Phương trình và bất phương trình lượng giác NXB đại học quốc gia 2013

LỜI NĨI ĐẦU  PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Đối với các học sinh cấp III nĩi chung – và nhất là các bạn đang trong kỳ ơn luyện chuẩn bị thi vào các trường Đại học – Cao đẳ

VÕ ĐẠI MAU

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

LỜI NĨI ĐẦU



PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Đối với các học sinh cấp III nĩi chung – và nhất là các bạn đang trong kỳ ơn luyện chuẩn bị thi vào các trường Đại học – Cao đẳng … thì Lượng giác là một trong những phân mơn tốn học khĩ Trong chương trình cải cách giáo dục cấp III, Lượng giác cĩ vai trị khá quan trọng, được đề cập khá nhiều trong bộ đề tuyển sinh Đại học mới và là một trong ba phần bắt buộc

Nhằm giúp các em học sinh và các bạn yêu tốn khác chuẩn bị tốt cho các kì thi cuối cấp và Đại học, chúng tơi đã cố gắng sưu tầm, biên soạn phân mơn tốn lượng giác Sách chủ yếu hướng dẫn phương pháp để các bạn cĩ thể tự học, tự rèn tốt hơn trong sự đa dạng phương pháp của nĩ

Cùng với cuốn Phân loại các bài tốn lượng giác, Phương pháp

giải, là cuốn cĩ tính chuyên đề: Phương trình và bất phương trình lượng giác – Sách giúp các bạn phân loại các dạng tốn cùng các

phương pháp giải đặc biệt để dễ nhớ, dễ thực hành

Do tính đa dạng của phân mơn, nên dù cĩ nhiều cố gắng trong biên soạn, chúng tơi cũng khơng tránh khỏi những thiếu sĩt Rất mong các em học sinh, các bạn yêu tốn, các đồng nghiệp gĩp ý để phục vụ bạn đọc tốt hơn

Chúc các em học giỏi và đạt kết quả tốt trong kì thi tới.

Tác giả VÕ ĐẠI MAU

MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG CẦN GHI NHỚ TRƯỚC KHI GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ I

1 Chú ý 1: Về phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

NHỚ BUỘC ĐIỀU KIỆN MẪU SỐ KHÁC 0

a Nếu phương trình có ẩn là tgx hoặc có chứa cosx ở mẫu số thì

ta phải buộc điều kiện:



cos x 0 x k , k Z

2(hoặc x   k2 hoặc x (2k1), kZ)

2 Chú ý 2: Về phương trình vô tỉ

Nếu phương trình có chứa căn thức bậc chẵn thì nhớ buộc điều kiện biểu thức nằm trong căn thức không âm

3 Chú ý 3: Về việc dùng ẩn số phụ

Có một số phương trình ta phải dùng ẩn số phụ thì mới giải được hoặc thuận tiện cho quá trình giải

Nhớ buộc điều kiện cho ẩn số phụ, nghĩa là tìm miền xác định D của các biểu thức có mặt trong phương trình theo đối số mới

– Khi đặt t = tgx + cotgx thì t  2

– Khi đặt u = sinx + 2sin x2 thì sao?

Ta có sinx   1,1 sin x2 0;1  2sin x  1 2

4 Chú ý 4: tìm giao của các tập nghiệm

Giả sử khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao của 2 tập nghiệm E1, E2

– Nếu E1E2 Ethì E là tập nghiệm phải tìm

– Nếu E1 E thì E2 1E2 E1 EE1

– Nếu E2 E thì E1 1E2 E2  EE2

– Nếu E1E2  : phương trình vô nghiệm

ví dụ: a/ Giải phương trình

cos3x + 2cos 3x2 2(1 sin 2x) 2 (1)

Quá trình giải: (1)  





cos3x 1sin2x 0

có mấy cách để xác định nghiệm của hệ (*)

– Cách 1: Dùng phương pháp liệt kê các phần tử của các tập nghiệm E1 và E2 Trên cơ sở đó, ta xác định tập

– Tìm trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của những cung thuộc tập E1 và thuộc E2, chọn lấy những điểm ngọn chung Suy ra tập nghiệm E của phương trình đã cho

– Cách 3: Giả sử, ta có hệ (2)  





cos 3x 1sin 2x 0

(cos4x – cos2x)2 = 5 + sin 3x (1)

dẫn đến hệ   

 



sin x 1sin 3x 1 (2)



4 3



Giả sử phương trình đã cho có 2 tập nghiệm là E1 và E2 Ta phải tìm E = E1  E2

– Nếu E1 E thì E2 1E2  E2  E E2

– Nếu E2 E thì E1 1E2 E1  EE1

– Nếu E1E2   EE1E2

– Nếu E1E2 E ' EE1(E \ E ')2

ví dụ: a/ Quá trình giải phương trình

sin2x + sin22x = sin23x + sin24x (1)

dẫn đến (1) có 2 tập nghiệm

ví dụ: b/ Giải phương trình

cosx – 3 sinx = cos3x

Phương trình có 3 tập nghiệm

Có thể viết gọn lại:

ví dụ: c/ Giải phương trình: cos22x + cos23x =1 (1)

Phương trình có 2 tập nghiệm là

– Ghi những điểm ngọn của các cung thuộc tập E1 bằng những dấu  (tròn) và của các cung thuộc tập E2 bằng những dấu (vuông)

– Điểm ngọn nào có dấu vừa  vừa thì thuộc phần giao của 2 tập nghiệm E1 và E2

– Tất cả mọi điểm đều thuộc phần hợp, trong đó những điểm có

2 kí hiệu chỉ ứng với 1 nghiệm nên chỉ kể 1 lần Do đó khi đã lấy toàn tập E1 thì khi lấy tập E2 phải phân loại bỏ phần chung trong E2

ví dụ: d/ Giả sử ta có:

2(Rõ ràng là E2  E1 nên E1E2 E )2

+ E1 có 10 điểm ngọn tương ứng

+ E2 có 4 điểm Trong đó:

E2 có 2 điểm chung với E1 ứng với các cung x = m  , mZ

Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là:

VẤN ĐỀ: CÁC KIỂU, DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Điều làm cho học sinh băn khoăn là làm sao để giải được bất kì một phương trình lượng giác nào?

Đại để ta có thể phân loại các phương trình lượng giác thành mấy loại sau:

(1) Nếu phương trình có các số hạng cos2x và sinx:

thay cos2x = 1 – 2sin2x, ta được một phương trình bậc hai theo sinx (2) Nếu phương trình có các số hạng cos2x và cosx:

Thay cos2x = 2cos2x – 1, ta được một phương trình bậc hai theo cosx (3) Nếu phương trình có các số hạng tg2x và

2

1cos x: Thay   2

2

1

1 tg xsin x , ta được một phương trình bậc hai theo tgx (4) Nếu phương trình có các số hạng cotg2x và

2

1sin x:

2

1

1 cot g xsin x , ta được một phương trình bậc hai theo cotgx (5) Nếu phương trình có các số hạng sin3x và cosx:

Thay sin3x = 3sinx – 4sin3x, ta được một phương trình bậc 3 theo sinx (6) Nếu phương trình có các số hạng cos3x và cosx:

Thay cos3x = – 3cosx + 4cos3x, ta được một phương trình bậc 3 theo cosx

(7) Biến đổi phương trình đã cho thành dạng phương trình cổ điển Acosx + Bsinx = C

(8) Dạng toàn phương hay bậc 2 đối với sinx và cosx:

Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x + D = 0

(9) Dạng đối xứng đối với sinx và cosx:

A(cosx +sinx) + Bsinxcosx + C = 0

(10) Dạng đối xứng đối với tgx và cotgx:

A(tg2x + cotg2x) + B(tgx + cotgx) + C = 0

(11) Đưa về dạng phương trình tích số

(12) Phương trình dùng bất đẳng thức để giải

(13) Phương trình dạng

A2n + B2m + C2k = 0

Với n, m, k Z+

(14) Phương trình vô tỉ

(15) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Phương trình kèm theo một điều kiện

(16) Phương trình mũ

(17) Phương trình lôgarit

Mỗi phương trình có một phương pháp đặc trưng để giải Ngoài

ra còn có những phương pháp:

– Dùng giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất để giải

– Dùng đồng nhất thức

– Dùng ẩn số phụ hoặc dùng góc phụ

– Dùng đồ thị v.v…

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG ẨN SỐ PHỤ

Trong quá trình giải một phương trình nói chung và phương trình lượng giác nói riêng, có nhiều lúc để cho thuận tiện, ta phải đổi ẩn số Ẩn số mới là một biểu thức, một hàm số theo ẩn số ban đầu Khi đổi ẩn số như vậy, ta nhớ buộc điều kiện cho ẩn số mới đó

Thí dụ như khi giải phương trình bậc hai theo sinx hoặc cosx, ta đặt

t = sinx hoặc t = cosx thì – 1 t1

Nếu đặt t = sin x hoặc t cos x thì sao?

Gặp phương trình: a(sinx cos x)b sin x cos xc0

ta đặt t = sinx  cosx thì  2 t 2 Nhưng nếu bản thân x phải chịu một điều kiện nào đó thì t cũng thay đổi theo Thí dụ nếu     2  

(Các bạn xem chương phương trình vô tỉ, bài tập 78)

Nếu ta đặt t = acosx + bsinx thì sao?

Theo Bunhiacốpski, ta có:

t2 = (acosx + bsinx)2 (a2 b )(cos x2 2 sin x)2 a2 b2

  a2 b2 t a2b2

Nếu ta đặt t = tgx hoặc t = cotgx thì t   ( , ) chỉ cần nhớ x



(2k1)

2 với t = tgx và x  k  với t = cotgx, kZ

Giả sử ta đặt t = tgx + cotgx thì sao?

Các bạn cũng biết rằng

sin 2x2

Do  1 sin 2x 1 nên t 2  t2

Nói cách kháct 2 Với x k , k Z

2Hoặc: Cũng có thể dựa vào tính chất : tgx và cotgx là 2 đại lượng nghịch đảo nhau do đó: tgxcotgx  2 tgxcotgx 2 t  2

Ta đặt t = 3cosx + 4sinx   t [ 5, 5] (*)

Phương trình (1) trở thành  

Do đó ta có: 3cosx + 4sinx = 0  3cosx +4sinx = 5

a/ Giải phương trình 3cosx + 4sinx = 0 (2)

Ta có: (a)  cotgx = 1 x  k , kZ

4(b) uv tgx (8) mà u – v = 1 – cotgx

Ta suy ra: 2u = tgx – cotgx +1 = u2 +1 u2 2u10 u1

cos2x cos2y m 2   

(Theo Bộ Đề thi Tuyển sinh mới) Giải

 Ta biến đổi vế trái của (2) Ta có:

(2) 12 sin x2 12 sin y2  m  22 sin x2 2 sin y2 m

Do đó hệ (I) tương đương với hệ

2 2 sin x 2 sin y m

2

Ta dùng ẩn số phụ Đặt

u = sinx, v = siny với  1 u, v1

u v

u v

22

2m 3

uv2uv

18f (1) 0 2m 1 0 m

 Dùng phương pháp ẩn số phụ

Đặt u = sin(–2x), v = tg5y với y (2k1)  , kZ

10Và  1 u1

+ Giải hệ (a):

Thay v = – u vào (3) ta có: 2    3 21 

2Phương trình này có 2 nghiệm là: 1  2 2   6 2

 Phương trình (7) vô nghiệm

Do đó chỉ có 2 khả năng sau:

( 3 1)(1 cos t sin t) ( 3 1) sin t cos 2t

Tiếp theo, ta có thể thay

0

2 0

xy t

(4)t

x

x y y 1

1 tỨng với mỗi giá trị t0 (*), ta có 2 cặp giá trị (x,y), cùng lấy dấu (+) hoặc cùng lấy dấu (–)

Thay cặp số (x,y) vào (3), ta có:    

2

2 0

0 2

0

1 t

1 t 6t

 Xét trường hợp k  0 và n  0:

Như vậy: nếu k 0 và n  0 thì (*) không thỏa (5)

Do đó chỉ có 2 giá trị t1  , t2  

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Phương pháp đồ thị là phương pháp giải toán tương đối thông dụng Trong một số trường hợp, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị để giải và biện luận các phương trình hoặc bất phương trình lượng giác

= (sin x2 cos x)(sin x2 4 sin x cos x2 2 cos x)4 = 1 3sin 2x2

4

Do đó ta có: (1)   3 2 

1 sin 2x a sin 2x4

Đặt t = sin 2x với 0 t 1, ta có:  3 2 

1 t at4

t = 0 không phải là nghiệm của phương trình suy ra:  

2

4 3t

a4t (2) (2) có thể xem là phương trình độ điểm chung của đồ thị

Để (1) có nghiệm thì chỉ cần (I) cắt (C) trên nửa khoảng (0,1]

t 0 1 y’ –

y

+ 1

4 Bài toán có lời giải khi và chỉ khi  1

a4

m sin 2x4

(1)

cos 2x cos 2x (1’) Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 1

Ta có:   3 2 

(1 ') 1 sin 2x m sin 2x

4Đặt t = sin 2x, với –1 <t < 1, ta có: 4 – 3t2 = 4mt

Phương trình không thể có nghiệm t = 0 Do đó ta có:

(2) có thể xem là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C)

4t và đường thẳng (D): y = m, song song với trục hoành

Ta trở lại bài toán trên Điểm khác nhau của 2 bài toán này là: – Trong bài trên, ta đặt t sin 2x , với t(0,1]

– Trong bài này, ta đặt t = sin2x với t (–1,1)

Do đó bảng biến thiên sẽ khác và dĩ nhiên giá trị của tham số

m cũng sẽ khác đi

t –1 0 1

y

14 

Đề 9: Cho phương trình: cos 4 x + (1 – cosx) 4 = m (1)

a Giải phương trình khi m = 17

b Định tất cả các giá trị của m để phương trình vô nghiệm

Giải

 Đặt t = cosx – 1   1   1 

cos x t và 1 cos x t

t 0, y

8Bảng biến thiên:

t

3

2 0

12y’ – 0 +

y 17 1

1

8Phương trình (1) vô nghiệm khi đường thẳng (D) không cắt đồ thị (C) trên đoạn  

b Phương trình vô nghiệm khi:  1 

Đặt t = tgx + cotgx, với t 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tgx = cotgx =  1

Ta có: (1)  t2 mt10 t2 1 mt (2)

t = 0 không phải là nghiệm của (2) Do đó ta có:    2 t 1 m t (3)

(3) có thể xem là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C):    2 t 1 y t với đường thẳng (D): y =m , song song x’x Xem hàm số   1  y t với t 2 t    2 1 y' 1 t ; y’ = 0  t =  1 t  –2 –1 1 2 

y’ – 0 + 0 – y   5

2

5

2 

Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng (D) phải cắt đồ thị (C) trên đoạn t 2 Muốn vậy, ta phải có:

 5   5

a Khi m= 5

2 (D) cắt (C) tại điểm t = –2 tgx cotgx  1 x   , Z

4

b Phương trình có nghiệm khi  5

m 2

Đề 11: Chứng minh rằng nếu m 2 6 thì bất phương trình sau sẽ thỏa x  : cos2x + mcosx + 4  0 (1)

Giải

 Đặt t = cosx với –1 t 1 Ta có:

(1) 2t2 mt30  mt  2t2 3

Do đó ta có: khi m 2 6 thì cos2x +m cos x4 0 x

Đề 12: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

cos – cos

2

 – 1 = 0 với  (    , )

Giải

 Đặt x = tg

2, với x   ( , ) Phương trình đã cho trở thành:

x 1(C) : y

x 1

và đường thẳng (D) : y= mx+1

Nhận xét rằng (D) đi qua điểm A (0,1) thuộc (C) và có hệ số góc m (D) tiếp xúc (C)  (*) có nghiệm kép  hệ sau có nghiệm:

Theo đồ thị (mời các em tự vẽ) , ta có:

– Khi m< –1 hoặc m >1 hoặc m = 0

phương trình (*) có 1 nghiệm: x = 0  tg 0  k , k Z

Tương tự, ta có:  = 0;  = –

2– Khi –1 < m < 0 hoặc 0 < m < 1:

Phương trình (*) có 3 nghiệm:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I Phương trình sinx = sin

Hai cung hoặc hai góc có sin bằng nhau khi và chỉ khi chúng bằng nhau hoặc bù nhau, sai kém một bội số của chu kì

x k ' 2 , với k, k ' Z6

 sinx = –1  x  k2 , k Z

2

 sinx =  1  x (2k1) , kZ

2Phöông trình sinx = a

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

sin2x = sin  

3x2

Đề 17: sin5x = – sin2x ?

II Phương trình cosx = cos

Hai cung hoặc hai góc có cosin bằng nhau khi và chỉ khi chúng bằng nhau hoặc đối nhau sai kém một bội số của chu kì

Do đó x =  + k2 Hoặc x = –  + k2 với k, k’  Z

Ghi nhớ: cosx = cos     

Hoặc: chọn cung (góc  sao cho cos  = b)

Do đó ta có cosx = cos, trở lại dạng cơ bản

Tổng quát: cos f(x) = cos g(x)     

Đề 20: Giải phương trình: 2x sin 3x

Đề 23: Giải phương trình: 1 1 2

cos x  sin 2x  sin 4x

(Bộ đề thi tuyển sinh)

Với (*) phương trình đã cho tương đương với phương trình

 2sinxcos2x + cos2x –1 = 0  2sinxcos2x – 2sin2x = 0

 cos2x – sinx = 0 (vì sinx 0)     

x n2 , với m, n Z6

Ghi nhớ: tgx = tg   x =  + k  , với kZ

với điều kiện x (21), Z

luôn luôn có nghiệm

tgx = c  x = arctgc + k, k Z

Hoặc chọn cung  (góc  ) sao cho tg  = c

Ta trở lại dạng cơ bản: tgx = tg 

 Tổng quát: tgf(x) = tgg(x)  f(x)= g(x) + k, k Z với

2 và cotg(5x ) tồn tại

Đề 28: Giải phương trình: tg (2x   1)  tg (x   1)  0

16 4

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

A PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I Phương trình bậc hai theo sinx hoặc cosinx

(1) Dạng: asin2x + bsinx + c =0 (1), a  0

hoặc acos2x + bcosx + c = 0 (a  0)

(2) Phương pháp giải: Đặt t = sinx hoặc t = cosx với  1 t1

Ta có at2 + bt + c = 0 (2)

– Nếu (2) vô nghiệm  (1) vô nghiệm

– Nếu (2) có nghiệm kép t0  [ 1,1] (1) vô nghiệm

– Nếu (2) có 2 nghiệm t1,t2  [ 1,1] (1) vô nghiệm

– Nếu (2) có 1 nghiệm t  [ 1,1]thì (1) có nghiệm cho bởi phương trình: sinx = t hoặc cosx = t

Đề 30: Giải phương trình: 2sin 2 x – 5sinx + 2 = 0 (1)

Giải

 Đặt t = sinx, với  1 t1 ta có: 2t2 – 5t + 2 = 0 (2)

Phương trình (2) có 2 nghiệm là: t1 = 2 ; t2 = 1

2Nghiệm t1 = 2 (loại); nghiệm t2 =1

2 thích hợp Do đó ta có: sinx=

x k ' 2 với k, k ' Z6

Vậy (1) có 2 họ nghiệm là:

x k ' 2 với k, k ' Z6

Đề 31: Giải phương trình: sin 2x 5 3cos x 7 1 2sinx

5

x ' 2 với k, , ' Z6

Phương trình có 3 họ nghiệm là:

Nếu đề bài yêu cầu x phải thỏa 1 điều kiện gì đó, chẳng hạn

Đề 32: Giải phương trình: sin 2 x + cos2x + 3sinx + 3 = 0

Giải

 Phương trình đã cho có chứa sin2x và sinx Ngoài ra còn có cos2x Nếu ta thay thế cos2x = 1 – 2sin2x thì ta sẽ được một phương trình bậc hai theo sinx

Phương trình đã cho có thể viết:

sin2x + 1 – 2sin2x + 3sinx + 3 = 0  sin2x – 3sinx – 4 = 0 (1) Đặt t = sinx, với  1 t1 , ta có: t2 – 3t – 4 =0 (2)

Phương trình (2) có 2 nghiệm là:

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm

Đề 34: Giải phương trình: 4 cos x 2  2( 3  2) cos x  6  0 (1)

Phương trình đã cho có 4 họ nghiệm

Đề 35: Giải phương trình: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x

Giải

Trước hết, ta hãy biến đổi vế trái (VT) Ta có

2cosxcos2x = cos3x + cosx

 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

cos3x + cosx = 1 + cos2x + cos3x  cosx = 1 + cos2x

(Đơn giản 2 vế cho số hạng cos3x không ảnh hưởng đến nghiệm của phương trình)

Phương trình có số hạng cosx và cos2x Ta thay 1 + cos2x = 2cos2x, ta có 1 phương trình bậc 2 theo cosx

cos x

x 2 , với k, Z2

3

Đề 36: Giải phương trình: 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinxsin 2x

Giải

 Ta phải biến đổi vế phải (VP): 2sinxsin2x = cosx – cos3x

 Phương trình đã cho tương đương với phương trình

3cosx + cos2x – cos3x +1 = cosx – cos3x

x (2 1) , k, Z

II Phương trình bậc hai theo tgx hoặc cotgx:

1 Dạng atg2x + btgx +c = 0 (*) hoặc acotg2x + bcotgx + c = 0 (**)

2 Phương pháp giải:

Đặt t = tgx với x (2k1) , kZ

2hoặc t = cotgx với x k , k Z

Ta sẽ được một phương trình bậc 2 theo t:

at2 + bt + c =0 (***)

– Nếu (***) vô nghiệm thì (*) hoặc (**) vô nghiệm

– Nếu (***) có nghiệm t0 thì (*) hoặc (**) có nghiệm Ta chỉ cần giải phương trình lượng giác cơ bản