6u h6i cluoc tlflt ra ld c6 th6 m0 rdng dinh

li 4 d6i voi dudng trdn ndi ti6p tam giSc thdnh

dinh li t6ng qu6t OOi vOi elip ndi ti6p tam giSc

dugc kh6ng? Trudc ti6n, chring ta ph6t bi6u

dinh li tucrng tluong vdi dinh li 4 duoi d4ng

Cho tam gidc ABC ngoqi fiAp dudng trdn tdm

O GOi cdc tiAp di6m cila AC, AB vdi dudng

trdn (O) lA B', C' TrAn dudng thdng AO liiy

di€m D biit ki Bi€t AD, BE, CF ding quy tqi

K vai BE,CF ld cac cevian cfia tam gidc

ABC Goi M td diiim thu\c AD (M khdc

A, D vd giao cfia AD voi BC ) GOi

H : DF o BM; I = DE

^CM Qua I dungdudng thiing d song song vdi B'C' cdt AO

tqi S Ggi I' ld'diiim ffAn d sao cho S ld

trung di€m cila II' Khi d6 ba di€m A, Hr I'

thdng hdng.

Cflng ldm tuong tu nhu dinh li 5 tr6n, ta dugc

dinh li t6ng qu6t sau

Einh li 6 (Dinh li iu rritng c:on ba6'nt tiing qucir 4)Cho tum giac1BC ngoqti tir;7, elilt ttirtt O Goiccir: fiAp di6m cua AC, AB to'i elit (O) h lJ', C'.

TrAn tlu'd'ng tha.ng AO lav diim D bh ki BiAt

t\D, BE, CF cl6ng {ltt.v- tqi K v[ti EE, CF li c,tit,

ccviort cua tom gitic ABC CLti M ltr Jie)tn thttic'

AD (M khac' ,1, D vd giao c'ila AD vti'i Bd.) Goi

H : DF r-t BM; I = DE o (tM Quo I dungcfurdng thdng d i/ B'C' t'ut AO rdi S Goi t'ludi€m trOn d sqo cho S li tnmg dir)ltn t'urt II'.

Khi J,) ht1 ;1i,|'n, A t t t' thartg hung llt.(t)

D

Hinh 6 NhQn xdt a) Khi elip bi6n thdnh ducmg trdn thi c6c dinh li 5, vd dinh li 6 chinh ld tlinh lf 4.

b) Chung ta bi6t ring, m6i.tam gi6c ddu n6i ti6p

duong tron vd tl6u ngoai ti6p iludng trdn cho n6n

y6u t6 duolg trdn lu6n song hdnh v6i bdi to6n d5ivdi tam gi6c Trong nhi6u trucrng hqp n6 ld.y6u t5

"6n tdng" Vi vdy, chring ta lu6n phdi nghi ring b6t

cir tam gi6c ndo tt6u c6 duong tron gin liAn v6i n6,ho{c ld dr{*g trdn ngo.pi tii5p, hoflc ld duong trdnn6i tii5p d6 tt d6 c6 th6 md r6ng bdi to6n d5i v6iducrng trdn thdnh bdi to6n AOi vOi elip Khi ta mu6n

Td ."Sng "bdi torin theo.hu6ng ndy thi ta sE ph6i

chuy€n rl6i nhirng y6u t6 Euclid nhu c6c g6c bingnhau, phdn gi6c, vu6ng g6c, thnnh cfc yiiu tO la bdt brgn qua phep chi6u song song Ch5ng h4n nhu cilc ytiiu t6 h dudng thing song song, trung di6m cria

<lopn thing, ti6p di6m, thiing hdng, rtOng quy, catnhau,

Hy vgng bdi vi6t c16 mang di5n cho c6c bpn

ntrirng ktSt qui m6i m6 vd b6 ich Bdi vit5t niy

c6n trao AOi gi th6m ? Mong ducr c sg chia s6 cua c6c ban.

r,i nun,n-roru, T?3ilr535

Bni T1/454 (Lop 9 Ybi n 2 2, xdt chc sd a1,

a2, , a, vd cilc s0 nguyOn td phdn biQt pt pz,

, p,th6a mdn tli6u ki6n

rtllll

p,la, - azl= Pzla, - arl= = P nla

^ - a,l

Chimg minh ring at: az: .: an

NGTTYEN TI6N LAM

(GV THPT chuyAn KHTN, DHQG Hd N|i)BdiTZl454 (Lop 7) Chgn 100 sl5 t.u nhi6n kh6c

nhau b6t ki, m6i s5 khong l6n hcrn 2015 vd m6i

sO AC, chia cho 17 du 10 Chimg minh ring

trong 100 sti d6 luO, chen ilugc 3 s5 c6 t6ng

kh6ng lon hcrn 999.

NGUYfN XTTANTT NGUYtN

(Hdi Phdng)

Bii T3/454 Chtmg minh ring vdi mgi n

nguy6n duong thi gi6 tri cria bii5u thirc

(t4 +4)(24 +41 {n+ +4

2 ludn ld mQt sd v6 ti

NGUYnN VrEr HirNG(GV THPT chuydn K.IITN, DHQG Hd N|i)

Bili T41454 Cho tam gi6c ABC vd D ld mQt

tli6m b6t ki trOn cU$ BC (D kh6c B, Dldthc Q.

C6c dudng trung tluc cila chc doqn thdng BD,

CD theo th{r t.u cdt AB, AC tai M vd N Gqi H H

hinh chii5u vu6ng g6c cria D tr€n dulng thing

MN; E, F theo thu t.u ld trung <li€m cira BD vit

CD Chtmgminh ring ffiF =6tra.

HO QUANGVINH (HdNAi)

Bii T5/454 Cho phuong trinh axz + bx * c:0

(c6c hQ sd a, b, c nguy0n, a > O).Bii5t ring

phuong trinh c6 hai nghiQm ducrng phdn biQt b6

hon 1 Tim gi6 tri nh6 nh6t cira fQ s0 a.

DAO CHI THANH(GV THPT chuyAn Wnh Philc)

(GV THPT YAn Phong sr5 2, Bdc Ninh)

BdiT71454 Cho P ld mQt <ti,5m nim trong m{t

phing chria tam gi6c ABC Goi

Ar: BC nAP , Br = AC o'BP , Ct = AB nCP,

PHAM vAN rcrANH(Hdi Dwong)

Bni T8/454 Cho c6c si5 thgc ducrng G, b, c.

TIf,N T6I OLYMPIC TOAN

Bni T9/454 Trong m[t phing tqa d0 cho <ludng thbng dc6 phucrng trinh y =1* *I Gsi a1 vd

Z)

azldhai tlucmg thing (ph6n biQt) song song vdc6ch tl6u clucrng thdng dmQt kho6ng bing a.

t2'

H6i mi6n m[t phing chria clucrng thing d v6i

bi6n ld at yd az c6 chua,iliem nguydn niokh6ng? (Di6m 4guy6n li tli6m c6 hodnh tlQ vdtung ilQ dOu ld s6 nguy€n)

VU DINH HOA(GV Trudng DHSP Hd N|i)Bni Tl0/454 Cho phuong trinh

2014, +nx:2013.

Chimg t6 ring v6i mgi sd r nguy6n duong

phucrng trinh tr6n c6 dring mQt nghiQm x,, timlimx''

NGUYEN LAr

(GV THPT chuy€n Lwcrng Vdn Chdnh, Phil YAn)

Bni T1l/454 Tim tit cit c6c hdm s5 fien tuc