Một số kinh nghiệm khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12

Ta khảo sát bài toán con lắc lò xo chịu thêm tác dụng của một lực không đổi chiều và độ lớn sau: Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ cứng k.. N

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12 tôi nhận thấy hầu hết các em học

sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có liên quan đến dao động tắt dần.Bởi đây là phần có nhiều dạng bài tập khó, có nhiều công thức cần nhớ và việc

áp dụng các công thức toán học tương đối phức tạp Khó khăn lớn nhất của các

em là việc xác định bài toán thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù hợp cho việc giải bài toán đó

Mặt khác, trong giai đoạn hiện nay khi mà hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học cao đẳng, yêu cầu về phương pháp giải nhanh và tối ưu cho các em là rất cấp thiết để các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi đó

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận.

1.1 Hiện tượng tắt dần của dao động cơ.

Một vật thực hiện dao động điều hòa chỉ trong điều kiện lí tưởng Trên thực tế các vật khi dao động đều chịu tác dụng của lực cản trên bề mặt tiếp xúc và lực cản của môi trường dao động Điều này làm cho năng lượng của vật dần mất đi dẫn đến hiện tượng tắt dao động

Hiện tượng các dao động của các vật bị tắt (dừng lại) sau một khoảng thời gian nào đó được gọi là hiện tượng tắt dần của dao động cơ

1.2 Dao động tắt dần chỉ chịu tác dụng của lực ma sát có độ lớn không đổi.

Trước tiên để hiểu rõ được tại sao dao động tắt dần ở THPT có chu kì dao động

và biên độ hoàn toàn xác định Ta khảo sát bài toán con lắc lò xo chịu thêm tác

dụng của một lực không đổi( chiều và độ lớn) sau:

Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ

cứng k Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn Vật đang đứng yên, tác dụng lên vật bằng một lực F không đổi Bỏ qua lực cản của môi trường Chứng minh vật dao động điều hòa với chu kì đúng bằng chu kì riêng.

Hướng dẫn

F r

m k

m

Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng với vị trí lò

xo không biến dạng

Sau khi có lực tác dụng vị trí cân bằng của vật lúc này tại O1 O1 cách vị

trí lò xo không biến dạng một đoạn x0 với 0 0

Liên hệ với bài toán, ta sẽ phân tích quá trình dao động tắt dần thành

nhiều giai đoạn khác nhau để có thể áp dụng được kết quả của bài toán

Để ý rằng lực ma sát khô ta đang xét chính là lực ma sát trượt Lực này luôn có hướng ngược hướng chuyển động, độ lớn không đổi Như vậy trong một quá trính dao động, trước khi vật đổi chiểu thì ta coi bài toán dao động tắt dần trở về bài toán của con lắc lò xo chịu tác dụng của một lực có độ lớn và hướng không đổi và áp dụng được kết quả trên Chỉ có điều dao động ấy phức tạp hơn

ở các chỗ:

Vị trí cân bằng phụ thuộc hướng của lực có độ lớn không đổi do đó ở dao động tắt dần trong mỗi lần đồi chiều thì vị trí cân bằng lại thay đổi, về mặt định lượng thì khoảng cách từ 2 vị trí cân bằng ấy đến vị trí lò xo không biến dạng là

bằng nhau

Ta luôn luôn xét được 1 nửa dao động bởi một nửa sau ( sau khi đổi chiểu) vật lại dao động với biên độ và vị trí cân bằng khác

Bài toán 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k

Con lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang Tại thời điểm ban đầu người ta kéo vật dịch khỏi vị trí lò xo không biến dạng một đoạn A0 rồi thả nhẹ Cho rằng hệ số

ma sát trượt giữa vật và giá là không đổi và bằng μ, bỏ qua lực ma sát nhớt của môi trường

Để giải quyết bài toán này ta cần bổ sung các bổ đề và một số lý thuyết sau:

+ Sự bảo toàn năng lượng

Ở thời điểm t, vật đang ở vị trí có li độ x ( so với vị trí lò xo không biến dạng), với vận tốc v và đã đi được quãng đường S khi đó ta có: E - E = A 0 s ms

Gọi vị trí lò xo không biến dạng là vị trí O

Ban đầu kéo vật đến vị trí P cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn

OP = A0

Trong quá trình chuyển động về vị trí lò xo không biến dạng ( P O) vật chịu thêm lực tác dụng của lực cản giữa vật và sàn, cụ thể là lực ma sát trượt Rõ ràng điều kiện ban đầu phải thỏa mãn lực đàn hồi có độ lớn lớn hơn độ lớn lực ma sát trượt thì vật mới chuyển động về O được

Nghĩa là: kAμmg 0 > hay 0

Vị trí O1 nằm giữa P và O Tương tự như vậy, trường hợp khi vật chuyển động từ Q về O thì vật có vị trí cân bằng là O2 giống với O1 Do đó trong quá trình dao động qua lại vật có hai vị trí cân bằng, ta tạm gọi đó là hai vị trí cân bằng tạm thời.

Gọi tọa độ của O1 và O2 là x0 Dễ dàng thấy được tại O1 và O2 ta có

+ Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì

Cách lý giải 1: (Theo quan điểm năng lượng )

Rõ ràng ta không thể chọn một vị trí cân bằng nào cố định để tính biên độ,

mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị trí cân bằng khác nhau Do đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị trí lò xo không biến dạng O là biên độ dao động tạm thời

Theo điều giả sử trên ta tính được độ giảm biên độ sau ½ chu kì dao động như sau:

Giả sử sau ½ T đầu, vật dao động từ P rồi dừng lại và đổi chiều tại M ( Nếu không có ma sát thì vật sẽ dao động và đổi chiều tại Q đối xứng với P qua O ).Như vậy lượng giảm biên độ của vật sau ½ T chính là đoạn MQ

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2T.

Độ giảm năng lượng của hệ sau 1/2T:

Trong ¼ T chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị trí O1

Nhận xét: Trong hai cách lí giải trên, cách lí giải 1 có tính thuyết phục cao hơn

về mặt bản chất vật lý, nhưng so với phương pháp giải trắc nghiệm thì cách lí giải 2 nhanh về dễ hiểu hơn nhiều, hơn nữa cách lí giải 2 sẽ giúp tìm tốc độ cực đại của vật một cách nhanh chóng chứ không phức tạp theo cách lí giải 1

+ Các bổ đề về sự dừng lại của vật.

Dễ dàng thấy rằng, vị trí vật dừng lại phải nằm trong khoảng từ O1 đến O2

Gọi An là biên độ của vật sau n nửa chu kì Ta có 3 bổ đề sau:

Bổ đề 1: Nếu An = δ thì vật sẽ dừng lại tại vị trí đó luôn Sthêm = 0

Bổ đề 2: Nếu 2δ> An >δ thì vật dừng lại trong khoảng OO1

Thời gian trong quá trình này là T/2

Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:

Nếu 2δ < An <3δ thì vật dừng lại trong khoảng OO2 tại N đối xứng

Thời gian trong quá trình này là T/2

Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:

II Thực trạng vấn đề.

2.1 Đối với học sinh

Hầu hết các em đều rất lúng túng và lo sợ khi đề thi có đề cập tới bài toán dao động tắt dần Các em chưa hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp

giải bài tập có liên quan

2.2 Đối với giáo viên.

Một số giáo viên chưa nghiên cứu cụ thể nên chưa hình thành cho mình

được một con đường đi, một phương pháp tiếp cận rõ ràng

III Giải pháp thực hiện.

Bằng những lý thuyết và bổ đề, tôi xây dựng hệ thống các dạng bài tập và

phương pháp giải cho chuyên đề dao động tắt dần như sau:

3.1 Hệ thống các dạng bài tập.

Dạng 1: Tốc độ của vật.

Kiểu 1 Tốc độ cực đại của vật trong toàn bộ quá trình dao động

Kiểu 2 Tốc độ cực đại của vật sau khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 3 Tốc độ cực đại của vật kể từ thời điểm t nào đó

Kiểu 4 Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n

Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo.

Kiểu 1 Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao động.Kiểu 2 Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 3 Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n

Kiểu 4 Độ biến dạng của lò xo khi vật dừng lại

Dạng 3: Quãng đường vật đi được.

Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 2: Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại

Dạng 4: Thời gian vật dao động.

Kiểu 1: Thời gian vật qua hai vị trí bất kì

Kiểu 2: Thời gian vật dao động đến khi dừng lại

3.2 Phương pháp giải cụ thể.

Dạng 1: Tốc độ của vật.

Kiểu 1: Tốc độ cực đại trong suốt quá trình dao động.

Có nhiều cách để tìm tốc độ cực đại của vật trong dao động tắt dần, sau đây tôi xin trình bày 3 cách và sẽ nhận xét ưu nhược của từng cách trên:

Phương án 1: Dựa vào tính chất cực trị toán học.

Ta đã biết, gia tốc tức thời của vật chính là đạo hàm bậc nhất của vận tốc do đó

m ta được : vmax = ω(A0 - δ)

Phương án 2: Dựa vào tính chất của đường cong Parabol.

Thiết lập phương trình tổng quát sau đó tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại

Dễ dàng thấy, trước khi vật đổi chiều thì vật đã đạt tốc độ cực đại ở một

vị trí nào đó Xét vật ở vị trí tọa độ x bất kì Giả sử lúc này vật đang tại N:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:

vị trí cân bằng tạm thời O1 Như vậy vật đạt tốc độ cực đại tại O1

Phương án 3: Dựa vào tính cực đại của vận tốc đối với dao động điều hòa.

Trong dao động điều hòa của một vật với tần số góc ω biên độ A, thì vật đạt tốc độ cực đại khi đi qua vị trí cân bằng, giá trị cực đại có độ lớn : vmax = ω A

Dựa vào hệ quả của cách lí giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì

Nhận thấy, trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vật nhận O1 làm vị trí cân bằng tạm thời Do đó ta coi trong quá trình này vật dao động với biên độ

A1 = A0 - δ và với tần số góc ω Từ đó thu được kết quả:

vmax = ω A1 = ω(A0 - δ) với ω = k

m và δ = μmgk

.

O P

Nhận xét: Trong ba phương án, tác giả nhận thấy phương án 3 có ưu điểm rõ

ràng hơn, nhanh hơn so với hai phương án còn lại Tuy nhiên hai phương án 1

và 2 thì có thể vận dụng được cho nhiều bài toán khác phức tạp hơn hay ta nói phương án 1 và 2 sẽ giải quyết vấn đề đa dạng hơn

Kiểu 2: Tốc độ cực đại sau khi vật đổi chiều lần n.

Khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: Δx = A - 2nδ 0

Vật đạt tốc độ cực đại khi vật qua vị trí cân bằng tạm thời kế tiếp:

v = ω A -2nδ - δ = ω A - 2n+1 δ  

Kiểu 3: Tốc độ cực đại của vật kể từ sau thời điểm t nào đó.

Sau thời gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ cực đại sau đó là bao nhiêu?

Phân tích:

t

= n + m T

(Với n là phần nguyên, m là phần lẻ)

Biên độ dao động của vật sau thời gian nT/2 là: An = A0 – 2nδ

Lúc này vật đang ở biên, tốc độ của vật bằng 0

- Nếu m <1

2thì tốc độ cực đại của vật đạt được sau đó là:

vmax = ω A - δ = ω A - δ 2n+1( n ) { 0  ( )}

- Nếu 1 m < 1

2≤ : Lúc này vật đã qua vị trí cân bằng tạm thời và đang có

xu hướng chuyển động về biên Như vậy tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật

ra biên và qua vị trí cân bằng tạm thời tiếp theo ( kể từ khi đổi chiều) Do đó ta tính được tốc độ cực đại của vật là: vmax = ω A - 3δ = ω A - δ 2n+3( n ) { 0  ( )}

Kiểu 4: Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n.

Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng kết hợp với quãng đường vật đi được sau n nửa chu kì ta sẽ giải quyết được bài toán trên

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 1: S = A 0

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 2: S = A + 2 A - 2δ 0 ( 0 )

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3: S = A + 2 A - 2δ + 2 A - 4δ 0 ( 0 ) ( 0 )

Kiểu 2 Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n

Xuất phát từ kết quả biên độ vật giảm đi sau n nửa chu kì là 2nδ nên khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: Δx = A - 2nδ 0

Do đó Δl = A - 2nδ n 0

Kiểu 3 Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n

Khi vật đạt tốc độ cực đại thì vật đang ở vị trí cân bằng tạm thời nên Δl = δ

Dạng 3: Quãng đường vật đi được

Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Khi đổi chiều lần 1, quãng đường vật đi được là: S1 = 2(A0 - δ)

Khi đổi chiều lần 2, quãng đường vật đi được là: S2 = 2(A0 - δ)+2(A0 - 3δ)

…

Khi đổi chiều lần n, quãng đường vật đi được là:

Sn = 2(A0 - δ)+2(A0 - 3δ)+…+2[A0 – (2n-1) δ] = 2{nA0 – [1+3+5+…+(2n-1)] δ}= 2[nA0 – n2 δ]

Kiểu 2: Quãng đường đi được của vật đến khi dừng lại

* Quãng đường của vật đi được sau n nửa chu kì:

Từ kết quả ở kiểu 1, sau n nửa chu kì, quãng đường vật đi được là: Sn =

2n A - nδ

* Quãng đường của vật đi thêm sau n nửa chu kì:

Sau n nửa chu kì, biên độ của vật giảm còn An = A0 – 2nδ= A0 - 2nμmg

k

Từ kết quả của 3 bổ đề

Nếu An = δ thì theo bổ đề 1 vật dừng lại tại đây hay Sthêm =0

Theo bổ để 2 và 3, trong cả hai trường hợp δ< An < 2δ và 2δ< An < 3δquãng đường vật đi thêm đều là Sthêm = 2A0 - 2δ (2n + 1), với n là số nửa chu kì dao động trước đó

* Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại :

Tổng hợp hai kết quả trên ta tính quãng đường tổng như sau:

Phân tích: A0

= n +m2δ ( với n là số nguyên, m là phần lẻ ).

Kết quả 1: Nếu m = 0,5 thì vật rơi vào trường hợp An = δ , do đó quãng đường vật đi được là: S = 2n A - nδ( 0 )

Kết quả 2: Nếu m > 0,5thì vật rơi vào trường hợp δ< An < 2δquãng đường vật

đi được là:

S = S n + S thêm = 2(n+1)A0 -2(n+1)2 δ

Kết quả 3: Nếu m < 0,5 thì An < δ Ở đây vật đang nằm trong khoảng O1O2

nghĩa là sẽ không dao động nữa, vậy ta xét trong nửa chu kì trước đó Lúc này 2

δ< An < 3δdo đó quãng đưòng vật đi được là: S = S n-1 + S thêm = 2(n-1)[A0 – 1) δ] +2 An-1 - 2δ = 2n A -nδ( 0 )

Dạng 4: Thời gian vật dao động.

Kiểu 1: Thời gian vật qua hai vị trí bất kì.

Chu kì dao động không đổi, nên ta tính thời gian tương tự đối với dao động điều hoà, chỉ cần lưu ý vật đang chuyển động ứng với vị trí cân bằng nào?

Nếu vật chuyển động từ trái qua phải thì vật nhận O1 là vị trí cân bằng từ đó suy

ra li độ tương ứng Ngược lại nếu vật chuyển động từ phải qua trái thì vật nhận

O2 làm vị trí cân bằng

Kiểu 2: Thời gian vật dao động đến khi dừng lại.

Bài toán tính thời gian dao động thì đơn giản hơn bài toán tính quãng đường đi Chỉ cần sử dụng hai bổ đề 1 và 2 thì ta có thể giải quyết được

Phân tích: A 0

= n + m

( với n là số nguyên, m là phần lẻ )

Nếu m > 0.5 thì thời gian dao động là (n+1)T/2 rơi vào bổ đề 2

Nếu m ≤ 0.5 thì thời gian dao động là nT/2.

3.3 Một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ minh họa 1 : Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,4kg và lò xo

có độ cứng 100 N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Lấy g = 10 m/s2 (

2

dao động tắt dần Tính thời gian vật dao động và tổng quãng đưỡng vật đi được đến dao động tắt trong các trường hợp sau:

Quãng đường vật đi

được đến khi dừng lại

S =2n A - nδ( 0 ) S =2(n+1)[A0 - (n+1)δ ]

Số nửa chu kì vật dao

động đến khi dừng lại

Vị trị cân bằng tạm thời cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn : δ = μmg

Ví dụ minh họa 2 : Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có

độ cứng 50 N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục

lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,05 Tại vị trí lò xo không biến dạng, người ta nén vật 5cm rồi buông nhẹ

a Tốc độ của vật khi vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3.

b Độ lớn lực đàn hồi khi vật đổi chiều lần 3

Hướng dẫn:

a VTCB tạm thời cách vị trí lò xo không biến dạng : δ = μmg

Từ lúc buông vật đến lúc lúc vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3 vật đã

đi được quãng đường S = (2n - 1 A - 2n n - 1δ = 5A) 0 ( ) 0 - 12δ = 22,6cm

( Lưu ý đối với trường hợp n nhỏ ta có thể thấy ngay quãng đường vật đi được thông qua hình vẽ mô phỏng).

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có kết quả sau:

Ví dụ minh họa 3 : Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có

độ cứng 20 N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục

lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01 Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu 1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo Lấy g = 10 m/s2 Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động