Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử với toán tử khả vi và ứng dụng

2 -LÍI CAM ĐOAN Qua quá trình nghiên cùu luªn văn vîi đ· tài "Nghi»m nhît cõa phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n Elliptic F D2ux, x = 0" đã giúp tôi hiºusâu hơn v· bë môn Gi£i tích hi»

BË GIÁO DÖC VÀ ĐÀO T„O TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M HÀ NËI 2

———————————————

THÂN VĂN TÀI

NGHI›M NHÎT CÕA PHƯƠNG TRÌNH Đ„O HÀM RIÊNG

PHI TUY˜N ELLIPTIC F D2u(x), x = 0

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC Chuyên ngành: TOÁN GIƒI

TÍCH

Mã sè: 60.46.01

Ngưíi hưîng d¨n khoa håc: TS Tr¦n Văn B¬ng

Hà Nëi - 2011

LÍI CƒM ƠN

Trưîc tiên tôi xin gûi líi c£m ơn sâu sc tîi Ti¸n sĩ Tr¦n Văn B¬ng

-ngưíi th¦y đã hưîng d¨n, ch¿ b£o tªn tình cho tôi trong suèt quá trình hoànthành luªn văn này

Tôi cũng xin đưñc gûi líi c£m ơn chân thành đ¸n các th¦y, cô công tác

và tham gia gi£ng d¤y ð phòng Sau đ¤i håc trưíng Фi håc Sư ph¤m HàNëi

2 Các th¦y, cô đã nhi»t tình gi£ng d¤y cũng như t¤o måi đi·u ki»n thuªnlñi nh§t cho tôi hoàn thành khóa håc t¤i trưíng

Đçng thíi tôi xin đưñc bày tä lòng bi¸t ơn tîi t§t c£ b¤n bè, đçng nghi»p

và ngưíi thân đã đëng viên, giúp đï tôi trong suèt quá trình håc tªp và vi¸tluªn văn

M°c dù đã dành nhi·u thíi gian nghiên cùu và tìm hiºu song b£n luªnvăn không tránh khäi nhúng h¤n ch¸, thi¸u sót Vì vªy tôi r§t mong nhªnđưñc ý ki¸n đóng góp cõa các quý và đëc gi£ đº luªn văn này đưñc hoànthi»n hơn

Xin chân thành c£m ơn!

Hà nëi, ngày 10 tháng 12 năm 2011

Håc viên

Thân Văn Tài

2

-LÍI CAM ĐOAN

Qua quá trình nghiên cùu luªn văn vîi đ· tài "Nghi»m nhît cõa phương

trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n Elliptic F D2u(x), x = 0" đã giúp tôi hiºusâu hơn v· bë môn Gi£i tích hi»n đ¤i, đ°c bi»t v· bë môn phương trình đ¤ohàm riêng phi tuy¸n

Tôi xin cam đoan luªn văn đưñc hoàn thành là do sü cè gng, né lüc tìmhiºu và nghiên cùu cõa b£n thân dưîi sü dưîng d¨n, ch¿ b£o nhi»t tình cõa

th¦y giáo: T.S Tr¦n Văn B¬ng cũng như các th¦y, cô trong tê Toán

gi£i tích cõa trưíng ĐHSP Hà Nëi 2

Tôi cũng xin cam đoan k¸t qõa cõa luªn văn không trùng l°p vîi các đ·tài khác và måi thông tin trích d¨n trong luªn văn đã đưñc ch¿ rõ nguçngèc

Hà nëi, ngày 10 tháng 12 năm 2011

Håc viên

Thân Văn Tài

1

-Möc löc

Möc löc . 1

Mð đ¦u 2

1 Các ki¸n thùc cơ sð 7 1.1 Thuªt ngú và kí hi»u cơ b£n 7

1.2 Paraboloids ti¸p xúc và tính kh£ vi c§p hai 8

2 Nghi»m nhît cõa phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff và nguyên lý cüc đ¤i 13 2.1 Nghi»m nhît cõa phương trình elliptic 14

2.2 Đánh giá Alexandroff và nguyên lý cüc đ¤i 24

3 B§t đ¯ng thùc Harnack và tính duy nh§t nghi»m 34 3.1 B§t đ¯ng thùc Harnack 34

3.2 Tính duy nh§t nghi»m 49

K¸t luªn 58

Tài li»u tham kh£o 59

mà trong đó phương trình đ¤o hàm riêng đóng vai trò h¸t sùc quan trångnhư: lý thuy¸t biºu di¹n nhóm nhi·u chi·u, lý thuy¸t trưíng lưñng tû, lýthuy¸t các không gian thu¦n nh§t và vªt lý toán.

M°c dù đưñc đ· cªp tø r§t lâu vào kho£ng cuèi th¸ k¿ 18 và đ¦u th¸ k¿

19, nhưng lý thuy¸t các phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n cho tîi nay

cơ b£n v¨n chưa đưñc hoàn thi»n Tø đ¦u th¸ k¿ 20 cho tîi nay, do nhu c¦unghiên cùu mët cách ch°t ch³ nhúng phương trình đ¤o hàm riêng đã kíchthích sü phát triºn các phương pháp nghiên cùu cơ b£n cõa: Gi£i tích thüc,Gi£i tích hàm và Tôpô

Mët bài toán phương trình đ¤o hàm riêng n¸u có ý nghĩa thüc ti¹n thìchc chn ph£i có nghi»m V§n đ· là nghi»m đó hiºu theo nghĩa nào màthôi Có r§t nhi·u phương trình đ¤o hàm riêng, đ°c bi»t là phương trìnhđ¤o hàm riêng phi tuy¸n Elliptic F D2u(x), x = 0 đ·u không có nghi»m

cê điºn V§n đ· đ°t ra là ta ph£i cè gng xây düng lý thuy¸t các nghi»m suyrëng (nghi»m nhît) cõa chúng và đ°c bi»t là tính duy nh§t nghi»m

Vì t¦m quan trång cõa nó trong thüc t¸ Nên trong qua trình nghiên cùu

luªn văn tôi đã lüa chån đ· tài "Nghi»m nhît cõa phương trình đ¤o hàm

riêng phi tuy¸n Elliptic F D2u(x), x = 0"

Năm 1979, Krylov và Safonov đã chùng minh b§t đ¯ng thùc Harnackcho nghi»m cõa các phương trình đ¤o hàm riêng elliptic c§p hai có d¤ng

2 không divergence vîi các h» sè đo đưñc Đi·u đó đã mð ra mët cách đº

Trong tài li»u này, tôi s³ trình bày lý thuy¸t chính quy cõa nghi»m cõaphương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n hoàn toàn Đó là phương trình ellip-tic có d¤ng:

Mët trưíng hñp đơn gi£n nh§t là trưíng hñp các phương trình tuy¸n tính,khi đó ta có thº gi£ thi¸t r¬ng (0.0.2) chính là ∆u = 0 Lúc đó ta có thºđánh giá các đ¤o hàm cõa hàm đi·u hòa (nghi»m cõa ∆u = 0) trong mi·nbði dao đë cõa chính hàm đó Ý tưðng cơ b£n là tính ch§t đó v¨n đúng đèivîi các tuy¸n tính nhä cõa Laplac Cö thº hơn, gi£ sû u là nghi»m cõaphương trình elliptic đ·u có d¤ng không divergence sau:

(a) (Đánh giá kiºu Cordes - Nirenberg)

Gi£ sû 0 < α < 1 và ai j − δi j ≤ δ = δ (α ), vîi mët α nhä Khi đó

u ∈ C1,α (B1/2) và kukC1,α

(B

L∞(B 1 ) ) ≤ C(kukL∞ (B ) + k f kL∞ (B ))

N¸u ai j liên töc trong B1 và f ∈ L1(B1) vîi 1 < p < ∞ thì u ∈

Công cö cơ b£n trong cách ti¸p cªn mîi này là đánh giá Alexandroff

- Bakelman - Pucci và nguyên lý cüc đ¤i Tôi s³ mô t£ cách sû döng cõađánh giá này và hình lªp phương cõa Calderón-Zygmund đèi vîi:

(1) Đi·u khiºn hàm phân bè cõa 1 nghi»m; đi·u khiºn này d¨n tîi b§t đ¯ngthùc Harnack và do đó d¨n tîi Cα - chính quy

(2) X§p x¿ trong L∞ cõa nghi»m bði các hàm affine (tương ùng cácparaboloid); đi·u này d¨n tîi các đánh giá C1,α (tương ùng C2,α )

Do đó, v§n đ· cèt lõi là hiºu các đ¤o hàm riêng cõa mët hàm thông quacác x§p x¿ đa thùc cõa nó Nói mët cách nôm na, phương pháp nêu trên v·

cơ b£n là "phi tuy¸n" theo nghĩa nó không düa trên phương trình (0.0.1)

Do vªy, nó có thº áp döng đèi vîi các phương trình hoàn toàn têng quát(không nh§t thi¸t trơn) như các phương trình Pucci, Bakelman và Isaasc.Trong đó tính chính quy nhªn đưñc b¬ng cách l§y vi phân cõa phương trình(0.0.1)

2 Möc đích nghiên cùu

Nghiên cùu khái ni»m nghi»m nhît cho phương trình đ¤o hàm riêng

el-liptic phi tuy¸n F D2u(x), x = 0 và mët sè tính ch§t đành tính cõa nghi»mnhît Đ°c bi»t là sü tçn t¤i, tính duy nh§t và sü phö thuëc liên töc cõanghi»m cõa bài toán liên quan tîi phương trình đó

3 Nhi»m vö nghiên cùu

• Tìm hiºu cách xây düng khái ni»m nghi»m nhît cho phương trình

• Đưa ra các ví dö cö thº minh håa cho các khái ni»m

• Chùng minh các tính ch§t đành tính cõa nghi»m nhît

4 Đèi tưñng và ph¤m vi nghiên cùu

• Đèi tưñng nghiên cùu: Nghi»m nhît cõa phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n

• Ph¤m vi nghiên cùu: Lîp phương trình phi tuy¸n d¤ng F D2u(x), x =0

5 Phương pháp nghiên cùu

Nghiên cùu lý thuy¸n b¬ng cách thu thªp thông tin, đåc, phân tích vàtêng hñp tài li»u đº có đưñc mët nghiên cùu têng quan v· nghi»m nhît cõaphương trình đ¤o hàm riêng elliptic phi tuy¸n F D2u(x), x = 0

6 Bè cöc cõa luªn văn

Ngoài ph¦n mð đ¦u và ph¦n k¸t luªn, luªn văn gçm ba chương:

• Chương 1 Các ki¸n thùc cơ sð

Trong chương này tôi:

Giîi thi»u mët sè thuªt ngú và mô t£ mèi quan h» giúa các tính ch§tkh£ vi cõa hàm u và các paraboloids ti¸p xúc vîi đç thà cõa hàm u

• Chương 2 Nghi»m nhît cõa phương trình elliptic, đánh giá

Alexan-droff và nguyên lý cüc đ¤i

Trong chương này tôi nghiên cùu:

Nghi»m nhît cõa phương trình (0.0.1), đành nghĩa và các tính ch§t

cơ b£n cõa nghi»m nhît Khái ni»m nghi»m "rât y¸u" này cho chúng ta

xác đành lîp các hàm chùa t§t c£ các nghi»m cê điºn cõa phương trìnhelliptic tuy¸n tính và phi tuy¸n vîi các h¬ng sè elliptic cè đành và cách» sè đo đưñc (xem möc 2.1.2) Trong möc 2.1.3 tôi đưa ra mët sè ví

dö quan trång v· các phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n hoàn toàn.Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci và nguyên lý cüc đ¤i chonghi»m nhît Vì k¸t qu£ này có vai trò chìa khóa trong nguyên lý chínhquy sau này

• Chương 3 B§t đ¯ng thùc Harnack và tính duy nh§t nghi»m

Trong chương này tôi:

Chùng minh b§t đ¯ng thùc Harnack nhí vào đánh giá Alexandroff

và kÿ thuªt cõa Crandall-Zygmund V· cơ b£n chùng minh gièng vîichùng minh l¦n đ¦u phát hi»n bði Krylov và Safonov Mët h» qu£ cõab§t đ¯ng thùc Harnack là ta có k¸t qu£ v· Cα - chính quy trong mi·nđèi vîi các nghi»m cõa phương trình (0.0.1) Trong möc 3.1.3 tôi cònchùng minh tính Cα - chính quy toàn cöc

Trình bày nghi»m x§p x¿ Jensen cõa phương trình (0.0.2) đưñc giîithi»u l¦n đ¦u tiên trong [8] và sû döng chúng đº chùng minh tính duynh§t cho bài toán Dirichlet đèi vîi (0.0.2) Các möc 3.2.3 và 3.2.4dành cho các ùng döng khác cõa nghi»m x§p x¿ Jensen Đó là các tínhch§t cơ b£n cõa các đ¤o hàm riêng c§p 1 và c§p 2 cõa nghi»m cõaphương trình (0.0.2) Ch¯ng h¤n ta chùng minh tính C1,α - chính quytrong mi·n các nghi»m cõa phương trình (0.0.2)

Chương 1.

Các ki¸n thùc cơ sð

1.1 Thuªt ngú và kí hi»u cơ b£n

Kí hi»u Rn là không gian Euclidear n - chi·u vîi chu©n

q

x n

|x| = |x1|2 + |x2| + · · · + |xn| ,

|x|∞ = max {|x1| , |x2| , , |xn|} N¸u Br = Br (x0) = {x ∈ Rn : |x − x0| < r} là mët hình c¦u (mð) thì

Ω là mi·n bà ch°n (tªp mð, liên thông, bà ch°n) cõa Rn

λ va` Λ là hai h¬ng sè cè đành sao cho 0 < λ ≤ Λ, đưñc gåi là h¬ng

sè elliptic Mët h¬ng sè đưñc gåi là phê döng n¸u nó ch¿ phö thuëc vào

|Ω| tương ùng là kí hi»u đưíng kính và đë đo Lebesgue n

-Vîi mët hàm u, ta kí hi»u u+ va` u− tương ùng là ph¦n dương và ph¦n

âm cõa u, ta có u = u+ − u− Giá cõa u kí hi»u là suppu Ta kí hi»u:

∂ u

∂ xi = ∂iu = ui

∂ 2u

∂ xi∂ x j = ∂i j u = ui j .

D2u là Hessian cõa u (là ma trªn đèi xùng vîi các ph¦n tû là ui j )

Vîi mët hàm L trong Rn đưñc gåi là affine n¸u

L(x) = l0 + l(x),trong đó l0 ∈ R và l là mët hàm tuy¸n tính

Mët paraboloid P là đa thùc bªc 2 cõa (x1, x2, , xn) và có thº vi¸t dưîi d¤ng:

P(x) = L(x) +1 xt Ax,

2trong đó L là 1 hàm affine và A = D2P là ma trªn đèi xùng

Trong tài li»u này, thuªt ngú "trơn" có nghĩa là thuëc lîp C∞

Wk, p(Ω) là không gian Sobolev các hàm có tính ch§t: các hàm và cácđ¤o hàm đ¸n c§p k cõa nó thuëc Lp(Ω)

Ck,α (Ω) và Ck,α (Ω) là không gian H o¨lder ( n¸u 0 < α < 1) và là không gian Lipschiitz (n¸u α = 1); vîi k ∈ N+ Chu©n trong chúng là

kukCk,α (Ω) = kukCk (Ω)

+

h

Dk i

1.2 Paraboloids ti¸p xúc và tính kh£ vi c§p hai

Trong ph¦n này tôi d¨n ra mët sè tính ch§t v· tính kh£ vi hai l¦n cõahàm u tø các ki¸n thùc v· các paraboloid ti¸p xúc vîi đç thà cõa hàm u.Các k¸t qu£ này s³ đưñc sû döng trong lý thuy¸t v· tính chính quy ð cácmöc sau

Ta nói P là mët paraboloid cõa tªp mð M n¸u

M 2P(x) = l0 + l(x)

trong đó M là h¬ng sè dương, l0 là h¬ng sè và l là hàm tuy¸n tính P là lçikhi l§y + trong (1.2.1) và là lõm khi l§y - trong (1.2.1)

Vîi 2 hàm liên töc u, v xác đành trong mët tªp mð A và x0 ∈ A, ta nói uti¸p xúc phía trên vîi v t¤i x0 trong A n¸u

u(x) ≤ v(x) ∀x ∈ A,u(x0) ≤ v(x0)

Tương tü, ta có khái ni»m ti¸p xúc dưîi

Cho u là hàm liên töc trên Ω, A ∈ Ω là tªp mð Vîi x0 ∈ A, ta đành nghĩa:

Đ°t θ (u, A)(x0) = sup θ (u, A)(x0), θ (u, A)(x0) ≤ ∞

Vîi x0 ∈ Ω, ta nói u là C1,1 trên t¤i x0 [tương ùng C1,1 dưîi t¤i x0, C1,1t¤i x0] n¸u θ (u, A)(x0) < ∞ [tương ùng θ (u, A)(x0) < ∞, θ (u, A)(x0) <

trong đó v = (ei+e 2 j )và {ei} là cơ sð chính tc cõa Rn Vì th¸ ta ch¿ c¦nchùng minh:

uϕii ≤ kθ (u, ε)kLP

δ e iu)ϕ ;

xem l¤i (1.2.3) v· đành nghĩa cõa ∆2 L§y δ < ε va` δ < dist(K, Rn \Ω) thì tø (1.2.4) và (1.2.5) suy ra

∆δ e2 i u ≤ θ (u, ε ) trong K

và ta có (1.2.8)

u ∈ C1,1(B) và

|Du(x) − Du(y)| ≤ 2nkθ (u, ε )kL∞ (B) |x − y| ∀x, y ∈ B (1.2.9)

Chú ý 1.2.1 D¹ dàng ta th§y n¸u Ω là lçi thì kθ (u, ε )kL∞ (Ω) ≤kukC1,1 (Ω) vîi θ (u, ε ) trong m»nh đ· 1.2.2

u (t x + (1 t )y)dtdt

0 1

Đành nghĩa 1.2.1 Hàm u ∈ C(Ω) đưñc gåi là kh£ vi c§p hai theo nghĩa tøng điºm t¤i x0 ∈ Ω n¸u tçn t¤i mët paraboloid P sao cho

2 |

K2

2

u(x) = P(x) + O x − x| 0| khi x → x0 (1.2.11)tùc là |u(x) − P(x)| |x − x0|−2 → 0 khi x → x0 Khi đó đ°t D2u(x0) =

D2P

Ta nói u kh£ vi c§p hai t¤i x0 n¸u u kh£ vi trong lân cªn cõa x0 và Du(x)kh£ vi t¤i x0 Rõ ràng tính kh£ vi c§p hai t¤i x0 kéo theo tính kh£ vi c§p haitheo nghĩa tøng điºm t¤i x0

Đành lý 1.2.2 sau đây là đành lý Alexandroff-Buselman-Feller Nó r§tc¦n thi¸t cho chương 3

Đành lý 1.2.2 Gi£ sû u lçi trong Bd Khi đó u kh£ vi c§p hai đúng t¤i h¦uh¸t måi điºm x0 ∈ Bd

M»nh đ· 1.2.3 Gi£ sû u liên töc trong mët mi·n lçi Ω sao cho

θ (u, Ω)(x) ≤ K ∀x ∈ Ωvîi h¬ng sè K nào đó Khi đó

Chương 2.

Nghi»m nhît cõa phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff và nguyên lý cüc đ¤i

Trong [5] cõa M.G.Crandall và P.L Lions đã phát triºn mët lý thuy¸tnghi»m nhît cho phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n, theo đó ta có sütçn t¤i nghi»m Trong chương này ta đưa ra khái ni»m nghi»m nhît cõaphương trình đ¤o hàm riêng c§p hai phi tuy¸n hoàn toàn

Trưîc h¸t ta đ· cªp tîi ý tưðng cõa đành nghĩa này đèi vîi phương trìnhLaplace

Ví dö 1 Xét phương trình uxx = 1 (trong trưíng hñp n = 1)

D¹ th§y: mët hàm sè liên töc u xác đành trên kho£ng I cõa R có d¤ngu(x) = a + bx + x2/2 vîi a, b − const (hay u là mët nghi»m cê điºn cõa

phương trình đó) khi và ch¿ khi 2 đi·u ki»n sau thäa mãn:

(1) P(x) là mët parabol (mët đa thùc bªc hai) và u − p có cüc đ¤i đàa

00

phương t¤i x0 ∈ I thì p (x0) ≥ 1.

(2) P(x) là mët parabol (mët đa thùc bªc hai) và u − p có cüc tiºu đàa

00

phương t¤i x0 ∈ I thì p (x0) ≤ 1

Ví dö 2 Xét phương trình ∆u = 0 (trong trưíng hñp n > 1)

Gi£ sû Ω là mët mi·n trong Rn, ta có thº chùng minh đưñc u là mët hàm đi·u hòa trong Ω khi và ch¿ khi u liên töc và thäa mãn 2 đi·u ki»n sau:(1) u − ϕ có cüc đ¤i đàa phương t¤i x0 ∈ Ω và ϕ ∈ C2(Ω) thì ∆ϕ (x0) ≥

0 (2) u − ϕ có cüc tiºu đàa phương t¤i x0 ∈ Ω và ϕ ∈ C2(Ω) thì ∆ϕ (x0)

≤ 0

Vîi hai ví dö trên, ta s³ l§y 2 đi·u ki»n trên làm đành nghĩa nghi»m nhîtcõa phương trình Laplace

Tương tü, ta s³ đành nghĩa nghi»m nhît cho phương trình đ¤o hàm riêngphi tuy¸n c§p 2 V§n đ· m§u chèt là nguyên lý cüc đ¤i v¨n thäa mãn đèivîi các phương trình đó nhí thõ töc tuy¸n tính hóa Do vªy đành nghĩanghi»m nhît đòi häi nguyên lý cüc đ¤i ph£i thäa mãn khi u "đưñc thû" vîicác nghi»m dưîi và nghi»m trên trơn Theo cách đó thì toán tû không ápdöng đưñc vào u nhưng áp döng đưñc vào các hàm trơn.

Nghi»m cê điºn u cõa phương trình elliptic đ·u vîi v¸ ph£i b¬ng 0,phương trình có thº phi tuy¸n, có tính ch§t Hessian D2u có các giá trà riêngvîi d§u khác nhau và chúng liên h» vîi nhau theo nghĩa: các giá trà nhänh§t và lîn nh§t là so sánh đưñc vîi nhau, tùc là chúng đi·u khiºn nhauqua các h¬ng sè elliptic Đi·u đó là rõ ràng đèi vîi các phương trình tuy¸ntính d¤ng không divergence:

ai j (x)∂i j u(x) = tr

trong đó A(x) = ai j (x) và tr là v¸t cõa ma trªn Nói nôm na, mëtphương trình elliptic quy đành đë cong cõa các nghi»m Trong möc 2.1.2tôi đưa ra toán tû cüc trà Pucci, nó di¹n t£ sü đi·u khiºn đèi vîi các giá tràriêng cõa D2u qua các h¬ng sè elliptic Tªp các nghi»m nhît cõa các toán

tû cüc trà Pucci gåi là lîp S, nó chùa t§t c£ các nghi»m cê điºn cõa cácphương trình elliptic đ·u tuy¸n tính và phi tuy¸n vîi các h¬ng sè elliptic

cè đành Möc

2.1.3 giîi thi»u mët sè ví dö v· phương trình elliptic phi tuy¸n hoàn toàn

2.1 Nghi»m nhît cõa phương trình elliptic

Trong đó x ∈ Ω và u, f là hàm xác đành trên mi·n bà ch°n Ω cõa Rn

F (M, x) là hàm giá trà thüc xác đành trên S × Ω Trong đó S là các matrªn đèi xùng thüc c§p n × n Ta gi£ thi¸t F là toán tû elliptic đ·u

Đành nghĩa 2.1.1 F là elliptic đ·u n¸u tçn t¤i 2 h¬ng sè dương λ ≤ Λ(đưñc gåi là h¬ng sè elliptic) sao cho vîi måi M ∈ S va` x ∈

S

λ kNk ≤ F (M + N, x) − F (M, x) ≤ Λ kNk ∀N ≥ 0

Ta vi¸t N ≥ 0 n¸u N là ma trªn đèi xùng thüc, không âm, còn kMk là

L2, L2 cõa M (tùc là kMk = sup

|x|=1|Mx|) Do đó kNk là giá trà riêng lînnh§t cõa N khi N ≥ 0

Vîi các gi£ thi¸t trên thì phương trình (2.1.1) đưñc gåi là phương trìnhelliptic đ·u c§p hai hoàn toàn phi tuy¸n

N¸u không nói gì thì ta luôn gi£ sû f và F là các hàm liên töc t¤i x

Ta nhî r¬ng b§t kì N ∈ S đ·u có sü phân tích duy nh§t dưîi d¤ng N =

N+ − N− vîi N+, N− ≥ 0 và N+N− = 0 Ta d¹ dàng kiºm tra đi·u sau

Bê đ· 2.1.1 F là elliptic đ·u n¸u và ch¿ n¸u

F (M + N, x) ≤ F (M, x) + Λ N+ − λ N− ∀M, N ∈ S va` ∀x ∈

ΩChú ý r¬ng: Tø đi·u ki»n cõa mët elliptic đ·u suy ra F (M, x) là đơn đi»utăng và Lipschitz theo M ∈ S

D¹ th§y, toán tû tuy¸n tính Lu = ai j (x)∂i j u vîi ai j là ma trªn đèixùng thüc có các giá trà l§y trong [λ , Λ] là elliptic đ·u (theo đành nghĩa2.1.1) vîi các h¬ng sè elliptic λ , nΛ

Ti¸p theo ta đưa ra đành nghĩa nghi»m nhît cõa (2.1.1) Trưîc tiên, c¦nnhî l¤i r¬ng hàm v xác đành trên Ω đưñc gåi là có cüc đ¤i đàa phương t¤i

x0 (x0 ∈ Ω) n¸u v(x) ≤ v(x0) vîi måi x thuëc mët lân cªn nào đó cõa x0

Đành nghĩa 2.1.2 Mët hàm liên töc u trong Ω đưñc gåi là nghi»m nhîtdưîi (tương ùng, nghi»m nhît trên) cõa (2.1.1) trong Ω, khi đi·u ki»n sauthäa mãn

N¸u x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C2(Ω) va` u − ϕ có cüc đ¤i đàa phương t¤i x0

thì

F (D2ϕ (x0), x0) ≥ f (x0) (2.1.2)[N¸u u − ϕ có cüc tiºu đàa phương t¤i x0 thì F (D2ϕ (x0), x0) ≤ f(x0)]

Ta nói u là nghi»m nhît cõa (2.1.1) n¸u nó vøa là nghi»m nhît dưîi vøa

là nghi»m nhît trên cõa phương trình đó

Ta cũng nói F (D2u, x) ≥ [tương ùng ≤, =] f (x) theo nghĩa nhît trong

Ω n¸u u là nghi»m nhît dưîi [tương ùng nghi»m nhît trên, nghi»m nhît]cõa (2.1.1) trong Ω

M»nh đ· 2.1.1 Các kh¯ng đành sau đây là tương đương

(1) u là nghi»m nhît dưîi cõa (2.1.1) trong Ω

(2) N¸u x0 ∈ Ω, A là 1 lân cªn mð cõa x0, ϕ ∈ C2(A),

2

u ≤ ϕ t rong Ava`

thì F (D2ϕ (x0), x0) ≥ f (x0)

u(x0) = ϕ (x0) (2.1.3)

(3) Gièng như (2) nhưng thay ϕ ∈ C2(A) bði ϕ là mët paraboloid

Chú ý 2.1.1 Theo thuªt ngú trong möc 2.1.1, ta nói ϕ ti¸p xúc trên vîi u

t¤i x0, n¸u tçn t¤i mët lân cªn mð A cõa x0 sao cho (2.1.3) thäa mãn

2 (x − x0)D

ϕ (x0)(x − x0) +

2 |x − x0|

Ta có P là paraboloid ti¸p xúc trên vîi u t¤i x0 Do (3) đúng nên ta có:

F (D2ϕ (x0) + ε I, x0) ≥ f (x0) Cho ε → 0, ta có F (D2ϕ (x0), x0) ≥ f (x0)vì

F (M, x) liên töc (thªm chí Lipschitz) theo M

Tương tü vîi m»nh đ· 2.1.1 ta cũng có các k¸t qu£ tương tü cho nghi»mtrên Bði vì n¸u u là nghi»m nhît trên cõa F D2u(x), x = f (x) trong Ω thì

u = −v là nghi»m nhît dưîi cõa G D2u(x), x = − f (x) trong Ω, trongđó

G(M, x) = −F (−M,

x)chú ý r¬ng G cũng là hàm elliptic đ·u

Bê đ· 2.1.2 Gi£ sû u là nghi»m nhît dưîi cõa (2.1.1) trong Ω và u kh£

vi c§p hai theo nghĩa tøng điºm t¤i x0 ∈ Ω (xem đành nghĩa 1.2.1) Khi đó

F (D2u(x0), x0) ≥ f (x0)

Chùng minh

Gi£ sû P là paraboloid thäa mãn (1.2.11) Khi đó P(x) + ε |x−x0 | ti¸pxúc trên vîi u t¤i x0, vîi måi ε > 0 Tương tü như chùng minh m»nh đ·2.1.1 ta có k¸t luªn cõa bê đ·

Tø đi·u ki»n elliptic đ·u, ta có méi lîp C2 nghi»m cê điºn cõa (2.1.1)

là mët nghi»m nhît Bê đ· 2.1.2 cho ta đi·u ngưñc l¤i, tùc là ta có h» qu£2.1.1

H» qu£ 2.1.1 Gi£ sû u ∈ C2(Ω) Khi đó u là nghi»m nhît dưîi cõa (2.1.1)trong Ω khi và ch¿ khi F (D2u(x), x) ≥ f (x) ∀x ∈ Ω.

K¸t qu£ sau đây là h» qu£ trüc ti¸p cõa đành nghĩa nghi»m nhît dưîi

M»nh đ· 2.1.2 Gi£ sû u và v là các nghi»m nhît dưîi cõa (2.1.1) trong Ω.Khi đó sup(u, v) cũng là nghi»m nhît dưîi cõa (2.1.1) trong Ω

K¸t qu£ sau đây liên quan tîi v§n đ· thác triºn nghi»m nhît trên

M»nh đ· 2.1.3 Cho Ω và Ω1 là các mi·n bà ch°n sao cho Ω ∈ Ω1 Gi£

sû u ∈ C(Ω1) là mët nghi»m nhît trên trong Ω1 cõa F (D2u, x) = f (x) và

v ∈ C( Ω) là mët nghi»m nhît trên cõa F (D2u, x) = g(x)

Hơn núa gi£ thi¸t v ≥ u trên ∂ Ω ∩ Ω1 và đ°t

Ta có k¸t qu£ tương tü cho nghi»m nhît dưîi.

Chùng minh m»nh đ· 2.1.3

Gi£ sû ϕ là mët C2 hàm ti¸p xúc dưîi vîi w t¤i x0 ∈ Ω1 N¸u w(x0) =u(x0) thì ϕ ti¸p xúc dưîi vîi u t¤i x0, do đó F (D2ϕ (x0), x0) ≤ f (x0) ≤h(x0) N¸u u(x0) > w(x0) = v(x0) thì x0 ∈ Ω (do u ≥ v trên ∂ Ω ∩ Ω1) và

ϕ ti¸p xúc dưîi vîi v t¤i x0 nên F (D2ϕ (x0), x0) ≤ g(x0) ≤ h(x0)

Chúng ta cũng d¹ dàng chùng minh tính chính xác cõa hå các nghi»mnhît cõa (2.1.1) Cö thº ta có

M»nh đ· 2.1.4 Cho {Fk}k≥1 là dãy các toán tû elliptic đ·u vîi các h¬ng sè

2.1.2 Lîp nghi»m S cõa phương trình elliptic đ·u

Trong möc này ta đành nghĩa nghi»m nhît theo nghĩa y¸u v· lîp "t§t c£các nghi»m cõa t§t c£ các phương trình elliptic đ·u" Đº làm đi·u đó, tađưa ra các toán tû cüc trà Pucci Ý tưðng ð đây là thay mët phương trìnhb§t kì b¬ng mët b§t đ¯ng thùc thüc sü qua các h¬ng sè elliptic

Cho 0 < λ ≤ Λ Vîi M ∈ S, ta đành nghĩa:

Chùng minh

Ta th§y các tính ch§t (1), (2), (3) và (4) là hiºn nhiên Còn hai tính ch§t(5) và (6) đưñc suy ra tø (2.1.4) và (2.1.5) Tính ch§t (7) là hiºn nhiên còntính ch§t (8) đưñc suy ra tø các tính ch§t (5), (6) và (7)

Bây gií ta đành nghĩa lîp S

Đành nghĩa 2.1.3 Cho f ∈ C(Ω), 0 < λ ≤ Λ Ta kí hi»u S (λ , Λ, f )

là không gian các hàm u ∈ C(Ω) sao cho M+(D2u, λ , Λ) ≥ f (x) theonghĩa nhît trong Ω

Tương tü S(λ , Λ, f ) là không gian các hàm u ∈ C(Ω) sao cho

M−(D2u, λ , Λ) ≤ f (x) theo nghĩa nhît trong Ω Đ°t:

S , S, S, S∗(λ , Λ, 0) bði S , S, S, S∗(λ , Λ) (ho°c đơn gi£n hơn là S , S, S,

S∗) Ta gåi các hàm thuëc S , S, S(λ , Λ, f ) tương ùng là các nghi»mdưîi, nghi»m trên và nghi»m

Sau đây là mët sè tính ch§t cõa các lîp hàm đó

Bê đ· 2.1.4 Ta có các tính ch§t sau

(1) λ 0 ≤ λ ≤ Λ ≤ Λ0 ⇒ S (λ , Λ, f ) ⊂ S (λ 0 , Λ0 , f ); tương ùng S, S, S∗.(2) u ∈ S (λ , Λ, f ) ⇒ −u ∈ S(λ , Λ, − f )

(3) α > 0, r > 0, u ∈ S (λ , Λ, f ), v(y) = α u(y/r) vîi y ∈ rΩ

⇒ v ∈ S (λ , Λ, α f (y/r)/r2)

Ta ch¿ chùng minh tính ch§t (4) L§y ϕ ∈ C2 và ti¸p xúc vîi u −

φ t¤i x0 ∈ Ω, khi đó ϕ + φ ti¸p xúc trên vîi u t¤i x0, nên M+(D2ϕ (x0)+ D2φ (x0)) ≥ f (x0) Theo (5) cõa bê đ· 2.1.3 ta có M+ là dưîi cëng tính

Do đó M+(D2ϕ (x0)) + M+(D2φ (x0)) ≥ f (x0) Nó kéo theo M+(D2ϕ(x0)) ≥

f (x0) − g(x0)

Chú ý 2.1.2 Theo m»nh đ· 2.1.2 và 2.1.4, ta có

(1) u, v ∈ S ( f ) ⇒ sup(u, v) ∈ S ( f )

(2) u ∈ S ⇒ u+ ∈ S

n n

M»nh đ· 2.1.5 Gi£ sû u thäa mãn F (D2u, x) ≥ f (x) [tương ùng

F (D2u, x) ≤ f (x)] theo nghĩa nhît trong Ω Khi đó u ∈ S ( λ , Λ, f (x) −

đ· 2.1.1 (gåi ei là các giá trà riêng cõa D2ϕ (x)), ta có

Sû döng ý tưðng trong chùng minh (2.1.4) và (2.1.5), ta chùng minhđưñc lîp các hàm cõa C2(Ω) thuëc S(λ , Λ, f ) chính là lîp các hàm u cõa

C2(Ω) sao cho: ∀x ∈ Ω tçn t¤i mët ma trªn đèi xùng ai j (x) vîi các giá trà

thuëc [λ , Λ] sao cho ai j (x)∂i j u(x) = f (x) Lưu ý r¬ng ai j (x) có thº

khôngliên töc t¤i x K¸t qu£ tương tü cũng đúng đèi vîi S và S

Như vªy, S(λ , Λ, f ) là lîp t§t c£ các nghi»m y¸u (theo nghĩa nhît) cõat§t c£ các phương trình elliptic đ·u, tuy¸n tính có d¤ng không divergence

ai j (x)∂i j u(x) = f (x)