Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh đăk lăk năm học 2015 2016(có đáp án)

Chứng minh rằng số M ab 1 là số chính phương.. Biết BC = CD và hai đường thẳng AD, BC cắt nhau tại F.. Vẽ EH vuông góc với AD tại điểm H.. Hai đường thẳng AC, EH cắt nhau tại k.. Tìm

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐĂK LĂK

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN 9 – THCS

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 05/4/2016

Bài 1: (4 điểm)

1) Giải hệ phương trình sau:





2) Tìm tất cả số thực m để phương trình: x2

– 2(2m + 1)x + 3m + 4 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 2 : (4 điểm)

1) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 2

2

x y z





  

 Tính giá trị của biểu thức

 1 1 1

y

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B đều khác gốc tọa độ O mà OA + OB = 6

Bài 3: (4 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn  3

6

ab  a b

b) Cho

2017 1

111 1

chu so

2016 0

100 05

chu so

b Chứng minh rằng số M ab 1 là số chính phương

Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Biết BC

= CD và hai đường thẳng AD, BC cắt nhau tại F Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AD = BE Vẽ EH vuông góc với AD tại điểm H Hai đường thẳng AC, EH cắt nhau tại k Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh rằng:

1) AD AF + BC BF = 4R2

2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng

Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và diện tích tam

giác AOB bằng 9 cm2, diện tích tam giác COD bằng 16 cm2

Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD

Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c là ba số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 Tìm giá

BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm)

1) Giải hệ phương trình sau:













2 2

0

5

       

  



  



      





Vậy hệ phương trình có một nghiệm là  5; 5

2) Tìm tất cả số thực m để phương trình: x2

– 2(2m + 1)x + 3m + 4 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

1

2 2

m

m

m m







Bài 2 : (4 điểm)

1) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 2

2

x y z





  

 Tính giá trị của biểu thức

 1 1 1

y

2

2 xy yz zx  x y z  x y z  2    2 2 xy yz zx  1

Nên x   1 x xy yz zx  x y x z

tương tự: y  1  x y y z; z  1  x z y z

Do đó:  1 1 1

y

               

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B đều khác gốc tọa độ O mà OA + OB = 6

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a, b  0, vì cắt Ox, Oy)

Vì đường thẳng đi qua điểm M(1; 2) nên có: a + b = 2  b = 2 – a

Đường thẳng y = ax + 2 – a cắt tia Ox tại điểm có hoành độ a 2

a

 , cắt tia Oy tại điểm có

tung độ 2 a Nên

2 0

0

a

a a

a



 



  



2

a a

a a

 





               

 (TM)

+) Với a = –1, phương trình đường thẳng là : y = –x + 3

+) Với a = –2, phương trình đường thẳng là : y = –2x + 4

Bài 3: (4 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn  3

6

ab  a b

4

a b

a b

 



                 



Nên ab12; 21;30;13; 22;31 Chỉ có  3

21 6   2 1  là đúng Vậy ab 21 b) Cho

2017 1

111 1

chu so

2016 0

100 05

chu so

b Chứng minh rằng số M ab 1 là số chính phương

2017 1

9

chu so

2016 0

chu so

2017

2017

   

Vì 2017

10  2 3 nên

2017

  Do đó M ab 1 là số chính phương

Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Biết BC

= CD và hai đường thẳng AD, BC cắt nhau tại F Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AD = BE Vẽ EH vuông góc với AD tại điểm H Hai đường thẳng AC, EH cắt nhau tại k Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh rằng:

1) AD AF + BC BF = 4R2

I' H

I

K

H

E

F

D

C

1) AD AF + BC BF = 4R 2

K FH  AB (H  AB), ta có: 0

90

ADBACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ADB và AHF có: 0

90

ADBAHF  , A (góc chung) Vậy ADB AHF AD AH AD AF. AB AH a.  

Xét ACB và FHB có: 0

90

ACBFHB , B (góc chung) Vậy ACB FHB BC BH BC BF. AB BH b.  

2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng

Vì BCCDBCCDBACCAD  AC là phân giác góc BAD

Gọi I’ là giao điểm của DK với AB (1)

Xét AI’D có AK là phân giác AI KI  

Xét BI’D có EK // BD (EH  AD, BD  AD) KI I E  

c

Từ c), d) AI I E

  mà AD = BE (gt)  AI’ = I’E  I’  I (vì AI = IE (gt)) (2)

Từ 1) và 2) suy ra D, I, K thẳng hàng (đpcm)

Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và diện tích tam

giác AOB bằng 9 cm2, diện tích tam giác COD bằng 16 cm2

Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD

O A

B

AOD BOC AOB COD AOD COD

Do đó S AODS BOC  2 S AODS BOC  2 144  24

Nên S ABCD S AOB S CODS AODS BOC   9 16 24   49

Dấu “=” xảy ra S AOD S BOC OA OD. OB OC. OA OB AB/ /CD

Vậy Min SABCD = 49 cm2 khi AB // CD

Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c là ba số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức P = 5a2

+ 11b2 + 5c2

           

        

Dấu “=” xảy ra

1 2 2

1 3 3

ab bc ca

















(tự xử tiếp)