các dạng bài tập về phương trình đường tròn

Với những lý do trên em đã lựa chọn đề tài: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN” 2.. Bên cạnh giúp cho học sinh tiếp cận với toán học hiệnđại thì đây còn là bước nền giúp học sin

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc giải một bài toán hình học phẳng lớp 10 bằng phương pháp tọa độtrong mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi Có một số bài toán chỉcần dựa vào lý thuyết là có thể làm được, xong cũng có một số bài toán đòihỏi phải tư duy vận dụng một cách linh hoạt kết hợp với những kiến thức cũ.Chính vì thế cần phải tư duy xác định mối liên hệ giữa chúng để làm sao giảiđược bài toán một cách thuận lợi hơn

Sau mỗi bài lý thuyết mới chúng ta cần vận dụng để làm bài tập đúc kết

ra các dạng toán rồi hệ thống lại các dạng bài tập trong bài học Đây coi như

là củng cố bài học để nắm kiến thức dễ dàng hơn Đó chính là một cách họchiệu quả đặc biệt đối với môn toán rất hữu dụng

Với những lý do trên em đã lựa chọn đề tài: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN”

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp cho học sinh lớp 10 (lớp đầu cấp) một phương pháp hiệu quảđối với việc học toán Bên cạnh giúp cho học sinh tiếp cận với toán học hiệnđại thì đây còn là bước nền giúp học sinh tiến đến việc giải những bài tập hìnhhọc không gian theo phương pháp khoa học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Khách thể: Học sinh lớp 10 trường THPT Trần Quốc Tuấn

- Đối tượng: Các dạng bài toán về phương trình đường tròn trongchương trình lớp 10

- Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đường tròn

4.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống lại kiến thức

- Xác định được các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh giải một số bàitoán mẫu.

- Bài tập toán mẫu

5 Phương pháp nghiên cứu chính

- Nghiên cứu lý luận: Phân tích nội dung chương trình SGK và định

hướng cho học sinh

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp điều tra

B- NỘI DUNG CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa đường tròn

Hệ tọa độ Đêcac trong mặt phẳng: “Tập hợp những điểm I cách đềucho trước một khoảng không đổi R là đường tròn tâm I bán kính R”

Kí hiệu (I,R) hoặc gọn hơn (I)

2 Các dạng phương trình cuẩ đường tròn.

a) Phương trình chính tắc của đường tròn.

Gọi C là đường tròn tâm I (a;b), bán kính R Ta có phương trình chínhtắc của đường tròn dạng: ( ) : (C x a )2 (y b )2 R2

Chú ý: Ta có:

 Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình: x2  y2 R2

 Đường tròn đơn vị có phương trình: x2 y2 1

b) Phương trình tổng quát của đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình

2 2( ) :C x y  2ax 2by c 0với a2 b2  c0 (2)

Là phương trình của đường tròn tâm I (a;b) và bán kính R a2 b2  c

3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

a Định nghĩa tiếp tuyến đường tròn

Đường thẳng đi qua tiếp điểm của đường tròn và vuôn góc với bán kínhtại tiếp điểm đó thì đường thẳng có được gọi là tiếp tuyến của đường tròn

b Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x a )2(y b )2 R2.Khi đó, tiếp tuyến (d) tại điểm M x y( , ) ( )0 0  C có phương trình:

( ) : (d x  a x a)(  ) ( y  b) 0

Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, Đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp

tuyến) với đường tròn có tâm I bán kính R khi và chỉ khi: d I d ,( ) R

CHƯƠNG II: HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG TRÒN

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng:

2 2( ) :C x y  2ax 2by c 0 (1)

Nhận xét: trong các phương trình dạng: x2  y2  2ax 2by c 0sẽluôn là phương trình của một đường tròn khi x < 0

b Ta cóa2 b2  c  4 9 14 m2  1 m2 0do đó phương trình đãcho không phải là phương trình đường tròn

c Viết lại phương trình dưới dạng: x2  y2 2x y  1 0

Ví dụ 2: Cho họ hệ đường cong (C m) :x2  y2  2mx 2(m1)y2m 1 0

Cho họ đường con: (C m) :x2 y2  2(m2)x 2(m4)y4m 2 0

a CMR: với mọi m luôn có (Cm) là phương trình đường tròn

Vậy phương trình đường tròn ( ) :C x2  y2  x3y 1 0

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1,2); N (5,2); P(1,-3)

Vậy phương trình đường tròn ( ) :C x2  y2  6x y  1 0

Cách 2: Đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt nghĩa là đường tròn ngoại

tiếp tam giác  tâm I cách đều 3 đỉnh của tam giác

Gọi I (a;b) là tâm của đường tròn

2 2 2 2

3(1 ) (2 ) (5 ) (2 )

1(1 ) (2 ) (1 ) ( 3 )

, Thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đường tròn ( ) :C x2  y2  4x 22 0

+) Phương trình phân giác trong của góc AOB là: x-y =0

PT (AB) được cho bởi: ( ) : 1 3 4 12 0

Trong đó ( )2 là đường phân giác trong của BAO

Khi đó tọa độ tâm I là nghiệm của hệ: 0 (1;1)

Vậy phương trình đường tròn ( ) : (C x 1)2 (y 1)2 1

Cách 2: Nhận xét rằng:

 Tâm I(a;b) thuộc góc phần tư thứ nhất, suy ra a > 0; b > 0

 (C) tiếp xúc vơi )A, OB Vậy a = b = r

Vậy phương trình đường tròn ( ) : (C x 1)2 (y 1)2 1

 Nhận xét: Để lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, ta cần lựa

chọn 1 trong 2 hướng sau:

Hướng 1: Tổng quát, ta có thể lựa chọn một trong hai cách để thể hiện: Cách 1: Ta thực hiện theo các bước

Bước 1: Viết phương trình hai phân giác trong của góc A và góc B Bước 2: Tâm I là tọa độ giao điểm của hai đường phân giác trên

Bước 3: Tính khoảng cách từ I tới một cạnh của tam giac, ta được bán kính Bước 4: Thiết lập phương trình đường tròn.

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau

bới công thức: r S

p



kiện khoảng cách từ I tới ba canh bằng, r, ta có được hệ theo hai ẩn a b , tọa

dộ của I

Bước 3: Thiết lập phương trình đường tròn.

Hướng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ABC, tức là:

1 Nếu ABC đều, canh bằng a thì (C) có tâm I là trọng tâm ABC,

bán kính 3

6

a

R 

2 Nếu ABCcân tại A, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Gọi E là trung điểm của BC Lập phương trình của tham số của (AE)

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I (5,6) và tiếp xúc với

25t  60t45 R 0 (2)(C) tiếp xúc với (d)  phương trình (2) có nghiệm kép

Ví dụ: Cho hai đường thẳng có phương trình:

1( ) : 2d x y  1 0, ( ) : 2d2 x y  2 0Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ( )d , 1 ( )d 2Suy ra tâm I thuộc đường phân giác của của góc tạo bởi (d1) (d2)

Các đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) có phương trình:

1 2

Ta thực hiện theo các bước

Bước 2: Kết luận:

 Nếu P M C/( )  0 M nằm trong đường tròn

 Nếu P M C/( )  0 M nằm trên đường tròn

 Nếu P M C/( )  0 M nằm ngoài đường tròn

 Nếu M nằm ngoài (C)  tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M

Ví dụ: Cho điểm M(5;2) và đường tròn (C) có phương trình:

2 2( ) :C x  y  8x 6y21 0

Ta lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của

đường tròn, ta được:

 Nếu h R  ( ) ( )d  C 

 Nếu h R  ( )d tiếp xúc với (C)

 Nếu h R  ( )d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của

phương trình bằng số giao điểm của (d) và (C)

Cách 3: Sử dụng phương pháp tham số của đường tròn

Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) và đường tahwngr (d) có phương trình:

2 2( ) :C x  y  1 0, ( ) : d x y  1 0

a Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm A, B

b Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộcđường thẳng ( ) : 2 x y  2 0

b Giả sử phương trình đường tròn (S) có dạng

x y  ax by c  với a2 b2  c0Điểm (0,1) ( )A  S nên 1 2 b c 0 (1)

Điểm (0,1) ( )A  S nên 1 - 2a + c = 0

Tâm I(1,b)  ( ) nên 2a - b – 2 = 0

Giải hệ phương trình tạo bởi (1),(2), (3) ta được: a= b = 2, c = 3

Vậy phương trình đường tròn ( ) :S x2  y2  4x 4y 3 0

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi đường thẳng ( ) :d m mx2y m 0luôn cắt đường tròn ( ) :C x2  y2  2x y  8 0 tại hai điểm phân biệt

Giải

Ta nhận rằng

 P m C/( )   9 0 M ở trong (C)

Vậy họ (dm) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt

DẠNG 5 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp chung:

I Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I(a,b), bán kính

R thỏa mãn điều kiệnK ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có

phương trình: AxBy C 0

Bước 2: (d) là tiếp tuyến của ( )C  d I d ,( ) R

Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)

Chú ý: Điều kiện K thường gặp:

1 Tiếp tuyến đi qua M cho trước, khi đó:

4 Tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó: ( )d y kx m   ( ) :d kx y m  0

5 Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (d) một góc  , khi đó ta sử dụng mộttrong hai công thức sau:

Ví dụ 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

2 2

( ) :C x  y  2x 6y 9 0vuông góc với đường thẳng( ) :3 x 4y 12 0

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(1,3), bám kính R =1

Tiếp tuyến ( ) ( )d   có phương trình 4x3y C 0 (d)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của ( )C  d I d ,( ) R

184.1 3.3

1

18

16 9

c C

 Với c= - 18 ta được tiếp tuyến ( ) : 4d1 x3y 18 0

 Với c = -18 ta được tiếp tuyến ( ) : 4d2 x3y 8 0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

( ) : (C x 2) (y 1) 20 có số hệ góc bằng 2

Giải:

Đường thẳng (d) với hsg k = 2 có dạng: y2x m  2x y m  0 (1) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của ( )C  d I d ,( ) R

- Với m = 7 thay vào (1) được tiếp tuyến ( ) : 2d1 x y  7 0

- Với m = -13 thay vào (1) được tiếp tuyến ( ) : 2d2 x y  13 0

Vậy có hai tiếp tuyến (d1), (d2) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

( ) : (C x 1) (y1) 10 biết tiết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

  : 2x y  4 0 một gics bằng 450

Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và bán kính R  10

 Với m = 6, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.1) : 3x y  6 0

 Với m = -14, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.2) : 3x y  14 0

Vậy tồn tại bốn tiếp tuyến (d1.1),(d1.2),(d2.1),(d2.2) tới (C) thỏa mãn điềukiện đầu bài.

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)

63

+) Với C6B, thay vào (1) ta được tiếp tuyến 2: 3 Bx By  6B0

2( ) : 3x y 6 0

Bước 1: Giả sử đường thẳng ( ) : Ax d By C 0 với A2 B2 0 làtiếp tuyến chung của đường tròn ( )C và (C21 )

,( ),( )

Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d)

Ví dụ: Cho hai đường tròn 2 2

1( ) : (C x 1) (y 1) 1và

c Tìm các điểm cố định mà mọi đường tròn của họ (Cm) đều đi qua

Bài 3: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau

a Tâm I(2;1), bán kính R = 5

b Đường kính AB với A(1;2), B(2:- 1)

c Đi qua điểm A(3;1), (5;5)B và tâm nằm trên trục tung

Bài 4 Hai đường thẳng ( ) :d1 x2y 3 0 và ( ) :d2 x2y 9 0

Lập phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng( ) :d x y  1 0và tiếp xúc với hai đường thẳng ( ),( )d1 d 2

đường thẳng (d): 7x – y – 5 = 0 tại điểm M(;1;2)

Bài 7: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( ) :C x2  y2  4x 2y 0

Biết tiếp tuyến đi qua A(3,2)

Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( ) :C x2  y2  6x2y 0Biết tiếp tuyến vuông góc (song song) với đường

Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

2 2 1

( )C x  y  6x 5 0 và 2 2

2( )C x  y  12x 6y44 0

Bài 10: Cho đường tròn ( )(C x1)2 (y 2)2 9 và điemr M (2, -1)

a Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C) Hãy viếtphương trình của hai tiếp tuyế đó

b Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với (C).Hãy viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua M1 và M2

Hướng dẫn:

a M ( )C  xác định được hai tiếp tuyến với (C)

Qua M (2,1) ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C) đó là: ( ) :d1 y  1 02

( ) :d x  2 0

b (d1) tiếp xúc với (C) tại M1 (-1,1)

d2 tiếp xúc với (C) tại M2 (-2,2)

Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M1 và M2 là: x – y = 0

CHƯƠNG III KẾT LUẬN

Hiện nay trong trường THPT học sinh nói chung có nhận thức tốt, hamhiểu biết có tư duy sáng tạo nhanh nhưng chưa có hệ thống logic Việc cungcấp bồi dưỡng cho học sinh những phương pháp học hiệu quả là rất hữu ích,

đó cũng chính là mục tiêu mà giáo viên mong muốn

Đối với phương trình đường tròn cần cho học sinh nắm được nhữngkiến thức cơ bản và những kiến thức liên quan như: Các dạng phương trìnhđường thẳng, điều kiện tiếp xúc, từ đó học sinh có thể biết vận dụng vàogiải các bài toán

Một số quan điểm quan trọng khi giải bài tập về phương trình đường tròn:

- Định hướng cho học sinh làm bài tập

- Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích đề

- Xác định các dạng toán của phương trình đường tròn

- Sử dụng các điều kiện liên qua đến đường tròn như: Điều kiện tiếpxúc, xác định được vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong các trường hợp:Vuông góc, song song, tạo bởi góc 

Do vậy, cần tạo điều kiện và thường xuyên nhắc nhở để học sinh tạođược cơ hội củng cố kiến thức và ôn tập tốt hơn

Vì là sinh viên thực tập lần đầu tiên đứng trên bục giảng vốn kinhnghiệm chưa có nhiều nên em không có tham vọng gì hơn ngoài việc giớithiệu cho học sinh các hệ thống kiến thức bài học

Do điều kiện thời gian còn hạn hẹp nên đề tài nghiên cứu chắc chắnkhông tránh những thiếu xót, bản thân em rất mong sự đóng góp của các thầy

cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Hóa và các thầy cô giáotrong tổ chuyên môn của nhà trường đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tàinghiên cứu khoa học này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK hình học + BT hình học lớp 10

2 Hướng dẫn giải bài tập hình học 10, Phan Thanh Quang (Chủ biên)

3 Hình học giải tích trong mặt phẳng, Lê Hồng Đức (Chủ biên)

4 Tuyển tập bài tập toán lớp 10, Đậu Thế Cấp, Nguyễn Việt Dũng

5 Toán bồi dưỡng học sinh PTTH: Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải

MỤC LỤC

A PHẦN MỞ ĐẦU

B PHẦN NỘI DUNG

Chương I: Một số kiến thức cơ bản

Chương II: Hệ thống các dạng bài toánChương III: Kết luận

TÀI LIỆU THAM KHẢO