Khái quát về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục

có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảngvài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụnày trong khoảng chưa đầy một giây.Nh

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng dẫn

ThS Nguyễn Minh Vương người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong

suốt quá trình hoàn thành đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý đã giúp đỡ

em rất nhiều trong quá trình làm việc và nghiên cứu khoa học

Cuối cùng em muốn gửi lời cảm ơn tới những người thân của mình đãluôn luôn bên cạnh động viên em trong quá trình học tập, tìm hiểu, nghiêncứu khoa học

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ NHUNG

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thànhmột trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhàkhoa học Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phámạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán,thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản

Claude Shannon đặt nền móng về lý thuyết thông tin năm 1948 Cuốn

sách của ông “A Maththemathical Theroy of Communication ” (Một lý thuyết toán học của sự truyền thông tin) được xuất bản trong Tạp chí Bell

System Technical là cơ sở cho sự phát triển toàn bộ viễn thông đã diễn ra

trong suốt năm thập kỷ qua Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanonphát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong nhữngnhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học Hiện nay, nó thật sự là một lýthuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu màthông tin được lưu trữ và xử lý Mặc dù đã có những thành công không thểnào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do

nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu

và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhàkhoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kể từnăm 1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạđiện từ phát ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quảthực nghiệm về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời Sựxuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối lả cuộc cách mạng củangành vật lý học vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của

Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc

xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc

Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là

một việc làm rất hợp thời đại Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “ Khái quát

về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục” Nó sẽ giúp bản thân

em có cái nhìn sâu sắc hơn về vật lý lượng tử

2 Mục đích nghiên cứu

Khái quát về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu

Các phương pháp của vật lý lý thuyết

6 Cấu trúc đề tài

Chương 1: Khái quát về thông tin lượng tử

1.1 Giới thiệu

1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2.1 Bit lượng tử

1.2.2 Rối lượng tử

Chương 2: Trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục 2.1 Giới thiệu

2.2 Hệ thống lượng tử hữu hạn chiều

2.2.1 Trạng thái lượng tử

2.2.2 Hoạt động lượng tử

2.3 Các biến số liên tục

2.3.1 Giai đoạn không gian

2.3.2 Trạng thái Gaussian

2.3.3 Gaussian unitaries

2.3.4 Kênh Gaussian

2.3.5 Các phép đo Gaussian

2.3.6 Hoạt động không Gaussian

TÀI LIỆU THAM KHẢO

B NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN

LƯỢNG TỬ

1.1 Giới thiệu

Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã

và đang hướng đến một lĩnh vực mới Khoa học thông tin lượng tử Việc ápdụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cáchchúng ta giao tiếp và xử lý thông tin Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này

là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bảnđối ứng lượng tử kém trực giác của nó Thông tin cổ điển có thể bị đọc và saochép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và saochép đó Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép đượcnguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là mộtđặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để traođổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn cóthể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính cókích thước bằng cả vũ trụ Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàntoàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Năm 1985, David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và chothấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việcnhanh hơn rất nhiều Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổđiển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng

tử theo các qubit Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi nhữngnhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường Ví dụ, các siêumáy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để

có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảngvài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụnày trong khoảng chưa đầy một giây.

Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lạirất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụngrộng rãi vào công nghệ tương lai.Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát

từ việc cho rằng các máy tính thực chất là các hệ vật lý và các quá trình tínhtoán là các quá trình vật lý Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng cácquy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là không thể tránhkhỏi

1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2.1 Bit lượng tử

Đơn vị cơ bản của thông tin cổ điển là bit Một bit có thể nhận hai giátrị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thông tin nhỏ nhất Một bit có thể đượchiện thực hoá trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’hoặc “mở” Quá trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào

để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó

nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả Shannon, trong côngtrình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyềnmột cách đáng tin cậy thông tin cổ điển Về nguyên tắc, thông tin mã hoá bởicác bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản cũngđược mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản

Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đạilượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái Mỗi đại lượng vật lý ứngvới một toán tử Hermitic Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vàoviệc nó được đo trong véctơ trạng thái nào Khác với vật lý cổ điển, vật lý

nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả

sử rằng x biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x1 1, x biểu diễn2trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x2 Ví dụ, chúng ta có thể giả sử haigiếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 1.1 Trong đó, các trạng thái1

x và x có thể được xem là các bó sóng Gauss.2

Trong khi một hạt cổ điển chỉ có thể ở trong giếng thế này hoặc giếngthế kia thì một hạt lượng tử có thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạngthái cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nó Một trongcác trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A có thể ở đó là

i

1( x e x ,2



 (1.2)trong đó 1/ 2 là thừa số chuẩn hoá và  là thừa số pha Mỗi lần chúng ta đotoạ độ của hạt A thì xem thật sự nó ở đâu thì trạng thái (1.2) sẽ xẹp xuống vàhạt A sẽ được tìm thấy xung quanh x1 hoặc x2 với xác suất bằn nhau và bằng1/2

Hình 1.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss trong

một giếng thế kép Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào một thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c).

Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (1.2) là sựgiao thoa giữa các trạng thái x và 1 x có thể ảnh hưởng đến sự phân bố2xác suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2) Mức độ giao thoa thay đổi tuỳtheo giá trị của  Biểu thức (1.2) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xungquanh x1 hoặc là ở xung quanh x2 và xác suất của chúng là bằng nhau như mộttrường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một trạngthái trộn của x và 1 x với các xác suất bằng nhau được mô tả bởi một toán2

tử mật độ 1/2 x1 x1  x2 x2 , hạt A cũng không ở một nơi nào đó giữa x1

và x2 Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xung quanh x1

và x2 tại cùng một thời điểm Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xác minhđược nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp Đã có một số ví dụnghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này Nghịch lý con mèo củaSchrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thếnào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô Thí nghiệm hai khe hẹp giảithích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồngchập Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo

ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vậtchất Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng

tử của hai trạng thái A và B có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ

ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giowd thu được từ A , B giốngnhư từ hỗn hợp cổ điển của A và B Những hiệu ứng này (ví dụ như vângiao thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nàođược thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử Vẫn cònrất nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lựcthực nghiệm để chấm dứt những tranh luận này

Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một kháiniệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantumbit” hay viết tắt là qubit) Một qubit được định nghĩa như là một chồng chậpcủa hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1 Nó không phải

là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải làmột giá trị trung gian của cả hai trạng thái này Qubit được định nghĩa trongmột không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:

 0 , 1 ,  i j  ij (1.3)

Một trạng thái qubit được biểu diễn như sau

a 0 b 1

là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và bbất kỳ

Hình 1.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử Trong khi một bit chỉ chiếm

một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất

kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng chập khác nhau Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp.

Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá, a2  b2 1, trong đóa 2( b ) tương ứng2với xác suất mà qubit đo được có giá trị “0” (“1”) Chú ý rằng các trạng thái cơ sở

có thể được chọn một cách tuỳ ý Ví dụ như  0  1 / 2 và 0  1 / 2 cũng

có thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác Dạng tổng quát của một ma trận mật độcủa một qubit là

qubit

1(I r )2

     

(1.5)

Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiềuthông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như

là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau Nhưng thật ra,không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc

ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử Nói chung, cơ họclượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không pháhuỷ nó Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mấttrong khi một bit thì lại có thể Một quá trình đọc ra của một qubit  sẽ làmcho trạng thái qubit xẹp xuống là 0 hoặc 1 tuỳ thuộc vào kết quả đo Cùng

lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó

là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 và là mộtđịnh lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử

Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lýthông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ

và quang học Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều cóthể được xem như là một hệ qubit Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức,một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc Tuy nhiên, đểtìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là mộtchuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thể

đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh Cóhai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyềntin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử Việcchuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất

và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ

Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuấthiện và đóng góp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trênnguyên lý bất định Heisenberg Như đã được giải thích bởi Shrödinger, cáctrạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khihai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xunglượng phải được bảo toàn Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối dotương tác với môi trường Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồntài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyểnlượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử Giả sử một trạng thái hai hệ

1 và 2 được định nghĩa trong một không gian Hilbert H1 H2 như sau:

12 (a 0 11 2 b 1 0 ,1 2 a b 1

Có thể thấy rằng trạng thái này không thể được biểu diễn như là mộttích hợp trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ   1 ' 2 Khi đó (1.6) được gọi

là một trạng thái rối Khi a b ta có trạng thái rối một phần Trạng thái rốicực đại ứng với trường hợp a b Bốn trạng thái rối cực đại trong khônggian H1 H2 tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là

1( 0 0 1 1 ),2



1( 0 1 1 0 )2



được gọi là các trạng thái Bell hay các cặp EPR Một cách tổng quát, chúng tanói rằng trạng thái  12là rối trong H1 H2 khi nó không thể được biểudiễn như là một tích trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ

'

với  1 ' 2 là vectơ trạng thái của hệ 1 (2)

Sự rối không phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng có thể xảy ragiữa nhiều hệ lượng tử khác nhau Khi đó ta có rối đa hệ Rối đa hệ rất quantrọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng lưới lượng tử.Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong xử lý thông tinlượng tử Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử dụng khôngphải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất thành côngcủa việc sử dụng rối cực đại Để tạo được một trạng thái lượng tử rối cực đại

là một việc làm không dễ Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát triển để chắtlọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng thải rốikhông cực đại bằng cách sử dụng các tác dụng định xứ và các giao tiếp cổđiển Những sơ đồ này được gọi là chiết hay sự chắt lọc rối

Hình 1.3: (a) hai hệ vật lý tách riêng A và B không rối với nhau; (b) A và

B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rối; (d) A và B tương tác với môi trường C và giảm độ rối hoặc mất rối hoàn toàn.

CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ RỜI RẠC

VÀ CÁC BIẾN SỐ LIÊN TỤC

2.1 Giới Thiệu

Phần lớn các lý thuyết của khoa học thông tin lượng tử ban đầu đã đượcphát triển trong lĩnh vực của các bit lượng tử và trits, như vậy cho hệ thốnglượng tử hữu hạn chiều Tín hiệu tương tự gần nhất với các bít cổ điển làtrạng thái của hai hệ lượng tử, và thực sự, khá nhiều trực giác của lý thuyếtthông tin cổ điển tiến hành trên lĩnh vực lượng tử [1, 2] Tuy nhiên, cần phảinói, rất nhiều hệ lượng tử không thuộc thể loại này là hữu hạn chiều, quenthuộc đơn giản cơ học lượng tử dao động điều hòa là một ví dụ Dao động cóthể được nhận thấy như một lĩnh vực chế độ của ánh sáng hoặc như mức độrung động tự do của một ion trong một cái bẫy Ngoài ra, spin chung của mẫunguyên tử có thể để một phép tính xấp xỉ hay được mô tả như một hệ thống

lượng tử dạng này Trước đây không phải rất lâu hệ thống lượng tử vô hạnchiều trở nên rõ ràng là như vậy cũng rất hấp dẫn để xử lý thông tin lượng tử,

cả hai từ một lý thuyết và từ một quan điểm thực nghiệm [3-6]

Chương này sớm được chủ yếu là nhằm "thiết lập tọa độ", giới thiệukhái niệm cơ bản về trạng thái và hoạt động Một thời gian ngắn chúng ta sẽ

có một cái nhìn cụ thể trong trường hợp hữu hạn chiều Sau đó chúng ta sẽchuyển sang một mô tả về trạng thái và hoạt động trong trường hợp hệ thốnglượng tử vô hạn chiều Các câu hỏi về sự rối hoặc các giao thức như phân bốkhóa lượng tử được cố tình bỏ qua và sẽ được đề cập cụ thể trong chươngsau

Như vậy hệ thống lượng tử vô hạn chiều (boson) có tọa độ kinh điểntương ứng với vị trí và động lực Những quan sát không có giá trị riêng,nhưng là một phổ liên tục; do đó thuật ngữ "liên tục thay đổi hệ thống" đãđược đặt ra để mô tả tình trạng Lúc đầu, ta có thể dẫn đến suy nghĩ rằng cáccuộc thảo luận về các trạng thái, các hoạt động học lượng tử và xử lý thôngtin lượng tử như vậy là quá tải với các kỹ thuật của không gian Hilbert vô hạnchiều Thật vậy, một số điểm tinh tế xa lạ với các thiết lập hữu hạn chiều xuấthiện: ví dụ, không có thêm một ràng buộc, entropy và mức độ về sự rối chorằng vấn đề thông thường hầu hết ở khắp mọi nơi vô hạn Hầu hết các thuậtngữ chuyên môn có thể được thuần hóa, với sự giúp đỡ của các ràng buộc(hạn chế) tự nhiên với năng lượng trung bình hoặc hạn chế tuyến tính khác[7, 8]

Một số lượng lớn các giao thức và các thuộc tính về trạng thái lượng tử

và thao tác họ, tuy nhiên, có thể được nắm vững về thuật ngữ tránh nhữngthuật ngữ chuyên môn: điều này là do thực tế rằng có nhiều trạng thái xảy ratrong bối cảnh của khoa học thông tin lượng tử có thể được mô tả một cách