Phương trình mũ và phương trình logarit khóa luận tốt nghiệp

Vì vậy,nÕu tổ chức có hiệu quả việc dạy học phương trình mũ vàphương trình logarit sÏ quyết định chất lượng học tập m«n to¸n cña häc sinh.Với những lý do thiết thực trên cùng với niềm đa

Vì vậy,nÕu tổ chức có hiệu quả việc dạy học phương trình mũ vàphương trình logarit sÏ quyết định chất lượng học tập m«n to¸n cña häc sinh.

Với những lý do thiết thực trên cùng với niềm đam mê của bản thân và

sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng em đã mạnh dạn nghiên cứu vấn đề: “Phương trình mũ và phương trình logarit”.

Sinh viªn NguyÔn Thu Hßa

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I TÓM TẮT VỀ LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ MŨ

1 Các phép tính về lũy thừa với số mũ thực

Định lý: Gọi a, b là những số thực dương, x, y là những số thực tùy ý Ta

a a

c) Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi a > 0:

1 aM = aN ⇔M, N tùy ý nếu a = 1, M = N nếu a≠1

Các tính chất 1, 2, 3 này thường dùng để giải các PT và BPT mũ

d) Công thức đổi cơ số

Từ hàm số mũ a đổi sang hàm số cơ số b ta có công thức

1 Đồ thị hàm số y = ax luôn đi qua A(0,1)

2 Đồ thị hàm số mũ luôn luôn ở trên trục hoành

Cho số thực a > 0 và a≠ 1, logarit cơ số a của một số dương N là mét

sè sao cho N = aM Ký hiệu loga N

• Cơ số a phải là số dương và khác 1

• loga N chỉ có nghĩa khi N > 0

• log 1 0;loga = a a =1;loga a n =n

3 Các phép tính về logarit

Giả sử a > 0, a≠1, A, B, N >0 ta có các công thức sau đây:

a) loga( )AB =loga A+loga B

Mở rộng: loga( A A1 .2 A n) =loga A1+loga A2 + + loga A n

b) log ( A B/ ) =log A−log B

Hệ quả: loga 1 loga N

a log loga b b c=loga c

Hệ quả: loga1a2.loga2 a3 loga n−1a n =loga1 a n (a1,a2,…, an > 0; a1,a2,…, an-1 ≠ 1)

b log log

log

b a

b

x x

• Hàm số y=loga x liên tục tại mọi điểm x > 0

• Nếu a > 1: hàm số đồng biến trong khoảng (0;+∞)

• Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+∞)

6 Đồ thị hàm số logarit

a a > 1 b 0 < a < 1

a 1 y= loga x x

0< a <1

* Nhận xét:

1 Đồ thị (C) của hàm số y= loga x luôn đi qua A(1;0)

2 Đồ thị hàm số luôn ở bên phải trục tung

3 Các hàm số y= loga x và y= log1/a x đối xứng nhau qua trục hoành

4 Vì y= loga x ⇔x =ay nên các hàm số y= loga x và y = ax là nhữnghàm số ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đườngphân giác y = x

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

I PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Để hóa đồng cơ số hoặc để khử biểu thức mũ, hoặc logarit chứa

ẩn số, ta thường lấy mũ hoặc logarit các vế ¸p dụng các công thức:

c

b b

a

= (công thức đổi cơ số)

3 log n m log

a a

Ví dụ 2: Giải phương trình 2log 8( x2 −6x+ =9) 32 logx 2 1−

GiảiBiến đổi: 32 logx 2 1 − =3logx x− 1 =30 =1

a x

x

a− − = (1)Giải

x=2 là một đáp số đúng xong sai lầm ở đây của học sinh là đã hiểu:

* Bài giải đúng:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

2 Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa

Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa, logarit hóa thìchúng ta phải nắm vững các tính chất đã nêu ở trên Tuy nhiên trước khi mũhóa hoặc logarit hóa cần phải biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương trình vềdạng gọn nhất

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 2x x x+11 72

GiảiĐiều kiện x≠1 Lấy logarit thập phân 2 vế ta có:

x x

Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình:

3

lg 2 3 lg3 4lg 2 5lg12 0

x x

Kết hợp với điều kiện ta có phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

* Chú ý:Nếu chúng ta quên đặt điều kiện thì có thể chúng ta sẽ lấy thêm

nghiệm x = 17Luôn nhớ rằng loga b+loga c=loga bc chỉ đúng khi b > 0, c >0

x x

So sánh với điều kiện phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 2 và x= −1 33

* Chú ý: Nếu biến đổi ( )2 ( )

t a= ϕ , t > 0 hoặc t=logϕ( )x ta được một phương trình đại số

f(t) = 0, giải phương trình này nếu có nghiệm t, khi đó giải phương trình( )x

t a= ϕ , hoặc t =logϕ( )x để tìm x Phương pháp giải phương trình như thếnày được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 491 351x 251

GiảiChia hai vế của (1) cho 351x (x≠ 0)

Do đó:

1

1 5 2

log

x x

2 3

12

Ta có: 227 27 2

310

33

- Từ (*) học sinh có thể ước lượng 2 vế làm mất nghiệm

- Ta có thể không để ý đến điều kiện nên lấy thừa nghiệm

Bài này có thể giải quyết cách khác không cần đưa về hệ phươngtrình Ta có thể giải như sau:

(**) nhận xét y =log2 x là hàm số đồng biến trên y = 3–x là hàm số

nghịch biến nên phương trình này chỉ có nghiệm x = 2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

142

x x

* Nhận xét: Ta thường chia cả 2 vế của phương trình cho một lũy thừa nào đó

chứa trong phương trình để giảm bớt số các lũy thừa có cơ số khác nhau

- Nếu đưa được phương trình đã cho về dạng aϕ( )x + pa−ϕ( )x + =q 0 thìdùng ẩn phụ u a= ϕ( )x để đưa nó về phương trình bậc hai

- Phương trình dạng: a2x + pa b x y +qb2y =0 có thể đưa về phương

trình bậc hai đối với ẩn phụ

x y

a u b

= , sau đó khi chia cả 2 vế cho b2y

4 Sử dụng tính chất của hàm số

Có một số phương trình không thể dụng thuần túy các phương trìnhnêu trên, đôi khi cần phải dùng các tính chất của bất đẳng thức để giải hoặcphát hiện tổ hợp chứa các nghiệm rồi thử nghiệm, hoặc phát hiện nghiệm vàchứng minh đó là duy nhất hoặc sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến củahàm số

Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x +3x =5x

Giải

1 Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác vuông nên a2 +b2 =c2, suy ra x = 2

là nghiệm của phương trình a x +b x =c x (1)

(Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương x và 1 x ) Dấu bằng xảy

t + x− t+ x− = xem như phương trình

bậc 2 theo t thỏa mãn điều kiện a – b + c = 0 nên 1 ( )

Suy ra 3x = − + ⇔2x 5 3x + − =2 5 0 điều kiện x < 5/2

Phương trình thỏa mãn điều kiện khi x = 1

 phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = 1

* Chú ý: Là hàm số đồng nhất nên x = 1 là nghiệm duy nhất.

Ví dụ 5: Tìm số nguyên x thỏa mãn x x+3=1 (1)

Giải

• x = 0: không là nghiệm của phương trình

• x > 0: Lấy logarit thập phân hai vế ta có: ( x+3 lg) x= ⇔ =0 x 1

• x < 0: Nếu x là số nguyên chẵn thì x + 3 là số lẻ, suy ra x x+3 <0 nên(1) vô nghiệm, do đó x phải là số nguyên lẻ.

x

Vậy phương trình chí có 3 nghiệm phân biệt x = 1, x = -1, x = -3

Ví dụ 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: x x+ log 3 2 = xlog 5 2

GiảiVới điều kiện x > 0, sử dụng đồng nhất thức aloga N =N

Do đó đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành tối đa là 2 điểm Kiểm tra

ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 và x = 1

Một số phương trình mũ và phương trình logarit không mẫu mực

Một số phương trình hoặc bất phương trình mà không thể dùng cácphép tính về hàm số mũ, logarit hoặc dùng tính đơn điệu để giải trực tiếp,thường ta chú ý một vài cách như sau:

1) Dùng bất đẳng thức để giải: chẳng hạn giải phương trình A = B nếu

A C≥ và B C≤ thế thì phương trình tương đương với hệ A C

Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau tại hai điểm do đó phương trình chỉ

Vậy (1) vô nghiệm khi x < 1

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 1

− =

Vì f x( ) =2x + −x 1 là hàm số tăng nên 2x + − =x 1 0 có nghiệm duy nhất là x = 0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 2

0

x x

Vậy nghiệm của phương trình 3sin x = cosx là x = 0.

Ví dụ 6: Giải phương trình log2 os2 12 2 1

Nghiệm của phương trình là: (kπ;1 ,) k Z∈

Ví dụ 7: Giải phương trình: ( log 6 )

Xét hàm số ( ) 3 3

2

X X

f x = +  ÷   Đây là hàm số đồng biến

Do f(-1) = 1/3 + 2/3 =1 nên X = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm là:X 1 log6 1 1

6

II BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 Giải phương trình:

a 4log 9x −62log 2x +2log 27 3 =0

logx + 3− m− −1 log m x −5m x + 6−m =0 (1) đúng x R∀ ∈

Giải

2 2

logx + 2 log 2 12x

(2) không thỏa mãn với

1616

x x

Với m = 5 ta có (1) ⇔logx2+21 log 1 0− 2 = đúng

Vậy với m = 5 phương trình đã cho nghiệm đúng x R∀ ∈

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của a sao cho phương trình sau có đúng 3 nghiệm

2.4− −x a.log x 2x 3 2− +x x.log 2 x a 2 0

Điều kiện: x2 −2x+ >3 0

a. phương trình x2 + 1 – 2a = 0 (2) có nghiệm kép và phương trình:

x2 – 4x + 1 + 2a = 0 (3) có 2 nghiệm phân biệt

b phương trình x2 + 1 – 2a = 0 (2) có 2 nghiệm phân biệt và phươngtrình x2 – 4x + 1 + 2a = 0 có nghiệm kép

c (2) và (3) đều có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm trùng nhau

suy ra:

• a =1/2 (2) có nghiệm kép và (3) có 2 nghiệm phân biệt

• a = 3/2 (3) có nghiệm kép và (4) có 2 nghiệm phân biệt

• 1/2 < a < 3/2 mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt

(2) và (3) có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ (2) và (3) có nghiệm

Giải hệ phương trình ta có: 1

1

x a

=



 =



Vậy phương trình (1) có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi a = 1/2, a = 3/2, a =1

Ví dụ 3: Tùy theo các giá trị của a, giải và biện luận phương trình

Điều kiện:

2 2

13

3

a

a x

a a

2 11

Ví dụ 5: Cho 2 phương trình 9x2 +3x2+1=4 (1) và m−4 2x−2 +m.4x−1 =1

(2) Tìm điều kiện của m để 2 phương trình (1) và (2) tương đương với nhau.

GiảiGiải phương trình (1): 9x2 +3x2+1=4

(*) vô nghiệm ⇔ ≥m 0 Vậy 0≤ ≤m 4 hoặc m = -4

Ví dụ 6: Tìm các giá trị cảu m để phương trình sau đây có nghiệm:

4x+ −2x+ + =m 0 (1)

GiảiĐặt t = 2x, t > 0; ( )1 ⇔4t2 − + =4t m 0 (1’)

(1) có nghiệm ⇔(1’) có nghiệm dương ⇔ ≤m 1

Ví dụ 7: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

00

11

2

m m

II BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 Tìm giá trị của a để phương trình 4x −2x + =a 0 có nghiệm

Bài 2 Tìm giá trị của a để phương trình 9x +a3x − =1 0 có nghiệm

Bài 3.Với những giá trị nào của a thì phương trình 3 1 3

2

7− +x −4.7− x+ − =a 0cónghiệm

Bài 4 Tìm m để phương trình 4x mx m2+ + +1−42x2− +(m 2 )x+2m =x2 +2x m+ −1 có ítnhất một nghiệm

Bài 5 Xác định a để phương trình 22 cos 2x−1 = −4 3a có nghiệm 0;

Bài 9 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình nghiệm đúng x R∀ ∈

Bài 10 Tìm tham số α ∈( )2;7 biết rằng phương trình

2 3

Em kính mong các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ýkiến để đề tài của em được hoàn thiện hơn.