Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu Suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra q
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
Người hướng dẫn khoa học:
1 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu
2 PGS TS Trần Vui
Phản biện 1: PGS.TS Vương Dương Minh
Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Kim Thoa
Đại học Sư phạm Huế Phản biện 3: TS Lê Thái Bảo Thiên Trung
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường, tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
Vào hồi: giờ, ngày tháng năm 2016
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Khoa học tổng hợp Tp Hồ Chí Minh
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh
Trang 31 Trương Thị Khánh Phương (2011), “Sử dụng biểu diễn trực quan động
hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh trong quá trình
khám phá toán học”, Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, ISSN 0868-3719, 05(56), tr 109-116.
2 Trương Thị Khánh Phương (2011), “Tiềm năng của các bài toán kếtthúc mở trong việc hỗ trợ học sinh phát triển năng lực suy luận ngoại
suy”, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục, ISSN 21896 0866 7476, Số 276
(kì 2, tháng 12-2011), tr 34-36, 2011
3 Trương Thị Khánh Phương (2012), “Phản ánh của suy luận ngoại suy
và quy nạp qua thao tác kéo rê trong môi trường hình học động”, Tạp chí Khoa học – trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh, ISSN 1859-
3100, 33 (67), tr 28-35
4 Trương Thị Khánh Phương (2014), “Using open-ended problems to
enhance students’ abductive reasoning in mathematics classroom”, In Bulletin: Multilingual education and philology of foreign languages Almaty (Kazakhstan), ISSN 2307-7891, No 2(6), pp 84-91.
5 Trương Thị Khánh Phương (2014), “Creating open-ended problems toimprove students’ abductive reasoning in mathematics classroom”,
Journal of Sciences - Hue University, ISSN 1859-1388, Vol 99,
Trang 4Chương 1 GIỚI THIỆU
1.1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Một mô tả chung nhất và đặc trưng nhất về toán được hầu hết các nhà
toán học chấp nhận, đó là: Toán học là khoa học của các dạng mẫu Một trong những cách để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của
nó thông qua các mối quan hệ và hàm số Đặc biệt, quá trình tìmkiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại suy luận có
lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp Suy luận và biểu diễn
cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để đánh giá trongChương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA
1.2 Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu
Suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó
trong việc giúp HS khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện
ra quy luật trong các dạng mẫu là một nội dung cần được quan tâm
phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán Bước sang những năm đầucủa thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng toán học vào hầu hết cácvấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống được nhiều nhà giáo dụcquan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa Rất hiếm khi con người
sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêmngặt mà nó đòi hỏi Một lần nữa, suy luận có lí là ngoại suy và suy
nạp trở thành công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế Đối với giáo dục toán ở nước ta, đối tượng mà chúng
tôi quan tâm trong nghiên cứu này là những HS mười lăm tuổi, lứatuổi vừa hoàn thành chương trình phổ cập giáo dục chính thức và cóquyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung họcphổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghềnghiệp cho tương lai ngay từ lúc này Đây là giai đoạn chuyển tiếp có
ý nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã được HS tích
Trang 5lũy sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những nămhọc tiếp theo và cuộc sống nghề nghiệp sau này Mặt khác, HS mườilăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc tếPISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3năm một lần với quy mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong
đó có Việt Nam Trong xu hướng đó, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán” làm đề tài
nghiên cứu của luận án
1.3 Phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý nghĩatương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ởViệt Nam Cụ thể, các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trungphân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật có liên quan đến kháiniệm “dãy số” Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đãđược học về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”,
“hàm số bậc hai”, tức là các em có đủ các tri thức cần thiết để khámphá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp sốnhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quanhơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám pháquy luật dãy số của các em Hơn thế, đây là một trong những nộidung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loạisuy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng quáthóa quy luật của HS Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến nănglực khám phá các quy luật toán của HS trong lĩnh vực Hình học Vớiđối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các kiến thức hình họcphẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuông
Trang 6góc, đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trìnhHình học ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát.Mặt khác, chúng tôi cũng muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ratrong môi trường học tập có sử dụng máy tính và các phần mềm hìnhhọc động Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán tronglĩnh vực Hình học với sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọncác bài toán hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác và phântích trong thực nghiệm của luận án này
1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu
1.5 Câu hỏi nghiên cứu
Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng
trong quá trình khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan
hệ với nhau như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có
ảnh hưởng như thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ramột quy tắc tổng quát?
Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như
thế nào để hỗ trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khikhám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám
phá quy luật toán của HS bằng suy luận quy nạp và ngoại suy?
1.6 Các thuật ngữ
1.7 Cấu trúc luận án
Chương 2 CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
2.1 Toán học và những suy luận có lí
2.1.1 Suy luận quy nạp
2.1.1.1 Định nghĩa
Trang 7Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (khôngchắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết chomột số trường hợp cụ thể (Polya, 1968, [68]; Cañadas & Castro,
2007, [23]; Christu & Papageorgiu, 2007, [27])
2.1.1.2 Quá trình suy luận quy nạp
Cañadas và Castro (2009, [24]) đưa ra mô hình bảy bước cho quá
trình suy luận quy nạp: (1) Quan sát các trường hợp đặc biệt; (2) Sắp xếp các trường hợp đặc biệt một cách hệ thống; (3) Tìm kiếm và dự đoán quy luật; (4) Hình thành giả thuyết; (5) Kiểm chứng giả thuyết; (6) Tổng quát hóa giả thuyết ; (7) Xác minh giả thuyết tổng quát.
2.1.2 Suy luận ngoại suy
2.1.2.1 Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của PeirceNhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles SandersPeirce là người đã phát triển khái niệm ngoại suy và đưa nó vào trong
hệ thống các loại suy luận Mô hình ngoại suy của Peirce: Một sự thật
C được quan sát; Nếu A đúng, C hiển nhiên cũng sẽ đúng; Vì thế, là hợp lí khi giả thuyết rằng A đúng (Peirce, [65, 5.189])
2.1.2.2 Ngoại suy theo quan điểm của J Josephson và S Josephson
J Josephson và S Josephson (1996, [39]) kế thừa định nghĩa ngoại suycủa Peirce và bổ sung vào mô hình ngoại suy của ông thêm một giaiđoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất Mô hình mới như sau:
D là một tập các dữ liệu (sự kiện, quan sát, cái đã cho);
H giải thích D (nếu H đúng, sẽ giải thích D);
Không có giả thuyết khác có thể giải thích D tốt hơn H;
Trang 8 Phân loại theo Magnani
Phân loại theo Patokorpi
Patokorpi (2006, [62]) đưa ra bốn loại suy luận ngoại suy sau:
1) Ngoại suy chọn lựa: Chọn trong số các Quy tắc có sẵn một Quy tắc có thể lý giải cho Kết luận.
2) Ngoại suy sáng tạo: Khi các Quy tắc có sẵn không lý giải được, cần sáng tạo ra một Quy tắc mới để lý giải cho Kết luận.
3) Ngoại suy trực quan: Tư duy ngay trong quá trình quan sát để đưa ra giả thuyết là một Trường hợp nhằm lý giải cho Kết luận 4) Ngoại suy thao tác: Tiến hành các thao tác thích hợp nhằm thu thập thêm dữ liệu để tìm thấy Trường hợp lý giải cho Kết luận.
2.1.2.5 Mô hình suy luận ngoại suy
2.1.3 Phân biệt diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học2.1.3.1 Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận2.1.3.2 Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận
2.1.3.3 Xét về khía cạnh khám phá toán và tính chắc chắn của kết quảTính chắc chắn của những kết luận được tạo ra bởi các loại suy luậnnày giảm dần từ diễn dịch đến quy nạp và cuối cùng là ngoại suy.Tuy nhiên, xét về khía cạnh khám phá tri thức mới, những tri thức cóđược từ suy luận diễn dịch có thể xem như những hệ quả logic đượcsuy ra từ những tiên đề đúng đã biết trước, do đó chúng không thể
mở rộng vốn tri thức sẵn có của con người Với quy nạp, tri thức mớithu được dưới dạng tổng quát hóa, là mở rộng phạm vi của những trithức đã biết theo các xu hướng có thể đoán trước được Với ngoạisuy, khi những tri thức có sẵn không giải thích được cho quan sát, trithức mới được hình thành Vì thế, ngoại suy giúp cung cấp các ýtưởng mới và mở rộng tri thức của chúng ta
Trang 92.2 Biểu diễn toán
2.2.1 Phân loại biểu diễn toán
2.2.2 Biểu diễn trực quan
2.2.2.1 Trực quan hóa
2.2.2.2 Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số
2.2.2.3 Biểu diễn trực quan động
2.3 Khám phá quy luật dãy số
2.3.1 Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số
2.3.2 Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số
2.3.3 Các phương án khám phá quy luật dãy số
2.3.4 Suy luận trong khám phá quy luật dãy số
Khi đề cập đến những suy luận xảy ra dựa trên việc quan sát một sốtrường hợp cụ thể tương tự nhau đến một kết quả tổng quát, người tathường nghĩ đến suy luận quy nạp Khái niệm ngoại suy cũng không
hề được nhắc đến trong những phân tích của các tác giả Reid (2002,[72]), Canadas & Castro (2007, [23]; 2009, [24]) về quá trình suyluận của HS khi thực hiện các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số.Tuy nhiên, việc đồng nhất nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số vớihành động kiểm chứng và tổng quát hóa một quy luật từ các trườnghợp cho sẵn của dãy số dường như đã phớt lờ đi yếu tố sáng tạo trongquá trình này, yếu tố mà Peirce đã chỉ ra như một đặc trưng của ngoạisuy Trong khi đó, Canadas và Castro ([23]) đã khẳng định rằng giai
đoạn hình thành giả thuyết (Bước 4) là quan trọng và xuất hiện
thường xuyên nhất trong bài làm của HS Đây rõ ràng là một nhiệm
vụ của suy luận ngoại suy Một số câu hỏi được chúng tôi đặt ra:
Liệu ngoại suy có tham gia vào quá trình khám phá các quy luật dãy số? Nếu có thì nó nằm ở giai đoạn nào? Quay trở lại tìm hiểu các
nghiên cứu về suy luận ngoại suy của Peirce đặc biệt là ở giai đoạn
Trang 10thứ 2 (từ năm 1878 trở về sau), Peirce bắt đầu sử dụng thuật ngữ
“ngoại suy” nhằm chỉ đến “sự khởi động đầu tiên nhất để đưa ra một
giả thuyết” (Peirce, [65, 6.525]) “Ngoại suy chỉ đơn thuần là bước khởi đầu Nó là bước đầu tiên của suy luận trong khoa học, trong khi quy nạp là bước kết luận sau cùng” (Peirce, [65, 7.218]) Chúng tôi
cũng rút ra một số điểm khác biệt sau đây giữa ngoại suy và quy nạpqua quá trình khảo cứu các tài liệu liên quan:
Hoffmann’s (1999, [38, tr 272]) khẳng định: “Quy nạp khôngthể đưa ra một quy tắc từ một tập hợp các dữ liệu mà chỉ giúpquyết định về mặt định lượng những gì đã được đề xuất bởi
ngoại suy” Nói cách khác, mục đích của ngoại suy là đưa ra một giả thuyết để giải thích, còn mục đích của quy nạp nhằm đánh giá phạm vi mở rộng của giả thuyết đã được đề xuất
Quy nạp “cho thấy sự tồn tại của một hiện tượng mà chúng ta đãquan sát trong những trường hợp tương tự trước đó” (Abe, 2003,[11, tr 234]), trong khi ngoại suy “đề xuất một điều gì đó màthường là chúng ta không thể quan sát một cách trực tiếp”(Peirce, [65, 2.640])
Quy nạp chỉ ra sự phát triển của xu hướng được dự đoán chonhững quan sát xa hơn, ngoại suy không (trực tiếp) quan tâmđến những quan sát xa hơn sau đó mà chỉ hướng đến mục đích lýgiải cho chính trường hợp đang xảy ra
Như vậy, ngoại suy xảy ra ở giai đoạn đầu tiên khi một giả thuyết vềcác dữ liệu có sẵn được đề xuất Quy nạp xuất hiện sau đó khi cónhiều trường hợp hơn được kiểm tra để xác định xem liệu giả thuyết
đó có còn đúng hay không và tiến hành tổng quát hóa
2.3.5 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1
Trang 11Trên cơ sở quy trình khám phá các quy luật hàm số bậc nhất bằngsuy luận ngoại suy-quy nạp được đề xuất bởi Becker và Rivera(2007, [19]) và mô hình suy luận quy nạp gồm bảy bước của Canãdas
& Castro (2007, [24]), cùng với các kết quả nghiên cứu trong nướcliên quan đến thực tế của học sinh mười lăm tuổi (Phương, 2009,[4]), chúng tôi xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy
2.4.3 Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm”
2.4.4 Các phương thức kéo rê trong môi trường hình học động
Arzarello và nnk (1998, [14]) chỉ ra sự phát triển của bảy phương thức kéo rê trong quá trình HS thiết lập các dự đoán và phát triển các
chứng minh khi giải quyết các bài toán hình học kết thúc mở trongmôi trường hình học động với sự hỗ trợ của phần mềm Cabri Dựatrên sự tương tự về mặt bản chất của hai phần mềm hình học độngCabri và GSP, chúng tôi tập trung vào bốn phương thức kéo rê cơ
Trang 12bản (được xây dựng từ bảy phương thức kéo rê đã có) được dùng để
thao tác lên BDTQ động trên trang hình GSP: Kéo rê ngẫu nhiên, Kéo rê duy trì, Kéo rê về các trường hợp đặc biệt, Kéo rê liên kết.
2.5 Các nghiên cứu trong nước liên quan đến đề tài
2.6 Tiểu kết chương 2
Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
Để trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 và 3, chúng tôi tiến hành hainghiên cứu sau:
Nghiên cứu 1: Khảo sát những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá
trình suy luận ngoại suy và quy nạp của HS trong khám phá quy luậtdãy số Cụ thể, chúng tôi muốn làm rõ những vấn đề sau: (1) BDTQảnh hưởng như thế nào đến các phương án ngoại suy mà HS sửdụng?; (2) HS có sử dụng BDTQ để kiểm chứng và tổng quát hóa giảthuyết bằng suy luận quy nạp?; (3) Mức độ suy luận ngoại suy-quynạp mà HS đạt được theo cách phân loại mà chúng tôi đề nghị
Nghiên cứu 2: Khảo sát những ảnh hưởng của các BDTQ động đến
quá trình suy luận ngoại suy và quy nạp khi HS khám phá các bàitoán hình học kết thúc mở trong môi trường hình học động GSP Cụthể, chúng tôi muốn làm rõ những vấn đề sau: (1) Trong quá trìnhkhám phá các bài toán hình học kết thúc mở, suy luận ngoại suy vàquy nạp được thực hiện trong môi trường giấy bút có gì khác so vớithực hiện trong môi trường hình học động GSP?; (2) Suy luận ngoạisuy và quy nạp để khám phá bài toán hình học kết thúc mở đượcphản ánh như thế nào qua các phương thức kéo rê mà HS thao tác lênBDTQ động?
3.1 Thiết kế nghiên cứu
Thiết kế nghiên cứu khảo sát được sử dụng cho Nghiên cứu 1 vì nó
phù hợp cho việc thu thập thông tin từ số lượng lớn các trường hợp
Trang 13Thiết kế nghiên cứu trường hợp cụ thể được sử dụng cho Nghiên cứu
2 vì nó phù hợp cho câu hỏi nghiên cứu “cái gì?” và “như thế nào?”, kết hợp với phương pháp phỏng vấn điều trị
3.2 Đối tượng nghiên cứu
Với Nghiên cứu 1: Một nghiên cứu thử nghiệm được tiến hành trên
78 HS thuộc hai lớp 10 của trường THPT Lê Lợi, tỉnh Gia Lai vàtrường THPT Phong Điền, thành phố Huế Thực nghiệm chính thứcđược được tiến hành trên 326 HS thuộc tám lớp 10 của năm trườngTHPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế
Nghiên cứu 2: Chúng tôi chọn tám HS lớp 10 T2 trường THPT Quốc
Học cùng với hai GV đang giảng dạy môn Toán cho lớp này làm đốitượng thực nghiệm Các HS sẽ được chia thành từng cặp cùng làmviệc trên một máy tính Hai GV sẽ theo dõi quá trình làm việc của hainhóm HS đồng thời tiến hành phỏng vấn khi cần thiết
3.3 Công cụ nghiên cứu
Với Nghiên cứu 1: Một công cụ nghiên cứu đặc biệt dành riêng cho
nghiên cứu này là Bộ câu hỏi gồm các nhiệm vụ liên quan đến khámphá quy luật dãy số được chúng tôi thiết kế với một số tiêu chí sau:
(1) Số lượng các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi: Bộ câu hỏi sẽ có
sáu nhiệm vụ được chia thành hai Tập câu hỏi, mỗi Tập câu hỏi
có ba nhiệm vụ và được hoàn thành trong thời gian 30 phút
(2) Loại quy luật: Bộ câu hỏi sẽ có hai nhiệm vụ liên quan đến dãy
số theo quy luật hàm số bậc nhất và bốn nhiệm vụ còn lại liênquan đến các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai
(3) BDTQ mô tả dãy số: Để có sự thống nhất trong các nhiệm vụ
của Bộ câu hỏi, chúng tôi sử dụng một dạng BDTQ duy nhất làcác hình vuông tượng trưng cho các tấm bìa (hay các viên gạch)
