Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt

Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phépđánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chấtlượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu lo

đề ổn định của chuyển động không có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cânbằng Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phépđánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chấtlượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.

Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trongtoàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt rangoài giới hạn của một miền cho trước

Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “lý thuyết ổn định và ứngdụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lýthuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trìnhtuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệphương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổnđịnh và không ổn định của liapunov

- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức

ổn định với những nhiễu ban đầu) Đánh giá nghiệm các hệ phương trìnhtuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân

6 Những đóng góp của luận văn

Vận dụng hàm liapunov xét sự ổn định của các hệ phương trình tuyếntính

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Không gian véctơ

1.1.1 Định nghĩa không gian véctơ

Cho tập hợp V mà các phần tử được kí hiệu là ; ; ;      và trường K

mà các phần tử được kí hiệu là: x y z, , , giả sử trên V có 2 phép toán:

Phép toán trong, kí hiệu:

Thỏa mãn các tính chất sau (cũng nói thỏa mãn các tiên đề sau):

với mọi , ,      V và với mọi x y z K, ,  :

1) )  ()

2) Có 0 V sao cho 0   0 3) ' V sao cho '  ' 0 kí hiệu ,

 4)     

5) (x y ).x.y.6) .(x )x.x.7) ( ) ( ).x y  x y 8) 1. trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó V (cùng với 2 phép toán xác định như trên) gọi là một khônggian véctơ trên trường K, hay K- không gian véctơ, hay vắn tắt là khônggian véctơ.

Khi K  , V được gọi là không gian véctơ thực

Khi K  , V được gọi là không gian véctơ phức

Các phần tử của V gọi là các véctơ, các phần tử của K gọi là vôhướng

Phép toán “+” gọi là phép cộng véctơ, phép toán “ ” gọi là phép nhân

véctơ với vô hướng

Để cho gọn dấu “ ” nhiều khi lược bỏ, thay x. ta viết x

Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phépcộng véctơ Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân véctơ với

vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đốivới phép cộng véctơ và có tính chất kết hợp

1.1.2 Ví dụ về không gian véctơ

a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian   , 2, 3 với các phéptoán cộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực

b) Tập K x các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường   K với phépcộng đa thức và nhân đa thức với một phần tử thuộc trường K là một K-không gian véctơ

c) Tập số phức  với phép cộng số phức và nhân số phức là một không gian véctơ Trong khi đó  cùng với phép cộng số phức và nhân sốphức với một số thực là - không gian véctơ

-d) Tập  các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu

tỷ là một - không gian véctơ

e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ (m n ) trên trường K ta đưa vàophép nhân với vô hướng sau, với:

gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng 

Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương H trên - không gian véctơ

V thì dạng song tuyến tính đối xứng  trên V nhận H làm dạng toànphương tương ứng là hoàn toàn xác định:

1.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Nếu trong - không gian véctơ V có cơ sở ( , , , ),  1 2 n trong đó ( , ) 0i j

     với mọi ij thì trong cơ sở đó ma trận A( ),aij aij  ( , ) i j, có dạng chéo

Dạng toàn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng  trên V

trong cơ sở đó có biểu thức tọa độ dạng: 2

ij 1

n

i i i i







Cơ sở đó gọi là  - trực giao của V hay gọi tắt là cơ sở trực giao của V

khi  đã rõ Biểu thức đó gọi là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của H

1.3 Phương trình vi phân

1.3.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp một

Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát :

( , , ) 0

F x y y  (1.1)

trong đó hàm F xác định trong miền D  3

Nếu trong miền D , từ phương trình (1.1) ta có thể giải thích được y:

( , )

y f x y ( 1.2)thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm

Hàm y( )x xác định và khả vi trên khoảng I ( , )a b được gọi lànghiệm của phương trình (1.1) nếu:

Ví dụ 2: Phương trình:

21

1.3.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

( )( , , , , n ) 0

1.3.3 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là:

là những hàm số liên tục trên khoảng ( , )a b

Nếu trong phương trình (1.7) hàm f x ( ) 0 tức là ta có phương trình: ( ) ( 1)

trình (1.7) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n

1.4 Hệ phương trình vi phân

1.4.1 Định nghĩa

Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương trìnhsau:

Hệ n hàm khả vi y1 1( );x y2 2( ); ;x y n n( )x xác định trênkhoảng ( , )a b được gọi là nghiệm của hệ (1.9) nếu với mọi x( , )a b điểm

thì hệ (1.10) được viết dưới dạng dX F t X( , )

hệ ô- tô-nôm hay hệ dừng

1.5 Tiêu chuẩn Hurwitz

1.5.1 Một số khái niệm cần thiết

chúng ta giả thiết rằng các hệ số a a0, , 1 a của đa thức (1.12) n f z( ) là thực

và :

0 0; n 0

a  a  (1.14)Một đa thức như vậy rõ ràng không có nghiệm không và để ngắn gọn tagọi đa thức đó là đa thức bậc chuẩn bậc n n ( 1)

Định lí: Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của

Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (1.15) là đa thứcHurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của nó đềudương, tức là:

1 1

1 0 2

CHƯƠNG 2PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LIAPUNOV

2.1 Định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov

Ta lấy ra một chuyển động yf t( ) nào đó của hệ (2.1) và gọi nó là

chuyển động không có nhiễu loạn.

Chuyển động yf t( ) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối với

mọi  0 có thể chỉ ra được  0 sao cho từ bất đẳng thức

( ) ( )

y t  f t  suy ra bất đẳng thức ( )y t  f t( )  với t to Ở đây qua

( )

y t ta đã kí hiệu một nghiệm bất kỳ khác của hệ (2.1), xác định bởi điều kiện

ban đầu y t Chuyển động ( )0 yf t( ) gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa

Liapunov nếu nó ổn định theo nghĩa Liapunov và nếu có tồn tại một số dương

h sao cho khi y t( )0  f t( )0 h ta sẽ có

lim ( )t  y t  f t( )  0 (2.2)Nếu như nghiệm y t( ) tiến tới f t( ) khi t   đều đối với t thì sự ổn o

định tiệm cận gọi là đều đối t Nếu như sự qua giới hạn đối với điều kiện ban o

điều kiện ban đầu Nếu như hệ (2.1) là ô-tô-nôm tức vế phải không phụ thuộc

vào t thì sự ổn định tiệm cận sẽ luôn luôn đều đối với điều kiện ban đầu đã

cho

Nếu chuyển động yf t( )ổn định theo liapunov và hệ thức (2.2) đúng đốivới nghiệm y t( )được xác định bởi điều kiện ban đầu cho trước bất kỳ thì ta

nói rằng chuyển động y f t( ) ổn định tiệm cận với bất kỳ điều kiện ban đầu

cho trước( hay là ổn định tiệm cận trong toàn cục).

Trong hệ (2.1) thực hiện phép biến đổi x y ( )  f t hệ mới sẽ códạng:

Nghiệm x 0 của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối

với số dương  bất kỳ luôn luôn có thể chỉ ra số dương  sao cho từ bấtđẳng thức x t( 0  suy ra ( )x t  với t t 0 Còn nếu như mọi nghiệm

( )

x t mà điều kiện ban đầu đã cho của nó được xác định bởi x t( )0 h thỏa

mãn tính chất lim ( )t  x t  thì nghiệm không gọi là ổn định tiệm cận theo0

nghĩa Liapunov.

2.2 Hàm số 2 Liapunov

Ta xét hàm số v x ,x 1 2., xn xác định trong không gian pha các biến

x , x , , x liên tục trong một miềnD nào đó, chứa gốc tọa độ Ta cũng giả

sử rằng hàm v x ,x 1 2., xn có trong miền D các đạo hàm riêng liên tục

Hàm số v x ,x 1 2., xn gọi là xác định dương trong miền D nếu như

trong miền D trừ điểm O0, ,0  ta có bất đẳng thức v 0 Còn nếu như

có bất đẳng thức v 0 thì hàm v gọi là xác định âm trong cả hai trường hợp

đó hàm số đều được gọi là có dấu xác định.

Nếu như khắp nơi trong miền D ta có bất đẳng thức v 0 hoặc v 0

thì hàm số v được gọi là có dấu không đổi , hơn nữa trong trường hợp đầu

tiên hàm v còn gọi là có dấu dương và trường hợp thứ hai gọi là hàm có dấu

âm.

Nếu hàm số v lấy giá trị trong miền D, lúc thì dấu dương, lúc thì dấu

âm thì khi ấy v gọi là hàm đổi dấu Chẳng hạn hàm 2 2 2

có dấu không đổi trong không gian các biến x x x ( bởi vì nó triệt tiêu trên1, ,2 3

cả trục Ox ) và có dấu xác định trong không gian các biến 3 x x 1, 2

Thông thường chúng ta chỉ sử dụng tới các dạng toàn phương của cácbiến x , x , , x1 2  n Rõ ràng, một dạng toàn phương bất kỳ đều có thể viết dướidạng:

, 1

để dạng v xác định âm Điều kiện này được viết dưới dạng bất đẳng thức:

1 0; 2 0; 3 0;

     

tức là các định thứck lập thành một dãy tuần tự đổi dấu, đồng thời  1 0

Hàm số v x ,x , , x 1 2  ncó các tính chất đã nói ở trên gọi là hàm

Định lí 2.3.1 (Định lý Liapunov về sự ổn định):

Nếu đối với hệ (2.4) có tồn tại trong miền D một hàm xác định dấu v,đạo hàm của nó theo thời gian v, lấy theo hệ (2.4) là một hàm có dấu khôngđổi, trái dấu với hàm v thì vị trí cân bằng ổn định theo nghĩa Liapunov

Chứng minh:

Ta sẽ kí hiệu qua J phần trong của hình cầu tâm O bán kính  và qua

S mặt biên của hình cầu này.

Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương Giả sử rằng  đượcchọn sao cho J nằm trong miền D và giả sử l là giá trị cực tiểu của hàm v

trên mặt cầu S Ta hãy chọn số dương  , sao cho tại những điểm của hình

cầu J bất đẳng thức v l được thỏa mãn và giả sử p là một điểm tùy ý của

J Xét quỹ đạo f p t( , ), xuất phát từ điểm p và giả sử rằng nó cắt hình cầu

S tại điểm q nào đó bởi vì:

không thể vượt ra ngoài giới hạn của mặt cầu S

Bây giờ ta có thể chứng tỏ rằng có thể sử dụng lược đồ chứng minh củađịnh lý để đánh giá miền nhiễu loạn thừa nhận được Một miền E nào đóđược gọi là miền nhiễu loạn thừa nhận được của miền G đã cho, nếu như tất

cả các quỹ đạo xuất phát từ các điểm của nó, không vượt ra khỏi giới hạn củamiền G Rõ ràng, trong trường hợp đã cho, miền J sẽ là miền nhiễu loạn

thừa nhận được đối với miền J Vậy thì để xác định miền nhiễu loạn thừa

nhận được cần phải tìm cực tiểu l của hàm v trên biên của miền G và để lấylàm miền E ta sẽ chọn miền, trong đó thỏa mãn v l

Định lí 2.3.2 (Định lí Liapunov về sự ổn định tiệm cận):

Nếu đối với hệ phương trình vi phân (2.4) có tồn tại một hàm xác địnhdấu v, đạo hàm toàn phần của nó theo thời gian, lấy theo hệ (2.4), cũng sẽ làhàm xác định dấu, trái dấu với v thì vị trí cân bằng sẽ ổn định tiệm cận

Chứng minh:

Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương, giả sử R là một số sao

Từ định lí 2.3.1 ta suy ra rằng vị trí cân bằng sẽ ổn định nên có tồn tại

số r 0 sao cho: nếu điểm p nằm trong J thì điểm r f p t( , ) không thể vượt

ra ngoài hình cầu J Giả sử  là một số dương đủ bé, theo định lí 2.3.1 ta lại R

có thể chỉ ra số  0 sao cho từ pJ ta sẽ suy ra ( , )f p t J với t 0.Giả sử điểm p nằm trong J Giả thiết rằng điểm f p t( , ) với t 0 không thể

rơi vào trong hình cầu J Khi đó nửa quỹ đạo f p t( , ), với t 0 sẽ nằmtrong lớp cầu J R \J Bởi vì trong lớp cầu này ta luôn có v  0 nên có tồn tạimột hằng số m 0 sao cho ta sẽ có v m tại tất cả các điểm của lớp cầu đãnói Từ đẳng thức:

0( ( , )) ( ) t

ta suy ra ngay bất đẳng thức:

( ( , ))v f p t v p( ) mt (2.5)Nếu như tăng t lên vô hạn thì vế phải của bất đẳng thức (2.5) trở nên

âm, điều đó dẫn chúng ta đến mâu thuẫn vì vế trái của bất đẳng thức này làgiá trị của hàm số Liapunov nên không thể âm Vậy để tránh mâu thuẫn taphải giả thiết rằng tại một thời điểm nào đó, điểm f p t( , ) sẽ rơi vào trong

hình cầu J ; nhưng số  đã được chọn sao cho sau khi rơi vào trong J ,điểm f p t( , ) không thể nào vượt ra khỏi J Bởi vì  là một số có thể chọn

bé bao nhiêu cũng được nên từ đó ta suy ra rằng lim ( , ) 0t  f p t 

Vậy định lí được chứng minh

2.3.2 Định lí về sự không ổn định của Liapunov

Định lí 2.3.3: Nếu có tồn tại một hàm số v, đạo hàm của nó theo thời

gian là một hàm xác định dấu và sao cho trong một lân cận bất kỳ của điểm 0,

v không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với v thì nghiệm không

v f p t tăng khi t tăng và vì vậy điểm f p t( , ) không thể rơi vào trong J.

Ta giả sử rằng điểm f p t( , ) không vượt ra khỏi J Bởi vì trong miền

\

J J  v có cực tiểu dương m nên ta sẽ có bất đẳng thức:

0( ( , )) ( ) t ( )

Từ đó ta thấy khi t tăng, hàm v f p t( ( , )) sẽ tăng không giới nội nhưngmặt khác, hàm v liên tục nên nó lại phải giới nội trong lớp cầu J J \  Mẫuthuẫn đó suy ra định lý được chứng minh

Định lí 2.3.4: Nếu có tồn tại một hàm số v sao cho đạo hàm của nótheo thời gian có dạng:

0 0

Vì  0 nên khi t tăng, hàm v f p t( ( , )) tăng không giới nội và điều

này có nghĩa là điểm f p t( , ) vượt ra khỏi miền J

Định nghĩa : Nghiệm không của hệ (2.8) gọi là ổn định trong toàn cục

(hay là ổn định với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu) nếu nó ổn định theo nghĩa

Liapunov và nếu mọi nghiệm x t( ) khác của hệ đều có tính chất ( )x t  0khi t  

Hàm Liapunov v gọi là vô cùng lớn nếu đối với bất kỳ số dương A

đều có tồn tại một số dương R sao cho bên ngoài mặt cầu 2

1

n i i





 ta có bấtđẳng thức v A

Chẳng hạn như một dạng toàn phương xác định dương sẽ là một vôcùng lớn bởi vì ta sẽ có 2 2

Mặt mức của một hàm vô cùng lớn là mặt giới nội

Thật vậy, ta hãy xét một mặt mức v c nào đó Đối với c cho trước ta

có thể chỉ ra hình cầu bán kính R mà ở bên ngoài nó ta sẽ có v c và do đómặt v c sẽ nằm bên trong hình cầu này

Định lí 2.4.1 (Về sự ổn định tiệm cận trong toàn cục):

Nếu có tồn tại một hàm v vô cùng lớn, xác định dương, có đạo hàmxác định âm trong toàn bộ không gian thì nghiệm không của hệ ổn định tiệmcận với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu

Định lý này có định lý đảo và một trường hợp riêng của định lý tổngquát hơn dưới đây

Định lí 2.4.2: Giả sử có tồn tại một hàm v xác định dương, vô cùng

Giả sử p là một điểm tùy ý của không gian pha Từ điểm p xuất phát

nửa quỹ đạo f p t( , ) t 0 Theo điều kiện của định lý dv 0

dt  nên ta có:

0( ( , ))

trong một miền giới nội, do đó có điểm  giới hạn Ta suy ra rằng toàn bộtập   giới hạn nằm trên cùng một mặt mức v v 

Ta xét hai trường hợp:

Nếu v=0 thì mặt mức v 0 là gốc tọa độ Do đó toàn bộ tập   giớihạn của quỹ đạo f p t( , ) trùng với gốc tọa độ và chúng ta có lim ( ) 0t x t  Bởi

vì từ bất đẳng thức dv 0

dt  ta suy ra sự ổn định thông thường theo nghĩa

Liapunov (xem định lý 2.3.1) nên ta có sự ổn định tiệm cận trong toàn cục

Bây giờ giả sử rằng v 0 Trên mặt v v  có chứa tập  giới hạn

 của điểm p, lập nên từ những quỹ đạo nguyên vẹn Dọc theo những quỹđạo này rõ ràng ta sẽ có v  0, vì vậy tập  nằm trong M Nhưng theo cácđiều kiện của định lý M không chứa những quỹ đạo nguyên vẹn do đó giảthiết v 0 dẫn đến mâu thuẫn Định lý được chứng minh