tính chất hạt của sóng và tính chất sóng của hạt

Trường không phải là một môi trường liên tục nữa.- Trong cơ học lượng tử chỉ mới chú ý đến tính chất sóng của hạt chứ chưa giải quyết được tính hạt của sóng.. 2.2 Đại lượng vật lý trở th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM HÀ NỘI 2

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS : NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận này em đã nhận được nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý – trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học và qua đó đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Nguyễn Thị

Hà Loan người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý nhận xét của các thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội ngày tháng năm

Sinh viên

Phan Thị Oanh

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan em đã hoàn thành khóa luận đúng thời hạn Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó Em xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội ngày tháng năm

Sinh viên

Phan Thị Oanh

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Thế kỷ XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại, với khuynh hướng thâm

nhập cấu trúc vi mô của vật chất Người ta thấy rằng các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô mâu thuẫn trầm trọng với các định luật đã biết trong vật lý học

cổ điển Chẳng hạn vấn đề chuyển động của điện tử quanh hạt nhân Sự thay đổi khối lượng của hạt khi chuyển động với vận tốc cao, tính hữu hạn của vận tốc truyền ánh sáng… Để giải thích các hiện tượng trên đây lý thuyết tương đối của Einstein và cơ học lượng tử ra đời Hai lý thuyết này là nền tảng của vật lý học hiện đại Lúc đầu cơ học lượng tử chỉ là cơ học lượng tử phi tương đối Do đó cần có sự kết hợp cơ học lượng tử với lý thuyết tương đối hẹp để

có cơ học lượng tử tương đối tính

Tuy nhiên cơ học lượng tử chưa phải là bước phát triển cuối cùng của lý thuyết lượng tử Ta nhớ rằng hạt và trường là hai khái niệm cơ bản nhất trong

lý thuyết về cấu trúc vật chất Trong cơ học lượng tử người ta chỉ mới xây dựng lý thuyết lượng tử đối với hạt, trường vẫn được xét dựa trên lý thuyết cổ điển

Một số hiện tượng sau đây cơ học lượng tử vẫn chưa giải thích được thỏa đáng như:

- Hiện tượng chuyển hóa lẫn nhau giữa các hạt cơ bản, hạt có thể sinh

ra và mất đi Cơ học lượng tử chỉ nghiên cứu chuyển động của những hạt có sẵn và tồn tại mãi mãi trong quá trình nghiên cứu Theo quan điểm sóng xác xuất của cơ học lượng tử thì số hạt phải được bảo toàn Hiện tượng trên đã mâu thuẫn với quan điểm này

- Hiện tượng bức xạ nhiệt, hiện tượng quang điện cho thấy rằng trường tồn tại dưới dạng các lượng tử Trường không phải là một môi trường liên tục nữa.

- Trong cơ học lượng tử chỉ mới chú ý đến tính chất sóng của hạt chứ chưa giải quyết được tính hạt của sóng Ngoài ra vật lý học còn đòi hỏi rằng nguyên lý đó phải phổ biến cho các trường vật chất chứ không phải chỉ có giá trị đối với trường điện từ chịu trách nhiệm tương tác điện từ

Vì vậy tất yếu phải ra đời lý thuyết trường điện tử Đó là lý thuyết về tính chất của các hạt cơ bản và các lực tương tác giữa chúng Một trong những đặc điểm của lý thuyết trường lượng tử là: “Tính chất hạt và sóng không còn phân biệt nữa Trường đưa vào để mô tả hạt Nó không còn là một trường biến thiên nữa mà là toán tử Sóng bây giờ đã được lượng tử hóa (sự lượng tử hóa lần thứ hai)”

Với những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài :“Tính chất hạt của sóng

và tính chất sóng của hạt” Tôi hy vọng thông qua đề tài này, bạn đọc sẽ có

nhiều kiến thức cho riêng mình Do kiến thức còn hạn chế nên còn nhiều sai sót, vì vậy tôi rất mong sự thông cảm và góp ý từ phía bạn đọc

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu tính chất hạt của sóng ánh sáng

- Nghiên cứu tính chất sóng của hạt vi mô

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất hạt của sóng và tính chất sóng của hạt

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất hạt của sóng và tính chất sóng của hạt

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp vật lý lý thuyết

- Sử dụng phương pháp toán tử

- Sử dụng phương pháp các giao hoán tử

2.2 Đại lượng vật lý trở thành toán tử

Chương 3 Tính chất sóng của hạt vi mô

3.1 Ngiên cứu tính chất sóng của hạt vi mô

3.2 Các đại lượng động lực của hạt vi mô

Chương 1 Những khái niệm cơ bản

1.1 Tính chất sóng hạt của hạt vi mô

Khi người ta cố gắng áp dụng cơ học cổ điển vào điện động lực học cổ điển để giải thích các hiện tượng nguyên tử thì dẫn tới những kết quả mâu thuẫn rất sâu sắc với thực nghiệm Một trong những mâu thuẫn rất rõ ràng nhất xuất hiện xuất hiện khi áp dụng điện động lực học thông thường vào mẫu nguyên tử cho rằng các electron chuyển động quanh hạt nhân theo quỹ đạo cổ điển Chuyển động này cũng như các chuyển động có gia tốc của các hạt tĩnh điện, electron phải không ngừng bức xạ sóng điện từ Khi bức xạ, electron sẽ mất dần năng lượng của nó và cuối cùng rơi vào hạt nhân Như vậy electron phải không bền Điều đó không phù hợp với thực tế.

Điều mâu thuẫn sâu sắc như thế giữa lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng việc xây dựng một lý thuyết có thể áp dụng được trong những hiện tượng nguyên tử - những hiện tượng này xảy ra đối với các hạt có khối lượng rất nhỏ trong những không gian rất nhỏ Điều này đòi hỏi phải thay đổi tận gốc những quan niệm và các định luật cổ điển cơ bản

Chúng ta sẽ nghiên cứu lưỡng tính sóng - hạt của ánh sáng, thuật ngữ ánh sáng cho toàn bộ phổ sóng điện từ với các hiện tượng: Sự phản xạ, sự khúc xạ, phân cực, giao thoa và nhiễu xạ… Chúng ta đã chứng minh được rằng ánh sáng có tính chất sóng

Bây giờ ta sẽ đưa ra giả thuyết hoàn toàn mới về ánh sáng và chúng ta chỉ có thể giải thích được các hiện tượng khi đưa ra thuyết này, cụ thể là ngoài tính chất sóng thì ánh sáng còn có tính chất hạt, mỗi hạt có năng lượng

và xung lượng xác định Vậy ánh sáng có tính chất gì? Sóng hay hạt Câu trả lời là ánh sáng có lưỡng tính sóng - hạt Ánh sáng được tạo bởi các phần năng lượng tập chung được gọi là photon Einstein đã đưa ra giả thuyết rằng mỗi

λ

=

Mặc dù nhỏ nhưng hằng số này không bằng 0 Đặc điểm này có tính chất quyết định của vật lý lượng tử hiện đại Nếu chúng ta muốn mô tả một hạt chuyển động như một sóng thì chúng ta phải trả lời câu hỏi: bước sóng của ánh sáng là bao nhiêu?

Do thừa nhận ánh sáng có lưỡng tính sóng - hạt nên đứng trên quan điểm hạt chúng ta có thể nói rằng hạt ánh sáng có tính chất sóng Xuất phát từ quan điểm cho rằng ánh sáng cũng là vật chất nói chung, năm 1924

De Broglie đặt vấn đề: hạt ánh sáng có tính chất sóng thì liệu các hạt vật chất khác có tính chất sóng không? Từ đó ông đưa ra giả thuyết mang tên ông

Giả thuyết De Broglie: hạt tự do có năng lượng E và xung lượng p sẽ

vectơ sóng kr; ω và kr thỏa mãn hệ thức sau:

loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý

Áp dụng cho cả ánh sáng lẫn vật chất, trong đó p là xung lượng của photon có bước sóng cho trước Sóng được đề cập trong giả thuyết này gọi là sóng De Broglie

Hệ thức mà Einstein đưa ra có thể gắn bước sóng cho hạt vi mô có

Bây giờ chúng ta thử tìm xem phương trình của hàm sóng De Broglie

có dạng như thế nào? Để cho đơn giản ta chỉ xét các hạt phi tương đối, trong

cơ học cổ điển, năng lượng E và xung lượng p của một hạt tự do khối lượng

2

p m

Ε =

Còn nếu hạt chuyển động trong một trường thế với thế năng V ( )rr thì:

2 ( )

2

p

V r m

bởi phương trình Schrodinger

thì không thể đo được một cách chính xác đồng thời L và M

lý L và M thì: LM ML iPˆ ˆ − ˆ ˆ = ˆ (Pˆ 0 ≠ ) (1.2.1)

Trong trạng thái Ψ tùy ý, các đại lượng vật lý tương ứng với các toán

tử ˆL và Mˆ có các giá trị trung bình: L= Ψ Ψ( ,Lˆ );M = Ψ( ,Mˆ Ψ) ta đưa vào các

nó liên hệ các độ lệch trung bình bình phương so với giá trị trung bình của các

định và ngược lại, hoặc cả hai đại lượng đều không xác định

Trường hợp L x Mˆ = , ˆ = pˆx thì (1.2.5 ) viết lại 2 2

2

x

∆ ∆ ≥ h (1.2.6)

Hệ thức này được gọi là hệ thức bất định Heisenberg Nếu trong một

hoàn toàn bất định, ngược lại tọa độ xác định thì xung lượng bất định…

1.3 Các tiên đề của cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử hạt không được hình dung như là một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo xác định mà nó được hình dung như là một bó sóng định xứ trong một miền không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian Tại một thời điểm ta chỉ nói về xác suất tìm thấy hạt trong một phần tử thể tích của không gian, hay nói khác đi là xác suất để tọa độ của hạt nằm trong khoảng nào đó Nói chung về các biến số động lực khác cũng vậy, ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằm trong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển

Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển Chúng ta phải tìm cách mô tả khác thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử Những nghiên cứu toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô

tả các biến số động lực trong cơ học lượng tử Chúng ta thừa nhận nội dung cách mô tả như những tiên đề Các tiên đề ấy không mâu thuẫn nhau và cho các kết quả phù hợp với thực nghiệm

Tiên đề 1: Mỗi một biến số động lực được biểu diễn bằng một toán tử

Tiên đề 2: Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được

những giá trị bằng số là trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy

Vì giá trị bằng số của các biến động lực là thực nên trị riêng của các toán tử biểu diễn biến số động lực phải là thực, muốn thế những toán tử ấy phải Hermite.

Xét một biến số động lực biểu diễn bằng một toán tử, toán tử này có

Theo tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử Hermite thì ta có

Tiên đề 3: Nếu hệ ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng Ψ ( )x thì xác

với hàm riêng ấy Cụ thể là:

toán tử ˆL

1.4 Ý nghĩa xác suất

phải nhân chúng với một hằng số thế nào để dẫn tới kết quả: tổng xác suất của các trạng thái có thể bằng 1

= từ đó '2 i 2

i

c c

2

i i

i i

Chương 2: Tính chất hạt của sóng ánh sáng 2.1 Tính chất hạt của sóng ánh sáng

2.1.1 Điều kiện ra đời của vật lý lượng tử

Vật lý hoc cổ điển là vật lý học không kể đến thuyết tương đối và

thuyết lượng tử Đến cuối thế kỉ XIX vật lý học cổ điển coi như đã được phát triển đầy đủ.Vật lý học cổ điển dựa trên cơ sở của của hai lý thuyết cơ bản là

cơ học Newton và lý thuyết điện từ Maxwell Các định luật Newton là cơ sở cho toàn bộ cơ học nếu thêm các phương pháp thống kê thì nó cũng là cơ sở cho nhiệt học Hệ thống phương trình Maxwell về điện từ trường biểu diễn lý thuyết tổng quát cho tất cả các hiện tượng điện từ và quang học

Từ cuối thế kỉ XIX trở về sau người ta thấy có những hiện tượng không thể giải thích được bằng các lý thuyết cổ điển (tính bền của nguyên tử, quy luật bức xạ của vật đen…) Từ đó dẫn đến việc xây dựng một khái niệm mới

về lượng tử đoa là bước đầu của việc hình thành cơ học lượng tử

2.1.2 Bức xạ của vật đen

Thí nghiệm chứng tỏ rằng một vật đen ở nhiệt độ T phát ra những bức

xạ điện từ có phổ liên tục năng lượng của bức xạ phát ra phụ thuộc vào nhiệt

độ của vật.Vật phát ra những bức xạ đồng thời hấp thụ những năng lượng của những bức xạ chiếu tới Khi năng lượng mà vật hấp thụ được bằng năng

lượng mà vật bức xạ trong cùng một thời gian thì nhiệt độ của vật không đổi Nếu thực hiện được sự cân bằng ấy đối với cả hệ thống vật và bức xạ thì bức

xạ gọi là bức xạ cân bằng

biểu thức:

( ,T d)

Hệ số tỉ lệ ρ ω( ,T) gọi là mật độ năng của phổ, đó là một hàm số đặc

trưng cho bức xạ cân bằng.Công thức cho mật độ năng lượng bức xạ gọi là công thức Rêlây

Với c là tốc độ ánh sáng trong chân không, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt

độ của bức xạ cân bằng Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm trong

tần số lớn thì công thức cho kết quả phi lý

2.1.3 Giả thuyết Planck

Để giải quyết điều phi lý nói trên, năm 1900 Planck đã đưa ra giả

có những giá trị năng lượng gián đoạn, giá trị đó bằng nguyên lần của một đại

( ) 2 33

1 ,

1

kT

T

c e

thay vào (2.1.4) ta được (2.1.1).

Người ta thừa nhận giả thuyết Planck vì nó cho kết quả phù hợp với thực nghiệm và vì ta có thể dựa vào giả thuyết Planck để giải thích các hiện tượng khác

2.1.4 Hiệu ứng quang điện –Photon

Physik đã lý giải một cách thành công hiệu ứng quang điện cũng như các định luật quang điện dựa trên mô hình hạt ánh sáng, theo Thuyết lượng tử vừa được công bố vào năm 1900 của Max Planck Các công trình này đã dẫn đến

sự công nhận về bản chất hạt của ánh sáng, và sự phát triển của lý thuyết lưỡng tính sóng - hạt của ánh sáng

a Hiệu ứng quang điện :

Hiệu ứng quang điện

Hiệu ứng quang điện là một hiện tượng điện - lượng tử, trong đó các điện tử được thoát ra khỏi vật chất sau khi hấp thụ năng lượng từ các bức xạ điện từ Việc nghiên cứu hiệu ứng quang điện đưa tới những bước quan trọng trong việc tìm hiểu về lượng tử ánh sáng và các electron, cũng như tác động đến sự hình thành khái niệm lưỡng tính sóng hạt

- Hiện tượng: Khi bề mặt của một tấm kim loại được chiếu bởi bức xạ điện từ

từ các photon và sinh ra dòng điện (gọi là dòng quang điện) Khi các điện tử

bị bật ra khỏi bề mặt của tấm kim loại, ta có hiệu ứng quang điện ngoài Các điện tử không thể phát ra nếu tần số của bức xạ nhỏ hơn tần số ngưỡng bởi điện tử không được cung cấp đủ năng lượng cần thiết để vượt ra khỏi rào thế (gọi là công thoát A) Điện tử phát xạ ra dưới tác dụng của bức xạ điện từ được gọi là quang điện tử

- Ba định luật quang điện

+ Định luật về dòng quang điện bão hòa: Khi tần số của ánh sáng rọi vào catốt không đổi, cường độ dòng quang điện bão hòa tỉ lệ với cường độ của chùm sáng mà catốt nhận được

+ Định luật về vận tốc ban đầu cực đại: Vận tốc ban đầu cực đại (hay động năng ban đầu cực đại) của quang electron không phụ thuộc vào cường độ của chùm sáng rọi vào catốt mà chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm sáng đó hơn

nữ tần số càng lớn thì vận tốc càng lớn

+ Định luật về giới hạn quang điện: Đối với mỗi kim loại xác định hiệu ứng

Hiện tượng nói trên gọi là hiệu ứng quang điện Einstein đã dựa vào giả thuyết Planck mà có thể giải thích hiệu ứng quang điện một cách mĩ mãn Ông cho rằng ánh sáng có thể coi như một dòng hạt, mỗi hạt mang một năng

photon lớn hơn công A cần thiết để tạo ra hiệu ứng ấy ε > A tức là h ω > A

một phần năng lượng ấy (bằng công thoát A) được dùng để làm cho electron thoát ra khỏi kim loại, phần còn lại là động năng của electron

2

mv A

độ ánh sáng có lớn bao nhiêu đi chăng nữa cũng không có electron phát ra từ mặt catốt vì lúc ấy năng lượng của một photon nhỏ hơn công A cần thiết để làm cho electron thoát ra khỏi kim loại

Như vậy có thể thừa nhận giả thuyết về tính chất hạt của ánh áng coi

chuyển động với vận tốc bằng vận tốc truyền của ánh sáng và không có khối lượng nghỉ

0

c p m c

trong đó c là vận tốc truyền của ánh sáng trong chân không Đối với photon

2.2.2 Đại lượng vật lý trở thành toán tử

Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác Hạt không được hình dung như một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo mà là một bó sóng định xứ trong một miền không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về xác suất tìm thấy hạt trong một

hạt có giá trị nằm trong khoảng nào đó Nói chung về biến số động lực cũng vậy ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằm trong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển.

Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực không phải mô tả bằng số như trong cơ học cổ điển Chúng ta phải tìm một cách mô tả khác thể hiện được các tính chất đã nêu của biến số động lực thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử Những nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này mô tả biến số động lực trong cơ học lượng tử Trong cơ học lượng tử các đại lượng vật lý có vai trò tương tự cũng được gọi là các đại lượng động lực của cơ học lượng tử

Trong phép đo các đại lượng động lực cần chú ý rằng do có sự tương tác giữa

hệ vi mô và máy đo, hệ vi mô cần nghiên cứu cũng chịu tác dụng của tương tác kết quả là, ở mỗi phép đo hệ lượng tử sẽ ở trong một trạng thái liên kết hệ lượng tử - máy đo xác định và phép đo cho chúng ta một giá trị xác định của đại lượng vật lý cần đo, trong phép đo tiếp theo hệ lượng tử đã chuyển sang trạng thái mới và máy đo cho chúng ta giá trị mới của phép đo Như vậy

chúng ta phải tính đến xác suất để đo F một giá trị nào đó và tương đương với điều ấy là xác suất để hệ lượng tử nằm ở trạng thái đã cho ở trên

nào đó Như vậy nếu nghiên cứu năng lượng của hệ cần phải biết toán tử Hamiltonian, còn nếu nghiên cứu xung lượng của hệ cần phải biết toán tử xung lượng Vấn đề đặt ra là dạng tường minh của các toán tử tương ứng với các đại lượng cần nghiên cứu sẽ viết như thế nào?

a Toán tử tọa độ ˆx: Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái

độ ˆx phải là hermite và có dạng như thế nào để trung bình của tọa độ cho bởi công thức :

x =∫xρ( )x dx (2.2.1)

là: x = Ψ Ψ∫ *x dxˆ theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa hàm sóng thì

Cũng tương tự như vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì ta có

3 toán tử tọa độ ˆx= x ˆy y= ˆz z=

b Toán tử xung lượng: Đối với hạt vi mô có xung lượng pr và năng lượng E chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng:

Ψ = Ψ0 exp −i Et pr− 

rr h

Ta xét toán tử ˆp x ( )