rất hay và khó dành cho những người có ý định thi vào THPT chuyên toán. Có đủ các phần, rất tốt cho các bạn ôn luyện. chúc may mắn.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Môn Toán – Vòng 2
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 Cho phương trình x2 − 4x +m2 − 3m = 0 ( 1 ).
1 Tìm các giá trị của m để phương trình ( 1 ) có nghiệm
2 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ( 1 ). Hãy tìm các giá trị của m sao cho .
4 2
2
2
1 x x
x = −
Câu 2 Tìm các số nguyên không âm a, b sao cho a2 −b2 − 5a+ 3b+ 4 là số nguyên tố
Câu 3 Giả sử x, y,z là các số thực không âm thỏa mãn hệ thức x+ y+z= 8 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x3y+y3z+z3x.
Câu 4 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn đó Gọi H thuộc AB sao cho MH ⊥ AB. Tia phân giác của góc HMB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH tại điểm thứ hai I và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH tại điểm thứ hai J.
1 Gọi E, F là trung điểm của MA , MB. Chứng minh rằng E ,, I F thẳng hàng
2 Gọi K là trung điểm của IJ. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF theo R.
Trang 2Câu 5 Bên trong hình lục giác đều có cạnh bằng 2 cho 81 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một hình vuông có cạnh bằng 1 (kể cả biên) chứa ít nhất 6 điểm trong số các điểm đã cho
Ghi chú: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm!
Trang 3ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1
( 3,5đ) 1.Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
∆ = − / 4 m2 + 3m ≥ ⇔ 0 m2 − 3m − ≤ 4 0
⇔ (m+ 1)(m − ≤ ⇔ − ≤ 4) 0 1 m ≤ 4 (2)
2 Theo hệ thức Viet ta có 1 2 2
1 2
4 3
x x
Từ điều kiện của bài toán ta có:
Với x2 = − ⇒ 1 x1 = 5. x2 = ⇒ 4 x1 = 0.
Khi đó
- m2 − 3m = − ⇔ 5 m2 − 3m + = ⇒ 5 0 VN
- 2
m − m = ⇔m = m = ( Thỏa mãn ĐK(2))
0,75
0,75
0,75
0,5
0,75 Câu 2
(1,5đ)
Đặt A=a2 −b2 − 5a+ 3b+ 4, dễ thấyA là số chẵn Do đó A là số
nguyên tố khi và chỉ khiA= 2, hay A=a2 −b2 − 5a+ 3b+ 4 = 2,
suy ra (a+b− 4 )(a−b− 1 ) = 2 Ta xét các trường hợp sau :
- 4 , 1
2 1
1 4
=
=
⇔
=
−
−
=
− +
b a b
a
b a
- 4 , 2
1 1
2 4
=
=
⇔
=
−
−
=
− +
b a b
a
b a
0,5
Trang 4- 1 , 2
2 1
1 4
=
=
⇔
−
=
−
−
−
=
− +
b a b
a
b a
- 1 , 1
1 1
2 4
=
=
⇔
−
=
−
−
−
=
− +
b a b
a
b a
0,5
0,5 Câu 3
(1,5đ)
Đặt x = max{x y z, , } ⇒ y ≤ x ⇒ y z3 ≤ x yz2
z ≤ x ⇒ z x3 ≤ z x2 2 ≤ zx3
Khi đó:
x z x z yz x y x
2
1 2
+ +
2 )(
( 2
1 2
2
y z x x x z zx yz x y
≤
27 .
Áp dụng BĐT Cosi cho 4 số không âm ta có:
≤ + + ÷ =
4
4
P
Dấu bằng xảy ra khi x = 6,y = 2,z = 0 VậyMaxP= 432
0,5
0,5
0,5 Câu 4
( 2,5đ)
1 Gọi N là giao điểm của đường thẳng MI và AB Ta có
HMN AMH
∠
ANM BMN
MBN+ ∠ = ∠
∠
=
Do đó tam giác AMN cân tại
0,5
Trang 5(Hay ∠ANM = 90 0 − ∠HMN = 90 0 − ∠NMB= ∠AMN⇒tam giác
AMN cân tại A , vì AI ⊥MN ⇒ AI là đường trung tuyến⇒I là
trung điểm của MN )
2 Vì MJ là tia phân giác của ∠BMH nên J là điểm chính giữa
của cung BH ⇒FJ ⊥ AB⇒ ∠EFJ = 90 0
Trong tam giác vuông IFJ ⇒KI =KJ =KF
⇒ ∠EFK = ∠KIF = ∠MIE= ∠EMK ⇒EMFK là tứ giác nội tiếp
⇒K nằm trên đường tròn đường kính EF = AB=R
2
1
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF là
2
R
0,5
0,5
0,5
0,5 Câu 5
(1đ)
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp lục giác đều có cạnh bằng 2, khi đó (O) có bán kính R= 2 Gọi ABCD là hình vuông ngoại tiếp (O) Cạnh của hình vuông này bằng 4 Chia hình vuông thành 16 hình vuông nhỏ, có cạnh bằng 1
Rõ ràng 16 hình vuông này chứa 81 điểm đã cho
0,5
Trang 6Vì 81 = 16 x 5 +1 nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại hình vuông cạnh bằng 1 chứa ít nhất 6 điểm trong số các điểm đã cho
0,5