xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian

Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó làmôn học về " Hình và Số" theo quan điểm chính thống, nó là môn họcnghiên cứu về các cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ các tiền đề, bằng cách sử dụ

A Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, khônggian và các phép biến đổi Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó làmôn học về " Hình và Số" theo quan điểm chính thống, nó là môn họcnghiên cứu về các cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ các tiền đề, bằng cách

sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học Các quan điểm khác của

nó đợc miêu tả trong tiết học toán Do khả năng ứng dụng rộng rãi trongnhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ"

Hình học là một phần của toán học, hình học là ngành toán họcnghiên cứu liên hệ không gian Trong hình học ngời ta chia ra nhiềunhánh khác nhau trong đó có hình học vi phân

Hình học vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ

và phơng pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng nh đại số tuyếntính và đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học

Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX Gauss

là một trong những nhà toán học tiên phong trong lĩnh vực này Cuối thế

kỷ XIX tất cả những nghiên cứu đợc tập hợp và hệ thống hoá lại bởi cácnhà toán học Jran Gastan Dar boux và Luigi Bian chi

Lý thuyết về các đờng cong trong mặt phẳng không gian cũng nh

về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thành cơ sở cho

sự phát triển hình học vi phân Việc xây dựng hệ thống bài tập của mônhọc này sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản chất của hình học vi phân

Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉdừng lại ở việc "Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham sốtrong không gian E3"

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyếtmảnh tham số trong không gian 3

E Trên cơ sở đó xây dựng đợc hệthống bài tập một cách khoa học, rõ ràng và chính xác qua đó thấy đợc ýnghĩa của việc học tập môn học này, hiểu sâu và nắm vững kiến thức của

nh lý thuyết trong quá trình giải bài tập

a Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số.

b Trình bày những ví dụ dể hiểu lý thuyết

c Trình bày hệ thống các bài tập từ dễ đến khó về lý thuyết mảnhtham số trong không gian E3

4 Phạm vi và đối tợng nghiên cứu

- Về khách thể nghiên cứu: Do trong khuôn của một khóa luận chophép em chỉ nghiên cứu lý thuyết và bài tập cho lý thuyết mảnh tham sốtrong không gian E3

- Về đối tợng nghiên cứu

+ Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh thanh số trong khônggian 3

E

+ Nghiên cứu hệ thống bài tập từ dễ đến khó lý thuyết trên

5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài "Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham sốtrong không gian E3" giúp em hiểu thêm về hình học vi phân và biếtcách áp dụng giải bài tập và có cái nhìn đúng đắn về môn học này

6 Phơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham số và các tạp chí toánhọc, các bài giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liênquan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hành và đặc biệt là sự nhiệttình giúp đỡ và góp ý của thầy giảng viên hớng dẫn

b nội dung

Ch ơng 1: các kiến thức chuẩn bị.

1.đại c ơng lý thuyết mảnh tham số trong không gian e 3

1.1.định nghĩa mảnh tham số trong không gian e 3

Giả sử U là một tập mở khác  của R2, ánh xạ r từ tập mở U vàokhông gian Euclid 3 chiều E3 :

r : U  E3(u,v)  r(u,v)

là một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )

tập U gọi là miền tham số hay miền xác định của mảnh

Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp Au u v| ( , )0 U},

là những cung tham số của E3, cung tham số u  r(u,v0) trong E3 ( u thay

đổi một khoảng J R nào đó, u0 J) gọi là đờng toạ độ v  v0; cungtham

số v  r2(v) = r(u0,v) trong E3 gọi là đờng toạ độ u  u0.theo định nghĩa

đạo hàm thì r u: u  r u v u ( , )0 là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung

r1 ; v  r u v v ( , )0 là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2

1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy.

Cho mảnh tham số :

r : U  E3(u,v)  r(u,v)

điểm (u0,v0)  U ( hay điểm r(u0,v0)  E3) gọi là điểm chính quy của rnếu hai véc tơ r u v u( , )0 0 và r u v v ( , )0 0 độc lập tuyến tính điểm khôngchính quy của r gọi là điểm kì dị của r nếu mọi điểm của U đều là điểmchính quy thì r gọi là mảnh chính quy

1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phơng trình tiếp diện của r tại điểm, pháp tuyến của mảnh.

Tại điểm chính quy (u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2 - phẳng trong

E3 đi qua r(u0,v0) với không gian véc tơ chỉ phơng r u v r u v u ( , ), ( , ) 0 0 v 0 0

làmặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng quar(u0,v0) thẳng góc với tiết diện tại (u0,v0) là pháp tuyến của r tại (u0,v0).Trong toạ độ afin ( x,y, z) của E3 viết :

r( u,v)  (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

(trong đó (u,v)  x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm số trên U) thì

1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.

Cho hai mảnh tham số trong E3 :

r : U  E3 và r : U  E3

Nếu có một vi phôi :U  U ( là một ánh xạ đồng phôi khả vi

và ánh xạ ngợc   1:U U



 cũng khả vi) sao cho r  r  thì ta nói r tơng

đ-ơng với r và gọi  là một phép tham số giữa U và U( hay từ r sang r).nếu có phép đổi tham số nh trên thì từ U   ( )U , r r    ta có

* Ta suy ra các tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng :

1 Quan hệ tơng đơng giữa các mảnh tham số trong E3 là quan hệ tơng

đơng theo nghĩa thông thờng

2 Mỗi lớp tơng đơng gọi là một mảnh Vậy để cho một mảnh ta chỉ

cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó trong E3 và r gọi là một tham

số hoá của mảnh

3 Quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng giữa các mảnh tham số trong E3(định thức   0) cũng là quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng

4 Mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ấy gọi là một mảnh định hớng để

cho một mảnh định hớng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham số đại diệncho nó

1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.

Cho U là một tập mở trong mặt phẳng R2  {( , ),x x i i j j} Giả sửtrong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3) Khi đó mảnh tham số :

Khi hệ vectơ { , }    

độc lập tuyến tính thì r là một mảnh tham sốchính quy và ảnh của r là một 2 - phẳng trong E3

(u,v)  r (u,v)  ( cos , sin , )a u b u v (a 0,b 0)

Là một mảnh tham số chính quy, ảnh của nó là mặt trụ eliptic

r : R2  E3 , (u,v)  ( cos cos , cos sin , sin )a u v a u v a v (a 0) là

một mảnh tham số tại các điểm (u,v) mà .

r : R2  E3 , (u,v)  ( u, v, u2 v2) là mảnh tham số chính quy

ảnh của nó là mặt parabolôit tròn xoay z x 2 y2 Cung toạ độ v v 0 có

ảnh là parabol {y v z x 0,  2v02} Cung toạ độ u u 0 có ảnh là parabol

2 2

Vì r u v u ( , ) (1,0, 2 ) 0 0  u0 và r u v v ( , ) (0,1, 2 ) 0 0  v0 nên pháp vectơ củamảnh tại p r u v( , ) có thể lấy là:

Ch ¬ng 2: hÖ thèng bµi tËp cho lý thuyÕt m¶nh

tham sè trong kh«ng gian E 3

Dạng 1: Viết phơng trình tham số của các mặt trong không gian E 3

Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) của các mặt

tròn xoay sau đây trong E3:

khi đó phơng trình tham số hoá của mặt bậc hai là :

c) Phơng trình tổng quát của mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay quanhtrục Oz là :

d) Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt parab«l«it trßn xoay quay quanh trôc

®-a) Cho biÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña , h·y viÕt ph¬ng tr×nh tængqu¸t cña (S)

b) Cho biÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña , h·y viÕt ph¬ng tr×nh tham

sè cña (S)

Bµi gi¶i:

Gi¶ sö  n»m vÒ phÝa x 0 th× ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña  cã d¹ng:



x

y z

Đặt uOx OM  , 

thì X OM1.cosu, Y OM 1.sinu, Z z t  Do đó

MS khi và chỉ khi : X x t .cos ,u Y x t .sin ,u Zz t  0  u 2 

Vậy phơng trình tham số của (S) là :

a) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k  k 0, đờng thẳng 

cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc ( tổngquát)

b) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k  k 0, đờng thẳng 

cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc đứng

c) Tốc độ quay là , quãng đờng tịnh tiến là một hàm  của gócquay, đờng thẳng  cắt vuông góc với trục Oz mặt S tạo thành gọi là mặtcônôit đứng

Bài giải :

a) Gọi u là góc quay đợc sau một thời gian t và gọi v là quãng ờng tịnh tiến đợc sau thời gian t thì u  t, vk t do đó s k u , taxem u là góc định hớng thì u s R, 

đ-Giả sử đờng thẳng  có phơng trình tham số :

cũng sau thời gian t điểm *

M phảI tịnh tiến thành điểm M X Y Z k u , ,  . 

quỹ tích các điểm M  là mặt S nên phơng trình của mặt S là :

Bài 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r U:  E3, u v,   r u v , 

có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz nh sau:

a) r u v ,  u u v v2 , , 2

b) r(u,v) u v u v u v ,  

c) r u v ,   u sin ,v u cos ,v u a  (a const)

d) r u v ,   x0 a.cos cos ,u v y0 b.cos sin ,u v z0 c.sinu

c) Ta tiÕn hµnh khö u vµ v :

Ta cã :

sin cos

ta cã : x x 0a.cos cosu v, yy0b.cos sinu v, z z 0c.sinu

hay lµ x x0 cos cosu v

Ngợc lại, cho điểm M x y z , ,    S thì z z0 1

.cos cos cos sin sin

.cos cos cos sin sin

điểm này là đỉnh của (S)

Ngợc lại, cho điểm M x y z , ,    S mà M  0 khi đó z  0 ( vì z  0

v y

 (3) Râ dµng cÇn cã ®iÒu kiÖn u v  0

Xem u v. vµ u v lµ hai Èn th× tõ (1) vµ (3) suy ra :

  (5) Từ (4) và (5) rõ ràng luôn tìm đợc u,v với

điều kiện c x a z   0 và u,v này thoả mãn (1), (2) và (3)

Suy ra điểm M x y z , ,  của (S) thuộc vào r(U) khi và chỉ khi

định C nên pháp tuyến tại điểm r   t là đờng thẳng nối C với

 r  2

  const  C r   t 



 const a

Suy ra mọi điểm M của r V  đều nằm trên mặt cầu tâm C bán kính a

Dạng 3 : bài toán liên quan tới mặt tịnh tiến.

Bài 1.7 : Trong không gian 3

E , cho hai hàm vectơ :A J:  E u3 , A u 

b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôithypebôlic là những mặt tịnh tiến

c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai

điểm bất kì nằm trên hai cung cho trớc trong E3 nếu là một mặt thì nó làmặt tịnh tiến

c) Cho hai cung bÊt k×  u  O A u  

vËy quü tÝch ®iÓm I nÕu lµ

mét mÆt th× nã lµ mÆt tÞnh tiÕn cã ph¬ng tr×nh tham sè díi d¹ng vect¬

* biÓu thøc 1 ,  .cos ,arccos

phụ thuộc tuyến tính.

c) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt trụ nếu các đờng sinh thẳng của nó songsong với nhau Chứng minh rằng r(V) là mặt trụ khi và chỉ khi A u  và

 



phụ thuộc tuyến tính

d) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt nón nếu các đờng sinh thẳng của nó nằmtrên những đờng thẳng đồng quy tại một điểm I nào đó điểm I gọi là

đỉnh nón Mặt kẻ r(V) gọi là mặt tiếp tuyến nếu các đờng sinh thẳng của

nó đều nằm trên những tiếp tuyến của đờng chuẩn

Chứng minh rằng nếu r là một mảnh chính quy và r(V) là mặt trụ,hay mặt nón, hay mặt tiếp tuyến thì r(V) là mặt khả triển

e) Giả sử r(V) là mọt mặt khả triển mà không phải là mặt trụ và

u J Chứng minh rằng luôn luôn có thể viết

 u    u A u.  u A u.  

.Chứng minh rằng nếu tại một lân cận J0 của u0 ta có  u    u

 u J0 thì có một lân cận P của r u v 0 , 0 trong E3 để P r V   là mộtmặt nón với mỗi v thoả mãn u v,  V

Chứng minh rằng nếu  u0   u0  thì có một lân cận Q của

b) Đờng sinh thẳng của r(V) ứng với u u 0 xác định bởi ham số

hoá r u v 0 ,    u0 v A u.  0



Giả sử r chính quy thì tại mỗi điểm r(u,v)

đều tồn tại tiếp diện của r(V)

Pháp vectơ tiếp diện tại điểm r(u,v) là n u v              ,              r u v u ,  r u v v , 

 u0 ,A u 0 ,A u 0



phụ thuộc tuyến tính

Từ đó ta có điều phải chứng minh

c) r(V) là mặt trụ khi và chỉ khi A u 

phụ thuộc tuyến tính

d) Giả sử r là mảnh chính quy Nếu r(V) là mặt trụ thì theo câu c),hai vectơ A u  và A u 

Nếu r(V) là mặt tiếp tuyến thì có thể viết A u    u

Nếu tại lân cận J0 của u0 ta có  u    u thì  1 u  0 với mọi

là một điểm không kì dị của nó kí hiệu  là tiếp diện của mảnh r tại

điểm u v0 , 0 ( nh vậy theo định nghĩa thì  là 2 - phẳng đi qua điểm

 0 , 0

r u v mà có phơng là không gian vectơ 2 chiều r u v u 0 , 0,r u v v 0 , 0 )

a) Chứng minh rằng phơng của  cũng đợc xác định bởi Tu v0,0r.b) Chứng minh rằng  cũng đợc tạo bởi các tiếp tuyến tại t0 củacác cung tham số t  t r u t v t    , , trong đó t u t  và t v t  làhai hàm số xác định trên một khoảng nào đó chứa t0 , u t 0 u v t0 ,  0 v0,

2) u v0 , 0 là điểm không kì dị khi và chỉ khi Tu v0,0r là đơn cấu.

Bài 3.11 : Cho tham số hoá r : U  E3 , u v,  r u v ,    u v A u.  

.Khi f  g 0 chọn  g thì  1 u  0

Khi f  g không triệt tiêu tại u nào, cũng chọn  g thì

Bài 1.12 : Cho mảnh tham số trong E3 xác định bởi (u,v)  r(u,v)  E3

và giả sử nó không có điểm kì dị, rồi xét mảnh tham số xác định bởi

r R A E , r u v( , ) 0  R.cos ( )v u R.sin v k trong đó R là hằng

số dơng, ( ) cos u  u i sin v j, { , , }  i j k là cơ sở trực chuẩn của 3

hợp các điểm r u v ( , ) là mặt cầu tâm O bán kính R 1 chọc thủng hai

điểm xuyên tâm đối khi R  1 0 và là điểm 0 khi R  1 0 Trong trờnghợp này :

Bài 1.13 : Chứng minh rằng các pháp tuyến tại các điểm không kì dị của

mặt tiếp tuyến của đờng đinh ốc tròn trục  trong E3 hợp với  một góckhông đổi

Bài giải :

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho trục Oz nằm trên  ( phơng của

 trùng với phơng của trục Oz)

Cung đinh ốc tròn V xác định bởi :

f u f u  a e u b u k (a 0,b 0) hay f u( ) ( cos , sin , )  a u a u b u

Khi đó mặt tiếp tuyến của V xác định bởi (có tham số hoá là)

là : n r                           u r v

Ta có :

( [cos( ) cos( )], [sin( ) sin( )], )

Do a,b không đổi nên  không đổi Ta có điều phải chứng minh

Bài 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số :

:

( , )u v  r u v( , ) ( cos , sin , ) u v u v u với mọi (u,v) R2

a) Hãy tìm các điểm kì dị của r

b) Hãy chỉ ra rằng pháp tuyến của r tại điểm (1,0) vuông góc vớitrục oy

Bài giải :

a) Gọi điểm (u0,v0) R2là điểm kì dị của r điểm (u0,v0) là điểm kì

dị của r thì 2 vectơ r u v u ( , )0 0 và r u v v ( , )0 0 phụ thuộc tuyến tính, điều này

Do đó pháp tuyến của r tại điểm (0,1) vuông góc với trục oy.

Bài 1.15 : Hãy tìm các điểm kì dị của mặt xác định bởi phơng trình ẩn

theo hệ trục toạ độ đêcac (x,y,z) trong E3 nh sau :

b) Ta có G x  2.(x y )  z, G y  2.(x y ), G z  x và G  x 0, G  y 0,0

z

G  khi và chỉ khi x  y z 0 vì G(0, 0,0) a nên nếu a 0 thì mặt

( , , ) 0

kì dị duy nhất là gốc toạ độ (0,0,0)

c) Đặt x x 1, y x 2, z x 3 thì mặt xác định bởi H x y z ( , , ) 0 là mặtxác định bởi H x x x ( , , ) 0 1 2 3 đa thức bậc hai H x x x ( , , ) 0 1 2 3 có dạng :

    với ít nhất một hệ số a  ij 0, ta biết

mặt xác định bởi H x x x ( , , ) 0 1 2 3 là một mặt bậc hai Euclid

điểm M x x x( , , )1 2 3 gọi là điểm kì dị của mặt xác định bởi phơngtrình ẩn H x x x ( , , ) 01 2 3 khi và chỉ khi {F x F y F z  0,F  0} cũng là điềukiện cần và đủ để M x x x( , , ) 1 2 3 là điểm kì dị của mặt bậc hai

1 2 3

( , , ) 0

bậc hai)

Vậy điểm kì dị của mặt xác định bởi phơng trình ẩn H x x x ( , , ) 01 2 3

đồng nghĩa với điểm kì dị của mặt bậc hai H x x x ( , , ) 0 1 2 3

Bài 1.16 : Cho mảnh tham số r U:  E3, ( , )u v  r u v( , ) ( , ,  u v u2 v2 ) làmột mảnh tham số chính quy hãy xác định :

a) ảnh của mảnh tham số trên

b) Tìm phơng trình mặt phẳng tiếp diện  tại p r u v ( , )0 0

c) Tìm phơng trình pháp tuyến l của mảnh tại p r u v ( , ) 0 0

2 2

z x y (S) Vậy ảnh r(U) nằm trên mặt parabôlôit tròn xoay

Ngợc lại, cho điểm M x y z( , , )  (S) thoả mãn z  0 thì có : u x ,

vy để x u , y v , z u 2 v2 Suy ra phần của mặt parabôlôit tròn xoay(S) thoả mãn z  0 nằm trên ảnh r(U)

Vậy ảnh r(U) là phần parabôlôit tròn xoay (S) : z x 2 y2 với z 0.b) Vì r u v u ( , ) (1,0, 2 ) 0 0  u0 và r u v v ( , ) (0,1, 2 ) 0 0  v0 nên pháp vectơ của mảnhtại p r u v( , )0 0 có thể lấy là: