ứng dụng của sai phân vào giải toán trong trường trung học phổ thông

Sai phân có thể ứng dụng vào giải gần đúng phơngtrình các toán tử, đặc biệt đợc sử dụng để giải phơng trình vi phân và phơngtrình đạo hàm riêng.. Bên cạnh đó lí thuyết sai phân còn có nh

Lêi më ®Çu 2

Ch¬ng I Mét sè kiÕn thøc më ®Çu 3

1.1 Sai ph©n 3

1.1.1 Kh¸i niÖm sai ph©n 3

1.1.2 Mét sè tÝnh chÊt cña sai ph©n 3

1.2 Ph¬ng tr×nh sai ph©n 4

1.2.1 Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh 4

1.2.2 Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 5

1.2.3 Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 6

1.2.4 Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 3 8

1.3 TuyÕn tÝnh hãa 9

Ch¬ng II Mét sè bµi to¸n øng dông tÝnh chÊt cña sai ph©n 10

2.1 Bµi to¸n tÝnh tæng 10

2.2 Bµi to¸n t×m giíi h¹n cña d·y sè 15

Ch¬ng III øng dông cña ph¬ng tr×nh sai ph©n 21

3.1.T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 21

KÕt luËn 33

Tµi liÖu tham kh¶o 34

Lời mở đầu

Phơng pháp sai phân là phơng pháp đợc áp dụng rộng rãi trong nhiềulĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân có thể ứng dụng vào giải gần đúng phơngtrình các toán tử, đặc biệt đợc sử dụng để giải phơng trình vi phân và phơngtrình đạo hàm riêng Bên cạnh đó lí thuyết sai phân còn có nhiều ứng dụngkhác trong giải tích chẳng hạn nh : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giớihạn của dãy số

Trong chơng trình toán phổ thông, các bài toán về dãy số nh : tìm sốhạng tổng quát của dãy số, tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số, tìm giớihạn hầu hết mới chỉ xem xét trên cấp số cộng, cấp số nhân Tuy nhiên trongcác đề thi học sinh giỏi, các kì thi Olympic quốc gia và quốc tế không chỉxét trên cấp số cộng, cấp số nhân mà còn xét trên các dãy số phức tạp khác, đó

là những bài toán khó đối với các phơng pháp sơ cấp thờng dùng Sử dụng

ph-ơng pháp sai phân sẽ thể hiện tính u việt khi giải các bài toán này

Dới góc độ một sinh viên chuyên ngành toán, em xin trình bày một sốphơng pháp giải bài toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu

bồi dỡng giáo viên, bồi dỡng sinh viên và học sinh giỏi với chuyên đề ''ứng dụng của sai phân vào giải toán trong trờng Trung học phổ thông".

Chơng I: một số kiến thức mở đầu

1.1 Sai phân

1.1.1 Khái niệm sai phân

Giả sử f :  là một hàm số cho trớc và h const

Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lợng f x( )f x h    f x 

Một cách tổng quát sai phân cấp n của f(x) là đại lợng

1.1.2 Một số tính chất của sai phân

 Tính chất 1: là toán tử tuyến tính, nghĩa là   ,  ; f g, thì

i i

n

i

n i

Nhận xét: Với hàm f x , xác định trên tập số nguyên    và coi h =1;

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm sốnên (1.1) có dạng a x n n k a x n1 n k 1  a x1 n1a x0 nf n (1.2)

Trong đó a i i,  0,1, 2 n với a n  0, a0  0 là các hằng số hoặc các hàm

số của n; f là hàm số của n; n x là giá trị cần tìm n

Phơng trình (1.2) đợc gọi là phơng trình sai phân tuyến tính cấp n Nếu

Nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng x n  x n x*n ;

trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất ax n1bx n  0

xn

là một nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình (2.1)

* Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 1

 Phơng trình ax n1bx n  (a # 0), 0 (2.2)

Phơng trình đặc trng a b 0 b

a

    

Nghiệm tổng quát của phơng trình(1.1) có dạng x n qn (q là hằng số)

* Một số dạng phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp một

Nếu  1 thì x n* g n là đa thức cùng bậc với f n

Nếu  1 thì x*n n g n ; g là đa thức cùng bậc với n f n

 Dạng 2: Phơng trình 1 n    0

a x  b x  P n   (2.4)Nghiệm tổng quát  *

x x x

Với x là nghiệm tổng quát của phơng trình (2.2) n

x là nghiệm riêng của phơng trình (2.4)*n

Nghiệm tổng quát của phơng trình (3.1) có dạng x n xnx*n

Trong đó: x n là nghiệm của phơng trình sai phân tuyến tính thuầnnhất (3.2); x*n là một nghiệm riêng tùy ý của (3.1)

Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

Nếu 12  (nghiệm thực kép) thì:  ( ) n

n

x  A B n  Nếu  x iy r (cosisin ) thì:   x iy r (cos isin ) cũng

Nghiệm tổng quát của phơng trình (3.3) :  *

x x x

Với: x là nghiệm tổng quát của phơng trình (3.2) n

x là một nghiệm riêng của phơng trình (3.3) n*

P n là đa thức bậc k của n k( )

nghiệm tổng quát của phơng trình (3.4) có dạng x n x n x n*

Trong đó x là nghiệm tổng quát của phơng trình (3.2) n

Nghiệm tổng quát của phơng trình (4.1) có dạng x n xn + x n*

Trong đóxn là nghiệm của phơng trình a x n3b x n2c x n1d x n  (4.2)0

x*n là một nghiệm riêng của phơng trình (4.1)

*.Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 3

Giả sử phơng trình sai phân x n (x n1, ,x n k ) là tuyến tính hóa đợc Khi đó

điều kiện cần là tồn tại các số a a1, , ,2 a kđể:x n a x1 n1a x2 n2  a x n n k

Để tìm a i i ( 1, )k trớc hết ta theo các giá trị ban đầu:  1, 2, ,k đểtính x k1,x k2, ,x2k

( , , , )( , , , )

Kiểm tra điều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp

Chơng II: một số bài toán ứng dụng tính chất

của sai phân

Các bài toán tính tổng thông thờng đợc yêu cầu đối với các dãy số đặcbiệt nh cấp số cộng, cấp số nhân bằng các phơng pháp truyền thống nh quynạp toán học, sử dụng các phép biến đổi đại số, sử dụng đạo hàm Tuy nhiên

đối với các tổng phức tạp và các số hạng của tổng không thuộc các dãy số đặcbiệt nh cấp số cộng, cấp số nhân, dãy đơn điệu thì việc sử dụng các phơngpháp truyền thống ở trên là rất khó Khi đó các tính chất của sai phân là công

cụ hữu hiệu để giải bài toán này

Bài toán 1 : Tính các tổng sau

k S

k S

n k

n k

Bµi to¸n 2: TÝnh c¸c tæng lîng gi¸c sau:

x si x





x S

n n

sin [ ( cos ) ] ( cos )

.cos (sin ) ( sin )

Mở rộng 2: Từ bài toán trên và bài toán mở rộng 1 ta tính đợc các

Cách giải: Ta có:

nếu

nếu x k 2 ( k )

22sin

2

n n

 3.4

1 cos

trong đó  x x1, 2, ,x n lập thành cấp số cộng công sai d

Bài toán 4: Tính tổng sau với ( x n ) là cấp số cộng công sai d

4.1

1sin sin

sin sin sin sin sin sin

n n

Bài toán 1 Cho dãy số  x xác định bởi n

2 1

1

2009

( 1,2, )2010

k k

x S

20092010

Do x 1 2 nên có ngay 2 x1 x2 x3 Vậy  x là dãy đơn điệu tăng n

Giả sử  x bị chặn nên tồn tại n L 2 để limn x n L

   Khi đó1

0 1

(m©u thuÉn víi L 2)

VËy  x cã giíi h¹n v« h¹n, hay lim n n x n

0

* 0

01,2 ;

n

x mx x

k k

x S

n n

Bài toán 3 Cho dãy x xác định nh sau: n

2 1

1

255

n

x x

k k

x S

8

( 5)

( 1,2 )2010

L 5 (mâu thuẫn với L 8)

Dãy  x n không bị chặn trên hay limn x n

  

Từ giả thiết  3

1

52010

n

x

x  x  

5 20105

Bài toán 5 (Bài toán tổng quát)

Cho dãy số x đợc xác định nh sau n

o

o

m n

L a (mâu thuẫn với L b a  ) Do đó limn x n

6

( 3)

( 1,2 )2010

Tìm giới hạn sau limn 1n 2n 2009n ?

3.1 bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

Bài toán 1: Dãy số u n đợc xác định nh sau:

1 2 3

0 14 18

u u u

1 1 1

2

00

n

x x

Bài toán 3: Cho dãy số  x thỏa mãn: n

phép 'Đặt dãy ẩn phụ' Ta xét một số bài toán cụ thể sau:

Bài toán 5: Cho dãy số x đợc xác định nh sau n

5 6

1 2

28

x x

Giải: Dựa vào công thức truy hồi của dãy số ta thấy rằng

2x x x  x n  suy ra dãy  x là dãy số dơng n ( n 1,2 )

Do đó: x n 2 x n5 1.x n6

   tơng đơng với log2x n2  5log2x n1 6log2x n

Đặt y n log2x n suy ra y1 log2 1x log 2 1 ;2  y2  log2x2  log 8 3 ;2 

Khi đó dãy  y đợc xác định nh sau: n

1 2

13

y y

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: x n 23n1 (n1,2, )

Bài toán 6:Cho dãy số  u đợc xác định nh sau: n

b c d

3 2010

x v

n



 khi đó phơng trình trở thành2010

Nhận xét: ta có thể tổng quát hóa bài toán 7 nh sau

Xác định số hạng tổng quát của dãy số đợc cho nh sau:

x v

Bài toán 8: Dãy số  x đợc xác định nh sau: n

1

1

25

n

x x

Giải:

2 1

2 1

3

3 2

n

n n

x

x x

x

x x

x y x

n

n

n n

n

y x

y

n n



;1

* 1  

12

n

2

n n

Đặt z n log3 y n  z1 log3y1log 3 13 Phơng trình (3.10.1) trở thành 1 2.3n 1

   (3.10.2)Phơng trình (3.10.2) có nghiệm riêng dạng * 3n 1

n

 (C-const)Thay z vào phơng trình (3.10.2) ta đợc *n C3n C.3n 1 2.3n 1 C 1

1 1

      Vậy 3n 1

n

z n

Vậy số hạng tổng quát của dãy là x n 33n1  (n = 1, 2, )1

Nhận xét: Từ hai bài toán 10 ta thấy rằng từ dãy số đã cho ta biến đổi

về dạng y n1 y n k với k=2,3, và y2 ay1đây không phải phơng trình saiphân tuyến tính.Bằng cách đặt dãy ẩn phụ z n loga y n ta đa về phơng trình saipân tuyến tính đã biết cách giải

Bài toán 11:Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau

1

2010 2 1

2010ln 2

2010ln

2 (ln 2 )

2

n n

k k

Bài toán 3: Cho dãy số nguyên dơng  u thỏa mãn n

Tìm số nguyên dơng h bé nhất có tính chất a n h  a n1998n

Bài toán 4:.Tìm số hạng tổng quát của dãy số  x đợc xác định nh sau n

2 1

Bài toán 5 Cho dãy số  x đợc xác định nh sau: n

n

n x

Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số trên

Bài toán 11 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  x đợc xác định nh sau n

n

x x

Bài toán12:Tìm số hạng tổng quát của dãy số  x đợc xác định nh sau: n

3 5

1 1

2

2

2 8

n n

x x x

Thông qua việc tổng kết một số kiến thức cơ bản của sai phân nh: các

định nghĩa, các tính chất của sai phân, các dạng thờng gặp của phơng trình saiphân tuyến tính cấp 1, cấp 2, cấp 3 đề tài "ứng dụng của sai phân vào

giải toán trong trờng trung học phổ thông" đã đa ra đợc một hệ thống

các ứng dụng của sai phân với 2 chơng lớn: ứng dụng các tính chất của saiphân và ứng dụng của phơng trình sai phân với 3 ứng dụng tiêu biểu:

Bài toán tính tổng

Bài toán tìm giới hạn

Bài toán tìm số hạng tổn quát của dãy số

Trong mỗi ứng dụng là hệ thống các bài toán hay với các bớc giải cụ thể dựatrên cơ sở lý thuyết đã nêu; từ đó ngời đọc có thể tìm ra lời giải cho các bàitoán luyện tập đợc nêu ra sau mỗi dạng toán

Bớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và do còn hạn chế về thời gian

và năng lực bản thân nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến, đánh giá từ các thầy cô giáo, các bạn đọc

để đề tài này ngày càng hoàn thiện hơn

Tµi liÖu tham kh¶o

1 Ph¹m Kú Anh (2000), Gi¶i tÝch sè, Nxb §¹i häc Quèc Gia Hµ Néi

2 NguyÔn Minh Ch¬ng, KhuÊt V¨n Ninh (2002), Gi¶i tÝch sè, Nxb Gi¸o Dôc

3 Phan Huy Kh¶i (2007), C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè, Nxb Gi¸o Dôc

4 NguyÔn V¨n MËu (2003), Mét sè bµi to¸n chän läc vÒ d·y sè, Nxb Gi¸o

Dôc

5 Lª §×nh ThÞnh, Lª §×nh §Þnh (2004), Ph¬ng ph¸p sai ph©n, Nxb §¹i häc

Quèc Gia Hµ Néi