Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính

Một số dạng bài tập quan trọng về không gian Euclid trong môn đại số tuyến tính 2 góp phần ôn tập kiểm tra cuối kì. Ngoài việc đưa ra lời giải cho từng ví dụ, tài liệu này còn đưa cách thức tính toán kết quả cho từng ví dụ trên phần mềm Maple. Phạm Thị Thu Hà Đại học Giáo Dục Đại học Quốc gia Hà Nội.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Khoa Toán - Cơ - Tin học

BÀI TẬP LỚN

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ KHÔNG GIAN

EUCLID TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Thu Hà

Môn học: Thực hành Tính toán Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển

HÀ NỘI - 2015

LỜI NÓI ĐẦU 2

LỜI NÓI ĐẦU

Hơn hai nghìn năm nay, Toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trítuệ của con người, ứng dụng vào hầu hết các ngành khoa học và là nền tảngcủa nhiều lý thuyết khoa học quan trọng Plato khẳng định: Chỉ trong Toánhọc chúng ta mới có thể có được những tri thức tuyệt đối khách quan Hơnnữa, Toán học còn là khung xương vững chắc của rất nhiều ngành khoa học.Toán học giống như chiếc chìa khóa vạn năng, nắm được chiếc chìa khóa ấy

có nghĩa là đã nắm được công cụ vững chắc cho việc học, nghiên cứu tất cảcác lĩnh vực khoa học Cũng chính vì thế mà việc thúc đẩy sự phát triển củaToán học sẽ góp phần thúc đẩy nền khoa học nói chung phát triển Latex,maple lại là công cụ tuyệt vời cho người làm toán, học toán Chúng hỗ trợcho chúng ta việc tính toán, và tạo ra các văn bản khoa học nói chung, vănbản toán nói riêng, một cách chuyên nghiệp Rõ ràng, con người có thể làmtất cả, các phần mềm có khả năng xử lý mạnh mẽ đến mấy thì cũng do conngười tạo ra Tuy nhiên, tốc độ tính toán và khả năng tính nhiều phép toáncùng một lúc của con người lại giới hạn Vì vậy, máy móc hỗ trợ đắc lực chochúng ta trong những trường hợp như thế Có thể nói, maple và Latex làchiếc chìa khóa vàng đóng góp vào sự phát triển của khoa học nói chung,toán học nói riêng

Maple là một công cụ tính toán vô cùng hữu ích Nó có thể giải rất nhiềuloại phương trình từ bậc thấp đến bậc cao, các hệ phương trình, các phươngtrình vi phân, thực hành tính toán trên các ma trận, các vector, và rất nhiềunhững chức năng khác

Latex là một công cụ cho phép chúng ta tạo ra các văn bản toán một cáchnhanh chóng, thuận tiện, gọn gàng Tất cả những gì chúng ta cần là nhữnggói lệnh, dòng lệnh, các ký hiệu toán học sẽ nằm ngay ngắn trong file pdfmột cách đáng kinh ngạc

Trong thời lượng ngắn ngủi của môn học, em xin phép được sử dụng

Latex, trình bày một góc nhỏ của không gian Euclid, cụ thể là: "Một số dạng

bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính"

Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS NguyễnHữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắc mắc của

em khi cần thiết để em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Nhờ có nhữngbài giảng của thầy mà em được tiếp cận những phần mềm tuyệt vời nhưMaple và Latex

Bài tập lớn này vẫn còn rất nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được ýkiến đóng góp của thầy và các bạn Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ Email:phamthithuha7@gmail.com

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!

LỜI NÓI ĐẦU 3Sinh viên trình bày: Phạm Thị Thu Hà

Lớp: K58 Sư phạm toán

Mã sinh viên: 13010049

MỤC LỤC 4

Mục lục

1.1 Maple là gì? 5

1.2 Các chức năng chính 5

2 Giới thiệu về Latex 6 2.1 Latex là gì? 6

2.2 Tại sao dùng Latex? 6

3 Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính 7 3.1 Dạng 1 7

3.2 Dạng 2 9

3.3 Dạng 3 11

3.4 Dạng 4 13

3.5 Dạng 5 14

3.6 Dạng 6 16

3.7 Dạng 7 17

3.8 Dạng 8 18

3.9 Dạng 9 20

3.10 Dạng 10 22

3.11 Dạng 11 23

4 Kết luận 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

1 Giới thiệu về Maple 5

1.1 Maple là gì?

Maple là một phần mềm Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo(Canada) và đại học kỹ thuật Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thươngmại đầu tiên năm 1985 Qua nhiều phiên bản, giao diện của Maple mỗingày một thân thiện hơn đối với người sử dụng Maple cung cấp rất nhiềucông cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đạihọc Ngày nay, rất nhiều nước trên thế giới sử dụng maple trong học tập,giảng dạy

1.2 Các chức năng chính

Maple có tính ứng dụng cao trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật.Một số chức năng của Maple được nêu ra dưới đây:

1 Thực hiện các phép tính khổng lồ trong thời gian ngắn

2 Ngôn ngữ lập trình thân thiện, có khả năng tương tác với các ngônngữ lập trình khác

3 Các gói lệnh của Maple rất đa dạng: Dữ liệu rời rạc forms), Hình học giải tích (geometry), Phương trình vi phân ( DEtools),Giải tích (student), Lý thuyết số ( numtheory),Vẽ đồ thị ( plots), Đại sốtuyến tính ( linalgs),

(DiscreteTrans-4 Vẽ đồ thị và làm hoạt hình đồ thị, các đồ thị này có thể được đặt trongnhiều hệ tọa độ khác nhau, lại có thể lưu ra file ảnh để đưa vào tex,làm tăng thêm tính sinh động cho các văn bản khoa học

5 Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với cáclớp học tương tác trực tiếp

6 Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học

2 Giới thiệu về Latex 6

2 Giới thiệu về Latex

2.1 Latex là gì?

Latex là một hệ thống soạn thảo phù hợp với việc tạo ra các tài liệu khoahọc và toán học với chất lượng bản in rất cao Nó cũng phù hợp với việcsoạn thảo nhiều kiểu văn bản, từ thư từ, bài báo, đến những cuốn sách hoànchỉnh

2.2 Tại sao dùng Latex?

Cũng là soạn thảo văn bản, Latex có gì đặc biệt hơn so với các phần mềmkhác?

1 Khi soạn thảo các lá thư, các bài báo thì Microsoft word là công cụthân thiện, dễ tiếp cận với tất cả mọi người Nhưng soạn thảo các vănbản khoa học với các kí hiệu chuyên ngành và công thức lại khôngphải là điều đơn giản Cụ thể, đối với các văn bản toán học, chúng tahoàn toàn có thể sử dụng Mathtype hỗ trợ soạn các công thức toánhọc trên word Nhưng việc cứ phải ấn vào từng loại công thức, điềntừng thông số vào các vị trí thích hợp lại ngốn quá nhiều thời gian nếuchúng ta soạn thảo các văn bản dài Chỉnh sửa hình thức các văn bảnkhoa học sao cho chuẩn bằng word cũng không phải là điều dễ dàng.Trong khi đó, Latex lại khắc phục được tất cả những nhược điểm trên.Chúng ta hoàn toàn có thể tạo ra các công thức đẹp và chuẩn chỉ bằngviệc gõ các lệnh, copy các lệnh từ đoạn này sang đoạn kia của văn bản.Với Latex, thời gian soạn thảo sẽ được rút ngắn rất nhiều

2 Chúng ta có thể tạo ra và tham chiếu đến một danh sách tài liệu thamkhảo rất lớn nhờ sử dụng Bibtex

3 File nguồn của Latex lưu ở dạng kí tự ASCII (file.tex) nên rất nhỏ,không tốn bộ nhớ Sau khi biên dịch file nguồn, Latex tạo ra kết quả

có thể là file.pdf (Adobe Portable Document Format), ps (PostScript),hoặc dvi (De-vice Independent format)

4 Hiện nay trên thế giới có rất nhiều cá nhân và tổ chức sử dụng TEX

3 Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính 7

3 Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính

1 0

3.1 Dạng 1 8Kết quả cho ra (= 0) cũng giống như phần tính toán thủ công.

1 0

1 0

b = 310

Chú ý:Không thể dùng lệnh >dotprod(ui,uj) để tính tích vô hướng của

uivà uj Vì lệnh đó trong Maple dùng để tính tích vô hướng thông thường.Trong trường hợp bài tập này, tích vô hướng được định nghĩa một cách riêngbiệt

3.2 Dạng 2

Trong không gian Euclid E với tích vô hướng thông thường, cho 3 vector:

x = (1,1,1,1) , y = (2,2,-2,-2), z =(−12,12,−7

2,72)

1 Chứng minh rằng: hệ x,y,z là hệ trực giao

2 Bổ sung vào hệ đã cho thêm 1 vector để có một cơ sở trực giao của E

3.3 Dạng 3 11

Bài tập dưới đây cùng dạng với bài trên:

Cho x= (0, 1, 1, 1), y= (3,−2, 1, 1), z= (3, 3,−4, 1)

1 Chứng minh rằng: x,y,z là một hệ trực giao

2 Bổ sung vào hệ đã cho thêm 1 vector để có một cơ sở trực giao củakhông gian

1 Tìm cơ sở, số chiều của U, V, U + V

2 U và V có trực giao với nhau không? Vì sao?

U là không gian sinh bởi u: U =L(u)

V là không gian sinh bởi v1, v2: V = L(v1, v2)

3.3 Dạng 3 12Suy ra: U+V = L(u, v1, v2)

3.4 Dạng 4 13Suy ra:

m m−1



trực giao với nhau

2 Với m tìm được, hãy kiểm chứng định lý Pitago

3.5 Dạng 5 14

A=0 −1

, B=1 0

3.5 Dạng 5 15Tập nghiệm của hệ là:{(−x3,−x4, x3, x4)t, x3 6=0, x4 6=0

Suy ra: Một cơ sở của U là:

1 Trực giao hóa cơ sở{u1(2, 2,−1), u2(4, 1, 1), u3(1, 10,−5)}củaR3.

Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ta làm như sau:

3).

>basis({u1, u2, u3});

{u1, u2, u3}

>GramSchmidt([u1, u2, u3], normalized);

b−2c+d=0Tương tự như cách giải hệ phương trình ở trên (Giải bằng phương phápkhử Gausse hoặc có thể dùng lệnh solve trên Maple), ta được:

Cụ thể, ý tưởng của những câu lệnh trên được trình bày lại như sau:

Gọi u= xα1+yα2+zα3là hình chiếu trực giao của α lên U.

→u= (x+y+z, x+2y, x+2y, x−y+3z)

→α−u=u⊥ = (4−x−y−z,−1−x−2y,−3−x−2y, 4−x+y−3z)

3.10 Dạng 10 22

3.10 Dạng 10

Tìm khoảng cách giữa 2 phẳng α+Uvà β+V Trong đó:

α = (4, 5, 3, 2), β= (1,−2, 1,−3)

Không gian con U sinh bởi các vector: u1(1, 2, 2, 2), u2(2,−2, 1, 2)

Không gian V sinh bởi các vector: v1(2, 0, 2, 1), v2(1,−2, 0,−1)

3.11 Dạng 11 23với:

Tìm ma trận của tự đồng cấu liên hợp ϕ∗trong cùng cơ sở:(f1, f2)

Qua quá trình soạn thảo báo cáo này, em nhận thấy Latex là một công cụ

vô cùng thuận tiện cho việc soạn thảo các ký hiệu, công thức toán học Hơnnữa, giữa Maple, Latex và Mathtype lại có thể chuyển đổi qua lại nên việcsoạn thảo các ký hiệu, công thức trở nên dễ dàng hơn bao giờ hết

Ngày nay, người học toán, làm toán chú trọng lý thuyết nhiều hơn Cácphép tính toán ngày càng trở nên không cần thiết Chính vì thế, Maple sẽthay chúng ta thực hiện những phép toán này với độ chính xác tối đa Nhưvậy, chính Maple đã rút ngắn thời gian học toán, dạy toán, nghiên cứu toán,

và do đó cũng thúc đẩy cho nền toán học phát triển nói riêng và nền khoahọc nói chung

Maple và Latex là sự lựa chọn hoàn hảo cho tất cả những người học toán,làm toán, dạy toán, nghiên cứu toán trên toàn thế giới

[4] Các tài liệu về Latex:

• Soạn tài liệu khoa học với Latex

(https://tanphong.wordpress.com/latex/mot-so-lenh-latex-• Bài 4: Công thức toán (Diễn đàn toán học)

(http://diendantoanhoc.net/topic/89372-bai-4-cong-th%E1%BB%A9c-toan/ )