Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán 7 có hướng dẫn

Chứng minhrằng: 4a + a + b chia hết cho 6 b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đế

Tuyển tập các đề thi học

sinh giỏi lớp 7Chỳc cỏc thầy cụ và cỏc em đạt nhiều thành tớch

Phòng giáo dục & đào tạo

+

Câu 4 (6 điểm):

Cho tam giác ABC có ã BAC=750, ãABC =350 Phân giác của góc ãBAC cắt cạnh BC tại

D Đờng thẳng qua A và vuông góc với AD cắt tia BC tại E Gọi M là trung điểm của DE

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… ……Số báo danh:………

Phòng giáo dục và đào tạo

+ +

A

⇒ < (đpcm)

0.5

0.50.5

x x

x x x

x x

x x x

·ADM = ·ABD BAD+ · =72 30'0

( Gãc ngoµi cña tam gi¸c ABD );

Tam gi¸c DAE vu«ng cã AM lµ trung tuyÕn nªn MAD∆ c©n t¹i

2đ Gọi ba chữ số phải tìm là , ,a b c ; số đó chia hết cho 18 nên chia

hết cho 9 ⇒ + +a b cM9.Lại có: 1≤ + + ≤a b c 27

Suy ra: a b c+ + nhận một trong ba giá trị 9, 18, 27 (3)Theo bài ra, ta có:

Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010

Mụn thi : Toỏn 7

Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 16/3/2010 - Cõu 1: Tỡm cỏc số x, y, z biết.

ĐỀ CHÍNH THỨC

a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7 − x = 5x− 3

c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48

Câu 2:

a/ Tìm số dư khi chia 22011 cho 31

b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 Chứng minhrằng: 4a + a + b chia hết cho 6

b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất

kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại.Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích?

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác ABE và ACF vuông cân tại A Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đườngthẳng HA

b/ Cho tam giác nhọn ABC với ·BAC = 600 Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB AC

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010

MÔN: TOÁN 7

========================================

1 a 0,5đ (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5

Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y) ∈ {(3, 2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2) − − − − }

0,25

0,250,25

số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn

Nên tổng mới phải là một số chẵn

Vậy trên bảng không thể còn lại số 1

0,25

0,25

0,25

(2,5đ)

a1,5

Chứng minh ∆KAF = ∆HBA ( ch – gn) => EK = AHChứng minh ∆NFI = ∆HCA ( ch – gn) => FN = AHSuy ra EK = FN

0,50,50,5

5

(1,25đ)

a0,75đ

Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b ≤ 2.1 + 1 = 3

Dấu bằng xảy ra khi

c 3d 0

1 1

a b c d a

H

E

C B

A

H

C B

A

Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa

UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÁO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CH N HSG L O ỚP 7 NĂM HỌC 2011 - 2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN.

Thơi gian làm bài: 120 phút, không kể thơi gian giao đề.

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường phân giác BD Gọi H là

hình chiếu của D trên BC Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K

Câu 5 (1,0 điểm) Một cửa hàng có sáu thùng đựng dầu hoặc dấm, trên thùng có ghi lượng

dầu hoặc dấm tính bằng kg: 8; 13; 15; 17; 19; 31 Giá một kg dầu gấp đôi giá một kg dấm Một khách hàng mua năm thùng, số tiền mua dầu và số tiền mua dấm đều bằng 560000 đồng

Hỏi còn lại thùng nào? giá mỗi kg dầu? giá mỗi kg dấm?

Hết

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÁO TẠO KỲ THI CH N HSG L HƯỚNG DÁ̃N CHÁ́M: MÔN TOÁN O ỚP 7 NĂM HỌC 2011 Á 2012

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn chấm để thống nhất cách cho điểm Câu 3 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của toàn bài là tổng điểm của cả 4 câu và không làm tròn

Câu 1.a (1,5 điểm).

Câu 2.a (1,0 điểm).

a) Chứng minh ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ AB = BH 1,0

Ta có ·ABM = 90 0(Do BM //AE( cùng vuông góc với EM) và CAE· = 90 0) 0,5Chứng minh ∆MBK = ∆HBK (cạnh huyền-cạnh góc vuông) 0,5

x− = − ≥x −x, dấu “=” xảy ra khi x≤ 2015 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ −x 2011 + −x 2015 ≥ 4 , dấu “=” xảy ra khi 2011 ≤ ≤x 2015 (3)

0,5

Tương tự ⇒ −x 2012 + −x 2014 ≥ 2 , dấu “=” xảy ra khi 2012 ≤ ≤x 2014 (4) 0,25Còn x− 2013 ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi x = 2013 (5) 0,25

Từ (3), (4) và (5) suy ra A ≥ 6, dấu “=” xảy ra khi x = 2013. 0,25

Câu 5 (1,0 điểm)

Lượng dấm đã bán gấp đôi lượng dầu đã bán nên tổng số kg dấm và dầu đã bán là một số chia hết

cho 3 Tổng số kg dầu và dấm của sáu thùng là 103, là số chia cho 3 dư 1 Vậy số kg của thùng còn

lại là số chia 3 dư 1, có thể là: 13; 19; 31.

0,25

Nếu thùng còn lại là 13kg thì số dầu đã bán là (103 - 13):3 = 30, trong năm số 8;15;17;19;31

không chọn được các số có tổng bằng 30, nên trường hợp này không xảy ra. 0,25Nếu thùng còn lại là thùng 31kg, lập luận tương tự ta cũng thấy khả năng này không xảy ra.

Do vậy thùng còn lại là thùng 19kg Số dầu đã bán là (103 - 19):3 = 48, ta chỉ chọn được hai trong

năm số còn lại thỏa mãn là 13 + 15 = 28; ba số còn lại có tổng bằng 56.

0,25

Vậy giá 1kg dầu là 560000 : 28 = 20000(đồng) ; giá 1kg dấm là 20000 : 2 = 10000(đồng) 0,25

h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )

Cho tam giác nhọn ABC có góc A bằng 30 độ , trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A

vẽ tam giác đều BCD Chứng minh rằng : AD2 =AB2 +AC2

HẾT

gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)

Phòng GD-ĐT

h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc

ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP 7Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )

Vì x, y nguyên dương nên y + 3 là ước của 9 , y 3 3 + > → + = → = y 3 9 y 6

Hs chứng minh bài toán tổng quát ( n n)n 1 ( n 1 n 1)n

a +b + > a + +b + với mọi a,b nguyên dương Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử a > b

c/ Gọi I là giao điểm của BM và CN

Chứng minh tam giác ABN bằng tam giác

CIB (g.c.g) Từ đó chứng minh B là trung

điểm của IN

Tương tự C là trung điểm của IM

Suy ra G là trọng tâm của tam giác IMN

Suy ra GI là trung tuyên của tam giác IMN

mà A là trung điểm của MN nên IG đi qua

A hay A,G,I thẳng hàng

Kết luận : Các đường thẳng AG, BN , CM

đồng quy

Bài 6 : (2 điểm)

Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ

đoạn thăngAE sao cho AE vuụng vớớ AC và

3 2

b

a = Bài 3:(1,5điểm): Cho a; b; c là các số khác 0 Xác định dấu của c , biết 2a3bc trái dấu với - 3a5b3c2 ?

Bài III :(4điểm):

Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ thuận với 1;

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7

Thời gian : 90 phút - năm học 2001-2002Bài I : ( 1,5 điểm )

Cho 2 số a và b trái dấu , 3a2b2002 và - 19 a5 b2004 cùng dấu Xác định dấu của a và b ? Baì II : ( 2,5 điểm )

Cho tam giác ABC có: Â = 90 0; AC > AB.Đờng phân giác AD Qua D vẽ đờng vuông góc với

BC cắt AC ở E

Chứng minh : DB =DE ?

1 4

− y (2)

Từ (1) và (2) có :z =

4

1 4

x

4 =

x x

17 4

4

3

2 3

2

−

−

= +

+

b

a b

4 3 3

2 2

) 3 ( ) 3 (

) 2 ( ) 2

+

− +

+

− +

=

−

− +

−

− +

b b

a a

b b

a b

− +

− +

2 2 3

b

a = ⇒ = (ĐPCM)Bài 3:( 1,5điểm):

Vì : 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2 nên ( 2a3bc )(-3a5b3c2 ) < 0

Tức là : - 6a8b4c3 < 0

Mà a8b4 > 0 với mọi a,b khác 0 Suy ra : - 6c3 < 0 ⇒ c3 > 0 ⇒ c > 0

Vậy : c > 0

BàiIII: (4điểm):

Gọi 3 chữ số của số phải tìm là : a ; b ; c.(a,b,c có vai trò nh nhau)

Vì số đó chia hết cho 18 nên số đó phải chia hết cho 2 và cho 9

(do 2 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau)

*Do số đó chia hết cho 9 , nên (a+b+c) 9 (1)

2

1

c

b

a = = =

6 3

2 1

c b a c b

+ +

+

Từ (3)và (4) có : a+b+c =18

⇒

3

2

1

c

b

6

18 3 2

+ +

+ +b c

Nhng vì số đó còn phải chia hết cho 2 nữa nên chữ số tận cùng phải là : 6

Vậy số cần tìm là :396 ; 936

GT ∆ABC; Â- Ĉ=200

BD là phân giác của B

KL ADB =? ; CDB =? 2 1

A D C Chứng minh : Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có : D1= Â+ B1 ⇒Â= D1- B1 D2 = Ĉ+B2 ⇒Ĉ = D2- B2 ⇒Â - Ĉ = (D1 - B1) - (D2- B2) =D1 - B1 - D2+ B2= D1 - D2= 200 (1)(vì B1=B2(gt)) Mà D1+D2=1800 (2) Từ (1)và (2) ta tính đợc : D1 = 1000 ; D2=800 A Bài 2:(5điểm) 1

∆ABCcân tại A GT Ĉ = 75o K E CH ⊥ AB ( H ∈AB )

KL AB =2 CH H

1

1

Chứng minh : Trên nửa mp có chứa điểm A bờ là BC lấy điểm E sao cho ∆EBC đều

Lấy K là trung điểm của AB

* ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒ Â1= 150 = B1 ⇒ ∆EAB cân tại E

⇒EK ⊥AB (T/c Tam giác cân)

* Xét ∆BCH và ∆EBK có : H = K = 1v

BC = EB (cạnh của ∆ đều EBC)

Ĉ1 = B1 = 15o ( Do Ĉ1 = 90o - 75o ; B1=75o - 60o ) Vậy ∆BCH = ∆EBK (Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông)

⇒ CH = BK mà BK =

2

1AB (K là trung điểm của AB)

⇒CH=

2

1AB hay AB = 2 CH (Đpcm)

2 4

2 3

2 4

81

8 13

7 49

2

9

7 13

7 7

5

y y

x y x B

y y

x y x A

Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm D, E

a Nếu AD=CE Gọi O là giao điểm của phân giác góc A và đờng trung trực của

AC Chứng minh rằng đờng trung trực của DE đi qua O

b Nếu BD+CE=BC Chứng minh rằng đờng trung trực của DE luôn đi qua một

điểm cố định

Câu 4:

Có 100 học sinh xếp hàng đồng diễn thể dục thành 10 hàng 10 cột với khoảng cách đềunhau Trong môĩ hàng chọn một em thấp nhất , sau đó trong 10 em vừa chọn lại chọn em caonhất Gọi em đó là A Bây giờ lại chọn cách khác nh sau , Trong mỗi cột chọn em cao nhất ,sau đó trong 10 em vừa chọn lại chọn em thấp nhất Gọi em đó là B

Hãy so sánh chiều cao em A và em B

-&

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

đề chính thức

1 3 97

1

97 3

1 99 1 1

99

1 97

1

` 5

1 3

1 1

+ +

+ +

+ + + +

|

| 4 3

|

3 )

x x

x x

f

− +

az cx a

y a

đội III do hai máy phải điêù đi làm việc khác nên hoàn thành công việc muộn hơn

đội I là 2 ngày Biết rằng năng suất các máy là nh nhau Tính số máy của mỗi độilúc đầu

Câu 4 :

Cho tam giác ABC (AB<AC) Kẻ đờng phân giác AK của góc A (K∈BC)

Từ trung điểm M của BC kẻ đờng vuông góc với AK , đờng này cắt AC ở E và AB ở

D

a Chứng minh rằng: 2AD=AC+AB; 2EC=AC-AB

b Tính số đo góc BMD theo góc B và góc C của tam giác ABC

x t y x

t z t x

z y t z

y x P

+

+ + +

+ + +

+ + +

+

z y x

t t

y x

z t

z x

y t

z

y

x

+ +

= + +

= + +

= +

Cho tam gi¸c ABC , M vµ N lµ hai ®iÓm n»m trong tam gi¸c ABC sao cho

MN c¾t hai c¹nh AB,AC cña tam gi¸c ABC

7 7

Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng AB , C là một điểm bất

kỳ thuộc đoạn thẳng AB Tính khoảng cách IC theo CA và CB

-&

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

đề chính thức

6 12 26950

99 98

4 3 3 2 2 1

= +

+ +

1 1 2

1 1

Chứng minh rằng 4 số đó lập nên một tỉ lệ thức (tỉ số bằng nhau).

b Cho 4 số thập phân có 3 chữ số, phần thập phân có một chữ số Nếu xoá chữ số tận cùng bên trái của số đó ta lập đợc số mới bằng

Ngời ta chia 1500 cuốn sách cho 3 lớp 7 tỉ lệ với số ngời của mỗi lớp Biết rằng

số ngời lớp 7B bằng trung bình cộng số ngời lớp 7A và 7C Lớp 7A đợc nhiều sách lớp 7C là 300 cuốn Hỏi mỗi lớp đợc chia bao nhiêu cuốn sách?

b Tính ∠A biết ∠HAD 15= o và 3∠B=5∠C

-&

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHềNG GD & ĐT SễNG Lễ ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN

1931 3862

11 1931

7 : 34

33 17

193 386

3 193

4 3 3 2 2

.

1

1 98 2 97 3 96

96 3 97 2 98

.

+ +

+ + + +

+ + + + + +

c b

+ +

+ +

3 3 3

3 3 3

b) Cho S = abc bca cab + + .

Chứng minh rằng S không phải là số chính phương

C©u 4 ( 4 ®iÓm):

Cho tam gi¸c ABC cã gãc A nhän Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa ®iÓm C lÊy

®iÓm M sao cho NA = BA vµ NAB = 900.trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa ®iÓm BlÊy ®iÓm M sao cho MA = CA vµ MAC = 900

15

102 98

15 98

94

15 94

90

b)

10 10

9

4 9 3

19

12 2

6

9 4 15 27

2

+ +

Bài 2 ( 4 điểm )

a) Cho , = , = , = 4

c

c b

b a

a Hãy tính giá trị của biểu thức , , ,

2 3

2 3

c b

a

c b

Cho tam giác ABC có ∠B nhọn và ∠B = 2 ∠C Dựng đờng cao AH Trên tia đối BA lấy

điểm E sao cho BE = BH Chứng minh

2

1 khoảng cách

từ xe máy tới M ?

Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHềNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

VĨNH TƯỜNG

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS

NĂM HỌC 2010 - 2011 MễN: TOÁN LỚP 7

(Thời gian làm bài: 120 phỳt)

Cõu 1 a/ Cho hai sú tư nhiờn a và b, với a > b và thỏa món: 3(a + b) = 5(a - b) Tỡm

thương của hai số a và b

b/ Tỡm cỏc số nguyờn dương a,b,c biết rằng:

b/ Chứng minh: Số B = 1 1 1 1

2 3 4 + + + + 50 không phải là số tự nhiên

Câu 3 Trong một buổi lao động trồng cây, lớp 7A đã phân chia số cây cho các tổ lần lượt

như sau: Tổ I tròng 20 cây và 0,04 số cây còn lại; Tổ II trồng 21 cay và 0,04 số cây cònlại: Tổ III tồng 22 cây và 0,04 số cây còn lại;… Cứ như vậy cho đến tổ cuối cùng thì vừahết só cây và số cây mỗi tổ được chia đem trồng đều bằng nhau Hỏi lớp 7A có mấy tổ vàmỗi tổ được chia bao nhiêu cây

Câu 4 Tìm x biết: a/ (x2 − 1) (x2 − 3) (x2 − 5) (x2 − ≤ 7) 0

b/ 3 7 2 7

3

Câu 5.Cho tam giác nhọn ABC, có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M là một điểm thuộc

miền trong của tam giác Hạ MH,MK,MP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB

a/ Chứng minh : AP2 + BH2 + CK2 = BP2 + CH2 + AK2

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: AP2 + BH2 + CK2 (tính theo a,b,c)

Câu 6 Cho tam giác đều ABC,đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D sao cho AH =

DH Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho góc BDx có số đobằng 150 Dx cắt tia AB tại E Chứng minh: EH = DH

Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HSG

số tự nhiên, suy ra vế phải có tổng không phải là số tự nhiên Do đó B

không phải là số tự nhiên

0,50,5

25 số cây còn lại lần thứ hai

Vì số cây của hai tổ bằng nhau nên 1

25 số cây còn lại lần một nhiều hơn 1

25 số cây còn lại lần hai là: 21 - 20 = 1 (cây)

Do đó số cây còn lại lần một hơn số cây còn lại lần hai là: 1 : 25 = 25

(cây)

Theo sơ đồ ta thấy 1

25số cây còn lại lần một là: 25 - 21 = 4 (cây)Vậy số cây của tổ I cũng là số cây của mỗi tổ là: 20 + 4 = 24 (cây)

Tổng số cây của lớp 7A là: 20 + 4.25 = 120 (cây)

a/ Nhận xét: x2-7 < x2 - 5 < x2 - 3 < x2 - 1 và tích của 4 thừa số âm khi

có một hoặc ba thừa số âm

2 2 2 2

x

x x

Ta cú BAHã = 30 0; ãAED= 45 0

Giả sử ãAEH > 30 0 ⇒ HEDã < 15 0=ãHDE ⇒HD HE< ⇒ AH <EH(vụ lý)

Giả sử ãAEH < 30 0 ⇒ HEDã > 15 0=ãHDE ⇒HD HE> ⇒ AH >EH (vụ lý)

Vậy ãAEH = 30 0 nờn tam giỏc AHE cõn suy ra: EH = HE = HD (đpcm)

1,0

Đề số 1:

đề thi học sinh giỏi huyện

Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối

diện nhau trên một đờng thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia

MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I

vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC

Đề số 2:

đề thi học sinh giỏi huyện

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

c) Từ E kẻ EH ⊥BC (H∈BC) Biết ãHBE = 50 o ; ãMEB =25 o Tớnh ãHEM và ãBME

Bài 5: (4 điểm)

phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

a) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC

a) 1.16 2

8

n = n; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối

diện nhau trên một đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có:

1 11

y x 1

y 12

x 1

12 y

 x =

11

4 x ) vũng ( 33

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối

tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đờng thẳng AB cắt EI tại F

∆ABM = ∆DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :

2 2

3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10

D B

A

I

F E

M

c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

c) Tia AD là phân giác của góc BAC

1 72

x x

C I

Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒·MAC = ·MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )

Suy ra ·AMI = ·EMK

Mà ·AMI + ·IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

·BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM

Nên ·BME = ·HEM + ·MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c)

suy ra ·DAB DAC=·

Do đó DAB· = 20 : 2 10 0 = 0

b) ∆ABC cân tại A, mà µA= 20 0(gt) nên

· (180 0 20 ) : 2 80 0 0

∆ABC đều nên ·DBC= 60 0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra

D

AB cạnh chung ; BAMã =ãABD= 20 ; 0 ãABM =DABã = 10 0

Vậy: ∆ABM = ∆BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC

Đề số 3:

đề thi học sinh giỏi

Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4≤

2

+

+ +