skkn rèn luyện kỹ năng giải toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Trong chương trình môn Hình học lớp 12 – Ban cơ bản, mảng kiến thức về tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chiếm một vị trí quan trọng, thường

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự tư duy rất lớn với một sự lập luận chặt chẽ và logic Để có được những kỹ năng đó, đòi hỏi học sinh cần phải có một vốn kiến thức cơ bản về toán học phổ thông Tuy nhiên, thật tế cho thấy đa số học sinh thường hay lúng túng và lập luận thiếu chặt chẽ khi đứng trước một bài toán nào đó, thậm chí các em

bị bế tắc không tìm được lời giải khi đối diện với một bài toán Một mặt, do các em thiếu

kỹ năng về phương pháp trình bày Mặt khác, do các em chưa nắm chắc về phương pháp giải, hoặc đã nắm rõ phương pháp nhưng chưa phân loại được bài toán để áp dụng phương pháp giải phù hợp

Trong chương trình môn Hình học lớp 12 – Ban cơ bản, mảng kiến thức về tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chiếm một vị trí quan trọng, thường được ra trong các đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ hằng năm Mặc dù, sách giáo khoa Hình học 11 – Ban cơ bản đã nêu rõ khái niệm thế nào

là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, nhưng để xác định được khoảng cách đó đòi hỏi học sinh cần có những kỹ năng và phương pháp giải toán nhất định

Để giải các bài toán liên quan đến tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, một mặt chúng ta có thể sử dụng định nghĩa để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng Mặt khác, chúng ta có thể sử dụng tính chất để quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Tuy nhiên, qua nhiều năm thực tế giảng dạy, khi đứng trước bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh thường hay lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết bài toán như thế nào Do vậy, để nâng cao kỹ năng giải toán đối với dạng toán này, tôi đã mạnh dạng xây dựng cho học sinh các phương pháp giải, cũng như hình thành cho các em những kỹ năng đối với những phương pháp đó Tất cả những nội dung này đều được thể hiện trong đề tài sáng

kiến kinh nghiệm : “ Rèn luyện kỹ năng giải toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian”.

2 Mục đích của đề tài:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cho học sinh các phương pháp và kỹ năng giải dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

3 Đối tượng và phạm vi của đề tài:

Học sinh khối 12 trường THCS & THPT Hà Trung

4 Phương pháp nghiên cứu:

4.1 Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy

4.2 Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong các năm học

5 Thời gian nghiên cứu:

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm được triển khai từ năm 2013

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Những vấn đề lý luận chung:

Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kỹ năng sống riêng Kỹ năng của con người không phải sinh ra là đã có mà được hình thành từ môi trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người

Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và khái quát hoá

Kỹ năng trong giải toán cũng có thể được hiểu như là những kỹ xảo, những thủ thuật trong quá trình giải toán Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành những thủ thuật đó là một điều thật sự cần thiết cho người học toán

Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán không chỉ mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống cụ thể, công việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp của một sự vật, hiện tượng

Đối với bộ môn hình học không gian, để tiếp thu được nó đòi hỏi học sinh phải có

sự tư duy trừu tượng tốt và để giải quyết những bài toán liên quan đến tính toán trong hình học không gian thì học sinh cần phải có vốn kiến thức liên quan đến kỹ năng tính toán, như: Hệ thức lượng, tỷ số lượng giác trong tam giác vuông; Định lý Ta-let trong hình học phẳng; Tam giác đồng dạng; Định lý côsin,

Theo hình học không gian lớp 11 – Ban cơ bản, thì khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau  1 ,  2 là đoạn thẳng MN với M   1, N  2, MN   1 và MN   2

Khi đó, đường thẳng MN còn gọi là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau

2

1 , 

Ta lại có tính chất: “Với hai đường thẳng chéo nhau thì luôn có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”

Với khái niệm và tính chất trên thì để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chúng ta thường: Xác định đường vuông góc chung hoặc xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia Và trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này chúng ta cùng bàn về những kỹ năng để giải quyết các vấn đề trên

2 Thực trạng của vấn đề:

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy các lớp 11 và 12 (Cơ bản) tôi nhận thấy rằng nếu giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa thế nào là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và nêu cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau như sách giáo khoa Hình học 11 – Ban cơ bản, thì học sinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa có kỹ năng trong việc xác định, cũng như các bước để giải quyết vấn

đề Điều đó được thể hiện khá rõ khi các em giải các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong sách giáo khoa, trong bài kiểm tra định kỳ môn Hình học

12, trong các đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ Nguyên nhân của việc ngại va chạm với dạng toán này, một mặt là do các em không nắm chắc khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và các tính chất liên quan Mặt khác, do các em thiếu kỹ năng giải toán,

kỹ năng nhận dạng và các bước tiến hành trong quá trình trình bày lời giải

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Với những nguyên nhân mà tôi đã nêu ở trên thì việc yêu cầu học sinh nắm chắc khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và xây dựng cho các em các kỹ năng, các phương pháp giải, các bước tiến hành là điều cần thiết

Hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể là: vuông góc với nhau hoặc không vuông góc với nhau Vì vậy, để tính khoảng cách giữa chúng chúng ta có thể sử dụng hai phương pháp chính sau đây:

Phương pháp 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau

Phương pháp 2: Xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với

đường thẳng kia

Bây giờ chúng ta xét đến những kỹ năng riêng và những ví dụ minh họa trong từng phương pháp cụ thể

PHƯƠNG PHÁP 1: XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

Phương pháp này thường được sử dụng khi hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau Khi đó để xác định đường vuông góc chung của a và b ta tiến hành

theo các bước:

Bước 1: Xác định mặt phẳng   a và

  b

Bước 2: Xác định giao điểm I b  , vẽ

a

IH  (H  a) Khi đó, IH là đoạn vuông góc chung của a và b.

Bây giờ ta phân tích một số ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều OABC có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng OA và BC theo a.

* Phân tích bài toán:

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì OBCvà ABC đều nên:

OA BC OIA BC BC AI BC OI

















) (

Do đó, BC và OA là hai đường thẳng chéo

nhau và vuông góc với nhau

Hơn nữa: (OIA ) OA và (OIA ) BC

Ta có: I BC(OIA) Nên từ I kẻ

OA

IH  , thì: d(OA,BC) IH

* Lời giải bài toán:

Theo phân tích trên ta có: d(OA,BC) IH

Vì IAO cân tại I nên H là trung điểm của OA

Ta có:

2

3

a

OI  ; OH 2a

Trong tam giác vuông OHI, ta có:

2

2 2

4 4

2 2

IH a

a a OH OI

IH       

Vậy d(OA,BC) IH a22

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH  a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.

(ĐH_A_2010).

* Phân tích bài toán:

Vì AMD DNC DM CN

Mặt khác: DM SH  DM (SNC)

SC

DM 

Như vậy, DM và SC là hai đường thẳng

chéo nhau và vuông góc với nhau

Hơn nữa: (SNC ) SC và (SNC ) DM

Ta có: H DM (SNC)

Do đó, từ H kẻ HK  SC thì:

d(DM,SC) HK

* Lời giải bài toán:

Theo kết quả phân tích trên thì ta đã có: d(DM,SC) HK

Hơn nữa:

5

2 2

2

1 2

2 2

DM

a CH a

DM CH a

S S

S

SCMD  ABCD AMD  BMC      

Trong tam giác vuông SHC, ta có:

19

3 2 12

19 1

1 1

2 2

2 2

a HK a

SH CH

HK     

Vậy

19

3 2 ) ,

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên

SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.

* Phân tích bài toán:

Gọi H là trung điểm của BC

Vì SBCđều, nên: SH  BC

Mà: (SBC)  (ABC)  SH  (ABC)

Vì ABC vuông cân tại A, nên:

BC

AH 

SA BC SAH

BC   

Như vậy, BC và SA là hai đường thẳng

chéo nhau và vuông góc với nhau

Hơn nữa, (SAH ) SA và (SAH ) BC tại

H, nên nếu gọi K là hình chiếu của H lên

SA thì: d(SA,BC) HK

* Lời giải bài toán:

Theo kết quả phân tích trên thì ta đã có: d(SA,BC) HK

Ta có:

2

3

a

SH  ;

2 2

a BC

AH  

Trong tam giác vuông SHA, ta có:

4

3 3

16 1

1 1

2 2 2

2

a HK a

AH SH

Vậy

4

3 )

,

* Nhận xét:

Phương pháp 1 chỉ thuận lợi đối với trường hợp hai đường thẳng chéo nhau là vuông góc với nhau, và trong dạng toán này việc xác định đường vuông góc chung cũng như tính toán khoảng cách tương đối thuận lợi Tuy nhiên, các bài toán thuộc dạng này chúng ta thường ít gặp, mà hay gặp nhất là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà chúng không vuông góc Sau đây ta sẽ xét phương pháp giải đối với dạng toán này

PHƯƠNG PHÁP 2: XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG CHỨA ĐƯỜNG THẲNG NÀY VÀ

SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KIA.

Để thực hiện phương pháp này chúng ta có thể tiến hành theo hai bước sau:

Giả sử bài toán yêu cầu tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Bước 1: Xác định mặt phẳng   a và   //b(Thông thường ta phải xác định hay

tạo ra mp  sao cho thuận lợi để thực hiện bước 2)

Bước 2: Tìm một điểm I  b và xác định hình chiếu H của I lên  

Khi đó: d(a,b) d(I, (  )) IH

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, học sinh thường hay lúng túng và gặp khó khăn ở bước 2 trong việc xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng Đối với những học sinh có năng khiếu về hình học không gian thì hầu như học sinh nào cũng nắm được khá rõ khái niệm thế nào là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng Tuy nhiên, các em chưa hiểu được rằng việc xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng không chỉ đơn thuần là thể hiện vị trí của điểm đó trên hình vẽ

mà ta cần phải chỉ ra được các tính chất của điểm hình chiếu, điểm hình chiếu có càng nhiều tính chất thì càng có lợi cho việc tìm lời giải bài toán Nói như vậy có nghĩa rằng, trên một đường thẳng học sinh cần phải biết chọn điểm nào phù hợp để sau khi xác định hình chiếu của nó thì điểm hình chiếu phải bộc lộ rõ các tính chất, phải gắn kết được với giả thiết của bài toán

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy, khi xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng tôi luôn nhấn mạnh với học sinh cần phải nắm chắc yếu tố sau đây:

Giả sử ta cần xác định: “ Hình chiếu H của một điểm nào đó nằm trên đường

thẳng a lên mặt phẳng   với a//  ” Khi đó học sinh có thể tiến hành theo các bước

sau:

Bước 1: Tìm hay tạo ra một điểm I

nào đó nằm trên đường thẳng a sao cho có

một mp  chứa I và    (  ).

Bước 2: Xác định giao tuyến

   (  )



d Kẻ IH  d Khi đó: H là

điểm cần tìm

Bây giờ ta hãy xét một số ví dụ cụ thể có dạng toán thuộc phương pháp 2 này

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, ABBC  2a;

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

(ĐH_A_2011).

* Phân tích bài toán:

Rõ ràng SN và AB là hai đường thẳng chéo nhau mà không vuông góc Bởi vì, nếu:

SM AB ABC

AB

AB

SN    ( )   (Vô lý, vì khi đó SAM có hai góc vuông)

Bây giờ ta xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia:

Qua điểm N vẽ đường thẳng  sao cho  //AB Gọi (  ) là mặt phẳng chứa SN

và  Khi đó: AB//(  ), nên: d(SN,AB) d(AB, (  ))

Tiếp theo ta xác định hình chiếu của một điểm trên đường thẳng AB lên mp(  ):

Trong mp ( ABC)từ A kẻ AD tại D Khi đó: (SAD)  (  ) Như vậy, điểm

AB

A  và A nằm trong mp (SAD)vuông góc với (  ), nên theo cách xác định hình chiếu

của một điểm lên một mặt phẳng nêu trên thì ta chỉ cần vẽ hình chiếu H của A lên đường giao tuyến SD của mp (SAD) và (  ) là đã chỉ ra được khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau SN và AB, đó chính là đoạn AH

* Lời giải bài toán:

Theo phân tích trên ta có:

AH A

d AB

d AB SN

d( , )  ( , (  ))  ( , (  ))  Hơn nữa: ADMN a

Theo giả thiết ta có: S BˆA  60 0 (Vì

A B

S ˆ là góc của hai mặt phẳng (ABC) và (SBC))

Trong tam giác vuông SAB, ta có:

3 2 60 tan 60

AB

SA







 Trong tam giác vuông SAD, ta có:

13

3 2 12

13 1

1 1

2 2

2 2

a AH a

SA AD

Vậy

13

3 2 ))

( , ( )) ( , ( ) ,

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2 HB Góc

giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau SA và BC.

(ĐH_A_2012).

* Phân tích bài toán:

Ta nhận thấy: SA và BC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc.

Thật vậy, nếu: SABC BCSM  SBC cân tại S (M: trung điểm BC)

SHC SHB

SC

DB    



3

a HB

HC  

Mặt khác, nếu gọi I là trung điểm của AB thì: HI  a6;

2

3

a

IC 

Do đó:

3

7 9

7 2 2 2

HC a

IC HI

HC      (2)

Từ (1) và (2) ta thấy vô lý Do đó: SA không thể vuông góc với BC.

Bây giờ ta xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia:

Kẻ AE // BC và AE BC a Khi

đó, tứ giác ACBE là hình thoi và

)

//(SAE

BC , nên:

)) ( , ( ) , (SA BC d BC SAE

Tiếp theo ta xác định hình chiếu của một điểm trên đường thẳng AB lên

) ( 

mp :

Trong mp ( ABC)từ H kẻ HN  AE tại N, gọi K HNBC Khi đó:

) ( ( ) (SNK SNK SAE AE

SH AE HN AE

















Như vậy, điểm K  BC và K nằm trong mp (SNK)vuông góc với (SAE), nên theo cách xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng nêu trên thì ta chỉ cần vẽ hình

chiếu F của K lên đường giao tuyến SN của mp (SAE) và mp (SNK) là đã chỉ ra được

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC, đó chính là đoạn KF.

Do đó: d(SA,BC) d(BC, (SAE)) KF

* Lời giải bài toán:

Theo phân tích trên thì ta đã có: d(SA,BC) d(BC, (SAE)) KF

Vì ACBE là hình thoi, nên:

3

3 2

3 3

2 60 sin 60

sin 60

HA HN HA

HN N

A

Tương tự, ta có:

6

3 2

3 3 60 sin 60

sin 60

HB HK HB

HK K

B

Do đó:

2

3 6

3 3

a HK NH

KN     

Mặt khác:

3

7

a

HC  , S CˆH  60 0, nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

SCH, ta có:

3

21 3

3

7 60

tan 60

CH

SH











Vì NFK đồng dạng với NHS , nên: FK NK SN SH

SN

NK SH





