Đề thi học sinh giỏi toán 10 có đáp án chi tiết

Gọi I là giao của AN và CM.. Chứng minh BI vuông góc với CM.. Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho AB3AE , điểm F thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E.. Tìm tọa độ các đỉnh của

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 10

NĂM HỌC : 2015 – 2016

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1 (2.0 điểm) Cho phương trình : 3   2  2   

x  m x  m  m x m m  Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1

Câu 2 (1.5 điểm) Giải phương trình : 2

x   x x  x

Câu 3 (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :

3

3

x y

y

x y

y











Câu 4 (1.5 điểm) Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M,

N sao cho 1 , 1

AM  AB BN  BC Gọi I là giao của AN và CM Chứng minh BI vuông góc với CM

Câu 5 (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có

CD AB AD Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho AB3AE , điểm F thuộc đoạn

BC sao cho tam giác DEF cân tại E Biết E 2;4 , đường thẳng EF có phương trình

2x  y 8 0 và đỉnh D thuộc đường thẳng 3x  y 8 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình

thang ABCD

Câu 6 (1.0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 6 Tìm giá trị lớn

4 3 55 94 38 5 

abc ab bc ca Q



- HẾT -

THÁNG 04 NĂM 2016

ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 10

THÁNG 04 NĂM 2016

x  m x  m  m x m m  Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1

x  m x  m  m x m m 

2

2

x





2

x m

x m

 



  

   2

1

m

ĐK bài toán

1

1 2

m

m m

m

  



2.0

x   x x  x

ĐK : 1  x 7

Cách 1 :

3 0

x tm x



 

Cách 2 :

* 4 x 6x 9 x 1 4 x 1 4  7 y 4 7 y 4 0

 

2

3 0

x

x

 







Cách 3 : Liên hợp 2 lần

1.5

Câu 3

Giải hệ phương trình :

 

3

3

x y

y

x y

y











ĐK : y 0, 3x y 0

y



1

2 1 3 2 1

1



 

 



Đặt

1

x a y

b y

 





 



, ta có hệ

2

2

1 2

a a ab

a a







 



 



2

2

0

4 2

y y

y

y



















Thử lại chỉ có    x y;  0;2 thỏa mãn

0

a a

a

  



Thay vào  1 được 2x2    x x 4 y 4

Kết luận : Hệ đã cho có hai nghiệm        x y;  0;2 , x y;  4;4

1.5

Câu 4 Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N

AM  AB BN  BC Gọi I là giao của AN và CM Chứng minh

BI vuông góc với CM

1.5

Gọi O là trung điểm của AC ACOB

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho O   0;0 ,C 1;0 ,B 0; 3

Phương trình CM : 3x5y 30 ; AN: 3x2y 30

Tọa độ I là nghiệm của hệ 3 5 3 0 3 2 3;

7 7

x y

I

x y



Ta có 5; 1 , 3 5 3;

CM IB     CM IB

Lưu ý : Thí sinh có thể chứng minh vuông góc theo sơ cấp hoặc

phương pháp véc tơ

Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có

CD AB AD Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho AB3AE , điểm F thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E Biết E 2;4 , đường thẳng

EF có phương trình 2x  y 8 0 và đỉnh D thuộc đường thẳng

3x  y 8 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD

y

x

I

O

B

N

M

1.5

Gọi P là điểm đối xứng với D qua A Do BA AD AP nên DBP

vuông tại B, DBC vuông tại B, suy ra P, B, C thẳng hàng Vì

EPEDEF nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp PDF

AED DFP DEBF

   nội tiếpDEF DBF 900

DE EF

Phương trình DE x: 2y  6 0 D2;2

DE  AD AE  AE AE 

A a  a AE  A

 

Câu 6 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 6 Tìm giá trị lớn nhất

4 3 55 94 38 5 

abc ab bc ca Q



Đặt

, , 0

6

x y z

x y z







x y z

a b c Q

x y y z z x

a b b c c a

2

3

2

2

x y z Q

y z x y x z

x y x z Q

y z x y x z

x y y z z x

1.0

P

E

F

8

.6

3 16

x y y z z x

x y z Q

     

 

Dấu = xảy ra khi       3 5

x y z   a b c  

16

maxQ đạt được khi a b c; ;   2;2;2