Tóm tăt nghiên cứu nhóm lượng tử su(2) trong vật lí hạt cơ bản

Mặc dù vậy, Mô hình chuẩn vẫn còn nhiều hạn chế, trước hết là liên quan đến các quá trình xảy ra ở vùng năng lượng cao hơn 200 GeV và vùng năng lượng Planck, hơn nữa là chưa giải quyết đ

MỞ ĐẦU

Đối xứng là đặc tính phổ biến trong nhiều hệ vật lí Việc tìm kiếm những đối xứng và sự vi phạm nó một cách tuần tự kiểm soát được, cũng như việc tìm kiếm những đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ đường phổ biến trong công cuộc khám phá các định luật vật lí Chẳng hạn, trong đối xứng gương P (Parity), không có gì cho ta phân biệt được mọi hiện tượng ở ngoài gương và hình chiếu của nó ở trong gương, sự hoán chuyển không gian không làm chúng thay đổi, chúng bất biến Hai nhà vật lí Trung Quốc ở Mỹ L D Lee và C N Yang (giải Nobel Vật lí năm 1957) đã khám phá ra là lực hạt nhân yếu vi phạm tối đa đối xứng gương P, trong đó Spin của electron

và của neutrino đều hoàn toàn quay về phía trái mà không quay về phía phải Một thí dụ khác là đối xứng vật chất – phản vật chất CP (Charge Parity), hoán chuyển vật chất – phản vật chất, trước tiên là thay đổi dấu của điện tích theo đó các định luật vận hành của vật và phản vật phải giống hệt nhau Trong bốn tương tác cơ bản thì ba lực hấp

dẫn, điện từ và hạt nhân mạnh đều tuân thủ phép đối xứng P và CP, chỉ lực hạt nhân yếu

mới vi phạm chúng, tối đa với đối xứng P, đôi chút với đối xứng CP, tương tác yếu của hạt và của phản hạt khác nhau ở mức độ vừa phải Có một đối xứng không hề bị vi phạm, một đối xứng đặc trưng của vật lí lượng tử mang tên đối xứng chuẩn (Gauge Symmetry) Đối xứng này đã mở ra một chân trời mới lạ và là nguồn gốc cho sự thành công kỳ diệu của Mô hình chuẩn (Standard Model) Ta biết rằng bình phương của hàm sóng cho ta xác suất xảy ra đối với một đại lượng nào đó Ta thấy ngay phép hoán chuyển chuẩn với bất kỳ hàm thực α(x) nào đều không làm thay đổi , cũng vậy nó không làm thay đổi các định luật của Mô hình chuẩn, các đại lượng vật lí phải bất biến với hoán chuyển chuẩn Chính vì vậy mà đối xứng chuẩn chi phối toàn diện sự vận hành của các tương tác mạnh và điện-yếu Phương trình Maxwell của tương tác điện-từ tuân thủ phép đối xứng chuẩn, đối xứng này trở thành

nguyên lý chủ trì cho sự phát triển kỳ diệu của Điện động lực học lượng tử, những tính toán trong lý thuyết này đã đưa ra nhiều tiên đoán được thực nghiệm kiểm định tới độ chính xác cao hơn một phần tỷ (momen từ của electron là một ví dụ) Mẫu chuẩn đã chứng tỏ là một lí thuyết tốt khi mà hầu hết các dự đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở vùng năng lượng 200 GeV Giải Nobel về Vật lí năm 2008 đã vinh tặng

ba nhà vật lí Nhật bản, đó là các giáo sư Yoichiro Nambu, Makato Kobayashi và Toshihide Maskawa vì đã tiên đoán sự tồn tại của hạt Higgs, hạt tạo nên khối lượng cho vật chất và tiên đoán về sự hiện hữu tất yếu của hai quark đỉnh (quark top) và quark đáy (quark bottom), để giải thích sự bất đối xứng vật chất -phản vật chất trong Mô hình chuẩn Chương trình ưu tiên số một của máy gia tốc hạt hàng đầu thế giới LHC ( Large Hadron Collider ) ở CERN là săn tìm hạt cơ bản Higgs để hoàn thành Mô hình chuẩn và trả lời câu hỏi “Đâu rồi phản vật chất trong hoàn vũ bao la”?

Mặc dù vậy, Mô hình chuẩn vẫn còn nhiều hạn chế, trước hết là liên quan đến các quá trình xảy ra ở vùng năng lượng cao hơn 200 GeV và vùng năng lượng Planck, hơn nữa là chưa giải quyết được một số vấn đề lí thuyết

cơ bản của bản thân mô hình như số lượng và cấu trúc của các thế hệ fermion, sự khác nhau về khối lượng của quark t so với các quark khác, sự giãn nở của vũ trụ cũng như các vấn đề “vật chất tối” không baryon, “năng lượng tối”… Những hạn chế này dẫn đến sự cần thiết phải nghiên cứu các

mô hình chuẩn mở rộng Cho đến nay, đã có nhiều lí thuyết mở rộng mô hình chuẩn như lí thuyết siêu đối xứng, lí thuyết thống nhất lớn, lí thuyết dây, mô hình 3 - 3 – 1, lí thuyết nhóm lượng tử mà biểu diễn toán học của

nó là đại số lượng tử [1,2,3,]

Nhóm lượng tử và đại số lượng tử đóng vai trò quan trọng trong vật lí và toán học bởi cấu trúc của đại số lượng tử phù hợp với nhiều vấn đề của vật lí như lí thuyết tán xạ ngược lượng tử [4], với phương trình Yang – Baxter lượng tử [5] Các

đại số này có thể được mô tả như là sự biến dạng của đại số Lie thông thường Đề tài: “

Nghiên cứu nhóm lượng tử SU(2) trong vật lí hạt cơ bản” cũng nằm trong hướng

nghiên cứu này Vì vậy, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu về đề tài này với mục đích tìm biểu diễn dao động của đại số lượng tử SUq(2)

Nội dung chính của đề tài được thể hiện trong ba chương Chương một chúng tôi trình bày về đối xứng của các hạt tương tác mạnh, bao gồm đối xứng đồng vị SU(2), Đối xứng SU(3) và các đối xứng cao hơn Trong chương hai, chúng tôi trình bày về đại số SU(2); ở đây, chúng tôi trình bày biểu diễn dao động của đại số SU(2) cụ thể là chúng tôi biểu diễn các vi tử của đại số SU(2) theo các toán tử sinh, hủy dao động tử boson Chương 3, trên cơ sở lí thuyết q- số, chúng tôi khảo sát dao động tử điều hòa phi tuyến, tìm được phổ năng lượng và xây dựng thống kê Bose – Einstein biến dạng q; tìm được biểu diễn dao động của đại số lượng tử SUq(2) cho hệ dao động tử hai mode mà mỗi mode độc lập với nhau và cho hệ dao động tử đa mode mà các mode không độc lập với nhau

Các kết quả chính đã đạt được của đề tài là 01 báo cáo khoa học tại Hội nghị VLLT Toàn Quốc lần thứ 36, 02 bài báo đăng trên Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2 Hướng dẫn thành công 03 luận văn Thạc sĩ Vật lí và 05 khóa luận tốt nghiệp cho sinh viên Khoa Vật lí

Chương 1 ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH Bài 1 ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2)

Vào năm 1930, kết quả nghiên cứu thực nghiệm về lực hạt nhân của proton và neutron đã dẫn đến suy nghĩ rằng: nếu như tách được điện tích của proton ra thì không

có cách nào phân biệt được proton với neutron vì chúng có khối lượng và cường độ tương tác với các hạt khác xấp xỉ nhau Trên quan điểm đó có thể xem proton với neutron như hai trạng thái khác nhau của cùng một hạt – nucleon N Để mô tả điều này, Heisenberg đưa vào khái niệm spin đồng vị Cũng tương tự như với spin thông thường, hạt có spin đồng vị I có thể ở (2I+1) trạng thái khác nhau với các giá trị:

π có I3 = − 1,tương tự với meson k, các baryon Σ Ξ , ,

Đối xứng đồng vị được mô tả bằng ngôn ngữ toán học bởi nhóm các phép biến đổi SU(2), đó là nhóm các phép biến đổi thực hiện bởi các toán tử U có dạng:

( )

3 1

a a a

[ T Ta, b] = i εabc cT (1.5)

ta nói rằng r hạt này thực hiện biển diễn r chiều của nhóm SU(2), hoặc nói rằng chúng tạo thành một đa tuyến đồng vị r Rõ ràng rằng r =2I +1, trong đó I là spin đồng vị của các hạt trong đa tuyến

Có thể thử trực tiếp thấy rằng các ma trận T a( )x thỏa mãn hệ thức giao hoán:

32

L x =g∑ ψ x γ τ ψ x Φ x (1.21)Biển thức (1.21) ta cần hiểu là viết dưới dạng ma trận đối với cả các chỉ số spinor Dirac , ,

α β và các chỉ số spinor đồng vị i j, , của trường nucleon ψ Viết tường minh sẽ là:

Vào năm 1960 số hạt cơ bản phát hiện được đã tăng rất nhiều so với 30 năm trước

đó, khi Heisenberg đề xuất ý tưởng về spin đồng vị Mặt khác , những kết quả đẹp đẽ thu được từ lí thuyết đối xứng đồng vị SU(2) đã gợi ra ý tưởng mở rộng nhóm đối xứng này, tức là tìm một nhóm đối xứng rộng hơn có chứa SU(2) như một nhóm con Lúc đó ta có thể kết hợp nhiều đa tuyến đồng vị lại với nhau thành một đa tuyến lớn hơn thực hiện

biểu diễn của nhóm đối xứng mở rộng này Sự tồn tại 8 hạt baryon spin 1

2

+

quen thuộc lúc đó:

Nhóm các phép biến đổi SU(3) là nhóm các phép biến đổi Unita được thực hiện bởi các toán tử U phụ thuộc 8 thông số và có dạng

( )

8 1

a a a

U ω e ∑= ω

= (2.1) trong đó ωa là các thông số thực, Ma là các vi tử hermitic M a+ =M a, tuân theo các hệ thức giao hoán:

[ M Ma, b] = i f Mabc c (2.2)

abc

f là các hằng số cấu trúc của nhóm SU(3) hoàn toàn phản xứng theo các chỉ số:

abc bca cba acb

j

i T

j i

Từ (2.4) và (2.5) suy ra:

[ Ma, ϕi] = − ( ) Ta i jϕ j (2.7)

Ví dụ đơn giản nhất là r= 1,T a = 0 Đó là trường hợp đơn tuyến SU(3), bất biến ϕ ϕ ' = ,

[ Ma, ϕ ] = 0.Trường hợp r=3 được gọi là biểu diễn cơ sở Lúc này Ta là các ma trận 3 3 × có dạng:

2

a a

T = λ

a

λ là các ma trận Gell-Mann, có các tính chất sau:

[ ]

,0,

i f

d

λ λ λ

abc a b c b a c abc a b c b a c

Từ (2.2) và bảng giá trị fabc (2.3) ta thấy rằng ba vị tử M M M1, 2, 3 tạo nên đại

số con SU(2) và do đó được đồng nhất với các toán tử spin đồng vị trước đây:

, 1, 2,3.

M = I a = (2.12)Ngoài ra, ta thấy rằng M8 giao hoán với tất cả M M M1, 2, 3 Do đó có thể đồng nhất ( tỷ lệ) với toán tử siêu tích Y Để phù hợp với các giá trị Y đã có trước đây của các hạt ta cần đặt:

3 2

M = Y (2.13)Như vậy, hệ thức Gell-Mann-Nishijima (1.17) tương ứng với sự đồng nhất toán tử điện tích:

1 3

Q M = + M (2.14)

Bài 3 CÁC ĐA TUYẾN HADRON

Trong bài này chúng ta sẽ nói về cách sắp xếp các hadron, cụ thể là các baryon

Thực hiện biểu diễn tám tương ứng với các trường biến đổi giống như tuyến tám baryon

Hoàn toàn tương tự như đa tuyến tám meson 0 −

3.4 Đa tuyến mười baryon 3

1, 01

Bài 4 CÔNG THỨC KHỐI LƯỢNG GELL-MANN-OKUBO

Nếu đối xứng SU(3) là một đối xứng chính xác thì khối lượng của tất cả các hạt trong cùng một đa tuyến phải bằng nhau, và điều đó tương ứng với điều kiện toán tử khối lượng M giao hoán với tất cả các vị tử Ma Trên thực tế khối lượng của chúng có khác nhau tuy không nhiều lắm Từ đó có thể kết luận rằng đối xứng SU(3) chỉ là gần đúng, hoặc nói cách khác đối xứng SU(3) bị vi phạm Gell-Mann giả thuyết rằng sự vi phạm này là tối thiểu với nghĩa rằng sự vi phạm đó không ảnh hưởng đến đối xứng đồng

vị SU(2)I và đối xứng siêu tích (1)U Y Ta nói rằng đối xứng SU(3) rút xuống (2)I (1)Y

(3) (2)I (1)Y

SU → SU × U

Lúc này toán tử khối lượng không giao hoán với tất cả các vi tử Ma , nhưng vẫn giao

hoán với các vi tử I a của SU(2)I và vi tử M8 ( tỷ lệ với Y)

Đó chính là công thức khối lượng Gell-Mann- Okubo

Áp dụng cho tuyến tám baryon

N

m m m m (4.14)

Hệ thức (4.14) phù hợp với các giá trị thực nghiệm với độ chính xác 1%

+ Áp dụng cho tuyến 10 baryon 3*

2 ta được quy tắc cách đều như sau:

m m m m m m (4.15)

Hệ thức này cũng phù hợp tốt với các số liệu thực nghiệm

+ Áp dụng cho các đa tuyến meson, như đã nói ở trên, M ở (4.13) phải hiểu là bình phương khối lượng Ngoài ra với meson thì hạt và phản hạt cùng vào chung một đa tuyến nên không thể có số hạng tỷ lệ với Y(a1=0 trong (4.13)) Do đó, thay vì (4.13) ta có:

+ Áp dụng cho tuyến tám meson 0− ta được:

Hệ thức này phù hợp thực nghiệm với độ chính xác khoảng 3%

+ Áp dụng cho tám tuyến meson 1− ta có:

Hệ thức này phù hợp với thực nghiệm ít hơn

Bài 5 HỆ THỨC GIỮA CÁC BIÊN ĐỘ

Cách tìm hệ thức giữa các biên độ trong đối xứng SU(3) cũng tương tự như đã làm cho đối xứng đồng vị SU(2) Để minh họa ta xét hai ví dụ:

j là phần tử ma trận hàng j cột l của ma trận ψ+ và Φ+, và thu được

hệ thức giữa các độ rộng phân rã ( bỏ qua sự khác nhau về khối lượng):

Bài 6 ĐA TUYẾN QUARK

Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) là biểu diễn ba chiều , còn gọi là SU(3) spinor Các hạt thực hiện biểu diễn này có tên là quark Tất cả các biểu diễn khác có thể tạo nên từ biểu diễn này Hãy ký hiệu các toán tử tương ứng với các hạt quark là ( ), =1,2,3

Quark q là đơn tuyến đồng vị (I=0).3

Để biết siêu tích của quark cần tính giao hoán tử [Y q Ta có:, 1]

Các baryon được tạo nên từ ba quark, các meson từ một quark và một anti-quark

Do vậy các quark phải mang các số baryon 1

q u up q d d n q s strange Dĩ nhiên rằng vì thực hiện nhiều biểu diễn cơ

sở nên các quark đều có spin Lorentz bằng 1

2.Căn cứ vào các đặc trưng của các hạt trong đa tuyến baryon

*

1

2, meson 0− và meson 1− ta có thể suy ra cấu trúc quark của chúng như sau

 Đa tuyến tám baryon

*

12

0

0

,dd, ,

Bài 7 CÁC ĐỐI XỨNG CAO HƠN SU(3)

Năm 1974 và những năm tiếp theo một số meson mới được phát hiện Các thí nghiệm của Richer và Ting vào năm 1974 phát hiện meson /ψ J với khối lượng cỡ 9

Gev Sự tồn tại các meson này với các tính chất rất đặc biệt không thể giải thích nổi trong khuôn khổ đối xứng SU(3) với ba quark u,s,d và buộc phải đưa thêm vào những quark mới nữa, cũng có nghĩa là phải mở rộng đối xứng cao hơn SU(3) Cho đến nay có nhiều cơ sở lý thuyết và thực nghiệm để khẳng định rằng trong tương tác mạnh có các

đối xứng SU(4), SU(5) và SU(6) Các đối xứng cao này đòi hỏi phải đưa thêm vào quark

c(charm) với điện tích 2

3, quark b(beauty, bottom) với điện tích

13

− gồm d,s,b Sáu quark này cũng với

sáu Lepton được phân thành ba thế hệ như sau:

Với fabcv - hằng số cấu trúc của nhóm SU(N)

Từ các ma trận λa của nhóm SU(N-1) ta suy được dạng của chúng cho nhóm SU(N), Các ma trận λa của SU(N) đều thỏa mãn hệ thức:

.4

λ λ λ

Tr Tr

i f

d

N i

(7.4)

Kết luận chương 1: Trong chương một, chúng tôi trình bày về lí thuyết đối xứng của

các hạt tương tác mạnh, bao gồm đối xứng đồng vị SU(2), Đối xứng SU(3) và các đối xứng cao hơn Từ biểu diễn của nhóm đối xứng, các hạt cơ bản được sắp xếp theo các

đa tuyến Đặc biệt, từ biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) lập nên đa tuyến các quark, với đặc điểm là tất cả các biểu diễn khác có thể tạo nên từ biểu diễn này, do vậy các nhà vật lí đã kết luận rằng các hạt cơ bản được tạo nên từ các quark Cho đến nay, vẫn chưa có thí nghiệm nào phát hiện được các quark ở trạng thái tự do, vì chúng bị chi phối bởi “nguyên lý cầm tù”, nhưng có nhiều kết quả thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của các quark Các hệ thức về khối lượng Gell – Mann – Okubo, hệ thức độ rộng phân

rã, biên độ tán xạ của các quá trình đối với các hạt cơ bản cũng được trình bày

Chương 2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG CỦA ĐẠI SỐ SU(2) Bài 8 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng h ω.Trong vật lý lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng h [1], [3], ω

[5]

Chúng ta thiết lập được các công thức sau:

ˆ

N n =n n , ˆa n = n n 1− , ˆa n+ = n 1 n 1+ + , n = 1 ˆa 0+n

n ! (8.13)Các toán tử ˆa và ˆa+ gọi là toán tử hủy hạt và sinh hạt, tương ứng, toán tử N a a là toán ˆ ˆ ˆ= +

i

a qua công thức

ˆ i=a a ˆ ˆi+ i

N (9.2)Trạng thái có n1dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2, v.v… được mô tả

bởi vectơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

1

=

=∑n i i

Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động tử hai mode Các vi tử J J J ˆ ˆ ˆ1, 2, 3của đại số SU(2) được biểu diễn theo các toán tử boson

Để thuận tiện đôi khi người ta còn dùng các vi tử của đại số SU(2) là tổ hợp của các vi tử trên như sau:

Từ không gian biểu diễn này, các không gian con bất khả quy của biểu diễn được xác định như sau:

1

J = 2 N + N (9.16)Chúng ta có thể biểu diễn toán tử Casimir theo toán tử ˆJ như sau:

ˆ J J ˆ ˆ 1

C = + (9.17)Đối với biểu diễn bất khả quy, toán tử Casimir có giá trị riêng xác định, cho nên

từ dạng (9.17) chúng ta thấy rằng có thể đặc trưng cho biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) bởi các giá trị riêng của toán tử ˆJ

Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử ˆNi và từ công thức (9.16) chúng ta có:

2