Ôn chuyên đề Phương Trình ôn thi ĐH từ các năm trước

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TUYỂN TẬP PT – BPT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT TRÊN CẢ NƯỚC PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP TỐI ƯU CHỨNG MINH PT BẬC 4, BẬC 6 VÔ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

TUYỂN TẬP PT – BPT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT TRÊN CẢ NƯỚC

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP TỐI ƯU

CHỨNG MINH PT BẬC 4, BẬC 6 VÔ NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP TỐI ƯU

CHỨNG MINH PT BẬC 4, BẬC 6 VÔ NGHIỆM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bước 1: Tìm được nghiệm X k Gán nghiệm vào biến A:X k A

Bước 2: Nhập vào máy F X F A AX F(p) = q B a p p q

là cách nhanh nhất

Bài 02.Giải phương trình: (x4)( x 2 2) ( x1)(x2 2x3) (1)

Điều kiện: x 2 Quan sát thấy 2 vế có sự tương đồng: x  2 x 1

Xét f t( ) t3 2t22, '( ) 3f t  t24t    2 0 t  f x(  1) f( x2)

Phần I PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 03 Giải phương trình: x3 5x217x 7 2(x24) 2x2 7 (1)

Điều kiện: x Dự đoán 2x2   7 x 2( thay nghiệm của phương trình vào)

Lấy x35x217x  7 (x 2)3 (x 2) ( x2)2(2x27)

(1)( 2) ( 2) ( 2) (2 7) 2  7 2  7 2 7 (2) Xét f t( )  t3 t2 t f t, '( ) 3 t2     2t 1 0 t 

Điều kiện:   1 x 1 Dự đoán x 1 1x

Nên (1)  (x 1 2) x     1 x 1 (1 x 2) 1  x 1 x

Xét f t t2 t t2 t3 t2 t t x x x

( ) ( 2)    2 ,  0  1 1  0 Chú ý: Biến t chạy theo căn, chứ không phải chạy theo x nên xét trên miền 0; 

Bài 05 Giải phương trình: x x 3 x x

Bài 07 Giải phương trình: 2(4x3) x 1 (x11) x 2 6x2 (1).

Điều kiện: x 2 Từ hai nghiệm, ta có mối quan hệ: 2 x  1 x  2 2

Bài 08 Giải phương trình: (2x3) 2x  3 (x 2) x 1 4x5 (1)

Điều kiện: x 1 Dự đoán: 2x 3 x 1 1

Bài 11 Giải phương trình: x x x

Bài 13 Giải phương trình: x x 1 (2x3) (22 x  2) x 2 (1)

Điều kiện: x 1 Dự đoán x 1 2x3 do hai vế có dạng giống nhau

Bài 15 Giải phương trình: 4 x 4 x 4 x 4 x

3  6 3  4  2 (1) Điều kiện: 0 x 2 Ta có:

Trường hợp 3: x 1 (thỏa mãn) Vậy x 1 là nghiệm của phương trình

Với x 1, phương trình  2 0(không thỏa mãn)

Phân tích Phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Nhìn qua có thể thấy mối liên hệ giữa căn thức trên và căn thức dưới Ta có:

Nên từ (3) suy ra a b  f a( ) f b( ) 0 (2) vô nghiệm

Bài 17 Giải phương trình:(8x10) x 1 (5 x1)(x10 x 1 25)

Điều kiện: x 1 Phương trình đã cho tương đương với:

Bài 18 Giải phương trình: 5 5 1 x3 x2(4x225x18) (1)

Điều kiện: x 1 Phương trình đã cho tương đương với:

Bài 20 Giải phương trình: x4 x2 (x22x1)3  2 4x23 x2 x4 (1).

Điều kiện: x Biến đổi phương trình về cùng dạng hai vế

Bài 21 Giải phương trình: 2x3x232x33x 1 3x 1 3 x22

Bài 22 Giải phương trình: x3 15x2 78x141 5 2 3 x9

Bài 23 Giải phương trình:(9x1) 9x 1 8x312x2 10x3

Bài 24 Giải phương trình:2x310x2 17x 8 2x35x x 3

Bài 25 Giải phương trình: 3 x x 4 2 12 x x2 4x 2 4x5

Bài 26 Giải phương trình: 1x2  x2  x 4 x2   x 5 x

Bài 27 Giải phương trình:5(x2 x 6) 5x19 ( x 2)(x 5 4 x3)( x 3 2)

Bài 28 Giải phương trình: x x x

2(2 1) (4 4 3)

Bài 30.Giải phương trình: (x23 )(1x  x2 1) 2 x 3 2 x7



   Th2: (2)x24x 3 (x26 )x x 1 0x x( 3) x   1 (x 3) x x(  3) 3x x 1 0

Phần II PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 02 Giải phương trình: x2 x x x x x

Vì x 1 có thể âm nên ta sẽ tìm lượng liên hợp cho 4x5nhận cả 2 nghiệm x 1

Bài 05 Giải phương trình: (x2  x 6) x  1 (x 2) x 1 3x2 9x2

Điều kiện: x 1 Phương trình đã cho tương đương với:

8



        Th2.(3)(2x1) 2x 1 x   1 4 x 3 4x(4) Xét f t( ) t3 t f t, '( ) 3 t2    1 0 t 

 là nghiệm của phương trình

Bài 08 Giải phương trình: 5x2 4 x x 1 x 1 x (1)

4       Điều kiện:  1 x 1

Cách 1 Phương trình đã cho tương đương với:

Chú ý Cách 1 đi thi rất khó làm bởi vì đòi hỏi nhạy bén, tư duy sắc sảo Đi thi nên làm cách liên hợp

Bài 09 Giải phương trình: 4 x 1 2 2x 3 (x1)(x22)

Điều kiện: x 1 Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình có nghiệm x 1 và x 3.

Bài 10 Giải phương trình: 3x 2 3 x 1 x33x2 4x1 (1)

Suy ra 2(8x27x 1) (x1) 2x 3 2(3x1) 4x2 Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 12 Giải phương trình: x33x210x26 3x 3 5 2 (1). x

    .Vậy x 2 là nghiệm duy nhất

Bài 13 Giải phương trình: x x x x

Bài 14 Giải phương trình: (x2) x 1 (4x5) 2x 3 6x23 0 (1).

Điều kiện: x 1 Ta sẽ giải bài này theo 2 cách

II Bài tập áp dụng:

Bài 16 Giải phương trình: (5x4) 3x 2 5 2 x (6x1) x3

Bài 17 Giải phương trình: x x 2 x34x25x x33x24

Bài 18 Giải phương trình: x2 4x 3 (x1) 8x 5 6x2

Bài 19 Giải phương trình: x3 4x2  x 3 x32x2  6 2x2 x 3

Bài 20 Giải phương trình: x x

Bài 21 Giải phương trình: (x1) x  2 (x 6) x 7 x27x12

Bài 22 Giải phương trình: 3 5x 1 3 x 3 4x2 26x10 0 

Bài 23 Giải phương trình: 2 x 2 x 4x2 2(x2 x 1)

Bài 24 Giải phương trình: 2(x3) x  4 (x 5) 2x 3 3(x1)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

I.Lý thuyết:

Xét phương trình h x( ) f x( )3r x( )0 có một nghiệm duy nhất x m 

Giả sử lượng liên hợp cần tìm là c f x c( ),  Lượng liên hợp này sẽ bị ngược dấu biểu thức trong ngoặc

Do đó ta cần tìm lượng liên hợp ax b  f x( )sao cho: ax b  f x( )0,x

Lúc này: ax b  f x( )(x m g x ) ( )có nghiệm duy nhất x m 

a b

2

3 2 02

( )  1 ( 1) 3(   3 2) (  1 3 5) 0 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 02 Giải phương trình x2 x x 3x

Chú ý: Nhìn phương pháp có vẻ mất thời gian, thực ra chỉ mất tối đa từ 1-2 phút để tìm lượng liên hợp

Bài 03 Giải bất phương trình: x3 x 3 x2 x 2

x x x x x x x

Do biểu thức trong ngoặc luôn dương x 34.Vậy tập nghiệm là S 3 4; 2

Bài 04 Giải phương trình: x3 x 3x2

   Điều kiện: x D       ;1 1;  Ta có: x3 ax b cx d 3 x2

        Thay x3 vào 3 x2 1, ta có:x3 x2    1 1 x 1 3x2 1 0

Kiểm tra, (x1)3(x2  1) (x 3)(x2x); (x2   x) 0 x D

Thay x3 vào x32, ta có: x3 x x3 x

         Kiểm tra, (x3 2) (2x1)2  (x 3)(x2  x 1);(x2    x 1) 0 x D

(1)  2 ( 2)  1  1 0 (2) Lời giải Phương trình đã cho tương đương với:

Bài 05 Giải phương trình: x3 2 3 x2 1 3x2(1)

Điều kiện: x32 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tại điểm rơi x0 3, ta có:

Bài 06 Giải phương trình: 3 3x 2 x 3x 2 2 2x21

Bài 07 Giải phương trình: x3164x4 8 2 3  x2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

I Lý thuyết:

Phương pháp đánh giá thường được dùng cho các phương trình vô tỷ có nghiệm bội hai (nghiệm kép) hoặc nghiệm đụng biên (nghiệm tại tập xác định của phương trình) Các định hướng để giải loại phương trình này là

sử dụng bất đẳng cauchy hoặc đưa phương trình về tổng của các bình phương

Muốn tìm nghiệm kép có 2 cách phổ biến

Cách 1: Phím tích phân d

dx

Cách 2: CALC cho các giá trị lân cận của nghiệm Ví dụ phương trình có nghiệm xa

Khi đó ta CALC cho x 4 b

Bài 02.Giải phương trình: 3x22x 2 (x2) 2x2 1 (x1) 2x26x2 (1)

Điều kiện: x2 26x 2 0 Phương trình có nghiệm x 2 7 Ta có:

 Thử lại, nghiệm x 2 7thỏa mãn

Chú ý: Dấu bằng sắp xếp ngay ở ngoài căn nên bài toán trở nên nhẹ nhàng Dưới đây là các ví dụ cần phải lựa chọn dấu bằng chính xác để tránh bị ngược dấu

Bài 03 Giải phương trình: x

2

      Phần IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Điều kiện: x 1 Rút gọn phương trình, ta được:

Thử lại, nghiệm x 2 thỏa mãn phương trình đã cho

Chú ý: Việc chọn dấu bằng đòi hỏi sự tinh tế của người giải toán Bạn đọc phải tìm cho mình hướng tư duy đúng đắn để tránh mắc sai lầm

Bài 04 Giải phương trình: 3x32x2  2 3x3x22x 1 2x22x2

Bài 06 Giải phương trình: x3 6x28x 9 4x2 x 1 3 2x21 (1).

 Vậy x 2 là nghiệm của phương trình

Chú ý: Khi chọn dấu bằng, phải chọn sao cho bậc của VP bé hơn bậc của VT

Nên (1)(x   1) 0 x 1 Thử lại, x 1 là nghiệm của phương trình

Chú ý: Ta có thể khử x 1 để tạo ra lượng đa thức 0

Chú ý: PT (1) có nghiệm biên x 1 nên có thể đưa về tổng các đại lượng không âm

Bài 09 Giải phương trình: x x

Dấu bằng xảy ra x 1.Vậy x 1 là nghiệm của phương trình

Bài 10 Giải phương trình: x2 x x x2 x2

Bài 11 Giải phương trình:4x 9 x23 x2 5 2 8x3x2

Bài 14 Giải phương trình:x310x25x24 2 x2 4x 3 2x 8(5x3)

I Chứng minh PT bậc 4 vô nghiệm:

Ở đây tôi sẽ trình bày cách chứng minh bậc 4 vô nghiệm nhanh nhất, nhằm giải quyết lượng đa thức phát sinh sau khi bình phương hai vế của một phương trình

Với xx0 min chính là điểm rơi của bài toán

Bước 2: Tìm ksao cho: a

2

   Bước 3: Ta sẽ trừ phần còn lại Cái này vào ví dụ tôi sẽ trình bày rõ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

III Chứng minh phương trình bậc 6 vô nghiệm:

Tương tự với chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, ta sẽ nhóm phương trình bậc 6 thành dạng sau:

Ví dụ 5: Chứng minh phương trình x62x5 4x44x3 8x23x 1 0 vô nghiệm

Ví dụ 6: Chứng minh phương trình 3x4x3 2x2 4x 3 0 vô nghiệm

Bài 01 Giải phương trình:4 2 x 3 x x25

Bài 02 Giải phương trình: x2 x x x2

3 10  6 (2 ) 2 0

Bài 03 Giải phương trình: x x 1 (2x3) (22 x  2) x 2

Bài 04 Giải phương trình: x x2 x x2 x

1 (   2 2) ( 1) 2  3 0

Bài 05 Giải phương trình: 4x2 7x 5 3x 3 5 x2 x 2

Bài 06 Giải phương trình: 3x32x2   2 3x3 x22x 1 2x22x2

Bài 07 Giải phương trình:4(x3 1) (x x22x2)3

Bài 08 Giải phương trình:x x( 4)(x2 4x9) 6 4  x 6 x4

Bài 14 Giải phương trình: 9x2 3 9x 1 9x215

Bài 15 Giải phương trình:1 4x2 20 x 4x29

Bài 16 Giải phương trình:(4x2  x 7) x 2 4x8x210

Bài 17 Giải phương trình:2(x1)2(x5)(1 2x3)2

Phần VI TỔNG HỢP BÀI TẬP PT – HPT TRÊN CẢ NƯỚC

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 18 Giải phương trình:(x2)( 2x 3 2 x 1) 2x25x 3 1

Bài 19 Giải phương trình:2x2 9x 3 3x27x 1 3x 2 0

Bài 33 Giải hệ phương trình: x x x y y y

Bài 1 Giải phương trình: 3x32x2  2 3x3x22x 1 2x22x2

Đề thi thử chuyên Sư Phạm lần 1 2016

Phần VII LỜI GIẢI CÁC CÂU PT – HPT CÁC ĐỀ THI THỬ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Để ý VP của phương trình có căn bậc 3, VT của phương trình có lượng bậc 3 đã nhóm sẵn, 2 vế có 2 lượng

x4 x2giống nhau nên ta sẽ thử đưa về hàm số Ta có:

Hướng dẫn giải:

Phương trình có nghiệm kép x 2 Do đó ta có các hướng giải quyết như sau:

- Đưa về tổng các bình phương

- Sử dụng bất đẳng thức CauChy

Ở vế trái của phương trình xuất hiện lượng x2 4x 5 x2 4x  4 (x 2)2

Điều kiện: x1Phương trình đã cho tương đương với:

x

x2 x

21

  để mẫu không bị bằng 0tại x1

Tóm lại, khi liên hợp cần kiểm tra xem mẫu đã khác 0 hay chưa, nếu chưa phải xét điều kiện

Bài 6 Giải bất phương trình: 3x 2 3 x 1 x33x24x1(1)

Thi Thử Phan Châu Trinh Đà Nẵng 2016

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2 2

Bài 9 Giải hệ phương trình: x y x y x y y y

Phân tích Phương trình có nghiệm x 1 , dấu trước căn bậc 2 là dấu âm nên ta cần truy ngược, do trước căn

bậc hai dấu của lượng x 1 không xác định nên ta cần ghép x2 3 ax b nhận 1, 1 là nghiệm:

x b

a b

2

3 2 02

Dấu căn thứ ba cũng tương tự Tuy nhiên lại có 1 vấn đề nảy sinh! Ta truy ngược dấu cho 2 căn thức nhưng một

dấu âm lại sinh ra ở phần đa thức còn lại

Tại sao lại như vậy? Có lẽ vấn đề chính là sự chênh lệch bậc khá lớn và chưa thực sự tối ưu ( bậc giữa hai biểu

thức ghép liên hợp nên gần nhau nhất có thể), do đó ta cần tăng bậc của biểu thức ghép với căn bậc ba lên, cụ thể

ta xem xét việc ghép căn bậc ba với nhị thức ax b

Do phương trình có một nghiệm duy nhất nên sẽ có rất nhiều cặp giá trị a và b thỏa mãn Mặt khác, x1 là

nghiệm của phương trình nên:

61

Đến đây các bạn tự giải tiếp nhé ^^

Bài 13 Giải phương trình: x33x24x 1 (x23) x2 x 1

Đề thi THPT Chuyên Hùng Vương 2016

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 15 Giải hệ phương trình: x x y x y y

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số f t đồng biến  t 1 và hàm số f t nghịch biến  t 1

Từ điều kiện, nếu x       2 0 x 1 1 y 1 (3) f x(  1) f y( )  x 1 y

nếu x       2 0 x 1 1 y 1 (3) f x(  1) f y( )  x 1 y

Với x 1 y, (2) 4x2   x 6 (1 2 ) 5x  x1(4)

x x

x

11

Bài toán trên cho ta thêm kinh nghiệm về việc khảo sát hàm, người ra đề đã tinh ý dấu điều kiện xác định để

người làm bài có thể phân vùng 2 khoảng ra, nhờ đó rút ra được x 1 y trên (;1);(1;)



f t( )

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

  Qua đây thấy rằng việc kiểm tra khi liên hợp xem mẫu có bằng không hay

không rất quan trọng, cũng như việc chững minh biểu thức vô nghiệm phải hết sức cẩn thận, từ đó tìm ra lời giải

đẹp cho bài toán ^^

Bài 19 Giải hệ phương trình: x y y y x y x y

Thủ thuật : Dựa vào bảng dưới đây ra có thể thấy rõ mối quan hệ: 3 8 x 33x3

Bài 20 Giải phương trình: x x 3 x x

Nên (1)(x   1) 0 x 1 Thử lại, x1 là nghiệm của phương trình

Bài 21 Giải phương trình: x 1 (2x1) 4x3 6x23x 2x1 43 x3

Thầy Kudo ShiniChi

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Chú ý: biến t chạy theo căn, chứ không phải chạy theo x nên xét trên miền 0; 

Bài 27 Giải phương trình: (x3) x 1 (x3) 1 x 2x0

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) (1; 2)x y 

Chú ý:(**)sử dụng kĩ thuật ẩn phụ không hoàn toàn để tìm nhân tử chung

Bài 28 Giải hệ phương trình: x y x y

Điều kiện:x2 Bấm máy ta có quan hệ 2 x 1 x 2 2(đã hướng dẫn ở bài 19)

Phương trình có thể được viết lại thành:

2 2

20

Vớix1, biểu thức trong ngoặc hiển nhiên dương, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x1

Giả sử có bài toán x 3 có nghiệm x 1 Khi đó ta có các khả năng sau:

Bài 34 Giải phương trình: ( x 3 x1)(x 3 x2 2x3)4

Đề thi khai bút Đặng Việt Hùng

Phân tích: vì 10x x và (3x2) 3x1cùng bậc, và 103 3nên ta có thể chọn cách liên hợp trên

Bài 35 Giải hệ phương trình: x y x y x y

Phân tích: Phương trình có nghiệm duy nhất x3 Do đó ta có các hướng xử lí sau:

Liên hợp tối ưu Hàm số (chia 2 vế cho x để tạo đồng biến – nghịch biến)

Để liên hợp tối ưu thì ta xét các biểu thức:

1) Chọn ax b sao cho ax b  2x 3 (x3) ( ) 0,A x   x 2 Nói cách khác:

Lưu ý: Nhìn phương pháp có vẻ mất thời gian, thực ra chỉ mất tối đa từ 2-4 phút để tìm lượng liên hợp

Bài 42 Giải phương trình: x2   x 6 2x33x5 (1)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Chú ý: Khi gặp 2 đại lượng giống nhau nên thử nhóm lại, biết đâu dó là chìa khóa giải bài toán^^

Bài 43 Giải bất phương trình: (4x2 x 1) x2  x 2 (4x2 3x5) x21

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

  Do trục căn bằng liên hợp không rút gọn được nên ta sẽ nhân chéo PT

Phương trình đã cho tương đương với:



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01