NHÓM ĐỐI XỨNG BIỂU DIỄN, THUẬT TOÁN TỔ HỢP VÀ HÀM ĐỐI XỨNG

Mặt khác, rõ ràng là ta có thể định nghĩa được mộtbiểu diễn ứng với mỗi một căn đơn vị như trên, do đó có tất cả n biểu diễn khác nhau của C n, mỗi biểu diễn có bậc bằng 1.. 1.3 G-môđun

NHÓM ĐỐI XỨNG BIỂU DIỄN, THUẬT TOÁN TỔ HỢP VÀ HÀM

ĐỐI XỨNG

Bruce E Sagan Department of Mathematics Michigan State University East Lansing, MI 48824-1027

Người dịch:

TS Lê Minh Hà

Khoa Toán-Cơ-Tin học

Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên

Đại học Quốc Gia Hà nội

334 Nguyễn Trãi, Thanh xuân, Hà nội

Email: minhha@vnu.vn.edu hoặc leminhha.vnu@gmail.com

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 1

1.2 Biểu diễn ma trận 4

1.3 G-môđun và đại số nhóm 6

1.4 Tính khả qui 10

1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke 13

1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur 18

1.7 Giao hoán tử và các Đại số tự đồng cấu 23

1.8 Các đặc trưng nhóm 30

1.9 Các tích trong của các đặc trưng 33

1.10 Sự Phân Tích của Đại số Nhóm 39

1.11 Tích Tenxơ 42

1.12 Biểu diễn Hạn chế và Biểu diễn Cảm sinh 44

1.13 Bài tập 48

2 Biểu Diễn Của Nhóm Đối Xứng 51 2.1 Nhóm con Young, bảng và phỏng bảng 51

2.2 Tính trội và thứ tự từ điển 56

2.3 Môđun Specht 59

2.4 Định Lý Môđun Con 63

2.5 Bảng Chuẩn và Cơ Sở Cho S λ 66

2.6 Phần tử Garnir 69

2.7 Biểu diễn Tự nhiên của Young 73

2.8 Luật Rẽ Nhánh 75

2.9 Phân tích của M µ 78

2.10 Cơ sở nửa chuẩn cho Hom(S λ , M µ) 81

2.11 Các số Kostka và Luật Young 85

2.12 Bài tập chương hai 86

iii

Lời nói đầu

Chú ý: Bản dịch này còn cần phải được chỉnh sửa rất nhiều Độc giả muốn có trong taybản tiếng Anh có thể đến chụp tại thư viện của Viện Toán học

iv

Chúng ta sẽ trình bày các nội dung trong chương này sao cho cuốn sách này có nội dungtương đối đầy đủ và hoàn chỉnh, mặc dù các nội dụng đều có thể tìm thấy trong các sách giáo

khoa thông dụng Đặc biệt, trình bày của chúng ta sẽ được tổ chức dựa theo Ledermann [?].

1.1 Các khái niệm cơ bản

Trong tiết này chúng ta giới thiệu một vài thuật ngữ và ký hiệu cơ bản Trọng tâm nghiêncứu của chúng ta là nhóm đối xứng

Giả sử G là một nhóm với luật hợp thành được viết theo kiểu phép nhân và phần tử đơn vị

² Chúng ta sẽ luôn luôn giả thiết rằng G là một nhóm hữu hạn, trừ khi được nói khác Ta giả

sử rằng người đọc đã có các kiến thức căn bản về lý thuyết nhóm (lớp kề, định lý Lagrange,

v.v.) mà có thể tìm thấy trong các sách giáo khoa thông dụng, chằng hạn như Herstein [?].

Đối tượng nghiên cứu của chúng ta là nhóm đối xứng S n, gồm tất cả các song ánh từ

{1, 2, , n} vào chính nó với luật nhóm là phép hợp thành ánh xạ Các phần tử π ∈ S n

được gọi là các hoán vị Ta nhân các hoán vị từ phải sang trái (Thực ra, ta cũng làm phép hợp các hàm theo cách này.) Chẳng hạn πσ là song ánh nhận được bằng cách áp dụng σ rồi sau đó là π.

Đối với một hoán vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách ký hiệu khác nhau Ký hiệu hai

dòng là một dãy

π = 1 2 . n π(1) π(2) π(n)

Chẳng hạn, nếu π ∈ S3được cho bởi

π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 1 π(4) = 4, π(5) = 5,

1

thì dạng hai dòng của nó là

π = 1 2 3 4

2 3 1 4 .

Vì dòng đầu tiên luôn luôn cố định, ta có thể loại bỏ chúng để có dạng một dòng.

Cuối cùng, ta cũng có thể mô tả π thông qua ký hiệu xích Với i ∈ {1, 2, , n} cho

trước, các phần tử của dãy i, π(i), π2(i), không thể hoàn toàn phân biệt Chọn lũy thừa

đầu tiên sao cho π p (i) = i, ta có một xích

(i, π(i), , π p −1 (i)).

Một cách tương đương, ta cũng có thể định nghĩa một xích (i, j, k, , `) có nghĩa là π chuyển i tới j, j tới k, , và ` quay trở về i Bây giờ chọn một phần tử không nằm trong xích

chứa i và lặp lại quá trình trên cho đến khi tất cả các số trong{1, 2, , n} đã được sử dụng.

Ví dụ của chúng ta trong đoạn trước trở thành

Một 1-xích của π còn được gọi là một điểm bất động Các số 4, 5 là các điểm bất động trong

ví dụ của ta Các điểm bất động thường được bỏ đi trong ký hiệu xích nếu không có sự hiểu

lầm xảy ra Một đối hợp và một hoán vị sao cho π2 = ² Dễ thấy rằng π là một đối hợp nếu

và chỉ nếu tất cả các xích của π đều có độ dài 1 hoặc 2.

Một cách khác để xây dựng kiểu xích là như một phân hoạch Một phân hoạch của n là

một dãy

λ = (λ1, λ2, , λ `)

ở đó ccác λ i là giảm yếu vàP`

i=1 λ i = n Như thế k được lặp lại m k lần trong dạng phân

hoạch của kiểu xích của π Ví dụ của chúng ta tương ứng với phân hoạch

(3, 1, 1).

Đối với một nhóm G, các phần tử g và h là liên hợp với nhau nếu

g = khk −1

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

với một k ∈ G nào đó Tập tất cả các phần tử liên hợp với một phần tử g cho trước được gọi

là lớp liên hợp của g và được ký hiệu bới K g Sự liên hợp là một quan hệ tương đương, do đócác lớp liên hợp khác nhau làm thành một phân hoạch của G (Đây là phân hoạch theo nghĩatập hợp, khác với phân hoạch số nguyên như đã trình bày trong đoạn trước.) Quay trở lại

với S n, dễ thấy nếu

π = (i1, i2, , i ` ) (i m , i m+1 , , i n)

trong ký hiệu xích thì với mọi σ ∈ S n

σπσ −1 = (σ(i1), σ(i2), , σ(i ` )) (σ(i m ), σ(i m+1 ), , σ(i n )).

Do đó hai hoán vị nằm trong cùng một lớp liên hợp nếu và chỉ nếu chúng có cùng một kiểuxích Vậy ta có một tương ứng tự nhiên 1-1 giưa các phân hoạch của n và các lớp liên hợp

của S n

Chúng ta có thể tính độ lớn của một lớp liên hợp bằng cách sau Giả sử G là một nhóm

và xét cái tâm hóa của g ∈ G được định nghĩa bởi

Chứng minh Mọi phần tử h ∈ Z gđều có thể hoặc là giao hoán các xích có độ dài i với nhau,

hoặc là quay vòng trên từng xích (hoặc cả hai) Vì có tất cả m i!cách làm với quá trình trước

và i m i cách làm với quá trình sau, ta có ngay điều phải chứng minh ¤

Áp dụng phương trình (1.1) cho nhóm đối xứng, ta nhận được

sinh bởi các phép chuyển vị kề nhau (1,2), (2,3), , (n-1,n) Nếu π = τ1 τ k , với τ i là các

phép chuyển vị thì ta định nghĩa dấu của π là

sgn(π) = ( −1) k

Có thể chứng minh được rằng sgn là một định nghĩa tốt, tức là nó độc lập với sự phân tích

πthành các phép chuyển vị Một khi điều này được thực hiện, dễ dàng suy ra rằng

Như chúng ta sẽ thấy, đây là một ví dụ về biểu diễn

1.2 Biểu diễn ma trận

Một biểu diễn ma trận có thể được xem là một cách để mô hình hóa một nhóm trừutượng bằng một nhóm các ma trận cụ thể Sau khi đưa ra các định nghĩa chính xác, chúng

ta sẽ xem xét một số ví dụ

Ký hiệuC là tập các số phức Kí hiệu Matdtập các ma trận vuông cấp d với hệ số trênC

Tập hợp này còn được gọi là Đại số đầy đủ các ma trận phức bậc d Ta nhắc lại rằng một đại

số là một không gian véctơ cùng với một tích kết hợp các véctơ (do đó tạo nên một cấu trúc

vành trên không gian đó) Nhóm tuyến tính tổng quát phức bậc d, ký hiệu bởi GL d, là nhóm

d được gọi là bậc, hay chiều, của biểu diễn và được kí hiệu là deg X.

Chú ý rằng các điều kiện 1 và 2 kéo theo X(g −1 ) = X(g) −1, vì thế các ma trận này phải

thuộc vào GL dtheo yêu cầu

Biểu diễn đơn giản nhất rõ ràng là các biểu diễn có bậc 1 Hai ví dụ đầu tiên của chúng

ta có dạng như thế này

Ví dụ 1.2.2. Mọi nhóm đều có một biểu diễn tầm thường, tức là biểu diễn mà ảnh của mỗi

g ∈ G đều là ma trận đơn vị Ta thường kí hiệu 1 Ghoặc chỉ số 1 cho biểu diễn tầm thườngcủa nhóm G

Ví dụ 1.2.3. Bây giờ ta hãy tìm tất cả các biểu diễn có chiều bằng 1 của nhóm xyclíc có bậc

n, C n Giả sử g là phần tử sinh của C n, i.e.,

C n={g, g2, g3, , g n = ² }.

Nếu X(g) = (c), c ∈ C, thì ma trận của mọi phần tử của C n đều được xác định do

X(g k ) = (c k)theo tính chất 2 trong định nghĩa trên Mặt khác, theo tính chất 1,

(c n ) = X(g n ) = X(²) = (1),

do đó c phải là một căn thứ n của đơn vị Mặt khác, rõ ràng là ta có thể định nghĩa được mộtbiểu diễn ứng với mỗi một căn đơn vị như trên, do đó có tất cả n biểu diễn khác nhau của

C n, mỗi biểu diễn có bậc bằng 1

Cụ thể hơn, xét n = 4 và C4 ={², g, g2, g3} Bốn căn bậc 4 của 1 là 1, i, -1, -i Nếu ta kí

hiệu bốn biểu diễn tương ứng là X(1), , X(4)thì có thể xây dựng một bảng như sau:

ý rằng biểu diễn tầm thường được đặt ở hàng đầu tiên của bảng.

Tồn tại các biểu diễn khác của C4ở bậc cao hơn Chẳng hạn, ta có thể lấy

Nhưng biểu diễn này thực chất chỉ là tổ hợp của X(1)và X(2) Theo ngôn ngữ của mục 1.5

thì X là hoàn toàn khả qui với các thành phần bất khả qui X(1) và X(2) Ta sẽ thấy sau này

rằng tất cả các biểu diễn của C nđều có thể được xây dựng bằng phương pháp này, sử dụng

n biểu diễn bậc 1 làm cơ sở

Ví dụ 1.2.4. Chúng ta đã làm quen một biểu diễn bậc 1 không tầm thường của S n Phươngtrình (1.3) thực chất nói rằng ánh xạ X(π) = (sgn(π)) là một biểu diễn, gọi là biểu diễn dấu Một ví dụ quan trọng nữa là biểu diễn định nghĩa của S n , có bậc n Nếu π ∈ S nthì ta lấy

Ma trận X(π) còn được gọi là ma trận hoán vị vì nó chỉ gồm các số 0 và 1, với đúng một số

1 trên mỗi hàng và mỗi cột Bạn đọc nên tự kiểm chứng rằng đây đúng là một biểu diễn

Ta hãy xét trường hợp của nhóm đối xứng S3, với các hoán vị viết dưới dạng xích Khi

đó các ma trận của biểu diễn định nghĩa của nó là như sau:

1.3 G-môđun và đại số nhóm

Chúng ta biết rằng các ma trận tương ứng với các phép biến đổi tuyến tính, do đó có thểtìm hiểu các biểu diễn theo cách này Điều này dẫn đến khái niệm G-môđun

Giả sử V là một không gian véctơ Chúng ta sẽ chỉ xem xét các không gian véctơ trên

trường số phức và có số chiều hữu hạn Ký hiệu GL(V ) tập tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của V, đôi khi còn được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát của V Nếu dim(V ) = d, thì GL(V )

và GLdlà đẳng cấu nhóm với nhau

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử V là một không gian véctơ và G là một nhóm Khi đó ta nói V làmột G-môđun nếu tồn tại một đồng cấu nhóm

ρ : G → GL(V ).

Một cách tương đương, ta nói V là một G-môđun nếu tồn tại một phép nhân gv của các

phần tử của V bởi các phần tử của G sao cho

1 gv ∈ V ,

2 g(cv + dw) = c(gv) + d(gw),

3 (gh)v = g(hv), và

4 ²v = v

với mọi g, h ∈ G, v, w ∈ V ; và các vô hướng c, d ∈ C.

Từ nay về sau, ta sẽ chỉ viết là môđun thay cho G-môđun khi nhóm đang sử dụng đã đượcxác định rõ và không có khả năng nhầm lẫn nào Các khái niệm khác có dạng G- cũng sẽ

được rút gọn lại theo cách tương tự Ta cũng có thể nói là không gian véc tơ V tải một biểu

diễn của G

Chúng ta hãy kiểm tra rằng hai định nghĩa trên thực sự là tương đương với nhau Chúng

ta đã sử dụng kí hiệu gv để viết tắt cho tác động của biến đổi ρ(g) trên véc tơ v Điều kiện

1 nói rằng biến đổi này đi từ V vào chính nó; điều kiện 2 cho thấy ánh xạ là tuyến tính, điềukiện 3 là tính chất 2 của định nghĩa bằng ma trận; và điều kiện 4, phối hợp với điều kiện 3 nói

rằng g và g −1là các ánh xạ ngược của nhau, do đó tất cả các biến đổi là khả nghịch Mặc dù

nó trừu tượng hơn so với định nghĩa ban đầu của chúng ta về biểu diễn, khái niệm G-môđuncho ta các chứng minh gọn gàng hơn

Thật ra ta có thể đổi qua lại giữa hai quan niệm về biểu diễn một cách khá dễ dàng Giả

sử cho trước một ma trận X với bậc d, giả sử V là không gian véctơCdcác véctơ cột với độ

dài d Khi đó ta có thể nhân v∈ V bởi g ∈ G sử dụng định nghĩa

gv def = X(g)v,

ở đó phép toán bên phải là phép nhân ma trận Ngược lại, nếu V là một G-môđun, chọn một

cơ sởB của V Khi đó X(g) sẽ là ma trận của phép biến đổi tuyến tính g ∈ G trong cơ sở

B, tính theo phương pháp thông thường Chúng ta sẽ sử dụng sử tương ứng giữa hai định

nghĩa này rất nhiều lần trong cuốn sách này

1.3 G-môđun và đại số nhóm 7

Các tác động của nhóm tự bản thân chúng có vai trò quan trọng Chú ý rằng nếu S là

một tập bất kì với một phép nhân bởi các phần tử của G thỏa mãn 1, 3 và 4, thì ta nói G tác

động trên S Thực ra, ta luôn có thể lấy một tập hợp mà trên đó G tác động và biến nó thành

một G-môđun theo cách sau Giả sử S = {s1, s2, , s n } và viết CS = C{s1,s2, ,sn } là

không gian véc tơ sinh bởi S trênC; tức là CS gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính hình thức

c1s1+ c2s2+· · · + c nsn ,

ở đó c i ∈ C với mọi i (Ta viết đậm các phần tử của S khi chúng được coi như là các véctơ.)

Phép cộng véc tơ và nhân với vô hướng trongC được định nghĩa tương ứng bởi các côngthức

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử nhóm G tác động lên một tập hợp S, khi đó môđun tương ứngCS

được gọi là biểu diễn hoán vị liên kết với S Các phần tử của S lập nên một cơ sở củaCS, gọi

là cơ sở chuẩn.

Tất cả các G-môđun trong các ví dụ sau đây đều có dạng trên

Ví dụ 1.3.3. Xét nhóm đối xứng S n với tác động thông thường của nó trên tập hợp S =

Để làm rõ hơn nữa, ta có thể chọn một cơ sở và tính các ma trận X(π) với π ∈ S ntrong

cơ sở đó Ta hãy xét trường hợp S3 và sử dụng cơ sở chuẩn{1, 2, 3} Để tìm ma trận của

Sau khi xác định toàn bộ các ma trận còn lại cho S3, độc giả sẽ nhận thấy chúng chính là các

ma trận cho biểu diễn định nghĩa của Ví dụ1.2.4 Dễ thấy rằng điều này cũng đúng với mọin; tức là đây chỉ là cách tiếp cận sử dụng môđun đối với biểu diễn định nghĩa

Ví dụ 1.3.4. Bây giờ chúng ta sẽ mô tả một trong những biểu diễn quan trọng nhất đối với

một nhóm bất kì, biểu diễn chính qui (bên trái) Giả sử G là một nhóm Khi đó G tác động lên chính nó qua phép nhân bên trái: nếu g ∈ G và h ∈ S = G, khi đó tác động của g lên h,

gh, được định nghĩa là phép nhân thông thường trong định nghĩa của nhóm Các tính chất

1, 3 và 4 được suy ra, một cách tương ứng, từ các tiên đề đóng, kết hợp và phần tử đơn vị chomột nhóm

Vậy nếu G = {g1, , g n } thì ta có một G-môđun tương ứng

C[G] = {c1g1+ c2g2+· · · + c ngn : c i ∈ Cfor all i},

và được gọi là đại số nhóm của G Chú ý rằng ở đây ta sử dụng ngoặc vuông để nhấn mạnhrằng đây là một đại số, không chỉ là một không gian véc tơ Phép nhân được định nghĩa bằng

cách đặt gigj = gktrongC[g] nếu g i g j = g ktrong G, và phép mở rộng tuyến tính Khi đótác động của G lên đại số nhóm có thể được viết dưới dạng

C[C4] ={c1² + c2g + c3g2+ c4g3: c i ∈ Cfor all i}.

Ta có thể tìm ma trận của g2 trong cơ sở chuẩn:

diễn này trong một giáo trình về lý thuyết nhóm, tuy dưới dạng khác, là Định lý Cayley [?,

trang 60-61] Chú ý rằng nếu G tác động trên một V nào đó thìC[G] cũng vậy Cụ thể là

nếu c1g1+ c ngn ∈ C[G] và v ∈ V , thì ta có thể định nghĩa tác động

(c1g1+ c2g2+· · · + c ngn )v = c1(g1v) + c2(g2v) +· · · c n (g n v).

Thực ra ta có thể mở rộng khái niệm về biểu diễn cho các đại số: Một biểu diễn của một đại

số A là một đồng cấu đại số từ A vào GL(V ) Theo cách này, mọi biểu diễn của một nhóm G

tạo nên một biểu diễn của đại số nhómC[G] của nó Để tìm hiểu sâu hơn về biểu diễn của các đại số, xem cuốn sách của Curtis và Reiner [?].

1.3 G-môđun và đại số nhóm 9

Ví dụ 1.3.5. Giả sử nhóm G có một nhóm con H, kí hiệu là HleqG Một tổng quat hóa của biểu diễn chính qui là biểu diễn lớp kề (trái) của G đối với H Giả sử g1, g2, · · · , g klà một lớpngang cho H, tức là,H = {g1H, g2H, · · · , g n H } là một tập đầy đủ các lớp kề rời nhau của

H trong G Khi đó G tác động lênH bằng cách đặt

Chú ý rằng nếu H = G thì ta có biểu diễn tầm thường Ở cực kia, khi H = {²}, thì H = G

và ta lại nhận được biểu diễn chính qui Trong trường hợp tổng quát, biểu diễn bằng các lớp

kề là một ví dụ của một biểu diễn cảm sinh, một vấn đề mà ta sẽ nghiên cứu sâu hơn ở Tiết

1.12

Ta hãy xét trường hợp G = S3và H = {², (2, 3)} Ta có thể chọn

H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}

và

CH = {c1H + c2(1, 2)H + c3(1, 3)H : c i ∈ Cvới mọi i}.

Tính ma trận của (1,2) trong cơ sở chuẩn, ta nhân được

1.4 Tính khả qui

Một ý tưởng xuyên suốt trong hầu hết các ngành khoa học là có thể tìm hiểu các cấu trúclớn thông qua việc chia nhỏ chúng thành các phần nhỏ hơn Điều này cũng áp dụng đượcđối với lý thuyết biểu diễn Có những biểu diễn được xây dựng từ những biểu diễn nhỏ hơn(chẳng hạn như biểu diễn ở cuối Ví dụ1.2.3), nhưng cũng có những biểu diễn không thểchia được nữa (chẳng hạn như các biểu diễn bậc một) Đây là sự khác biệt giữa các biểu diễnkhả qui và bất khả qui mà ta sẽ nghiên cứu trong Tiết này Tuy nhiên, đầu tiên ta cần phảiđịnh nghĩa một cách chính xác thế nào là một thành phần con hay một vật con trong khungcảnh này

Định nghĩa 1.4.1. Giả sử V là một G-môđun Một môđun con của V là một không gian con

Như thường lệ, ta minh họa định nghĩa này qua một vài ví dụ

Ví dụ 1.4.2. Mọi G-môđun, V, đều có các môđun con W = V và W = {0} ở đó 0 là véc

tơ không Các môđun này được gọi là tầm thường Tất cả các môđun con khác được gọi là

không tầm thường.

Ví dụ 1.4.3. Để có một ví dụ không tầm thường về các môđun con, xét G = S n , n ≥ 2, và

V = C{1, 2, · · · , n} (biểu diễn định nghĩa) Bây giờ lấy

W = C{1 + 2 + · · · + n} = {c(1 + 2 + · · · + n): c ∈ C};

tức là W là không gian một chiều căng bởi véc tơ 1 + 2 +· · · + n Để kiểm tra W là đóng

dưới tác động của S n, chỉ cần chứng minh rằng

πw ∈ W với mọi w trong một cơ sở nào đó của W và với mọi π ∈ S n

(Vì sao?) Do đó ta chỉ cần kiểm tra rằng

π(1 + 2 + · · · + n) ∈ W

với mọi π ∈ S n Nhưng

π(1 + 2 + · · · + n) = π(1) + π(2) + · · · + π(n)

= 1 + 2 +· · · + n ∈ W,

1.4 Tính khả qui 11

do áp dụng π lên {1, 2, · · · , n} cho ta lại cũng ngần đó các số với thứ tự khác Vậy W là một

môđun con của V và không tầm thường vì dim W = 1 trong khi dim V = n ≥ 2.

Do W là một môđun của G nằm trong V, ta có thể đặt câu hỏi rằng nếu ta hạn chế tác

động của G xuống W thì ta sẽ nhận được biểu diễn nào Nhưng ta vừa chỉ ra rằng mọi π ∈ S n

mang véc tơ cơ sở 1 + 2 +· · · + n vào chính nó Vậy X(π) = (1) là ma trận tương ứng, và

ta đã tìm thấy một bản của biểu diễn tầm thường trongC{1, 2, · · · , n} Trong trường hợp

tổng quát, giả sử W là một không gian véc tơ với chiều nào đó, nến G cố định tất cả các phần

tử của W, ta nói rằng G tác động một cách tầm thường lên W.

Ví dụ 1.4.4. Tiếp theo, ta quay trở lại với biểu diễn chính qui Giả sử G = {g1, g2, · · · , g n }

với đại số nhóm V =C[G] Sử dụng ý tưởng tương tự như ví dụ trước, đặt

W =C[g 1 + g 2+· · · + gn],

không gian một chiều sinh bởi véc tơ tổng của tất cả các phần tử của G Để kiểm tra rằng W

là một môđun con, lấy một phần tử g ∈ G bất kì và tính

Bây giờ ta sẽ mô tả các biểu diễn bất khả qui đóng vai trò nền tảng để xây dựng tất cả cácbiểu diễn khác

Định nghĩa 1.4.5. Một G-môđun khác không V được gọi là khả qui nêu nó chứa một môđuncon không tầm thường W Nếu không thì V được gọi là bất khả qui Nói một cách tươngđương, V là khả qui nếu nó có một cơ sởB mà trong đó mọi phần tử g ∈ G được gắn với

với A(g) là các ma trận vuông, cùng cỡ, và 0 là ma trận khác rỗng gồm toàn số không.

Để thấy sự tương đương, giả sử V với chiều d có một môđun con W với chiều f, 0 < f < d.

Khi đó đặt

B = {w1, w2, , wf, vf +1, , vd},

với f véc tơ đầu tiên là một cơ sở của W Bây giờ ta có thể tính ma trận của bật cứ g ∈ G

trong cơ sở tương ứngB Do W là một không gian con, gw i ∈ W với mọi i, 1 ≤ ileqf Do

đó toàn bộ (d − f) tọa độ cuối của gw iphải bằng không Đây chính là ma trân không ở góc

dưới bên trái của X(g) Chú ý rằng ta cũng đã chứng minh các ma trận A(g), g ∈ G, là các

ma trận của hạn chế của G xuống W Do đó chúng đều là các ma trận vuông và có cùng cỡ

Ngược lại, giả sử mỗi X(g) có dạng đã cho với mọi A(g) cỡ f × f Đặt V = C dvà xét

W = C{e1, e2, · · · , ef},

ở đó e ilà các véc tơ cột với một số 1 ở hàng thứ i và không ở các vị trí khác (cơ sở chuẩn của

Cd ) Khi đó các số không trong X(g) đảm bảo rằng X(g)ei ∈ W với 1 ≤ i ≤ f và với mọi

g ∈ G Do đó W là một G-môđun, và nó không tầm thường vì ma trận các số không là khác

rỗng

Hiển nhiên là mọi biểu diễn bậc 1 đều bất khả qui Xác định xem một biểu diễn ở bậccao hơn là bất khả qui hay không xem ra là một bài toán khó Rõ ràng là ta không thể kiểmtra tất cả các không gian con xem cái nào là môđun con Tình trạng không thỏa đáng này sẽđược giải quyết sau khi chúng ta thảo luận về tích trong của các đặc trưng của nhóm trongTiết1.9

Từ các ví dụ vừa rồi, ta thấy cả biểu diễn định nghĩa cho S nvà đại số nhóm cho một G

bất kì đều là khả qui nếu ta có tương ứng n ≥ 2 và |G| ≥ 2 Lý do là vì ta đã xây dựng các

môđun con không tầm thường Bây giờ ta hãy minh họa cách tiếp cận khác qua các ma trận

sử dụng biểu diễn định nghĩa của S3 Ta phải mở rộng cơ sở{1 + 2 + 3} cho W tới một cơ

sở cho V = C{1, 2, 3} Ta hãy chọn

B = {1 + 2 + 3, 2, 3}.

Rõ ràng là X(e) vẫn là ma trận đồng nhất cỡ 3× 3 Để tính X((1, 2), ta nghiên cứu tác động

của (1,2) lên cơ sở vừa chọn :

1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke 13

1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke

Nếu ta có thể biến đổi các ma trận của một G-môđun khả qui thành dạng khối đườngchéo

với mọi g ∈ G thì còn tốt hơn nữa Đây chính là khái niệm về tổng trực tiếp.

Định nghĩa 1.5.1. giả sử V là một không gian véc tơ với các không gian con U và W Khi đó

V là tổng (trong) trực tiếp của U và W, kí hiệu V = U ⊕ W , nếu mọi phần tử v ∈ V đều có

thể viết một cách duy nhất dưới dạng tổng

v = u + w, u∈ U, w ∈ W.

Nếu V là một G-môđun và U, W là các G-môđun con thì ta nói rằng U và W là các phần bù

của nhau.

Nếu X là một ma trận, khi đó X là tổng trực tiếp của các ma trận A và B, kí hiệu X = A ⊕B,

nếu X có dạng đường chéo khối

Để thấy mối quan hệ giữa các định nghĩa dạng môđun và dạng ma trận, giả sử V là một

G-môđun với V = U ⊕ W , ở đó U, W ≤ V Do đây là một tổng trực tiếp các không gian

véc tơ, ta có thể chọn một cơ sở cho V

ở đó A(g) và B(g) tương ứng là các ma trận của tác động của G hạn chế xuống U và W

Quay trở lại với biểu diễn định nghĩa của S3, ta thấy rằng

V = C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ C{2, 3}

như là các không gian véc tơ Nhưng trong khiC{1 + 2 + 3} là một S3-mođun con,C{2, 3}

không phải (chẳng hạn như (1, 2)2 = 1 / ∈ C{2, 3}) Do đó ta cần tìm một phần bù cho

C{1 + 2 + 3}, tức là một môđun con U sao cho

C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ U.

Để tìm một phần bù, ta đưa ra một tích trong trênC{1, 2, 3} Cho trước hai véc tơ i và j bất

kì trong cơ sở{1, 2, 3}, ta định nghĩa tích trong của chúng là

ở đó δ i,j là kí hiệu delta của Kronecker Bây giờ ta mở rộng tuyến tính đối với biến thứ nhất

và liên hợp tuyến tính đối với biến thứ hai để nhận được một tích trong trên toàn bộ khônggian véc tơ Một cách tương đương, ta cũng có thể bắt đầu bằng cách định nghĩa tích của hai

véc tơ cho trước bất kì v = a1 + b2 + c3, w = x1 + y2 + z3 là

< v, w >= a¯ x + b¯ y + c¯ z,

ở đó gach ngang ở trên chỉ liên hợp phức Độc giả có thể kiểm tra định nghĩa này hoàn toànthỏa mãn các tiên đề tạo thành một tích trong Ngoài ra nó còn có một tính chất nữa là bấtbiến dưới tác động của nhóm G:

< gv, gw >=< v, w > với mọi g ∈ G và v, w ∈ V (1.6)

Để kiểm tra tính bất trến trên V, chỉ cần kiểm chứng (1.6) cho các phần tử trong cơ sở Mặt

khác, nếu π ∈ S n, thì

< πi, πj >= δ π(i),π(j) = δ i,j =< i, j >,

ở đây dấu bằng ở giữa có được là do π là một song ánh.

Bây giờ đối với một không gian véc tơ V có tích trong và một không gian con W, ta có

1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke 15

Để tính các ma trận của tổng trực tiếp, ta chọn các cơ sở{1 + 2 + 3} cho C{1, 2, 3}, và {2 − 1, 3 − 1} cho C{1 + 2 + 3} ⊥ Cách chọn này dẫn đến các ma trận

Tất nhiên là A(g) là bất khả qui (do có bậc 1), và ta sẽ thấy trong Tiết1.9rằng B(g) cũng vậy

Vậy là ta đã phân tích biểu diễn định nghĩa của S3thành các thành phần bất khả qui của nó.Nội dung của Định lí Maschke là điều này có thể làm được cho mọi nhóm hữu hạn

Định lý 1.5.3. [(Định lí Maschke)] Giả sử G là một nhóm hữu hạn và V là một G-môđun khác không Khi đó

V = W(1)⊕ W(2)⊕ · · · ⊕ W (k) ,

ở đó mỗi W (i) là một G-môđun con bất khả qui của V.

Chứng minh Ta sẽ dùng qui nạp trên d = dim V Nếu d = 1, thì V tự nó là bất khả qui

và ta đã xong (k=1 và W(1) = V ) Bây giờ giả sử d > 1 Nếu V là bất khả qui thì ta cũng

đã hoàn thành chứng minh như trước Nếu không thì V có một G-môđun con không tầmthường W Ta sẽ xây dựng một môđun con bù cho W, như đã làm trong ví dụ trước

Chọn một cơ sởB = {v1, v2, · · · , v d } nào đó cho V Xét tích trong duy nhất thỏa mãn

với mọi h ∈ G và v, w ∈ v Nhưng

Ta có dạng ma trận của định lí Maschke như là một hệ quả Từ nay về sau, ta sẽ thường

bỏ đi các dòng kẻ ngang và dọc để chỉ các khối ma trận Qui ước của chúng ta sử dụng cácchứ cái thường cho các phần tử và hoa cho ma trận là đủ để tránh các sự nhầm lẫn

Hệ quả 1.5.4. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và X là một biểu diễn ma trận của G với chiều

d > 0 Khi đó tồn tại một ma trận cố định T sao cho moi ma trận X(g), g ∈ G, đều có dạng

mỗi W (i) là bất khả qui với chiều, chẳng hạn là d i Chọn một cơ sởB cho V sao cho d1véc tơ

đầu là một cơ sở của W(1), d2véc tơ tiếp theo là một cơ sở của W(2), v.v Ma trận T chuyển

cơ sở chuẩn củaC dsang cơ sởB thỏa mãn yêu cầu đề ra, vì liên hợp bởi T chỉ làm nhiệm vụ

Các biểu diễn mà có thể phân tích được một cách đẹp đẽ như trên có tên riêng

1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke 17

Định nghĩa 1.5.5. Một biểu diễn là hoàn toàn khả qui nếu nó có thể được viết dưới dạng

tổng trực tiếp của các thành phần bất khả qui

Do đó định lí Maschke có thể được phát biểu lại như sau:

Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn với chiều dương là hoàn toàn khả qui

Chúng ta đang làm việc dưới giả thiết đẹp nhất có thể có, tức là, tất cả các nhóm của tađều là hữu hạn và tất cả các không gian véc tơ đều trênC Tuy nhiên thỉnh thoảng ta cũng sẽ

đề cập đến các kết quả tổng quát hơn Định lí Maschke vẫn còn đúng nếuC được thay bởimột trường bất kì với đặc trưng hoặc là không, hoặc là nguyên tố với|G| Để tìm hiểu chứng

minh trong khung cảnh này, độc giả có thể tham khảo Ledermann [Led 77, tr 21-23]

Mặt khác, ta không thể nào bỏ đi giả thiết về tính hữu hạn trên G, như ví dụ chỉ rõ Đặt

R+là tập các số thực dương, xem như là một nhóm đối với phép nhân Dễ thấy rằng phépđặt

1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur

Ta có thể hiểu thêm về các đối tượng toán học (như các không gian véc tơ, các nhóm, cáckhông gian tôpô) thông qua việc nghiên cứu các hàm bảo toàn cấu trúc của chúng (chẳnghạn như các biến đổi tuyến tính, các đồng cấu, các ánh xạ liên tục) Đối với một G-môđun,hàm tương ứng được gọi là một G-đồng cấu

Định nghĩa 1.6.1. Giả sử V và W là các G-môđun Khi đó một G-đồng cấu (hoặc đơn giản

là một đồng cấu) là một biến đổi tuyến tính θ : V → W sao cho

θ(gv) = gθ(v)

với mọi g ∈ G và v ∈ V Ta cũng nói rằng θ bảo toàn hay tôn trọng tác động của G.

Ta có thể diễn dịch điều này sang ngôn ngữ các ma trận bằng cách chọn các cơ sởB và

C Khi đó tính chất G-đồng cấu trở thành

T X(g)v = Y (g)T v

với mọi véc tơ cột v và g ∈ G Nhưng vì điều này đúng với mọi v, ta phải có

T X(g) = Y (g)T với mọi g ∈ G (1.7)

Do đó sự tồn tại của một G-đồng cấu θ là tương đương với sự tồn tại một ma trận T sao cho

(1.7) được thỏa mãn Ta sẽ thường xuyên viết điều kiện này thành T X = Y T

Lấy ví dụ G = S n , V = Cv với tác động tầm thường của S n , và đặt W = C{1, 2, , n} với tác động định nghĩa của S n Ta định nghĩa một biến đổi θ : V → W bằng cách đặt

θ(v) = 1 + 2 + + n

và mở rộng tuyến tính; tức là

θ(cv) = c(1 + 2 + + n)

với mọi c ∈ C Để kiểm tra rằng θ là một G-đồng cấu, chỉ cần kiểm tra rằng tác động của G

được bảo toàn trên một cơ sở của V (Tại sao?) Nhưng với mọi π ∈ S n,

Theo mạch lập luận như trên, giả sử G là một nhóm tùy ý tác động một cách tầm thường lên

V = C{v}, và đặt W = C[G] là đại số nhóm Bây giờ ta có G-đồng cấu θ : V → W được

mở rộng tới một G-đồng cấu từ V vào W.

Rõ ràng là việc hiểu được khi nào hai biểu diễn của một nhóm là khác nhau và khi nàochúng giống (mặc dầu có thể có một vài khác biệt bề ngoài) là rất quan trọng Chẳng hạnnhư hai biểu diễn ma trận khác nhau chỉ bỏi một phép thay cơ sở thực ra là như nhau Kháiniệm về G-tương đương cho phép ta làm rõ ý tưởng này

Định nghĩa 1.6.2. Giả sử V và W là các môđun cho một nhóm G Một G-đẳng cấu là một

G-đồng cấu θ : V → W mà cũng là một song ánh Trong trường hợp này, ta nói rằng V

và W là G-đẳng cấu, hay G-tương đương, viết V ∼ = W Nếu không, ta nói rằng V và W làG-không tương đương

Như thường lệ, ta bỏ không viết G khi nhóm đã được xác định rõ trong khung cảnh

Trên ngôn ngữ ma trận, tính song ánh của θ phiên dịch thành ma trận tương ứng T là

khả nghịch Vậy từ phương trình (1.7) ta thấy rằng các biểu diễn ma trận X và Y của mộtnhóm G là tương đương nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận cố định T sao cho

Y (g) = T X(g)T −1

với mọi g ∈ G Đây là tiêu chuẩn đổi cơ sở mà ta đã nói ở trên.

Ví dụ 1.6.3. Bây giờ ta đã được chuẩn bị đầy đủ để có thể giải thích vì sao biểu diễn các lớp

kề của S3ở cuối Ví dụ1.3.5trùng với biểu diễn định nghĩa Nhớ lại rằng ta đã lấy nhóm con

H = {², (2, 3)} ⊂ S3tạo nêu môđun biểu diễn lớp kềCH, ở đó

H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}.

Đối với mọi tập hợp A, đặt S Anhóm đối xứng trên A, tức là tập tất cả các hoán vị của A Bâygiờ nhóm con H có thể được viết như là tích trực tiếp (trong)

H = {(1)(2)(3), (1)(2, 3)} = {(1)} × {(2)(3), (2, 3)} = S {1} × S {2,3} (1.8)

Một cách thuận tiện để mô tả tích các nhóm con của S nnhư ở trên là thông qua phỏng bảng

Giả sử λ = (λ1, λ2, , λ `)là một phân hoạch, như đã nói đến trong Tiết1.1 Một phỏng

bảng Young với mẫu λ là một dãy ` hàng sao cho hàng thứ i chứa λ isố nguyên và thứ tự củacác số trong một dòng không quan trọng Để chỉ rằng mỗi dòng có thể được xáo trộn một

cách tùy ý, ta để các dòng kẻ ngang giữa các dòng Chẳng hạn như nếu λ = (4, 2, 1), thì một

vài phỏng bảng Young có thể là

3 1 4 1

5 92

=

3 1 1 4

9 52

6= 9 5 3 42 11

.

Phương trình (1.8) nói rằng H gồm tất cả các hoán vị trong S3mà giao hoán với các phần tửcủa tập{1} với nhau (dẫn đến đúng một giao hoán (1)) và hoán vị các phần tử của {2, 3} với

nhau (dẫn đến (2)(3) và (2,3)) Điều này được thể hiện qua phỏng bảng

Bằng phép mở rộng tuyến tính, θ trở thành một đẳng cấu không gian véc tơ từ CH vào CS.

Hơn nữa, ta khẳng định rằng nó là một G-đẳng cấu Để kiểm tra điều này, ta có thể kiểm

chứng rằng tác động của mỗi π ∈ S3được bảo toàn trên mỗi véc tơ cơ sở của H Chẳng hạn

Một tính chất khác về các tabloid trong tập S của ta la chúng được hoàn toàn xác định

bởi phần tử ở hàng thứ hai Do vậy ta có một ánh xạ tự nhiên η giữa cơ sở {1, 2, 3} cho biểu

1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur 21

3−→ η 1 2

3 .

Bây giờ η mở rộng bằng tuyến tính thành một G-đồng cấu từ C{1, 2, 3} tới CS Điều này,

cùng với phương trình (1.9), chứng tỏ rằngCH và C{1, 2, 3} đúng là tương đương với nhau.

Độc giả có thể nghĩ rằng chúng ta đã chọn một con đường quá lòng vòng để đi tới S3-đẳngcấu cuối cùng Tuy nhiên, việc sử dụng tabloid Young không chỉ giới hạn ở khuôn khổ ví dụ

này Ta sẽ sử dụng chúng để xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả qui của S ntrong Chương

2

Bây giờ ta quay trở lại với lí thuyết chung Hai tập hợp thường được gắn với bất cứ một

ánh xạ giữa các không gian véc tơ θ : V → W là cái hạt nhân của nó

ker θ = {v ∈ V : θ(v) = 0},

ở đó 0 là véc tơ không, và cái ảnh của nó

Im θ = {w ∈ W : w = θ(v)với một v ∈ V nào đó}.

Khi θ là một G-đồng cấu, hạt nhân và ảnh có cấu trúc đẹp.

Mệnh đề 1.6.4. Giả sử θ : V → W là một G-đồng cấu Khi đó

1 ker θ là một G-môđun con của V, và

2 Im θ là một G-môđun con của W.

Chứng minh Ta chỉ chứng minh khẳng định đầu tiên, để lại phần thứ hai dành cho độc giả.

Ta biết từ lí thuyết các không gian véc tơ rằng ker θ là một không gian con của V vì θ là tuyến

tính Vậy ta chỉ cần chứng minh tính đóng đối với tác động của G Nhưng nếu v∈ ker θ thì

với mọi g ∈ G,

θ(gv) =gθ(v) (θ là một G-đồng cấu)

=g0 (v∈ ker θ)

=0,

Bây giờ ta có thể dễ dàng chứng minh bổ đề Schur nhằm phân loại các G-đồng cấu giữacác môđun bất khả qui Kết quả này đóng một vai trò hết sức quan trọng khi ta thảo luận vềđại số giao hoán tử ở tiết sau

Định lý 1.6.5. [Bổ đề Schur] Giả sử V và W là hai G-môđun bất khả qui Nếu θ : V → W là một G-đồng cấu, khi đó hoặc

1 θ là một G-đẳng cấu, hoặc

2 θ là ánh xạ không.

Chứng minh Vì V là bất khả qui và ker θ là một môđun con (theo mệnh đề trước), ta phải

có hoặc là ker θ = {0}, hoặc là ker θ = V Tương tự như thế, tính bất khả qui của W dẫn

đến Im θ = {0} hoặc W Nếu ker θ = V hay Im θ = {0} thì θ là ánh xạ không Mặt khác,

Điều thú vị là bổ đề Schur vẫn đứng đắn trên một trường bất kì, và đối với các nhóm vôhạn Thực ra, chứng minh mà ta vừa đưa ra vẫn có giá trị Dạng ma trận cũng đúng trongtrường hợp tổng quát hơn này

Hệ quả 1.6.6. Giả sử X và Y là hai biểu diễn ma trận bất khả qui của G Nếu T là một ma trận nào đó sao cho T X(g) = Y (g)T với mọi g ∈ G, thì hoặc là

1 T khả nghịch, hoặc

2 T là ma trận không.

Ta cũng có một kết quả tương tự như bổ đề Schur trong trường hợp môđun đích khôngphải là bất khả qui Kết quả này được diễn đạt một cách thuận tiện nhất trên không gian véc

tơ Hom(V, W ) các G-đồng cấu từ V vào W.

Hệ quả 1.6.7. Giả sử V và W là hai G-môđun với V là bất khả qui Khi đó dim Hom(V, W ) = 0 nếu và chỉ nếu W không chứa môđun con nào đẳng cấu với V.

Mặt khác, trên trường số phứcC, ta có thể nói phat biểu thêm Giả sử rằng T là một matrận sao cho

với mọi g ∈ G Từ đó suy ra

(T − cI)X = X(T − CI),

ở đó I là ma trận đồng nhất thích hợp, và c ∈ C là một vô hướng nào đó Do C là đóng đại

số, ta có thể chọn c là một giá trị riêng của T Như thế T − cI thỏa mãn giả thiết của hệ quả

1.6.6(với X = Y ) và không phải là khả nghịch do cách chọn của c Khả năng duy nhất có thể xảy ra, do đó, phải là T − cI = 0 Ta vừa chứng minh kết quả sau:

Hệ quả 1.6.8. Giả sử X là một biểu diễn ma trận bất khả qui của G trên trường số phức Khi

đó các ma trận T giao hoán với X(g) với mọi g ∈ G chỉ gồm có các ma trận có dạng T = cI tức là bội vô hướng của ma trận đồng nhất.

-1.7 Giao hoán tử và các Đại số tự đồng cấu 23

1.7 Giao hoán tử và các Đại số tự đồng cấu

Hệ quả1.6.8gợi ý rằng tập hợp các ma trận giao hoán với cá ma trận của một biểu diễncho trước đóng một vai trò quan trọng Trong ngôn ngữ môđun, tập này tương ứng với tậpcác G-đồng cấu từ một G-môđun vào chính nó Chúng ta sẽ phân loại các tập như vậy trongtiết này Sự mở rộng các ý tưởng này cho dồng cấu giữa các G-môđun khác nhau dẫn đếnmột tổng quát hóa hữu dụng của Hệ quả1.6.7(xem Hệ quả1.7.10)

Định nghĩa 1.7.1. Giả sử X : G → GL dlà một biểu diễn ma trận Đại số giao hoán tử tươngứng là

ComX = {T ∈ Mat d : T X(g) = X(g)T với mọi g ∈ G},

ở đó Matd là tập tất cả các ma trận d × d với hệ số trong C Độc giả có thể kiểm chứng rằng

nếu V là một G-môđun và X là biểu diễn ma trận tương ứng thì EndV và ComX là các đại số

đẳng cấu với nhau Ta chỉ cần lấy cơ sởB trong định nghĩa xây dựng nên X và sử dụng ánh

xạ mang mỗi θ ∈ EndV tới ma trận T của θ trong cơ sở B Ta hãy tính ComX cho một vài

ở đó X(1), X(2)là các biểu diễn bất khả qui không tương đương với bậc d1 và d2 tương ứng

ComX có dạng như thế nào?

là một ma trận được phân hoạch cùng một cách với X Nếu T X = XT thì ta có thể nhân

hai vế với nhau để có