Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó là môn học về " Hình và Số" theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu t ợng định nghĩa từ các tiền đề, bằng cách sử
Trang 1A Mở ĐầU
1 Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó là môn học về " Hình và Số" theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu t ợng định nghĩa từ các tiền đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học Các quan điểm khác của nó đợc miêu tả trong tiết học toán Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ"
Hình học là một phần của toán học, hình học là ngành toán học nghiên cứu liên
hệ không gian Trong hình học ngời ta chia ra nhiều nhánh khác nhau trong đó có hình học vi phân
Hình học vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ và phơng pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng nh đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học
Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX Gauss là một trong những nhà toán học tiên phong trong lĩnh vực này Cuối thế kỷ XIX tất cả những nghiên cứu đợc tập hợp và hệ thống hoá lại bởi các nhà toán học Jran Gastan Dar boux và Luigi Bian chi
Lý thuyết về các đờng cong trong mặt phẳng không gian cũng nh về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thành cơ sở cho sự phát triển hình học
vi phân Việc xây dựng hệ thống bài tập của môn học này sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản chất của hình học vi phân
Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉ dừng lại ở việc
"Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3"
2 Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian 3
E Trên cơ sở đó xây dựng đợc hệ thống bài tập một cách khoa học, rõ ràng và chính xác qua đó thấy đợc ý nghĩa của việc học tập môn học này, hiểu sâu và nắm vững kiến thức của nh lý thuyết trong quá trình giải bài tập
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
a Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số
b Trình bày những ví dụ dể hiểu lý thuyết
c Trình bày hệ thống các bài tập từ dễ đến khó về lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3
4 Phạm vi và đối tợng nghiên cứu
- Về khách thể nghiên cứu: Do trong khuôn của một khóa luận cho phép em chỉ nghiên cứu lý thuyết và bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3
Trang 2- Về đối tợng nghiên cứu
+ Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh thanh số trong không gian E3 + Nghiên cứu hệ thống bài tập từ dễ đến khó lý thuyết trên
5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài " Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không
gian 3
E " giúp em hiểu thêm về hình học vi phân và biết cách áp dụng giải bài tập và
có cái nhìn đúng đắn về môn học này
6 Phơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham số và các tạp chí toán học, các bài giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hành và đặc biệt là sự nhiệt tình giúp đỡ và góp ý của thầy giảng viên hớng dẫn
b nội dung
Ch ơng 1: các kiến thức chuẩn bị.
1.đại c ơng lý thuyết mảnh tham số trong không gian e 3
1.1.định nghĩa mảnh tham số trong không gian e 3
Giả sử U là một tập mở khác của R2, ánh xạ r từ tập mở U vào không gian Euclid 3 chiều E3 :
r : U E3
(u,v) r(u,v)
Là một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )
tập U gọi là miền tham số hay miền xác định của mảnh
1.2 định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc.
Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp Au u v| ( , )0 U}, Bv u v| ( , ) 0 U}
là những tập mở của R do đó ánh xạ :
r1 : A E3
u r1(u) = r(u,v0)
r1 : B E3
v r2(v) = r(u0,v)
Là những cung tham số của E3, cung tham số u r(u,v0) trong E3 (u thay đổi một khoảng J R nào đó, u0 J) gọi là đờng toạ độ v v0; cungtham số v r2(v) = r(u0,v) trong E3 gọi là đờng toạ độ u u0.theo định nghĩa đạo hàm thì r u: u
0
( , )
u
r u v là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r1 ; v r u v v ( , )0 là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2
1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy.
Trang 3Cho mảnh tham số :
r : U E3
(u,v) r(u,v)
Điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi là điểm chính quy của r nếu hai véc tơ r u v u( , )0 0 và r u v v ( , )0 0 độc lập tuyến tính điểm không chính quy của r gọi là
điểm kì dị của r nếu mọi điểm của U đều là điểm chính quy thì r gọi là mảnh chính quy
1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phơng trình tiếp diện của r tại điểm, pháp tuyến của mảnh.
Tại điểm chính quy (u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2 - phẳng trong E3 đi qua
r(u0,v0) với không gian véc tơ chỉ phơng r u v r u v u ( , ), ( , ) 0 0 v 0 0
là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện tại (u0,v0) là pháp tuyến của r tại (u0,v0)
Trong toạ độ afin ( x,y, z) của E3 viết :
r( u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
(trong đó (u,v) x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm số trên U) thì phơng trình tiếp diện của r tại (u0,v0) là :
Và khi toạ độ đó là descartes vuông góc thì phơng pháp tuyến của r tại (u0,v0)
là :
y u v z u v z u v x u v x u v y u v
y u v z u v z u v x u v x u v y u v
1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho hai mảnh tham số trong E3 :
r : U E3 và r : U E3 Nếu có một vi phôi :U U ( là một ánh xạ đồng phôi khả vi và ánh xạ
ng-ợc 1:U U
cũng khả vi) sao cho r r thì ta nói r tơng đơng với r và gọi là một phép tham số giữa U và U( hay từ r sang r) nếu có phép đổi tham số nh trên thì từ
( )
U U , r r ta có r U( ) r U ( ).
sơ đồ:
Trang 4Giả sử r : U E3
(u,v) r(u,v)
Ta đặt ( , ) ( ( , ), ( , ))u v u u v v u v U thì u U : R, v U : R là hai hàm khả vi và
định thức :
0
Nếu 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r
Nếu 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r
* ta suy ra các tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng :
1 quan hệ tơng đơng giữa các mảnh tham số trong E3 là quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng
2 mỗi lớp tơng đơng gọi là một mảnh Vậy để cho một mảnh ta chỉ cần cho
một mảnh tham số đại diện cho nó trong E3 và r gọi là một tham số hoá của mảnh
3 quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng giữa các mảnh tham số trong E3 (định thức
0) cũng là quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng
4 mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ấy gọi là một mảnh định hớng để cho một
mảnh định hớng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó
1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho U là một tập mở trong mặt phẳng R2 {( , ),x x i i j j} Giả sử trong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3) Khi đó mảnh tham số :
r : U E3 có biểu thức dạng r x x( , ) ( ( , ), , , , ( , ))i j f x x1 i j x i f x x3 i j nghĩa là
( , ) ( ( , ), , ( , ))i j i j i j
r x x f x x f x x trong đó f x x i( , )i j x i, f x x j( , )i j x j, đợc gọi là một
mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ xi, x j đợc lấy làm hai tham số)
1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( các hệ toạ độ trong E 3 dùng ở đây đều là hệ toạ độ trực chuẩn):
Ví dụ 1.1: trong không gian E3 cho 2 vectơ
và
, điểm O E3, ánh xạ :
r : R2 E3
U
( ) ( )
r U r U
r
r
U
Trang 5(u,v) r(u,v) O u v
Là một mảnh tham số
Khi hệ vectơ { , }
độc lập tuyến tính thì r là một mảnh tham số chính quy và
ảnh của r là một 2 - phẳng trong E3
Khi hệ vectơ { , }
phụ thuộc tuyến tính thì mọi điểm cua mảnh đều là điểm kì dị
Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R2 E3
(u,v) r (u,v) ( cos , sin , )a u b u v (a 0,b 0)
Là một mảnh tham số chính quy, ảnh của nó là mặt trụ eliptic
2 2
2 2 1
a b Cung
toạ độ v v0 có ảnh là vĩ tuyến elip
2 2
0
2 2
{x y 1,z v }
a b Cung toạ độ u u 0 có ảnh là
kinh tuyến thẳng {x a cos ,u y b0 sin ,u z v0 }
Ví dụ 1.3 : ánh xạ :
r : R2 E3 , (u,v) ( cos cos , cos sin , sin )a u v a u v a v (a 0) là một mảnh
tham số tại các điểm (u,v) mà .
2
u k ảnh của nó là mặt cầu tâm O bán kính a
cung toạ độ r v v1 ( 0 ) có ảnh là kinh tuyến tròn lớn {x2y2z2 a y2, (tan ) }v x0 trừ đi cực bắc (0, 0 ,1) và cực nam (0 , 0 ,-1) Cung toạ độ r u u2 ( 0 ) có ảnh là vĩ tuyến tròn
{x y a.cos u z a, sin }.u
Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ :
r : R2 E3 , (u,v) ( u, v, u2 v2) là mảnh tham số chính quy ảnh của nó
là mặt parabolôit tròn xoay z x 2 y2 Cung toạ độ v v 0 có ảnh là parabol
2 2
{x u z , y u } Vì r u v u ( , ) (1,0, 2 ) 0 0 u0 và r u v v ( , ) (0,1, 2 ) 0 0 v0 nên pháp vectơ của mảnh tại p
0 0
( , )
r u v
có thể lấy là:
0 0
( , )
u
n r u v
r u vv ( , )0 0
0 0
( 2 , 2 ,1).u v
Vậy tiếp diện của mảnh tại p có phơng trình :
2 2
2 (u x u ) 2 ( v y v ) ( z u v ) 0 Hay là 2u x0 2v y z0 (u02v02) 0
Pháp tuyến l của mảnh tại p có phơng trình :
Trang 62 2
.
Ví dụ 1.5 : Mảnh tham số r : R2 E3, (x, y) r x y( , ) ( , , x y ax2by2c) là một mảnh tham số kiểu đồ thị ảnh r R( 2 ) là mặt phẳng
Ch ơng 2: hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3
Dạng 1: Viết phơng trình tham số của các mặt trong không gian E 3
Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) của các mặt tròn xoay sau
đây trong E3:
a) Mặt elipxôit tròn xoay
b) Mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay
c) Mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay
d) Mặt parabôlôit tròn xoay
Bài 1.2 : Trong E3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz, một đờng cong
nằm trong mặt phẳng Oxy và thuộc về một phía của trục Ox Giả sử khi quay quanh
Oz thì quét thành một mặt tròn xoay (S)
a) Cho biết phơng trình tổng quát của , hãy viết phơng trình tổng quát của (S) b) Cho biết phơng trình tham số của , hãy viết phơng trình tham số của (S)
Bài 1.3 : Trong mặt phẳng E3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz Viết
ph-ơng trình tham số của mặt tròn xoay S trục quay Oz, do đờng sau đây quay quanh
Oz tạo thành :
a) Đờng dây xích u a ch. u,0,u
a
b) Đờng truy tích .sin ,0, ln tan cos
2
u
c) Đờng tròn không cắt Oz u a b cos ,0, sinu b u(0 b a)
Bài 1.4 : Giả sử S là một mặt trong 3
E tạo bởi một đờng thẳng vừa quay xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phơng trục Oz của hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz Viết phơng trình tham số của mặt S trong những trờng hợp sau :
a) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k k 0, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc ( tổng quát)
Trang 7b) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k k 0, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc đứng
c) Tốc độ quay là , quãng đờng tịnh tiến là một hàm của góc quay, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz mặt S tạo thành gọi là mặt cônôit đứng
Dạng 2 : xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng trình cho trớc.
Bài 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r U: E3, u v, r u v , có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz nh sau:
a) r u v , u u v v2 , , 2
b) r(u,v) u v u v u v ,
c) r u v , u sin ,v u cos ,v u a (a const)
d) r u v , x0 a.cos cos ,u v y0 b.cos sin ,u v z0 c.sinu
e) ( x y z a b c0 , , , , , 0 0 là hằng số , abc 0)
f) r u v , 2u 2, 2v 2, 21 2
0
g) r u v , a.uv 1, b u v, c uv 1
( với abc 0,u v 0)
Bài 1.6 : Cho tập mở liên thông cung V của R2 và mảnh tham số chính quy r : 3
V E chứng minh rằng nếu mọi pháp tuyến của mảnh đều đi qua một điểm cố định
C thì ảnh của r(V) của mảnh nằm trên một mặt cầu tâm C
Dạng 3 : bài toán liên quan tới mặt tịnh tiến.
Bài 1.7 : Trong không gian E3, cho hai hàm vectơ : 3
và
3
; điểm O E3, Giả sử A u B v 0
xét mảnh tham số r u v ,
ảnh của mảnh này gọi là mặt tịnh tiến
a) Chứng minh rằng hai đờng toạ độ cùng họ của mặt tịnh tiến, chẳng hạn đờng
1
u u và đờng u u 2, là ảnh của nhau qua phép tịnh tiến
b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit hypebôlic là những mặt tịnh tiến
c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai cung cho trớc trong 3
E nếu là một mặt thì nó là mặt tịnh tiến
Bài 1.8 : Trong không gian 3
E cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz :
Trang 8 , .cos , sin ,
r u v u v u v k v k const
Chứng minh rằng với một số a 0, tập điểm Pr u v , | a u a v R , là một mặt tịnh tiến
Dạng 4 : bài toán liên quan đến điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh chính quy.
Bài 1.9 : Cho cung chính quy : J E3 và hàm vectơ 3
:
mà A u 0
với mọi u J Giả sử V là một tập hợp của R2 với mỗi u J thì tập hợp
I v u v V là một khoảng của R xét r: V E3, r u v , u v A u
Tập r V
đợc gọi là một mặt kẻ xác định bởi mảnh tham số r cung gọi là một đờng chuẩn của mặt kẻ r V Mỗi đờng thẳng r u v 0 , u0 v A u 0
gọi là một đờng sinh thẳng
của mặt kẻ r V
a) Chứng minh rằng điểm u v, là chính quy của r khi và chỉ khi hai vectơ
u v A u.
và A u độc lập tuyến tính
b) Khi r chính quy, mặt kẻ r V sẽ đợc gọi là một mặt kẻ khả triển nếu dọc theo một đờng sinh thẳng bất kì các tiếp diện của r(V) trùng nhau Chứng minh rằng mặt kẻ r(V) là khả triển khi và chỉ khi r chính quy và u A u A u, ,
phụ thuộc tuyến tính
c) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt trụ nếu các đờng sinh thẳng của nó song song với nhau Chứng minh rằng r(V) là mặt trụ khi và chỉ khi A u và A u
phụ thuộc tuyến tính
d) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt nón nếu các đờng sinh thẳng của nó nằm trên những
đờng thẳng đồng quy tại một điểm I nào đó điểm I gọi là đỉnh nón Mặt kẻ r(V) gọi
là mặt tiếp tuyến nếu các đờng sinh thẳng của nó đều nằm trên những tiếp tuyến của
đờng chuẩn
e) Chứng minh rằng nếu r là một mảnh chính quy và r(V) là mặt trụ, hay mặt nón, hay mặt tiếp tuyến thì r(V) là mặt khả triển
f) Giả sử r(V) là mọt mặt khả triển mà không phải là mặt trụ và u J Chứng minh rằng luôn luôn có thể viết u u A u u A u
g) Chứng minh rằng nếu tại một lân cận J0 của u0 ta có u u u J0
thì có một lân cận P của r u v 0 , 0 trong E3 để P r V là một mặt nón với mỗi v0 thoả
mãn u v0 , 0V
Trang 9h) Chứng minh rằng nếu u0 u0 thì có một lân cận Q của r u v 0 , 0 trong
3
E để Q r V là một mặt tiếp tuyến, với mỗi v0 thoả mãn u v0 , 0V
Bài 1.10 : Giả sử u v, r u v , là một mảnh tham số trong E3 và u v0 , 0 là
một điểm không kì dị của nó kí hiệu là tiếp diện của mảnh r tại điểm u v0 , 0 ( nh
vậy theo định nghĩa thì là 2 - phẳng đi qua điểm r u v 0 , 0 mà có phơng là không
gian vectơ 2 chiều r u v u 0 , 0,r u v v 0 , 0 )
a) Chứng minh rằng phơng của cũng đợc xác định bởi Tu v0,0r.
b) Chứng minh rằng cũng đợc tạo bởi các tiếp tuyến tại t0 của các cung tham
số t t r u t v t , , trong đó t u t và t v t là hai hàm số xác định trên một khoảng nào đó chứa t0 , u t 0 u v t0 , 0 v0, 2 2
Bài 3.11 : Cho tham số hoá r : U E3 , u v, r u v , u v A u.
mảnh mặt kẻ trong E3 ( : J E3 là cung chính quy và hàm vectơ 3
:
thoả
mãn điều kiện A u 0
với mọi u J )
Chứng minh rằng nếu A u A u ,
độc lập tuyến tính và A u A u , , u
phụ thuộc tuyến tính với mọi u J thì có duy nhất các hàm số f và g trên J để cho
u f u A u . g u A u .
với mọi u J Chứng minh rằng nếu f g 0 thì mặt kẻ đã cho là mặt nón, còn nếu f g
không triệt tiêu tại u nào thì mặt kẻ đã cho là mặt tiếp tuyến
Bài 1.12 : Cho mảnh tham số trong E3 xác định bởi (u,v) r(u,v) E3 và giả
sử nó không có điểm kì dị, rồi xét mảnh tham số xác định bởi ( , )u v r u v ( , ) l n u v ( , )
trong đó l là một hằng số và :
( , ) u v ( , )
u v
a) Chứng minh rằng nếu (u,v) là điểm không kì dị của r thì các tiếp diện của r
và r tại (u,v) là hai mặt phẳng song song
b) Tìm các điểm kì dị của rvà xét ảnh của rkhi :
Trang 10c) r R: 2 \A E3, r u v( , ) 0 R.cos ( )v u R.sin v k trong đó R là hằng số dơng,
( ) cos sin u u i v j
, { , , }i j k là cơ sở trực chuẩn của 3
E
0 E , A là tập hợp các điểm
có dạng ( , )
2
u k (k nguyên tuỳ ý) của R2
Bài 1.13 : Chứng minh rằng các pháp tuyến tại các điểm không kì dị của mặt
tiếp tuyến của đờng đinh ốc tròn trục trong E3 hợp với một góc không đổi
Bài 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số :
:
( , )u v r u v( , ) ( cos , sin , ) u v u v u với mọi (u,v) R2
a) Hãy tìm các điểm kì dị của r
b) Hãy chỉ ra rằng pháp tuyến của r tại điểm (1,0) vuông góc với trục oy
Bài 1.15 : Hãy tìm các điểm kì dị của mặt xác định bởi phơng trình ẩn theo hệ
trục toạ độ đêcac (x,y,z) trong E3 nh sau :
a) F x y z( , , ) ( x2 y2 2 ) 3z2 1 0
b) G x y z( , , ) ( x2 y2 2 ) xz a 0 (a const)
c) H x y z ( , , ) 0 trng đó H là một đa thức bậc hai của x, y, z
Bài 1.17 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt :
2 2 3
2 2
{( , , ) :x y 1}
( a 0,b 0)
a) Hãy tìm một tham số hoá của (S)
b) Chứng minh rằng tham số hoá tìm đợc ở phần a) là một mảnh tham số chính quy
Bài 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ
r : R2 E3, u v, r u v , a.cos cos , cos sin , sinu v a u v a u a 0
Chứng minh rằng ánh xạ r là một mảnh tham số chính quy tại các điểm (u,v) mà
2
u k
Bài 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số
quy
Bài 3.20 : Cho 3
P x y z E x y và ánh xạ r : R2 3
E
, (u,v)
, , ,
r u v u v u v u v (u v) hãy chứng minh rằng r là một tham số hoá của P